2013年湖南湘潭中考数学试卷及答案(解析版)

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2013年湖南湘潭中考数学试卷及答案(解析版)

‎2013年湘潭市初中毕业学业考试 数 学 试 题 卷 考试时量:120分钟满分:120分 考生注意:本试卷分试题卷和答题卡两部分,全卷共三道大题,26道小题.请考生将解答过程全部填(涂)写在答题卡上,写在试题卷上无效,考试结束后,将试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题(本大题共8个小题,每小题有且只有一个正确答案,请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上,每小题3分,满分24分)‎ ‎1.-5的相反数是 A.5 B. C. -5 D.-‎ ‎【答案】A ‎2.一组数据1,2,2,3.下列说法正确的是 A.众数是3 B.中位数是‎2 C.极差是3 D.平均数是3‎ ‎【答案】B ‎3.右图是由三个小正方体叠成的一个立体图形,那么它的俯视图是 ‎ ‎ ‎ A B C D (第3题图)‎ ‎【答案】B ‎4.下列图形中,是中心对称图形的是 A.平行四边形 B.正五边形 C.等腰梯形 D.直角三角形 ‎【答案】A ‎5.一元二次方程护x2+x-2=0的解为x1,x2,则x1·x2=‎ A.1 B.一‎1 C.2 D.-2 ‎ ‎【答案】D ‎6.下列命题正确的是 A.三角形的中位线平行且等于第三边 B.对角线相等的四边形是等腰梯形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.相等的角是对顶角 ‎【答案】C ‎7.如图,点P(-3,2)是反比例函数()的图象上一点,则反比例函数的解析式为 A. B. C. D.‎ y O x ‎2‎ P ‎(第7题图)‎ ‎-3‎ ‎【答案】D ‎8.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,连结AD、 AE.如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC,则添加的条件为 A.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CD B D E C A ‎(第8题图)‎ ‎【答案】C 二、填空题(本大题共8个小题,请将答案写在答题卡的相应位置上,每小题3分,满分24分)‎ ‎9.= .‎ ‎【答案】3‎ ‎10.如图,已知:AB//CD, ∠C=25°, ∠E=30°,则∠A= .‎ A B D E B ‎(第10题图)‎ ‎【答案】55°‎ ‎11.到2012年底,湘潭地区总人口约为3 020‎ ‎ 000人,用科学记数法表示这一数为 .‎ ‎【答案】3.02×106‎ ‎12.湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中,购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶,那么剩下16盒;如果送给每位老人3盒牛奶,则正好送完.设敬老院有x位老人,依题意可列方程为 .‎ ‎【答案】2x+16=3x ‎13.“五一”假期,科科随父母在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片(除图案外,形状、大小、质地等都相同),其中4张印有主席故居图案,3张印有主席铜像图案,3张印有滴水洞风景图案.他从中任意抽取1张寄给外地工作的姑姑,则恰好抽中印有主席故居图案的明信片的概率是 .‎ ‎【答案】‎ ‎14.函数中,自变量x的取值范围为 .‎ ‎【答案】x≠-1‎ ‎15.计算:sin45°+= .‎ ‎【答案】2‎ ‎16.如下图,根据所示程序计算,若输入x=,则输出结果为 .‎ 开始 输入x x≥1‎ y=x2-1‎ y=x+1‎ 输出结果 是 否 ‎【答案】2‎ 三、解答题(本大题共10个小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请将解答过程写在答题卡相应的位置上,满分72分)‎ ‎17.(本题满分6分)‎ 解不等式组 ‎【答案】解:,由①,得x≥2,由②,得,,∴不等式组的解集为.‎ ‎18.(本题满分6分)‎ 先化简,再求值:,其中x=-2.‎ ‎【答案】解:原式=[+]·=·==-1‎ ‎19.(本题满分6分)‎ 如图,C岛位于我南海A港口北偏东60°方向,距A港口海里处.我海监船从A港口出发,自西向东航行至B处时,接上级命令赶赴C岛执行任务,此时C岛在B处北偏西45°的方向上,海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进,则从B处到达C岛需要多少小时?‎ A 北 东 C D B ‎(第19题图)‎ ‎60°‎ ‎45°‎ ‎【答案】解:过点C作CD⊥AB于点D,由题意,得∠CAD=30°,∠CDB= 45°,∴CD=AC·sin∠CAD=×=,∴BC==60,∴t=60÷60=1(h)‎ 答:从B处到达C岛需要1小时.