2021年中考数学压轴题专项训练 三角形 (含解析)

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2021年中考数学压轴题专项训练 三角形 (含解析)

2021 年中考数学压轴题专项训练《三角形》 1.已知,△ABC 是等边三角形,过点 C 作 CD∥AB,且 CD=AB,连接 BD 交 AC 于点 O. (1)如图 1,求证:AC 垂直平分 BD; (2)如图 2,点 M 在 BC 的延长线上,点 N 在线段 CO 上,且 ND=NM,连接 BN.求证:NB =NM. (1)证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°, ∵CD∥AB,且 CD=AB, ∴CD=CA=BC,∠ACD=∠ACB=60°, ∴BO=DO,CO⊥BD, ∴AC 垂直平分 BD; (2)由(1)知 AC 垂直平分 BD, ∴NB=ND, ∵ND=NM, ∴NB=NM. 2.等腰 Rt△ABC,点 D 为斜边 AB 上的中点,点 E 在线段 BD 上,连结 CD,CE,作 AH⊥CE, 垂足为 H,交 CD 于点 G,AH 的延长线交 BC 于点 F. (1)求证:△ADG≌△CDE. (2)若点 H 恰好为 CE 的中点,求证: ∠CGF=∠CFG. 证明:(1)在等腰 Rt△ABC 中, ∵点 D 为斜边 AB 上的中点, ∴CD= AB,CD⊥AB, ∵AD= AB, ∴AD=CD, ∵CD⊥AB, ∴∠ADG=∠CDE=90°, ∵AH⊥CE, ∴∠CGH+∠GCH=90°, ∵∠AGD+∠GAD=90°, 又∵∠AGD=∠CGH, ∴∠GAD=∠GCH, 在△△ADG 和△CDE 中 ∵∠ADG=∠CDE=90°,AD=CD,∠GAD=∠GCH ∴△ADG≌△CDE(ASA), (2)∵AH⊥CE,点 H 为 CE 的中点, ∴AC=AE, ∴∠CAH=∠EAH, ∵∠CAH+∠AFC=90°, ∠EAH+∠AGD=90°, ∴∠AFC=∠AGD, ∵∠AGD=∠CGH, ∴∠AFC=∠CGH, 即∠CGF=∠CFG. 3.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 且 BD=DE,EF 垂直平分 AC,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E. (1)若∠BAE=32°,求∠C 的度数; (2)若 AC=6cm,DC=5cm,求△ABC 的周长. 解:(1)∵AD⊥BC,BD=DE,EF 垂直平分 AC ∴AB=AE=EC ∴∠C=∠CAE, ∵∠BAE=32° ∴∠AED= (180°﹣32°)=74°; ∴∠C= ∠AED=37°; (2)由(1)知:AE=EC=AB, ∵BD=DE, ∴AB+BD=EC+DE=DC, ∴△ABC 的周长=AB+BC+AC, =AB+BD+DC+AC, =2DC+AC=2×5+6=16(cm). 4.如图,在△ABC 中,∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O,过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于 F, 交 AC 于 E,过点 O 作 OD⊥BC 于 D. (1)求证:∠AOB=90°+ ∠C; (2)求证:AE+BF=EF; (3)若 OD=a,CE+CF=2b,请用含 a,b 的代数式表示△CEF 的面积,S△CEF= ab (直 接写出结果). 证明:(1)∵OA,OB 平分∠BAC 和∠ABC, ∴ , , ∴ ∠ AOB = 180 ° ﹣ ∠ OAB ﹣ ∠ OBA = = = = (2)∵EF∥AB, ∴∠OAB=∠AOE,∠ABO=∠BOF 又∠OAB=∠EAO,∠OBA=∠OBF, ∴∠AOE=∠EAO,∠BOF=∠OBF, ∴AE=OE,BF=OF, ∴EF=OE+OF=AE+BF; (3)∵点 O 在∠ACB 的平分线上, ∴点 O 到 AC 的距离等于 OD, ∴S△CEF= (CE+CF)•OD= •2b•a=ab, 故答案为:ab. 5.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 为 BC 边上的中线,DE⊥AB 于点 E. (1)求证:BD•AD=DE•AC. (2)若 AB=13,BC=10,求线段 DE 的长. (3)在(2)的条件下,求 cos∠BDE 的值. 证明:(1)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∠B=∠C, ∵DE⊥AB, ∴∠DEB=∠ADC, ∴△BDE∽△CAD. ∴ , ∴BA•AD=DE•CA; (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC, 在 Rt△ADB 中,AD= = =12, ∵ •AD•BD= •AB•DE, ∴DE= . (3)∵∠ADB=∠AED=90°, ∴∠BDE=∠BAD, ∴cos∠BDE=cos∠BAD= . 6.