2021年中考数学专题复习 专题11 一元二次方程及其应用(教师版含解析)

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2021年中考数学专题复习 专题11 一元二次方程及其应用(教师版含解析)

专题 11 一元二次方程及其应用 1.一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2的方程,叫 做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式:ax2 +bx+c=0(a≠0)。其中 ax2 是二次项,a是二次项系数;bx 是一次项,b 是 一次项系数;c是常数项。 3.一元二次方程的根:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。 4.一元二次方程的解法 (1)直接开方法:适用形式:x2 =p、(x+n)2 =p 或(mx+n)2 =p。 (2)配方法:套用公式 a2 +2ab+b2 =(a+b)2 ;a2 -2ab+b2 =(a-b)2 ,配方法解一元二次方程的一般步骤是: ①将已知方程化为一般形式; ②化二次项系数为 1; ③常数项移到右边; ④方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q 的形式,如果 q ≥0,方程的根是 x=-p±√q;如果 q<0,方程无实根. (3)公式法: 当 b2 -4ac≥0 时,方程 ax2 +bx+c=0 的实数根可写为: a acbbx 2 42   的形式,这个式子叫做一元二次 方程 ax2 +bx+c=0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 其中:b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式,通常用字母Δ表示,即Δ=b2-4ac。 ①Δ=b2 -4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根。 a acbbx 2 42 1   , a acbbx 2 42 2   ②Δ=b2 -4ac=0 时,方程有两个相等的实数根。 a bxx 221  ③Δ=b2-4ac<0 时,方程无实数根。 定义:b2 -4ac 叫做一元二次方程 ax2 +bx+c=0 的根的判别式,通常用字母Δ表示,即Δ=b2 -4ac。 (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一 元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤 第 1 步:审题。认真读题,分析题中各个量之间的关系; 第 2 步:设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数; 第 3 步:列方程。根据题中各个量的关系列出方程; 第 4 步:解方程。根据方程的类型采用相应的解法; 第 5 步:检验。检验所求得的根是否满足题意。 第 6 步:答。 【例题 1】(2020•临沂)一元二次方程 x2 ﹣4x﹣8=0 的解是( ) A.x1=﹣2+2 ,x2=﹣2﹣2 B.x1=2+2 ,x2=2﹣2 C.x1=2+2 ,x2=2﹣2 D.x1=2 ,x2=﹣2 【答案】B 【分析】方程利用配方法求出解即可. 【解析】一元二次方程 x2﹣4x﹣8=0, 移项得:x2 ﹣4x=8, 配方得:x2 ﹣4x+4=12,即(x﹣2) 2 =12, 开方得:x﹣2=±2 , 解得:x1=2+2 ,x2=2﹣2 . 【对点练习】(2019•浙江金华)用配方法解方程 x2-6x-8=0 时,配方结果正确的是( ) A. (x-3)2 =17 B. (x-3)2 =14 C. (x-6)2 =44 D. (x-3)2 =1 【答案】A 【解析】配方法解一元二次方程 ∵x2-6x-8=0, ∴x2 -6x+9=8+9, ∴(x-3)2 =17. 【点拨】本题体现直接配方法解一元二次方程。 【对点练习】(2019 年山东省威海市)一元二次方程 3x2=4﹣2x 的解是 . 【答案】x1= ,x2= . 【解析】直接利用公式法解方程得出答案. 3x2=4﹣2x 3x2 +2x﹣4=0, 则 b2 ﹣4ac=4﹣4×3×(﹣4)=52>0, 故 x= , 解得:x1= ,x2= . 【点拨】本题体现求根公式法解一元二次方程。 【例题 2】(2020•菏泽)等腰三角形的一边长是 3,另两边的长是关于 x 的方程 x2 ﹣4x+k=0 的两个根,则 k 的值为( ) A.3 B.4 C.3 或 4 D.7 【答案】C 【分析】当 3为腰长时,将 x=3代入原一元二次方程可求出 k 的值;当 3为底边长时,利用等腰三角形的 性质可得出根的判别式△=0,解之可得出 k 值,利用根与系数的关系可得出两腰之和,将其与 3比较后可 得知该结论符合题意. 【解析】当 3 为腰长时,将 x=3代入 x2﹣4x+k=0,得:32﹣4×3+k=0, 解得:k=3; 当 3 为底边长时,关于 x 的方程 x2 ﹣4x+k=0 有两个相等的实数根, ∴△=(﹣4)2﹣4×1×k=0, 解得:k=4,此时两腰之和为 4,4>3,符合题意. ∴k 的值为 3 或 4. 