2016年河南省中考数学试卷

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2016年河南省中考数学试卷

‎2016年河南省中考数学试卷 一、选择题下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.‎ ‎1.﹣的相反数是(  )‎ A.﹣ B. C.﹣3 D.3‎ ‎【考点】相反数.‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.‎ ‎【解答】解:﹣的相反数是.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.‎ ‎ ‎ ‎2.某种细胞的直径是0.00000095米,将0.00000095米用科学记数法表示为(  )‎ A.9.5×10﹣7B.9.5×10﹣8C.0.95×10﹣7D.95×10﹣8‎ ‎【考点】科学记数法—表示较小的数.‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎【解答】解:0.00000095=9.5×10﹣7,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎ ‎ ‎3.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的,其中主视图和左视图相同的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单组合体的三视图.‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,从左边看得到的图形是左视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:A、主视图是第一层三个小正方形,第二层中间一个小正方形,左视图是第一层一个小正方形,第二层一个小正方形,故A错误;‎ B、主视图是第一层两个小正方形,第二层中间一个小正方形,第三层中间一个小正方形,左视图是第一层一个小正方形,第二层一个小正方形,第三层一个小正方形,故B错误;‎ C、主视图是第一层两个小正方形,第二层左边一个小正方形,左视图是第一层两个小正方形,第二层左边一个小正方形,故C正确;‎ D、主视图是第一层两个小正方形,第二层右边一个小正方形,左视图是第一层一个小正方形,第二层左边一个小正方形,故D错误;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图,从左边看得到的图形是左视图.‎ ‎ ‎ ‎4.下列计算正确的是(  )‎ A.﹣=B.(﹣3)2=6 C.3a4﹣2a2=a2D.(﹣a3)2=a5‎ ‎【考点】二次根式的加减法;有理数的乘方;合并同类项;幂的乘方与积的乘方.‎ ‎【分析】分别利用有理数的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、二次根式的加减运算法则化简求出答案.‎ ‎【解答】解:A、﹣=2﹣=,故此选项正确;‎ B、(﹣3)2=9,故此选项错误;‎ C、3a4﹣2a2,无法计算,故此选项错误;‎ D、(﹣a3)2=a6,故此选项错误;‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及积的乘方运算、二次根式的加减运算等知识,正确化简各式是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎5.如图,过反比例函数y=(x>0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO,若S△AOB=2,则k的值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义;反比例函数的性质.‎ ‎【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义,即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程,解方程求出k值,再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值.‎ ‎【解答】解:∵点A是反比例函数y=图象上一点,且AB⊥x轴于点B,‎ ‎∴S△AOB=|k|=2,‎ 解得:k=±4.‎ ‎∵反比例函数在第一象限有图象,‎ ‎∴k=4.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义,解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键.‎ ‎ ‎ ‎6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为(  )‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ ‎【考点】三角形中位线定理;线段垂直平分线的性质.‎ ‎【分析】在Rt△ACB中,根据勾股定理求得BC边的长度,然后由三角形中位线定理知DE=BC.‎ ‎【解答】解:∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,‎ ‎∴BC=6.‎ 又∵DE垂直平分AC交AB于点E,‎ ‎∴DE是△ACB的中位线,‎ ‎∴DE=BC=3.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理.三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.‎ ‎ ‎ ‎7.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:‎ 甲 乙 丙 丁 平均数(cm)‎ ‎185‎ ‎180‎ ‎185‎ ‎180‎ 方差 ‎3.6‎ ‎3.6‎ ‎7.4‎ ‎8.1‎ 根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎【考点】方差;算术平均数.‎ ‎【分析】首先比较平均数,平均数相同时选择方差较小的运动员参加.