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径作半圆 O,交 BC 于点 D,交 AC 于点 E. (1)求证:BD=CD. (2)若弧 DE=50°,求∠C 的度数. (3)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,若 BC=8,AF=3BF,求弧 BD 的长. (1)证明:如图,连接 AD. ∵AB 是圆 O 的直径, ∴AD⊥BD. 又∵AB=AC, ∴BD=CD. (2)解:∵弧 DE=50°, ∴∠EOD=50°. ∴∠DAE= ∠DOE=25°. ∵由(1)知,AD⊥BD,则∠ADB=90°, ∴∠ABD=90°﹣25°=65°. ∵AB=AC, ∴∠C=∠ABD=65°. (3)∵BC=8,BD=CD, ∴BD=4. 设半径 OD=x.则 AB=2x. 由 AF=3BF 可得 AF= AB= x,BF= AB= x, ∵AD⊥BD,DF⊥AB, ∴BD2=BF•AB,即 42= x•2x. 解得 x=4. ∴OB=OD=BD=4, ∴△OBD 是等边三角形, ∴∠BOD=60°. ∴弧 BD 的长是: = . 7.阅读下面材料: 数学课上,老师给出了如下问题: 如图,AD 为△ABC 中线,点 E 在 AC 上,BE 交 AD 于点 F,AE=EF.求证:AC=BF. 经过讨论,同学们得到以下两种思路: 思路一如图①,添加辅助线后依据 SAS 可证得△ADC≌△GDB,再利用 AE=EF 可以进一步 证得∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG,从而证明结论. 思路二如图②,添加辅助线后并利用 AE=EF 可证得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE,再依据 AAS 可以进一步证得△ADC≌△GDB,从而证明结论. 完成下面问题: (1)①思路一 的辅助线的作法是: 延长 AD 至点 G,使 DG=AD,连接 BG ; ②思路二的辅助线的作法是: 作 BG=BF 交 AD 的延长线于点 G . (2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求: 只写出辅助线的作法,并 画出相应的图形,不需要写出证明过程). 解:(1)①延长 AD 至点 G,使 DG=AD,连接 BG,如图①,理由如下: ∵AD 为△ABC 中线, ∴BD=CD, 在△ADC 和△GDB 中, , ∴△ADC≌△GDB(SAS), ∴AC=BG, ∵AE=EF, ∴∠CAD=∠EFA, ∵∠BFG=∠G,∠G=∠CAD, ∴∠G=∠BFG, ∴BG=BF, ∴AC=BF. 故答案为:延长 AD 至点 G,使 DG=AD,连接 BG; ②作 BG=BF 交 AD 的延长线于点 G,如图②.理由如下: ∵BG=BF, ∴∠G=∠ BFG, ∵AE=EF, ∴∠EAF=∠EFA, ∵∠EFA=∠BFG, ∴∠G=∠EAF, 在△ADC 和△GDB 中, , ∴△A DC≌△GDB(AAS), ∴AC=BG, ∴AC=BF; 故答案为:作 BG=BF 交 AD 的延长线于点 G; (2)作 BG∥AC 交 AD 的延长线于 G,如图③所示: 则∠G=∠CAD, ∵AD 为△ABC 中线, ∴BD=CD, 在△ADC 和△GDB 中, , ∴△ADC≌△GDB(AAS), ∴AC=BG, ∵AE=EF, ∴∠CAD=∠EFA, ∵∠BFG=∠G,∠G=∠CAD, ∴∠G=∠BFG, ∴BG=BF, ∴AC=BF. 8.如图 1,直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,OC 平分∠AOB 交 AB 于点 C,点 D 为 线段 AB 上一点,过点 D 作 DE∥OC 交 y 轴于点 E,已知 AO=m,BO=n,且 m、n 满足 n2 ﹣8n+16+|n﹣2m|=0. (1)求 A、B 两点的坐标; (2)若点 D 为 AB 中点,求 OE 的长; (3)如图 2,若点 P(x,﹣2x+4)为直线 AB 在 x 轴下方的一点,点 E 是 y 轴的正半轴 上一动点,以 E 为直角顶点作等腰直角△PEF,使点 F 在第一象限,且 F 点的横、纵坐标 始终相等,求点 P 的坐标. 解:(1)∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|=0, ∴(n﹣4)2+|n﹣2m|=0, ∵(n﹣4)2≥0,|n﹣2m|≥0, ∴(n﹣4)2=0,|n﹣2m|=0, ∴m=2,n=4, ∴点 A 为(2,0),点 B 为(0,4); (2)延长 DE 交 x 轴于点 F,延长 FD 到点 G,使得 DG=DF,连接 BG, 设 OE=x, ∵OC 平分∠AOB, ∴∠BOC=∠AOC=45°, ∵DE∥OC, ∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°, ∴OE=OF=x, 在△ADF 和△BDG 中, , ∴△ADF≌△BDG(SAS), ∴BG=AF=2+x,∠G=∠AFE=45°, ∴∠G=∠BEG=45°, ∴BG=BE=4﹣x, ∴4﹣x=2+x,解得:x=1, ∴OE=1; (3)如图 2,分别过点 F、P 作 FM⊥y 轴于点 M,PN⊥y 轴于点 N,设点 E 为(0,m), ∵点 P 的坐标为(x,﹣2x+4), ∴PN=x,EN=m+2x﹣4, ∵∠PEF=90°, ∴∠PEN+∠FEM=90°, ∵FM⊥y 轴, ∴∠MFE+∠FEM=90°, ∴∠PEN=∠MFE, 在△EFM 和△PEN 中, , ∴△EFM≌△PEN(AAS), ∴ME=NP=x,FM=EN=m+2x﹣4, ∴点 F 为(m+2x﹣4,m+x), ∵F 点的横坐标与纵坐标相等, ∴m+2x﹣4=m+x, 解得:x=4, ∴点 P 为(4,﹣4). 