二次函数的图象与性质2

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

二次函数的图象与性质2

26.1 ‎ 二次函数的图象与性质(1)‎ ‎[本课知识要点]‎ 会用描点法画出二次函数的图象,概括出图象的特点及函数的性质.‎ ‎[MM及创新思维]‎ 我们已经知道,一次函数,反比例函数的图象分别是 、‎ ‎ ,那么二次函数的图象是什么呢?‎ ‎(1)描点法画函数的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x取互为相反数的值时,y的值如何?‎ ‎(2)观察函数的图象,你能得出什么结论?‎ ‎[实践与探索]‎ 例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同点?‎ ‎(1) (2)‎ 解 列表 x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎18‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎-18‎ ‎-8‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎-8‎ ‎-18‎ ‎…‎ 分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是抛物线,如图26.2.1.‎ 共同点:都以y轴为对称轴,顶点都在坐标原点.‎ 不同点:的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升.‎ ‎ 的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.‎ 回顾与反思 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.‎ 例2.已知是二次函数,且当时,y随x的增大而增大.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)求顶点坐标和对称轴.‎ 19‎ 解 (1)由题意,得, 解得k=2.‎ ‎ (2)二次函数为,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.‎ 例3.已知正方形周长为Ccm,面积为S cm2.‎ ‎(1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象;‎ ‎(2)根据图象,求出S=1 cm2时,正方形的周长;‎ ‎(3)根据图象,求出C取何值时,S≥4 cm2. ‎ 分析 此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C的取值应在取值范围内.‎ 解 (1)由题意,得.‎ 列表:‎ C ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎…‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎…‎ 描点、连线,图象如图26.2.2.‎ ‎(2)根据图象得S=1 cm2时,正方形的周长是4cm.‎ ‎(3)根据图象得,当C≥8cm时,S≥4 cm2.‎ 回顾与反思 ‎ ‎(1)此图象原点处为空心点.‎ ‎(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.‎ ‎(3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分.‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.‎ ‎(1) (2) (3) ‎ ‎2.(1)函数的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;‎ ‎(2)函数的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .‎ ‎3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数,并画出图象的草图.‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.‎ ‎(1) (2)‎ ‎2.填空:‎ ‎(1)抛物线,当x= 时,y有最 值,是 .‎ ‎(2)当m= 时,抛物线开口向下.‎ 19‎ ‎(3)已知函数是二次函数,它的图象开口 ,当x 时,y随x的增大而增大.‎ ‎3.已知抛物线中,当时,y随x的增大而增大.‎ ‎(1)求k的值; (2)作出函数的图象(草图).‎ ‎4.已知抛物线经过点(1,3),求当y=9时,x的值.‎ B组 ‎5.底面是边长为x的正方形,高为0.5cm的长方体的体积为ycm3.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8 cm3时底面边长x的值;(4)根据图象,求出x取何值时,y≥4.5 cm3.‎ ‎6.二次函数与直线交于点P(1,b).‎ ‎(1)求a、b的值;‎ ‎(2)写出二次函数的关系式,并指出x取何值时,该函数的y随x的增大而减小.‎ 1. 一个函数的图象是以原点为顶点,y轴为对称轴的抛物线,且过M(-2,2).‎ ‎(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象;‎ ‎(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标,并求出⊿MON的面积.‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26.2 二次函数的图象与性质(2)‎ ‎[本课知识要点]‎ 会画出这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.‎ ‎[MM及创新思维]‎ 同学们还记得一次函数与的图象的关系吗? ‎ ‎ ,你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗? ‎ ‎ ,那么与的图象之间又有何关系? ‎ ‎ .‎ ‎[实践与探索]‎ 例1.在同一直角坐标系中,画出函数与的图象.‎ 解 列表.‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎18‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎…‎ ‎ ‎ 19‎ 描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.3所示.‎ 回顾与反思 当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?