‎ ‎【解答】解:∵ =>=,‎ ‎∴从甲和丙中选择一人参加比赛,‎ ‎∵=<<,‎ ‎∴选择甲参赛,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题考查了平均数和方差,正确理解方差与平均数的意义是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为(  )‎ A.(1,﹣1) B.(﹣1,﹣1) C.(,0) D.(0,﹣)‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转;菱形的性质.‎ ‎【专题】规律型.‎ ‎【分析】根据菱形的性质,可得D点坐标,根据旋转的性质,可得D点的坐标.‎ ‎【解答】解:菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),得 D点坐标为(1,1).‎ 每秒旋转45°,则第60秒时,得 ‎45°×60=2700°,‎ ‎2700°÷360=7.5周,‎ OD旋转了7周半,菱形的对角线交点D的坐标为(﹣1,﹣1),‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质,利用旋转的性质是解题关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎9.计算:(﹣2)0﹣= ﹣1 .‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂.‎ ‎【分析】分别进行零指数幂、开立方的运算,然后合并.‎ ‎【解答】解:原式=1﹣2‎ ‎=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了实数的运算,涉及了零指数幂、开立方等知识,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,在▱ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E,若∠1=20°,则∠2的度数为 110° .‎ ‎【考点】平行四边形的性质.‎ ‎【分析】首先由在▱ABCD中,∠1=20°,求得∠BAE的度数,然后由BE⊥AB,利用三角形外角的性质,求得∠2的度数.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴∠BAE=∠1=20°,‎ ‎∵BE⊥AB,‎ ‎∴∠ABE=90°,‎ ‎∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°.‎ 故答案为:110°.‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质.注意平行四边形的对边互相平行.‎ ‎ ‎ ‎11.若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k>﹣ .‎ ‎【考点】根的判别式;解一元一次不等式.‎ ‎【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△>0,代入数据即可得出关于k的一元一次不等式,解不等式即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴△=32﹣4×1×(﹣k)=9+4k>0,‎ 解得:k>﹣.‎ 故答案为:k>﹣.‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式,解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的个数结合根的判别式得出方程(不等式或不等式组)是关键.‎ ‎ ‎ ‎12.在“阳光体育”活动期间,班主任将全班同学随机分成了4组进行活动,该班小明和小亮同学被分在一组的概率是  .‎ ‎【考点】列表法与树状图法.‎ ‎【分析】利用画树状图法列出所有等可能结果,然后根据概率公式进行计算即可求解.‎ ‎【解答】解:设四个小组分别记作A、B、C、D,‎ 画树状图如图:‎ 由树状图可知,共有16种等可能结果,其中小明、小亮被分到同一个小组的结果由4种,‎ ‎∴小明和小亮同学被分在一组的概率是=,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图,解题的关键在于用列表法或画树状图法列出所有等可能结果,根据:概率=所求情况数与总情况数之比计算是基础.‎ ‎ ‎ ‎13.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 (1,4) .‎ ‎【考点】二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】把A、B的坐标代入函数解析式,即可得出方程组,求出方程组的解,即可得出解析式,化成顶点式即可.‎ ‎【解答】解:∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,‎ ‎∴代入得:,‎ 解得:b=2,c=3,‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3‎ ‎=﹣(x﹣1)2+4,‎ 顶点坐标为(1,4),‎ 故答案为:(1,4).‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征的应用,能求出函数的解析式是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,以点A为圆心,OA的长为半径作交于点C,若OA=2,则阴影部分的面积为 ﹣ .‎ ‎【考点】扇形面积的计算.‎ ‎【分析】连接OC、AC,根据题意得到△AOC为等边三角形,∠BOC=30°,分别求出扇形△COB的面积、△AOC的面积、扇形AOC的面积,计算即可.‎ ‎【解答】解:连接OC、AC,‎ 由题意得,OA=OC=AC=2,‎ ‎∴△AOC为等边三角形,∠BOC=30°,‎ ‎∴扇形△COB的面积为: =,‎ ‎△AOC的面积为:×2×=,‎ 扇形AOC的面积为: =,‎ 则阴影部分的面积为: +﹣=﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎【点评】本题考查的是扇形面积计算,掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式S=是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为 或 .‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题).‎ ‎【分析】根据勾股定理,可得EB′,根据相似三角形的性质,可得EN的长,根据勾股定理,可得答案.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 由翻折的性质,得 AB=AB′,BE=B′E.‎ ‎①当MB′=2,B′N=1时,设EN=x,得 B′E=.‎ ‎△B′EN∽△AB′M,‎ ‎=,即=,‎ x2=,‎ BE=B′E==.‎ ‎②当MB′=1,B′N=2时,设EN=x,得 B′E=,‎ ‎△B′EN∽△AB′M,‎ ‎=,即=,‎ 解得x2=,BE=B′E==,‎ 故答案为:或.‎ ‎【点评】本题考查了翻折的性质,利用翻折的性质得出AB=AB′,BE=B′E是解题关键,又利用了相似三角形的性质,要分类讨论,以防遗漏.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共8小题,满分75分)‎ ‎16.先化简,再求值:‎ ‎(﹣1)÷,其中x的值从不等式组的整数解中选取.‎ ‎【考点】分式的化简求值;一元一次不等式组的整数解.‎ ‎【分析】先算括号里面的,再算除法,求出x的取值范围,选出合适的x的值代入求值即可.‎ ‎【解答】解:原式=•‎ ‎=﹣•‎ ‎=,‎ 解不等式组得,﹣1≤x<,‎ 当x=2时,原式==﹣2.‎ ‎【点评】本题考查的是分式的化简求值,分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简,代入,求值.许多问题还需运用到常见的数学思想,如化归思想(即转化)、整体思想等,了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助.‎ ‎ ‎ ‎17.在一次社会调查活动中,小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数,记录如下:‎ ‎5640 6430 6520 6798 7325‎ ‎8430 8215 7453 7446 6754‎ ‎7638 6834 7326 6830 8648‎ ‎8753 9450 9865 7290 7850‎ 对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:‎ 步数分组统计表 组别 步数分组 频数 A ‎5500≤x<6500‎ ‎2‎ B ‎6500≤x<7500‎ ‎10‎ C ‎7500≤x<8500‎ m D ‎8500≤x<9500‎ ‎3‎ E ‎9500≤x<10500‎ n 请根据以上信息解答下列问题:‎ ‎(1)填空:m= 4 ,n= 1 ;‎ ‎(2)补全频数发布直方图;‎ ‎(3)这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在 B 组;‎ ‎(4)若该团队共有120人,请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数.‎ ‎【考点】频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表;中位数.‎ ‎【分析】(1)根据题目中的数据即可直接确定m和n的值;‎ ‎(2)根据(1)的结果即可直接补全直方图;‎ ‎(3)根据中位数的定义直接求解;‎ ‎(4)利用总人数乘以对应的比例即可求解.‎ ‎【解答】解:(1)m=4,n=1.‎ 故答案是:4,4;‎ ‎(2)‎ ‎;‎ ‎(3)行走步数的中位数落在B组,‎ 故答案是:B;‎ ‎(4)一天行走步数不少于7500步的人数是:120×=48(人).‎ 答:估计一天行走步数不少于7500步的人数是48人.‎ ‎【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作⊙O分别交AC,BM于点D,E.‎ ‎(1)求证:MD=ME;‎ ‎(2)填空:‎ ‎①若AB=6,当AD=2DM时,DE= 2 ;‎ ‎②连接OD,OE,当∠A的度数为 60° 时,四边形ODME是菱形.‎ ‎【考点】菱形的判定.‎ ‎【分析】(1)先证明∠A=∠ABM,再证明∠MDE=∠MBA,∠MED=∠A即可解决问题.‎ ‎(2)①由DE∥AB,得=即可解决问题.‎ ‎②当∠A=60°时,四边形ODME是菱形,只要证明△ODE,△DEM都是等边三角形即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵∠ABC=90°,AM=MC,‎ ‎∴BM=AM=MC,‎ ‎∴∠A=∠ABM,‎ ‎∵四边形ABED是圆内接四边形,‎ ‎∴∠ADE+∠ABE=180°,‎ 又∠ADE+∠MDE=180°,‎ ‎∴∠MDE=∠MBA,‎ 同理证明:∠MED=∠A,‎ ‎∴∠MDE=∠MED,‎ ‎∴MD=ME.‎ ‎(2)①由(1)可知,∠A=∠MDE,‎ ‎∴DE∥AB,‎ ‎∴=,‎ ‎∵AD=2DM,‎ ‎∴DM:MA=1:3,‎ ‎∴DE=AB=×6=2.‎ 故答案为2.‎ ‎②当∠A=60°时,四边形ODME是菱形.‎ 理由:连接OD、OE,‎ ‎∵OA=OD,∠A=60°,‎ ‎∴△AOD是等边三角形,‎ ‎∴∠AOD=60°,‎ ‎∵DE∥AB,‎ ‎∴∠ODE=∠AOD=60°,∠MDE=∠MED=∠A=60°,‎ ‎∴△ODE,△DEM都是等边三角形,‎ ‎∴OD=OE=EM=DM,‎ ‎∴四边形OEMD是菱形.‎ 故答案为60°.‎ ‎【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,记住菱形的三种判定方法,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎19.