初三数学上册基础知识讲解练习 一元二次方程根与系数的关系

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初三数学上册基础知识讲解练习 一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系 【知识点总结】 一、韦达定理 如果 2 0( 0)ax bx c a    的两根是 1x , 2x ,则 12 bxx a   , 12 cxx a .(隐含的条件: 0 )[来源:学科网] 特别地,当一元二次方程的二次项系数为 1 时,设 1x , 2x 是方程 2 0x p x q   的两个根,则 12x x p   , 12x x q. 二、韦达定理的逆定理 以两个数 , 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 2 1212()0xxxxxx . 一般地,如果有两个数 , 满足 , ,那么 , 必定是 的 两个根.[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 三、韦达定理与根的符号关系 在 2 4b a c   ≥ 0 的条件下,我们有如下结论: ⑴当 0c a  时,方程的两根必一正一负.若 0b a ≥ ,则此方程的正根不小于负根的绝对值;若 0b a, 则此方程的正根小于负根的绝对值. ⑵当 0c a  时,方程的两根同正或同负.若 0b a,则此方程的两根均为正根;若 0b a,则此方程 的两根均为负根. 更一般的结论是: 若 1x , 2x 是 2 0(0)axbxca 的两根(其中 12xx ),且 m 为实数,当 0 时,一般地: ① 121()()0xmxmxm , 2xm ② 12()()0xmxm 且 12()()0xmxm 1xm, 2xm ③ 12( )( ) 0x m x m   且 12( ) ( ) 0x m x m    1xm, 2xm 特殊地:当 0m  时,上述就转化为 2 0( 0)ax bx c a    有两异根、两正根、两负根的条件. 其他有用结论: ⑴若有理系数一元二次方程有一根 ab ,则必有一根 ab ( a , b 为有理数). ⑵若 0ac  ,则方程 2 0( 0)ax bx c a    必有实数根. ⑶若 0ac  ,方程 2 0(0)axbxca 不一定有实数根. ⑷若 0abc   ,则 2 0( 0)ax bx c a    必有一根 1x  . ⑸若 0a b c   ,则 2 0( 0)ax bx c a    必有一根 1x  . 四、韦达定理的应用 ⑴已知方程的一个根,求另一个根以及确定方程参数的值; ⑵已知方程,求关于方程的两根的代数式的值; ⑶已知方程的两根,求作方程; ⑷结合根的判别式,讨论根的符号特征; ⑸逆用构造一元二次方程辅助解题:当已知等式具有相同的结构时,就可以把某两个变元看作某个一 元二次方程的两根,以便利用韦达定理; ⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后,一定要验证方程的  .一些考试中,往往利用这一 点设置陷阱. 概念:一元二 次方程根与系数的关系:如果方程 )0(02  acbxax 的 两个实数根是 21 xx , ,那么 a bxx  21 , a cxx 21 。 【例题精讲】 1、若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为﹣1,则另一个根为( ) A.﹣2 B.2 C. 4 D. ﹣3*&出版@网#~] 考点: 根与系数的关系. 分析: 根据一元二次方程根与系数的关系,利用两根和,两根积,即可求出 a 的值和另一根. 解答: 解:设一元二次方程的另一根为 x1, 则根据一元二次方程根与系数的关系, 得﹣1+x1=﹣3, 解得:x1=﹣2. 故选 A. 点评: 本题考查了一元二次方程根与系数的关系,方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣ ,x1•x2= . 2、设 x1,x2 是方程 x2+5x﹣3=0 的两个根,则 x12+x22 的值是( ) A. 19 B. 25 C. 31 D. 30 考点: 根与系数的关系. 分析: 根据一元二次方程的根与系数的关系,即可求得 x1 与 x2 的和与积,所求的代数式可以用两根的和 与积表示出来,即可求解. 解答: 解:∵x1,x2 是方程 x2+5x﹣3=0 的两个根,[来源%:&中*^~教网] ∴x1+x2=﹣5,x1x2=﹣3, ∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=25+6=31. 故选:C. 点评: 此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解 题方法. 3、已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1=﹣2,x2=4,则 m+n 的值是( ) A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. 2 考点: 根与系数的关系.. 分析: 根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,求出即可. 解答: 解:∵关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1=﹣2,x2=4, ∴﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n, 解得:m=﹣2,n=﹣8, ∴m+n=﹣10, 故选 A. 