‎ 探索 观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此说出函数与的图象之间的关系吗?‎ 例2.在同一直角坐标系中,画出函数与的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线得到抛物线.‎ 解 列表.‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎-8‎ ‎-3‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-3‎ ‎-8‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎-10‎ ‎-5‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-5‎ ‎-10‎ ‎…‎ ‎ 描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.4所示.‎ 可以看出,抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的.‎ 回顾与反思 抛物线和抛物线分别是由抛物线 19‎ 向上、向下平移一个单位得到的.‎ 探索 如果要得到抛物线,应将抛物线作怎样的平移?‎ 例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与相同,顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.‎ 解 由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,-2),‎ 因此所求函数关系式可看作, 又抛物线经过点(1,1),‎ 所以,, 解得.‎ 故所求函数关系式为.‎ 回顾与反思 (a、k是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:‎ 开口方向 对称轴 顶点坐标 ‎[当堂课内练习]‎ 1. 在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:‎ ‎, , .‎ 观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?‎ ‎2.抛物线的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的.‎ ‎3.函数,当x 时,函数值y随x的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= .‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1.已知函数, , .‎ ‎(1)分别画出它们的图象;‎ ‎(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;‎ ‎(3)试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.‎ 2. 不画图象,说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明它是由函数 19‎ 通过怎样的平移得到的.‎ ‎3.若二次函数的图象经过点(-2,10),求a的值.这个函数有最大还是最小值?是多少?‎ B组 ‎4.在同一直角坐标系中与的图象的大致位置是( )‎ ‎5.已知二次函数,当k为何值时,此二次函数以y轴为对称轴?写出其函数关系式.‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26.2 二次函数的图象与性质(3)‎ ‎[本课知识要点]‎ 会画出这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.‎ ‎[MM及创新思维]‎ 我们已经了解到,函数的图象,可以由函数的图象上下平移所得,那么函数的图象,是否也可以由函数平移而得呢?画图试一试,你能从中发现什么规律吗?‎ ‎[实践与探索]‎ 例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.‎ ‎, ,,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.‎ 解 列表.‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎…‎ 19‎ ‎…‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎…‎ ‎ 描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.5所示.‎ 它们的开口方向都向上;对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2;顶点坐标分别是 ‎(0,0),(-2,0),(2,0).‎ 回顾与反思 对于抛物线,当x 时,函数值y随x的增大而减小;当x 时,函数值y随x的增大而增大;当x 时,函数取得最 值,最 值y= .‎ 探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的.如果要得到抛物线,应将抛物线作怎样的平移?‎ 例2.不画出图象,你能说明抛物线与之间的关系吗?‎ 解 抛物线的顶点坐标为(0,0);抛物线的顶点坐标为(-2,0).‎ 因此,抛物线与形状相同,开口方向都向下,对称轴分别是y轴和直线.抛物线是由向左平移2个单位而得的.‎ 回顾与反思 (a、h是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:‎ 开口方向 对称轴 顶点坐标 19‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1.画图填空:抛物线的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的.‎ ‎2.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.‎ ‎, ,,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1.已知函数,, .‎ ‎(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;‎ ‎(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;‎ ‎(3)分别讨论各个函数的性质.‎ ‎2.根据上题的结果,试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线得到抛物线和?‎ ‎3.