9.在等边△ABC 中,线段 AM 为 BC 边上的中线.动点 D 在直线 AM 上时,以 CD 为一边在 CD 的下方作等边△CDE,连结 BE. (1)若点 D 在线段 AM 上时(如图 1),则 AD = BE(填“>”、“<”或“=”),∠CAM = 30 度; (2)设直线 BE 与直线 AM 的交点为 O. ①当动点 D 在线段 AM 的延长线上时(如图 2),试判断 AD 与 BE 的数量关系,并说明理由; ②当动点 D 在直线 AM 上时,试判断∠AOB 是否为定值?若是,请直接写出∠AOB 的度数; 若不是,请说明理由. 解:(1))∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形 ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DC E=60° ∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE ∴∠ACD=∠BCE. 在△ADC 和△BEC 中 , ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE; ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠BAC=60°. ∵线段 AM 为 BC 边上的中线 ∴∠CAM= ∠BAC, ∴∠CAM=30°. 故答案为:=,30; (2)①AD=BE, 理由如下:∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴AB=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°, ∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB, ∴∠ACD=∠BCE, ∴△ACD≌△BCE(SAS) ∴AD=BE. ②∠AOB 是定值,∠AOB=60°, 理由如下: 当点 D 在线段 AM 上时,如图 1,由①知△ACD≌△BCE,则∠CBE=∠CAD=30°, 又∠ABC=60°, ∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°, ∵△ABC 是等边三角形,线段 AM 为 BC 边上的中线 ∴AM 平分∠BAC,即 , ∴∠BOA=90°﹣30°=60°. 当点 D 在线段 AM 的延长线上时,如图 2, ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形 ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACB+∠ DCB=∠DCB+∠DCE ∴∠ACD=∠BCE 在△ACD 和△BCE 中 , ∴△ACD≌△BCE(SAS) ∴∠CBE=∠CAD=30°, 同理可得:∠BAM=30°, ∴∠BOA=90°﹣30°=60°. 10.数学课上,王老师出示了如下框中的题目.小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况•探索结论:在等边三角形 ABC 中,当点 E 为 AB 的中点时,点 D 在 CB 点 延长线上,且 ED=EC;如图 1,确定线段 AE 与 DB 的大小关系.请你直接写出结论 AE =DB ; (2)特例启发,解答题目 王老师给出的题目中,AE 与 DB 的大小关系是: AE=DB .理由如下: 如图 2,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F,(请你完成以下解答过程) (3)拓展结论,设计新题 在△ABC 中,AB=BC=AC=1;点 E 在 AB 的延长线上,AE=2;点 D 在 CB 的延长线上,ED =EC,如图 3,请直接写 CD 的长 1 或 3 . 解:(1)如图 1,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F, ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°,△AEF 为等边三角形, ∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE, ∵ED=EC, ∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC, ∴∠EDB=∠FEC, 在△BDE 和△FEC 中, , ∴△BDE≌△FEC(AAS), ∴BD=EF, ∴AE=BD, 故答案为:=; (2 )解答过程如下:如图 2,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F, ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°,△AEF 为等边三角形, ∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE, ∵ED=EC, ∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC, ∴∠EDB=∠FEC, 在△BDE 和△FEC 中 , ∴△BDE≌△FEC(AAS), ∴BD=EF, ∴AE=BD. 