如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°,升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ ‎【分析】通过解直角△BCD和直角△ACD分别求得BD、CD以及AD的长度,则易得AB的长度,则根据题意得到整个过程中旗子上升高度,由“速度=”进行解答即可.‎ ‎【解答】解:在Rt△BCD中,BD=9米,∠BCD=45°,则BD=CD=9米.‎ 在Rt△ACD中,CD=9米,∠ACD=37°,则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75(米).‎ 所以,AB=AD+BD=15.75米,‎ 整个过程中旗子上升高度是:15.75﹣2.25=13.5(米),‎ 因为耗时45s,‎ 所以上升速度v==0.3(米/秒).‎ 答:国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.‎ ‎ ‎ ‎20.学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元;3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.‎ ‎(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元;‎ ‎(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.‎ ‎【考点】二元一次方程组的应用.‎ ‎【分析】(1)设一只A型节能灯的售价是x元,一只B型节能灯的售价是y元,根据:“1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元;3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元”列方程组求解即可;‎ ‎(2)首先根据“A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍”确定自变量的取值范围,然后得到有关总费用和A型灯的只数之间的关系得到函数解析式,确定函数的最值即可.‎ ‎【解答】解:(1)设一只A型节能灯的售价是x元,一只B型节能灯的售价是y元,‎ 根据题意,得:,‎ 解得:,‎ 答:一只A型节能灯的售价是5元,一只B型节能灯的售价是7元;‎ ‎(2)设购进A型节能灯m只,总费用为W元,‎ 根据题意,得:W=5m+7(50﹣m)=﹣2m+350,‎ ‎∵﹣2<0,‎ ‎∴W随x的增大而减小,‎ 又∵m≤3(50﹣m),解得:m≤37.5,‎ 而m为正整数,‎ ‎∴当m=37时,W最小=﹣2×37+350=276,‎ 此时50﹣37=13,‎ 答:当购买A型灯37只,B型灯13只时,最省钱.‎ ‎【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识,根据题意得出正确的等量关系是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎21.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.‎ ‎(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:‎ x ‎…‎ ‎﹣3‎ ‎﹣‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ m ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎…‎ 其中,m= 0 .‎ ‎(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.‎ ‎(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.‎ ‎(4)进一步探究函数图象发现:‎ ‎①函数图象与x轴有 3 个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有 3 个实数根;‎ ‎②方程x2﹣2|x|=2有 2 个实数根;‎ ‎③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是 ﹣1<a<0 .‎ ‎【考点】二次函数的图象;根的判别式.‎ ‎【分析】(1)根据函数的对称性即可得到结论;‎ ‎(2)描点、连线即可得到函数的图象;‎ ‎(3)根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称;当x>1时,y随x的增大而增大;‎ ‎(4)①根据函数图象与x轴的交点个数,即可得到结论;②如图,根据y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2的交点个数,即可得到结论;③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1<a<0.‎ ‎【解答】解:(1)根据函数的对称性可得m=0,‎ 故答案为:0;‎ ‎(2)如图所示;‎ ‎(3)由函数图象知:①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称;②当x>1时,y随x的增大而增大;‎ ‎(4)①由函数图象知:函数图象与x轴有3个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根;‎ ‎②如图,∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点,‎ ‎∴x2﹣2|x|=2有2个实数根;‎ ‎③由函数图象知:∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根,‎ ‎∴a的取值范围是﹣1<a<0,‎ 故答案为:3,3,2,﹣1<a<0.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象和性质,正确的识别图象是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.