‎ ‎20.(本题满分6分)‎ ‎2013年4月20日‎8时,四川省芦山县发生7.0级地震. 某市派出抢险救灾工程队赶赴芦山支援.工程队承担了‎2400米道路抢修任务,为了让救灾人员和物资尽快运抵灾区,实际施工速度比原计划每小时多修‎40米,结果提前2小时完成,求原计划每小时抢修道路多少米?‎ ‎【答案】解:设原计划每小时抢修道路x米,则实际每小时修(x+40)米,‎ ‎,去分母,得,解之得x1=200,x2=-240,‎ 经检验,x1=200,x2=-240都是原方程的根,∵x2=-240<0,∴x2=-240舍去.‎ 答:原计划每小时抢修道路‎200米.‎ ‎21.(本题满分6分)‎ ‎6月5日是世界环境日.今年“世界环境日”中国的主题为“同呼吸,共奋斗”,旨在释放和传递:建设美丽中国,人人共享、人人有责的信息. 小文积极学习与宣传,并从四个方面A:空气污染,B:淡水资源危机,C:土地荒漠化,D:全球变暖,对全校同学进行了随机抽样调查,了解他们在这四个方面中最关注的问题(每人限选一项). 图1和图2是他收集数据后,绘制的不完整的统计图表,请你根据图表中提供的信息解答以下问题:‎ 图1‎ 关注问题 频数 频率 A ‎24‎ ‎0.4‎ B ‎12‎ ‎0.2‎ C n ‎0.1‎ D ‎18‎ m 合计 a ‎1‎ 关注问题 人数 ‎24‎ ‎12‎ A B C D 图2‎ ‎(1)根据图表信息,可得a= .‎ ‎(2)请你将图2补充完整;‎ ‎(3)如果小文所在的学校有1200名学生,那么请你根据小文提供的信息估计该校关注“全球变暖”的学生大约有多少人?‎ ‎【答案】解:(1)a=60,‎ ‎(2)‎关注问题 人数 ‎24‎ ‎12‎ A B C D 图2‎ ‎(3)1200×=360人 答:估计该校关注“全球变暖”的学生大约有360人.‎ ‎22.(本题满分6分)‎ 莲城超市以10元/件的价格调进一批商品.根据前期销售情况,每天销售量y(件)与该商品定价x(元)是一次函数关系,如图所示.‎ ‎(1)求销售量y与定价x之间的函数关系式;‎ ‎(2)如果超市将该商品的销售价定为13元/件,不考虑其它因素,求超市每天销售这种商品所能获得的利润.‎ ‎(元)‎ y(元)‎ ‎10‎ ‎2‎ O ‎11‎ ‎15‎ x 第22题图 ‎【答案】解:(1)设y与x的函数关系式为,则,解之,得,∴,‎ ‎(2)当x=13时,(13-10)y=(13-10)×=18元 ‎∴超市每天销售这种商品所能获得的利润为18元.‎ ‎23.(本题满分8分)‎ ‎5月12日是母亲节,小明去花店买花送给母亲,挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花.已知康乃馨每支5元,兰花每支3元,小明只有30元,希望购买花的支数不少于7支,其中至少有一支是康乃馨.‎ ‎(1)小明一共有多少种可能的购买方案?列出所有方案;‎ ‎(2)如果小明先购买一张2元的祝福卡,再从(1)中任选一种方案购花,求他能实现购买愿望的概率 ‎【答案】解:(1)设小明购买x支康乃馨,y支兰花,则 ‎,①+②×3,得,∴,所以,当x=1时,5×1+3y≤30,∴,∴y=8,7,6,所以购买1支康乃馨,8支兰花;1支康乃馨,7支兰花;1支康乃馨,6支兰花;2支康乃馨,8支兰花;1支康乃馨,7支兰花;1支康乃馨,6支兰花;‎ 当x=2时,5×2+3y≤30,∴,∴y=6,5,所以购买2支康乃馨,6支兰花;2支康乃馨,5支兰花;‎ 当x=3时,5×3+3y≤30,∴,∴y=5,4,所以购买3支康乃馨,5支兰花;3支康乃馨,4支兰花;‎ 当x=4时,5×4+3y≤30,∴,∴y=3,所以购买4支康乃馨,3支兰花; ‎ 综上所述,共有8种购买方案,方案如下表 方案序号 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥‎ ‎⑦‎ ‎⑧‎ 康乃馨支数(支)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 兰花支数(支)‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ 购买所需钱数(元)‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎23‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎(2)如果小明先购买一张2元的祝福卡,则,所以从(1)中任选一种方案购花,他能实现购买愿望的概率为.‎ ‎24.(本题满分8分)‎ 在数学活动课中,小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上,如图1,他连结AD、CF,经测量发现AD=CF.‎ ‎(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图2,试判断AD与CF还相等吗?