【对点练习】(2019 内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为 a,b,4,且 a,b是关于 x 的一元二次 方程 x2-12x+m+2=0 的两根,则 m的值是( ) A. 34 B.30 C.30 或 34 D.30 或 36 【答案】A. 【解析】分两种情况讨论: 1 若 4 为等腰三角形底边长,则 a,b 是两腰, ∴方程 x2 -12x+m+2=0 有两个相等实根, ∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0, ∴m=34. 此时方程为 x2 -12x+36=0,解得 x1=x2=6. ∴三边为 6,6,4,满足三边关系,符合题意. 2 若 4 为等腰三角形腰长,则 a,b中有一条边也为 4, ∴方程 x2 -12x+m+2=0 有一根为 4. ∴42-12×4+m+2=0, 解得,m=30. 此时方程为 x2 -12x+32=0,解得 x1=4,x2=8. ∴三边为 4,4,8,不满足三边关系,故舍去. 综上,m 的值为 34. 【例题 3】(2020 贵州黔西南)已知关于 x 的一元二次方程(m-1)x 2 +2x+1=0 有实数根,则 m 的取值范围 是( ) A. m<2 B. m≤2 C. m<2 且 m≠1 D. m≤2 且 m≠1 【答案】D 【解析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0,即可得出关于 m的一元一次不等式组,解之即可得出 m 的取值范围. 解:因为关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 有实数根,所以 b2-4ac=22-4(m-1)×1≥0,解得 m≤2.又 因为(m-1)x2+2x+1=0 是一元二次方程,所以 m-1≠0.综合知,m 的取值范围是 m≤2 且 m≠1,因此本 题选 D. 【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义,根据二次项系数非零及根的判别式△≥0,找出 关于 m 的一元一次不等式组是解题的关键. 【对点练习】(2019湖北咸宁)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根,则实数m的取值范围是( ) A.m<1 B.m≤1 C.m>1 D.m≥1 【答案】 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有实数根, ∴△=(﹣2) 2 ﹣4m≥0, 解得:m≤1. 【例题 4】(2020•衡阳)如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形.为便于管 理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为 600 平方米,则小道的宽为多少米?若设小 道的宽为 x 米,则根据题意,列方程为( ) A.35×20﹣35x﹣20x+2x2 =600 B.35×20﹣35x﹣2×20x=600 C.(35﹣2x)(20﹣x)=600 D.(35﹣x)(20﹣2x)=600 【答案】C 【分析】若设小道的宽为 x米,则阴影部分可合成长为(35﹣2x)米,宽为(20﹣x)米的矩形,利用矩形的面 积公式,即可得出关于 x 的一元二次方程,此题得解. 【解析】依题意,得:(35﹣2x)(20﹣x)=600. 【对点练习】(2019 哈尔滨)某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元,则平均每 次降价的百分率为( ) A.20% B.40% C.18% D.36% 【答案】A. 【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题,按照公式 a(1﹣x)2=b 对照参数位置代入值即可,公式的记忆与运用是本题的解题关键. 设降价的百分率为 x 根据题意可列方程为 25(1﹣x)2 =16 解方程得 , (舍) ∴每次降价得百分率为 20% 【点拨】本题体现直接开方法解一元二次方程。 一、选择题 1.(2020•凉山州)一元二次方程 x2 =2x 的根为( ) A.x=0 B.x=2 C.x=0或 x=2 D.x=0或 x=﹣2 【答案】C 【分析】移项后利用因式分解法求解可得. 【解析】∵x2=2x, ∴x2 ﹣2x=0, 则 x(x﹣2)=0, ∴x=0 或 x﹣2=0, 解得 x1=0,x2=2, 2.(2020•怀化)已知一元二次方程 x2 ﹣kx+4=0 有两个相等的实数根,则 k的值为( ) A.k=4 B.k=﹣4 C.k=±4 D.k=±2 【答案】C 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=0,即可得出关于 k的方程,解之即可得出 k 值. 【解析】∵一元二次方程 x2﹣kx+4=0 有两个相等的实数根, ∴△=(﹣k)2 ﹣4×1×4=0, 解得:k=±4. 