函数,当x 时,函数值y随x的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= .‎ ‎4.不画出图象,请你说明抛物线与之间的关系.‎ B组 ‎5.将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2,且新抛物线经过点 ‎(1,3),求的值.‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26.2 二次函数的图象与性质(4)‎ ‎[本课知识要点]‎ ‎1.掌握把抛物线平移至+k的规律;‎ ‎2.会画出+k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.‎ ‎[MM及创新思维]‎ 由前面的知识,我们知道,函数的图象,向上平移2个单位,可以得到函数 19‎ 的图象;函数的图象,向右平移3个单位,可以得到函数的图象,那么函数的图象,如何平移,才能得到函数的图象呢?‎ ‎[实践与探索] ‎ 例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.‎ ‎,,,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.‎ 解 列表.‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎…‎ ‎ 描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.6所示.‎ 它们的开口方向都向 ,对称轴分别为 、 、 ,顶点坐标分别为 、 、 .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.‎ 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数+k中k的值;左右平移,只影响h的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关.‎ 探索 你能说出函数+k(a、h、k是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?试填写下表.‎ ‎+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 19‎ 例2.把抛物线向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线,求b、c的值.‎ 分析 抛物线的顶点为(0,0),只要求出抛物线的顶点,根据顶点坐标的改变,确定平移后的函数关系式,从而求出b、c的值.‎ 解 .‎ 向上平移2个单位,得到,‎ 再向左平移4个单位,得到,‎ 其顶点坐标是,而抛物线的顶点为(0,0),则 解得 ‎ 探索 把抛物线向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线,也就意味着把抛物线向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到抛物线.那么,本题还可以用更简洁的方法来解,请你试一试.‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1.将抛物线如何平移可得到抛物线 ( )‎ A.向左平移4个单位,再向上平移1个单位 B.向左平移4个单位,再向下平移1个单位 C.向右平移4个单位,再向上平移1个单位 D.向右平移4个单位,再向下平移1个单位 ‎2.把抛物线向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线的函数关系式为 .‎ 19‎ ‎3.抛物线可由抛物线向 平移 个单位,再向 平移 个单位而得到.‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.‎ ‎,,,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.‎ ‎2.将抛物线先向下平移1个单位,再向左平移4个单位,求平移后的抛物线的函数关系式. ‎ ‎3.将抛物线如何平移,可得到抛物线?‎ B组 ‎4.把抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线,则有 ( )‎ A.b =3,c=7 B.b= -9,c= -15 C.b=3,c=3 D.b= -9,c=21‎ ‎5.抛物线是由抛物线向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到的,求b、c的值.‎ ‎6.将抛物线向左平移个单位,再向上平移个单位,其中h>0,k<0,求所得的抛物线的函数关系式.‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26.2 二次函数的图象与性质(5)‎ ‎[本课知识要点]‎ ‎1.能通过配方把二次函数化成+k的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标;‎ ‎2.会利用对称性画出二次函数的图象.‎ ‎[MM及创新思维]‎ 我们已经发现,二次函数的图象,可以由函数的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到,因此,可以直接得出:函数的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .那么,对于任意一个二次函数,如,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗?‎ ‎[实践与探索] ‎ 19‎ 例1.通过配方,确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.‎ 解 ‎ 因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).‎ 由对称性列表:‎ x ‎…‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎-10‎ ‎0‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎-10‎ ‎…‎ 描点、连线,如图26.2.7所示.‎ 回顾与反思 (1)列表时选值,应以对称轴x=1为中心,函数值可由对称性得到,.‎ ‎(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点.‎ 探索 对于二次函数,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?请你完成填空:对称轴 ,顶点坐标 .‎ 例2.已知抛物线的顶点在坐标轴上,求的值.‎ 分析 顶点在坐标轴上有两种可能:(1)顶点在x轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y轴上,则顶点的横坐标等于0.