说明你的理由;‎ ‎(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图3,请你求出CF的长.‎ C A l O B D E F 图1‎ B A l C O D F E 图2‎ A B C O D E F 图3‎ B A l C D E F O 图4‎ G ‎【答案】解:(1)AD与CF还相等,‎ 理由:∵四边形ODEF、四边形ABCO为正方形,∴∠DOF =∠COA = 90°,DO=OF,CO=OA,∴∠COF =∠AOD,∴△COF ≌△AOD(SAS),∴AD=CF.‎ ‎(2)如图4,连接DF,交EO于G,则DF⊥EO,DG=OG=EO=1,∴GA=4,∴AD===;‎ ‎25.(本题满分10分)‎ 如图,在坐标系xoy中,已知D(-5,4),B(-3,0),过D点分别作DA、DC垂直于x轴、y轴,垂足分别为A、C两点.动点P从O点出发,沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动,运动时间为t秒.‎ ‎(1)当t为何值时,PC//DB;‎ ‎(2)当t为何值时,PC⊥BC;‎ ‎(3)以点P为圆心,PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与△BCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.‎ O P ‎ A B C D y x B A O P C D y x E 图1‎ y O A B P x F C D 图2‎ y O P G x B A C D 图3‎ ‎【答案】解:(1)假设PC//DB,则∠CPO =∠DBA,∵DA⊥x轴,DC⊥y轴,∴∠COP=∠DAB=∠COA=∠DCO = 90°,∴四边形ADCO为矩形,∴DA=CO,AO=DC=5,∴△COP≌△DAB(AAS),∴OP=AB=5-3=2,∴当t=2时,PC//DB;‎ ‎(2)假设PC⊥BC,则∠BCP=∠BOC=90°,∵∠CBP=∠OBC,∴△CBP∽△OBC,∴,∵BC=,∴,∴,∴‎ ‎(3)①当⊙P与直线CD相切时,过点P作PE⊥直线CD于点E,则PE=OC=4,∴OP=OC=4,∴t=4;②当⊙P与直线BC相切时,过点P作PF⊥BC于点F,则PF=PO=t,同①,得,∴,∴t=12;‎ ‎③当⊙P与直线BD相切时,过点P作PG⊥直线BD于点G,则PG=PO=t,同①,得,∴,∴t=12+;‎ 综上所述,t=4,t=12或t=12+.‎ ‎26.(本题满分10分)‎ 如图,在坐标系xoy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC = 90°,A(1,0),B(0,2).抛物线的图象过C点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l,当l移动到何处时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?‎ ‎(3)点P是抛物线上一动点,是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形?若存在,求出P点坐标,若不存在,说明理由.‎ yx x A C B O l ‎ ‎yx x A C B O l ‎(备用图)‎ ‎ ‎ ‎【答案】解:(1)如图1,过点C作CD⊥x轴于点D,则∠BOA = ∠ADC = 90°,∵∠BAC = 90°,∴∠CAD+∠BAO = 90°,∠CAD+∠ACD= 90°,∴∠BAO =∠ACD,∵AB=AC,∴△BAO ≌△ACD ‎(AAS),∴CD=AO=1,AD=BO=2,∴C(3,1),∴,∴,∴‎ 图1‎ yx x A C B O l D ‎ ‎E yx x A C B O l FD 图2‎ ‎(2)当直线l在点A左侧时,△ABC在直线l左侧的面积显然小于直线l右侧的面积,∴直线l应在点A右侧,如图2,设直线l交BC于点E,交AC于点F,设直线AC的解析式为,则,解之,得,∴,同理:直线BC的解析式为,设直线l的解析式为x=m,则点E的坐标为(m,),点F的坐标为(m,),∴EF=()-()=,假设直线l恰好将△ABC的面积分为相等的两部分,则=,∴×()×(3-m)=,∴(舍去),,∴直线l的解析式为 ‎(3)如图3,过点C作CK⊥y轴于点K,过点P作PH⊥x轴于点H,则∠PHA = ∠BKC = 90°,PH∥BO,∵四边形PACB为平行四边形,∴PA =BC,PA∥BC,∴∠AMO =∠CBK,∵PH∥BO,∴∠AMO =∠PHO,∴∠PHO=∠CBK,∴△PAH≌△BCK(AAS),∴AH=CK=3,PH=BK=1,∵A(1,0),∴P(-2,1),当x=-2时,,∴抛物线存在点P,使四边形PACB为平行四边形,此时P(-2,1).‎ K yx x A C O l H B P 图3‎ M
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