故答案为:AE=DB. (3)解:分为四种情况: 如图 3, ∵AB=AC=1,AE=2, ∴B 是 AE 的中点, ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC=BC=1,△ACE 是直角 三角形(根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半), ∴∠ACE=90°,∠AEC=30°, ∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°,∠DBE=∠ABC=60°, ∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°, 即△DEB 是直角三角形. ∴BD=2BE=2(30°所对的直角边等于斜边的一半), 即 CD=1+2=3. 如图 4, 过 A 作 AN⊥BC 于 N,过 E 作 EM⊥CD 于 M, ∵等边三角形 ABC,EC=ED, ∴BN=CN= BC= ,CM=MD= CD,AN∥EM, ∴△BAN∽△BEM, ∴ , ∵△ABC 边长是 1,AE=2, ∴ , ∴MN=1, ∴CM=MN﹣CN=1﹣ = , ∴CD=2CM=1; 如图 5, ∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°),而∠ECD 不能大于 120°,否则△EDC 不符合三角形内 角和定理, ∴此时不存在 EC=ED; 如图 6, ∵∠EDC<∠ABC,∠ECB>∠ACB, 又∵∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠ECD>∠EDC, 即此时 ED≠EC, ∴此时情况不存在, 答:CD 的长是 3 或 1. 故答案为:1 或 3. 11.定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍,则称这样的三角形为“倍角 三角形”. (1)如图 1,△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,求证:△ABC 是倍角三角形; (2)若△ABC 是倍角三角形,∠A>∠B>∠C,∠B=30°,AC= ,求△ABC 面积; (3)如图 2,△ABC 的外角平分线 AD 与 CB 的延长线相交于点 D,延长 CA 到点 E,使得 AE=AB,若 AB+AC=BD,请你找出图中的倍角三角形,并进行证明. (1)证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=36°, ∴∠B=∠C=72°, ∴∠A=2∠C, 即△ABC 是倍角三角形, (2)解:∵∠A>∠B>∠C,∠B=30°, ①当∠B=2∠C,得∠C=15°, 过 C 作 CH⊥直线 AB,垂足为 H, 可得∠CAH=45°, ∴AH=CH= AC=4. ∴BH= , ∴AB=BH﹣AH= ﹣4, ∴S= . ②当∠A=2∠B 或∠A=2∠C 时,与∠A>∠B>∠C 矛盾,故不存在. 综上所述,△ABC 面积为 . (3)∵AD 平分∠BAE, ∴∠BAD=∠EAD, ∵AB=AE,AD=AD, ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴∠ADE=∠ADB,BD=DE. 又∵AB+AC=BD, ∴AE+AC=BD,即 CE=BD. ∴CE=DE. ∴∠C=∠BDE=2∠ADC. ∴△ADC 是倍角三角形. 12.如图,在平面直角坐标系中,OA=OB,AC=CD,已知两点 A(4,0),C(0,7),点 D 在第一象限内,∠DCA=90°,点 B 在线段 OC 上,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 M, AC 与 BD 交于点 N. (1)点 B 的坐标为: (0,4) ; (2)求点 D 的坐标; (3)求证:CM=CN. 解:(1)∵A(4,0), ∴OA=OB=4, ∴B(0,4), 故答案为:(0,4). (2)∵C(0,7), ∴OC=7, 过点 D 作 DE⊥y 轴,垂足为 E, ∴∠DEC=∠AOC=90°, ∵∠DCA=90°, ∴∠ECD+∠BCA=∠ECD+∠EDC=90° ∴∠BCA=∠EDC, ∴△DEC≌△COA(AAS), ∴DE=OC=7,EC=OA=4, ∴OE=OC+EC=11, ∴D(7,11); (3)证明:∵BE=OE﹣OB=11﹣4=7 ∴BE=DE, ∴△DBE 是等腰直角三角形, ∴∠DBE=45°, ∵OA=OB, ∴∠OBA=45°, ∴∠DBA=90°, ∴∠BAN+∠ANB=90°, ∵∠DCA=90°, ∴∠CDN+∠DNC=90°, ∵∠DNC=∠ANB, ∴∠CDN=∠BAN, ∵∠DCA=90°, ∴∠ACM=∠DCN=90°, ∴△DCN≌△ACM(ASA), ∴CM=CN. 13.