点评: 本题考查了根与系数的关系的应用,能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m,﹣ 2×4=n 是解此题的关键. 4、已知方程 2x2+4x﹣3=0 的两根分别为 x1 和 x2,则 x1+x2 的值等于 . 考点: 根与系数的关系.. 分析: 根据两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数作答即可. 解答: 解:∵方程 2x2+4x﹣3=0 的两根分别为 x1 和 x2, ∴x1+x2=﹣ =﹣2, 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,掌握两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相 反数,两根之积等于常数项除二次项系数是解题的关键. 5、若矩形的长和宽是方程 2x2﹣16x+m=0(0<m≤32)的两根,则矩形的周长为 . 考点: 根与系数的关系;矩形的性质. 分析: 设矩形的长和宽分别为 x、y,由矩形的长和宽是方程 2x2﹣16x+m=0(0<m≤32)的两个根,根据 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系得到 x+y=8;xy=,然后利用矩形的性质易求得到它的 周长. 解答: 解:设矩形的长和宽分别为 x、y, 根据题意得 x+y=8; 所以矩形的周长=2(x+y)=16. 故答案为:16. 点评: 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根分别为 x1,x2,则 x1+x2=﹣ ,x1•x2= .也考查了矩形的性质. 6、一元二次方程 x2﹣5x+c=0 有两个不相等的实数根且两根之积为正数,若 c 是整数,则 c= 4 .(只需 填一个). 考点: 根的判别式;根与系数的关系.. 分析: 根据判别式的意义得到△ =(﹣5)2﹣4c>0,解不等式得 c< ,进一步根据根与系数的关系得到 x1+x2=5,x1x2=c>0,然后在此范围内找出最大整数即可. 解答: 解:∵一元二次方程 x2﹣5x+c=0 有两个不相等的实数根, ∴△=(﹣5)2﹣4c>0,解得 c< , ∵x1+x2=5,x1x2=c>0,c 是整数,[来源:学§科§网 Z§X§X§K] ∴c=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =b2﹣4ac:当△ >0,方程有两个不 相等的实数根;当△ =0,方程有两个相等的实数根;当△ <0,方程没有实数根. 7、关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0 有两个不等实根 x1,x2. (1)求实数 k 的取值范围. (2)若方程两实根 x1,x2 满足|x1|+|x2|=x1•x2,求 k 的值. 考点: 根的判别式;根与系数的关系. 分析: (1)根据方程有两个不相等的实数根可得△ =(2k+1)2﹣4(k2+1)=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3>0, 求出 k 的取值范围; (2)首先判断出两根均小于 0,然后去掉绝对值,进而得到 2k+1=k2+1,结合 k 的取值范围解方程即可. 解答: 解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根, ∴△=(2k+1)2﹣4(k2+1)=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3>0, 解得:k> ; (2)∵k> ,∴x1+x2=﹣(2k+1)<0, 又∵x1•x2=k2+1>0, ∴x1<0,x2<0, ∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣(x1+x2)=2k+1, ∵|x1|+|x2|=x1•x2, ∴2k+1=k2+1, ∴k1=0,k2=2, 又∵k> ,∴k=2. 点评: 本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识,解答本题的关键是利用根的判别式△ =b2﹣4ac >0 求出 k 的取值范围,此题难度不大.c&%*#om] 8、已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m2﹣2m=0 有一个实数根为﹣1,求 m 的值及方程的另一实根. 考点: 一元二次方程的解;根与系数的关系.. 分析: 把 x=﹣1 代入已知方程列出关于 m 的新方程,通过解该方程来求 m 的值;然后结合 根与系数的关系来求方程的另一根. 解答: 解:设方程的另一根为 x2,则 ﹣1+x2=﹣1, 解得 x2=0. 把 x=﹣1 代入 x2+x+m2﹣2m=0,得 (﹣1)2+(﹣1)+m2﹣2m=0,即 m(m﹣2)=0, 解得 m1=0,m2=2. 综上所述,m 的值是 0 或 2,方程的另一实根是 0. 点评: 本题主要考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就 是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成 立. [来源:学§科§网]
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