‎ 解 ,‎ 则抛物线的顶点坐标是.‎ 当顶点在x轴上时,有 ,‎ 解得 .‎ 当顶点在y轴上时,有 ,‎ 解得 或.‎ 所以,当抛物线的顶点在坐标轴上时,有三个值,分别是 –‎ 19‎ ‎2,4,8.‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1.(1)二次函数的对称轴是 .‎ ‎(2)二次函数的图象的顶点是 ,当x 时,y随x的增大而减小.‎ ‎(3)抛物线的顶点横坐标是-2,则= .‎ ‎2.抛物线的顶点是,则、c的值是多少?‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1.已知抛物线,求出它的对称轴和顶点坐标,并画出函数的图象.‎ ‎2.利用配方法,把下列函数写成+k的形式,并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎3.已知是二次函数,且当时,y随x的增大而增大.‎ ‎(1)求k的值;(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴. ‎ B组 ‎4.当时,求抛物线的顶点所在的象限.‎ ‎5. 已知抛物线的顶点A在直线上,求抛物线的顶点坐标.‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26.2 二次函数的图象与性质(6)‎ ‎[本课知识要点]‎ ‎1.会通过配方求出二次函数的最大或最小值;‎ ‎2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.‎ ‎[MM及创新思维]‎ 在实际生活中,我们常常会碰到一些带有“最”字的问题,如 问题:某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?‎ 19‎ 在这个问题中,设每件商品降价x元,该商品每天的利润为y元,则可得函数关系式为二次函数.那么,此问题可归结为:自变量x为何值时函数y取得最大值?你能解决吗? ‎ ‎[实践与探索] ‎ 例1.求下列函数的最大值或最小值.‎ ‎(1); (2).‎ 分析 由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值.‎ 解 (1)二次函数中的二次项系数2>0,‎ 因此抛物线有最低点,即函数有最小值.‎ 因为=,‎ 所以当时,函数有最小值是.‎ ‎(2)二次函数中的二次项系数-1<0,‎ 因此抛物线有最高点,即函数有最大值.‎ 因为=,‎ 所以当时,函数有最大值是.‎ 回顾与反思 最大值或最小值的求法,第一步确定a的符号,a>0有最小值,a<0有最大值;第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.‎ 探索 试一试,当2.5≤x≤3.5时,求二次函数的最大值或最小值.‎ 例2.某产品每件成本是120元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表:‎ x(元)‎ ‎130‎ ‎150‎ ‎165‎ y(件)‎ ‎70‎ ‎50‎ ‎35‎ 若日销售量y是销售价x的一次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售价定为多少元?此时每日销售利润是多少?‎ 分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润,因此主要是正确表示出这两个量.‎ 解 由表可知x+y=200,‎ 因此,所求的一次函数的关系式为.‎ 设每日销售利润为s元,则有 ‎.‎ 19‎ 因为,所以.‎ 所以,当每件产品的销售价定为160元时,销售利润最大,最大销售利润为1600元.‎ 回顾与反思 解决实际问题时,应先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,得出结果.‎ 例3.如图26.2.8,在Rt⊿ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.‎ ‎(1)用含y的代数式表示AE;‎ ‎(2)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围;‎ ‎(3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系,并求出S的最大值.‎ 解 (1)由题意可知,四边形DECF为矩形,因此 ‎.‎ ‎(2)由∥,得,即,‎ 所以,,x的取值范围是.‎ ‎(3),‎ 所以,当x=2时,S有最大值8.‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1.对于二次函数,当x= 时,y有最小值.‎ ‎2.已知二次函数有最小值 –1,则a与b之间的大小关系是 ( )‎ A.a<b B.a=b C.a>b D.不能确定 ‎3.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40件,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.‎ ‎(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?‎ ‎(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1.求下列函数的最大值或最小值.‎ ‎(1); (2).‎ ‎2.已知二次函数的最小值为1,求m的值.,‎ ‎3.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系:.y值越大,表示接受能力越强.‎ ‎(1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?‎ 19‎ ‎(2)第10分时,学生的接受能力是多少?‎ ‎(3)第几分时,学生的接受能力最强?‎ B组 ‎4.不论自变量x取什么数,二次函数的函数值总是正值,求m的取值范围.‎ ‎5.如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x m,面积为S m2.‎ ‎(1)求S与x的函数关系式;‎ ‎(2)如果要围成面积为45 m2的花圃,AB的长是多少米?‎ ‎(3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗?如果能,请求出 最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.‎ ‎6.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,线段EF在对角线AC上,EG⊥AD,FH⊥BC,垂足分别是G、H,且EG+FH=EF.