3.(2020•黑龙江)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0 有两个实数根 x1,x2,则实数 k的取值 范围是( ) A.k<1/4 B.k≤1/4 C.k>4 D.k≤1/4 且 k≠0 【答案】B 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出关于 k 的一元一次不等式,解之即可得出 k的取 值范围. 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2 ﹣(2k+1)x+k2 +2k=0 有两个实数根 x1,x2, ∴△=[﹣(2k+1)]2 ﹣4×1×(k2 +2k)≥0, 解得:k≤1/4. 4.(2020•泰安)将一元二次方程 x2 ﹣8x﹣5=0 化成(x+a)2 =b(a,b 为常数)的形式,则 a,b 的值分别是 ( ) A.﹣4,21 B.﹣4,11 C.4,21 D.﹣8,69 【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案. 【解析】∵x2 ﹣8x﹣5=0, ∴x2 ﹣8x=5, 则 x2﹣8x+16=5+16,即(x﹣4)2=21, ∴a=﹣4,b=21, 5.(2020•黑龙江)已知 2+ 是关于 x的一元二次方程 x2 ﹣4x+m=0 的一个实数根,则实数 m 的值是( ) A.0 B.1 C.﹣3 D.﹣1 【答案】B 【分析】把 x=2+ 代入方程就得到一个关于 m 的方程,就可以求出 m 的值. 【解析】根据题意,得 (2 +)2﹣4×(2+ )+m=0, 解得 m=1 6.(2020•滨州)对于任意实数 k,关于 x 的方程 x2/2-(k+5)x+k2+2k+25=0 的根的情况为( ) A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判定 【答案】B 【分析】先根据根的判别式求出“△”的值,再根据根的判别式的内容判断即可. 【解析】x2 /2-(k+5)x+k2 +2k+25=0, △=[﹣(k+5)]2﹣4(k2+2k+25)/2=﹣k2+6k﹣25=﹣(k﹣3)2﹣16, 不论 k 为何值,﹣(k﹣3) 2 ≤0, 即△=﹣(k﹣3) 2 ﹣16<0, 所以方程没有实数根. 7. (2019•湖南衡阳)国家实施”精准扶贫“政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区 2016 年底 有贫困人口 9 万人,通过社会各界的努力,2018 年底贫困人口减少至 1 万人.设 2016 年底至 2018 年底该 地区贫困人口的年平均下降率为 x,根据题意列方程得( ) A.9(1﹣2x)=1 B.9(1﹣x)2=1 C.9(1+2x)=1 D.9(1+x)2=1 【答案】B. 【解析】等量关系为:2016 年贫困人口×(1﹣下降率) 2 =2018 年贫困人口,把相关数值代入计算即可. 设这两年全省贫困人口的年平均下降率为 x,根据题意得: 二、填空题 8.(2020•辽阳)若关于 x 的一元二次方程 x2 +2x﹣k=0 无实数根,则 k的取值范围是 . 【答案】k<﹣1 【分析】根据根的判别式即可求出答案. 【解析】由题意可知:△=4+4k<0, ∴k<﹣1 9.(2020•烟台)关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2 +2x﹣1=0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围 是 . 【答案】m>0且 m≠1. 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m﹣1≠0 且△=22﹣4(m﹣1)×(﹣1)>0,然后求出 两个不等式的公共部分即可. 【解析】根据题意得 m﹣1≠0 且△=2 2 ﹣4(m﹣1)×(﹣1)>0, 解得 m>0且 m≠1. 10.(2020•扬州)方程(x+1)2=9 的根是 . 【答案】x1=2,x2=﹣4. 【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方,再进行计算即可. 【解析】(x+1)2 =9, x+1=±3, x1=2,x2=﹣4. 11.(2020•上海)如果关于 x的方程 x2 ﹣4x+m=0 有两个相等的实数根,那么 m的值是 . 【答案】4 【分析】一元二次方程有两个相等的实根,即根的判别式△=b2 ﹣4ac=0,即可求 m值. 【解析】依题意, ∵方程 x2﹣4x+m=0 有两个相等的实数根, ∴△=b2 ﹣4ac=(﹣4) 2 ﹣4m=0,解得 m=4, 12.(2020•天水)一个三角形的两边长分别为 2 和 5,第三边长是方程 x2 ﹣8x+12=0 的根,则该三角形的周 长为 . 【答案】13 【分析】先利用因式分解法解方程 x2 ﹣8x+12=0,然后根据三角形的三边关系得出第三边的长,则该三角 形的周长可求. 