如图,在△ABC 中,BD⊥AC,垂足为 C,且∠A<∠C,点 E 是一动点,其在 BC 上移动, 连接 DE,并过点 E 作 EF⊥DE,点 F 在 AB 的延长线上,连接 DF 交 BC 于点 G. (1)请同学们根据以上提示,在上图基础上补全示意图. (2)当△ABD 与△FDE 全等,且 AD=FE,∠A=30°,∠AFD=40°,求∠C 的度数. 解:(1)补全示意图如图所示, (2)∵DE⊥EF,BD⊥AC, ∴∠DEF=∠ADB=90°. ∵△ABD 与△DEF 全等, ∴AB=DF, 又∵AD=FE, ∴∠ABD=∠FDE, ∴BD=DE. 在 Rt△ABD 中,∠ABD=90°﹣∠A=60°. ∴∠FDE=60°. ∵∠ABD=∠BDF+∠AFD, ∵∠AFD=40°, ∴∠BDF=20°. ∴∠BDE=∠BDF+∠FDE=20°+60°=80°. ∵BD=DE, ∴∠DBE=∠BED= (180°﹣∠BDE)=50°. 在 Rt△BDC 中,∠C=90°﹣∠DBE=90°﹣50°=40°. 14.如图.CP 是等边△ABC 的外角∠ACE 的平分线,点 D 在边 BC 上,以 D 为顶点,DA 为一 条边作∠ADF=60°,另一边交射线 CP 于 F. (1)求证.AD=FD; (2)若 AB=2,BD=x,DF=y,求 y 关于 x 的函数解析式; (3)联结 AF,当△ADF 的面积为 时,求 BD 的长. 证明:(1)如图 1,连接 AF, ∵∠ACB=60°, ∴∠ACE=120°, ∵CP 平分∠ACE, ∴∠ACP=∠PCE=60°, ∴∠ADF=∠ACP=60°, ∴A、D、C、F 四点共圆, ∴∠AFD=∠ACB=60°, ∴∠ADF=∠AFD=60°, ∴∠DAF=60°, ∴△ADF 是等边三角形, ∴AD=FD; (2)如图 2,过点 A 作 AH⊥BC, ∵△ABC 是等边三角形,AH⊥BC,AB=2, ∴BH=1,AH= BH= , ∴HD=BD﹣BH=x﹣1, ∵DF= = , ∴y= (3)∵△ADF 是等边三角形,且△ADF 的面积为 , ∴ DF2= , ∴DF2= =x2﹣2x+4 ∴x= ∴BD= 或 15.如图,△ABC 是等边三角形,D 是 BC 边的中点,以 D 为顶点作一个 120°的角,角的两 边分别交直线 AB、直线 AC 于 M、N 两点.以点 D 为中心旋转∠MDN(∠MDN 的度数不变), 当 DM 与 AB 垂直时(如图①所示),易证 BM+CN=BD. (1)如图②,当 DM 与 AB 不垂直,点 M 在边 AB 上,点 N 在边 AC 上时,BM+CN=BD 是否 仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (2)如图③,当 DM 与 AB 不垂直,点 M 在边 AB 上,点 N 在边 AC 的延长线上时,BM+CN =BD 是否仍然成立?若不成立,请写出 BM,CN,BD 之间的数量关系,不用证明. 解:(1)结论 BM+CN=BD 成立,理由如下: 如图②,过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于 E, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∵DE∥AC, ∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°, ∴∠B=∠BED=∠BDE=60°, ∴△BDE 是等边三角形,∠EDC=120°, ∴BD=BE=DE,∠EDN+∠CDN=120°, ∵∠EDM+∠EDN=∠MDN=120°, ∴∠CDN=∠EDM, ∵D 是 BC 边的中点, ∴DE=BD=CD, 在△CDN 和△EDM 中, , ∴△CDN≌△EDM(ASA), ∴CN=EM, ∴BD=BE=BM+EM=BM+CN; (2)上述结论不成立,BM,CN,BD 之间的数量关系为:BM﹣CN=BD;理由如下: 如图③,过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于 E, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠NCD=120°, ∵DE∥AC, ∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°, ∴∠B=∠BED=∠BDE=60°, ∴△BDE 是等边三角形,∠MED=∠EDC=120°, ∴BD=BE=DE,∠NCD=∠MED,∠EDM+∠CDM=120°, ∵∠CDN+∠CDM=∠MDN=120°, ∴∠CDN=∠EDM, ∵D 是 BC 边的中点, ∴DE=BD=CD, 在△CDN 和△EDM 中, , ∴△CDN≌△EDM(ASA), ∴CN=EM, ∴BD=BE=BM﹣EM=BM﹣CN, ∴BM﹣CN=BD.
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