‎ ‎(1)求线段EF的长;‎ ‎(2)设EG=x,⊿AGE与⊿CFH的面积和为S,‎ 写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,‎ 并求出S的最小值.‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26 . 2 二次函数的图象与性质(7)‎ ‎[本课知识要点]‎ 会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式.‎ ‎[MM及创新思维]‎ 一般地,函数关系式中有几个独立的系数,那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如:我们在确定一次函数的关系式时,通常需要两个独立的条件:确定反比例函数的关系式时,通常只需要一个条件:如果要确定二次函数的关系式,又需要几个条件呢?‎ ‎[实践与探索] ‎ 例1.某涵洞是抛物线形,它的截面如图26.2.9所示,现测得水面宽1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么?‎ 分析 如图,以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线为x轴,建立了直角坐标系.这时,涵洞所在的抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式是.此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.‎ 解 由题意,得点B的坐标为(0.8,-2.4),‎ 19‎ 又因为点B在抛物线上,将它的坐标代入,得 ‎ ‎ ‎ 所以 .‎ 因此,函数关系式是.‎ 例2.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.‎ ‎(1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2);‎ ‎(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1);‎ ‎(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0),且与y轴交于点(0,-3);‎ ‎(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4.‎ 分析 (1)根据二次函数的图象经过三个已知点,可设函数关系式为的形式;(2)根据已知抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为,再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值;(3)根据抛物线与x轴的两个交点的坐标,可设函数关系式为,再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值;(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关系式为,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入,即可求出a的值.‎ 解 (1)设二次函数关系式为,由已知,这个函数的图象过(0,-1),可以得到c= -1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点,可以得到 解这个方程组,得 a=2,b= -1.‎ 所以,所求二次函数的关系式是.‎ ‎(2)因为抛物线的顶点为(1,-3),所以设二此函数的关系式为,‎ 又由于抛物线与y轴交于点(0,1),可以得到 ‎ 解得 .‎ 所以,所求二次函数的关系式是.‎ ‎(3)因为抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0),‎ 19‎ 所以设二此函数的关系式为.‎ 又由于抛物线与y轴交于点(0,3),可以得到 ‎ .‎ ‎ 解得 .‎ 所以,所求二次函数的关系式是.‎ ‎(4)根据前面的分析,本题已转化为与(2)相同的题型,请同学们自己完成.‎ 回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式:‎ ‎(1)一般式:,给出三点坐标可利用此式来求.‎ ‎(2)顶点式:,给出两点,且其中一点为顶点时可利用此式来求.‎ ‎(3)交点式:,给出三点,其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求.‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.‎ ‎(1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、(3,5);‎ ‎(2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且过点(2,1);‎ ‎(3)已知抛物线与x轴交于点M(-1,0)、(2,0),且经过点(1,2).‎ ‎2.二次函数图象的对称轴是x= -1,与y轴交点的纵坐标是 –6,且经过点(2,10),求此二次函数的关系式.‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1.已知二次函数的图象经过点A(-1,12)、B(2,-3),‎ ‎(1)求该二次函数的关系式;‎ ‎(2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成的形式,并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴.‎ ‎2.已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P(2,m)、Q(n,-8),如果抛物线的对称轴是x= -1,求该二次函数的关系式.‎ ‎3.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.‎ 19‎ ‎4.已知二次函数,当x=3时,函数取得最大值10,且它的图象在x轴上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式.‎ B组 ‎5.已知二次函数的图象经过(1,0)与(2,5)两点.‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(2)请你换掉题中的部分已知条件,重新设计一个求二次函数解析式的题目,使所求得的二次函数与(1)的相同.‎ ‎6.抛物线过点(2,4),且其顶点在直线上,求此二次函数的关系式.‎ ‎[本课学习体会]‎ 19‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档