【解析】∵x2 ﹣8x+12=0, ∴(x﹣2)(x﹣6)=0, ∴x1=2,x2=6, ∵三角形的两边长分别为 2 和 5,第三边长是方程 x2 ﹣8x+12=0 的根,2+2<5,2+5>6, ∴三角形的第三边长是 6, ∴该三角形的周长为:2+5+6=13. 13.(2019 年江苏省扬州市)一元二次方程 x(x﹣2)=x﹣2 的根是 . 【答案】1或 2. 【解析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. x(x﹣2)=x﹣2, x(x﹣2)﹣(x﹣2)=0, (x﹣2)(x﹣1)=0, x﹣2=0,x﹣1=0, x1=2,x2=1 14.(2019 湖北十堰)对于实数 a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2 ﹣(a﹣b)2 .若(m+2)◎(m﹣3)=24, 则 m= . 【答案】﹣3 或 4 【解析】根据题意得[(m+2)+(m﹣3)] 2 ﹣[(m+2)﹣(m﹣3)] 2 =24, (2m﹣1) 2 ﹣49=0, (2m﹣1+7)(2m﹣1﹣7)=0, 2m﹣1+7=0 或 2m﹣1﹣7=0, 所以 m1=﹣3,m2=4. 15. (2019 吉林长春)一元二次方程 x2-3x+1=0 根的判别式的值为________. 【答案】5. 【解析】∵a=1,b=-3,c=1, ∴△=b2 -4ac=(-3)2 -4×1×1=5 16.(2019 年甘肃省天水市)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元,到 2018 年人均年收入达到 39200 元.则该地区居民年人均收入平均增长率 为 .(用百分数表示) 【答案】40%. 【解析】根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率,本题得以解决. 设该地区居民年人均收入平均增长率为 x, 20000(1+x)2 =39200, 解得,x1=0.4,x2=﹣2.4(舍去), ∴该地区居民年人均收入平均增长率为 40% 17.(2019 年江苏省连云港市)已知关于 x 的一元二次方程 ax2 +2x+2﹣c=0 有两个相等的实数根,则 +c 的 值等于 . 【答案】2 【解析】根据“关于 x的一元二次方程 ax2+2x+2﹣c=0 有两个相等的实数根”,结合根的判别式公式,得到 关于 a 和 c 的等式,整理后即可得到的答案. 根据题意得: △=4﹣4a(2﹣c)=0, 整理得:4ac﹣8a=﹣4, 4a(c﹣2)=﹣4, ∵方程 ax2 +2x+2﹣c=0是一元二次方程, ∴a≠0, 等式两边同时除以 4a 得:c﹣2=﹣ , 则 +c=2 三、解答题 18.(2020•河北)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的 A区就会自动加上 a2 ,同时 B 区就会自动减去 3a, 且均显示化简后的结果.已知 A,B 两区初始显示的分别是 25 和﹣16,如图. 如,第一次按键后,A,B 两区分别显示: (1)从初始状态按 2次后,分别求 A,B 两区显示的结果; (2)从初始状态按 4次后,计算 A,B 两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由. 【答案】见解析。 【分析】(1)根据题意列出代数式即可; (2)根据题意得到 25+4a2+(﹣16﹣12a),根据整式加减的法则计算,然后配方,根据非负数的性质即可得到 结论. 【解析】(1)A 区显示的结果为:25+2a2 ,B区显示的结果为:﹣16﹣6a; (2)这个和不能为负数, 理由:根据题意得,25+4a2+(﹣16﹣12a)=25+4a2﹣16﹣12a=4a2﹣12a+9; ∵(2a﹣3) 2 ≥0, ∴这个和不能为负数. 19.(2020•孝感)已知关于 x的一元二次方程 x2 ﹣(2k+1)x k2 ﹣2=0. (1)求证:无论 k 为何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根 x1,x2满足 x1﹣x2=3,求 k 的值. 【答案】见解析。 【分析】(1)根据根的判别式得出△=[﹣(2k+1)]2 ﹣4×1×( k2 ﹣2)=2(k+1)2 +7>0,据此可得答案; (2)先根据根与系数的关系得出 x1+x2=2k+1,x1x2 k2 ﹣2,由 x1﹣x2=3 知(x1﹣x2) 2 =9,即(x1+x2) 2 ﹣4x1x2 =9,从而列出关于 k 的方程,解之可得答案. 【解析】(1)∵△=[﹣(2k+1)]2﹣4×1×( k2﹣2) =4k2 +4k+1﹣2k2 +8 =2k2+4k+9 =2(k+1)2 +7>0, ∵无论 k 为何实数,2(k+1)2 ≥0, ∴2(k+1)2+7>0, ∴无论 k 为何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2)由根与系数的关系得出 x1+x2=2k+1,x1x2 k2 ﹣2, ∵x1﹣x2=3, ∴(x1﹣x2) 2 =9, ∴(x1+x2) 2 ﹣4x1x2=9, ∴(2k+1)2 ﹣4×( k2 ﹣2)=9, 化简得 k2 +2k=0, 解得 k=0或 k=﹣2. 20.