‎ 填空:当点A位于 CB的延长线上 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 a+b (用含a,b的式子表示)‎ ‎(2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.‎ ‎①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;‎ ‎②直接写出线段BE长的最大值.‎ ‎(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎【考点】三角形综合题.‎ ‎【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;‎ ‎(2)①根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;‎ ‎(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+3;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,‎ ‎∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b,‎ 故答案为:CB的延长线上,a+b;‎ ‎(2)①CD=BE,‎ 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形,‎ ‎∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,‎ ‎∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,‎ 即∠CAD=∠EAB,‎ 在△CAD与△EAB中,,‎ ‎∴△CAD≌△EAB,‎ ‎∴CD=BE;‎ ‎②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,‎ 由(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,‎ ‎∴最大值为BD+BC=AB+BC=4;‎ ‎(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,‎ 则△APN是等腰直角三角形,‎ ‎∴PN=PA=2,BN=AM,‎ ‎∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),‎ ‎∴OA=2,OB=5,‎ ‎∴AB=3,‎ ‎∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,‎ ‎∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,‎ 最大值=AB+AN,‎ ‎∵AN=AP=2,‎ ‎∴最大值为2+3;‎ 如图2,过P作PE⊥x轴于E,‎ ‎∵△APN是等腰直角三角形,‎ ‎∴PE=AE=,‎ ‎∴OE=BO﹣﹣3=2﹣,‎ ‎∴P(2﹣,).‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.如图1,直线y=﹣x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,﹣2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;‎ ‎(3)如图2,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD′P′,且旋转角∠PBP′=∠OAC,当点P的对应点P′落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)先确定出点A的坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式;‎ ‎(2)由△BDP为等腰直角三角形,判断出BD=PD,建立m的方程计算出m,从而求出PD;‎ ‎(3)分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵点C(0,4)在直线y=﹣x+n上,‎ ‎∴n=4,‎ ‎∴y=﹣x+4,‎ 令y=0,‎ ‎∴x=3,‎ ‎∴A(3,0),‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,﹣2).‎ ‎∴c=﹣2,6+3b﹣2=0,‎ ‎∴b=﹣,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2,‎ ‎(2)点P为抛物线上一个动点,设点P的横坐标为m.‎ ‎∴P(m, m2﹣m﹣2),‎ ‎∴BD=|m|,PD=|m2﹣m﹣2+2|=|m2﹣m|,‎ ‎∵△BDP为等腰直角三角形,且PD⊥BD,‎ ‎∴BD=PD,‎ ‎∴|m|=|m2﹣m|,‎ ‎∴m=0(舍),m=,m=,‎ ‎∴PD=或PD=;‎ ‎(3)∵∠PBP'=∠OAC,OA=3,OC=4,‎ ‎∴AC=5,‎ ‎∴sin∠PBP'=,cos∠PBP'=,‎ ‎①当点P'落在x轴上时,过点D'作D'N⊥x轴,垂足为N,交BD于点M,‎ ‎∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP',‎ 如图1,‎ ND'﹣MD'=2,‎ ‎∴(m2﹣m)﹣(﹣m)=2,‎ ‎∴m=(舍),或m=﹣,‎ 如图2,‎ ND'+MD'=2,‎ ‎∴(m2﹣m)+m=2,‎ ‎∴m=,或m=﹣(舍),‎ ‎∴P(﹣,)或P(,),‎ ‎②当点P'落在y轴上时,如图3,‎ 过点D′作D′M⊥x轴,交BD于M,过P′作P′N⊥y轴,‎ ‎∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′,‎ ‎∵P′N=BM,‎ ‎∴(m2﹣m)=m,‎ ‎∴m=,‎ ‎∴P(,).‎ ‎∴P(﹣,)或P(,)或P(,).‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,锐角三角函数,等腰直角三角形的性质,解本题的关键是构造直角三角形.‎ ‎ ‎
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