(2020•重庆)为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召,确保粮食安全,优选品种,提高产 量,某农业科技小组对 A,B 两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年 A、B 两个品种各种植了 10 亩.收 获后 A、B 两个品种的售价均为 2.4 元/kg,且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克,A、B 两个品种全 部售出后总收入为 21600 元. (1)求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克? (2)今年,科技小组优化了玉米的种植方法,在保持去年种植面积不变的情况下,预计 A、B 两个品种平均 亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%.由于 B 品种深受市场欢迎,预计每千克售价将在去年的基础 上上涨 a%,而 A 品种的售价保持不变,A、B 两个品种全部售出后总收入将增加 a%.求 a 的值. 【答案】见解析。 【分析】(1)设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克;根据题意列方程组即可得到结论; (2)根据题意列方程即可得到结论. 【解析】(1)设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克; 根据题意得, െ × ǤͶ ݔ ݕ , 解得: , 答:A、B两个品种去年平均亩产量分别是 400 千克和 500 千克; (2)2.4×400×10(1+a%)+2.4(1+a%)×500×10(1+2a%)=21600(1 a%), 解得:a=10, 答:a的值为 10. 21.(2019 北京市)关于 x 的方程 2 2 2 1 0x x m    有实数根,且 m 为正整数,求 m 的值及此时方程的根. 【答案】m=1,此方程的根为 1 2 1x x  【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式 2 4 0b ac  进而求出 m 的范围;结合 m 的值为正整数,求 出 m 的值,进而得到一元二次方程求解即可. ∵关于 x 的方程 2 2 2 1 0x x m    有实数根, ∴    22 4 2 4 1 2 1 4 8 4 8 8 0b ac m m m               ∴ 1m  又∵m为正整数,∴m=1, 此时方程为 2 2 1 0x x   解得根为 1 2 1x x  , ∴m=1,此方程的根为 1 2 1x x  22.(2019•湖南衡阳)关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+k=0 有实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)如果 k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m﹣1)x2 +x+m﹣3=0 与方程 x2 ﹣3x+k=0 有一个相同的 根,求此时 m 的值. 【答案】见解析。 【解析】(1)根据题意得△=(﹣3) 2 ﹣4k≥0, 解得 k≤ ; (2)k 的最大整数为 2, 方程 x2 ﹣3x+k=0 变形为 x2 ﹣3x+2=0,解得 x1=1,x2=2, ∵一元二次方程(m﹣1)x2 +x+m﹣3=0 与方程 x2 ﹣3x+k=0 有一个相同的根, ∴当 x=1时,m﹣1+1+m﹣3=0,解得 m= ; 当 x=2 时,4(m﹣1)+2+m﹣3=0,解得 m=1, 而 m﹣1≠0, ∴m 的值为 . 23. (2019•湖南长沙)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参 与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益 课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次. (1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率; (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次? 【答案】见解析。 【解析】设增长率为 x,根据“第一批公益课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次”可 列方程求解;用 2.42×(1+增长率),计算即可求解. (1)设增长率为 x,根据题意,得 2(1+x)2 =2.42, 解得 x1=﹣2.1(舍去),x2=0.1=10%. 答:增长率为 10%. (2)2.42(1+0.1)=2.662(万人). 答:第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次.
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