中考数学专题复习练习：等式的性质

中考数学专题复习练习：等式的性质

从等式到方程 一、等式的基本性质 ‎1、等式的两边同加（或同减）同一个数，结果仍然相等；‎ 即：若 ‎2、等式的两边同乘同一个数，结果仍然相等；‎ 即：若 ‎3、等式的两边同除以一个数（不为零），结果仍然相等。‎ 即：若 ‎4、等式的对称性：‎ 即：若 ‎ ‎5、等式的传递性：（等量代换）‎ 即：若 典型例题1、（考查等式的性质及其变形）判断下列说法，并说明理由。‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2）若，则；‎ ‎（3）若，则；‎ ‎（4）若，则；‎ ‎（5）若，则；‎ ‎（6）若，则。‎ ‎（7）若，则。‎ ‎（8）若，则。‎ 说明：①在使用等式的性质3时，一定要注意除数不为0的条件，②还要注意题目中的隐含条件，比如隐含着；而中则没有。‎ 例2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：‎ ‎（1）如果，那么 ；‎ ‎（2）如果，那么 ；‎ ‎（3）如果，那么 ；‎ ‎（4）如果，那么 ；‎ ‎（5）如果，那么 ；‎ ‎（6）如果，那么 ；‎ ‎（7）如果，那么 ；‎ ‎（8）如果，那么 ．‎ 说明：本题是等式性质的应用，可以结合小学加减乘除的逆运算来加深理解。‎ 二、方程：含有未知数的等式叫方程。‎ ‎1、一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的指数是一次的整式方程。‎ ‎①只有一个未知数；②未知数的指数是一次；③未知数不在分母中（整式）‎ ‎2、二元一次方程：含有两个未知数，且两个未知数的指数都是一次的整式方程。‎ ‎①有两个未知数；②未知数的指数都是一次；③未知数都不在分母中（整式）‎ ‎3、二元一次方程组 ‎4、一元二次方程：‎ ‎5、分式方程：‎ 例 观察下列各式，哪几个是等式？哪几个是方程？哪几个是一元一次方程？‎ ‎① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ‎ ‎⑦ ⑧‎ 例 判断下列各式哪些是一元一次方程．‎ ‎（1）； （2）； （3）；‎ ‎（4）； （5）； （6）‎ 三、方程的解：使方程中等式两边相等的未知数的值，‎ 例 学校每年都要组织部分学生到游乐园游玩，并有一名带队老师．游乐园的门票成人8元，学生5元，此次购买门票共花183元，问共有多少学生参加了此次活动？‎ 例 甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？‎ 例 A足球队进行足球联赛，联赛规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，A队一共比赛了10场，并保持不败记录，一共得了22分．A队胜了多少场？平了多少场？‎ 例 国庆节即将来临，学校组织七年级学生参加“国庆专题展”，计划租借42座的客车16辆，恰好坐满．但由于126名学生准备骑自行车前往，所以学校要改变租车方案．‎ ‎ （1）学校改变租车方案后，实际应租借多少辆客车？‎ ‎ （2）若自行车的速度是10千米／时，出发1小时后，客车以40千米／时的速度行驶，结果全体同学同时到达指定地点，则客车行驶了多长时间？‎ 根据下列条件列方程：‎ ‎ （l）某数的3倍比7大2；‎ ‎ （2）某数的比这个数小1；‎ ‎ （3）某数与3的和是这个数平方的2倍；‎ ‎ （4）某数的2倍加上9是这个数的3倍；‎ ‎ （5）某数的4倍与3的差比这个数多1．‎ 例 甲、乙两个工程队共有30人，其中乙队人数比甲队人数的2倍还多6人，求甲、乙两队各有多少人？‎ 等式的性质的典型例题一 例 回答下列问题；‎ ‎（1）从，能否得到，为什么？‎ ‎（2）从，能否得到，为什么？‎ ‎（3）从，能否得到，为什么？‎ ‎（4）从，能否得到，为什么？‎ ‎（5）从，能否得到，为什么？‎ ‎（6）从，能否得到，为什么？‎ 解：（1）从能得到，根据等式性质1，在等式两边同时减去就得到；‎ ‎（2）从不能得到．因为是是否为0不确定，因此不能根据等式的性质2，在等式的两边同除以；‎ ‎（3）从能得到．根据等式性质2，等式两边都乘以；‎ ‎（4）从能得到．根据等式性质1，在等式两边都加上；‎ ‎（5）从能得到．由隐含着．因此根据等式的性质2．在等式两边都除以；‎ ‎（6）从不能得到．因为是否为零不能确定，因此不能在两边同除以．‎ 说明：在使用等式的性质2时，一定要注意除数不为0的条件，还要注意题目中的隐含条件，比如隐含着．‎ 等式的性质的典型例题二 例 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：‎ ‎（1）如果，那么 ；‎ ‎（2）如果，那么 ；‎ ‎（3）如果，那么 ；‎ ‎（4）如果，那么 ；‎ ‎（5）如果，那么 ；‎ ‎（6）如果，那么 ；‎ ‎（7）如果，那么 ；‎ ‎（8）如果，那么 ．‎ 分析：本题是等式性质的应用也是本节的难点，解答这类题目的关键是看第二个等式中不需要填空的一边是怎样由第一个等式的相应一边变化而来的．比如本题的第（1）题，第二个等式的左边是3不需填空，3是由第一个等式的左边减去5得到的，所以第二个等式的右边也应减5，即，因此填空为5，其它题目可进行类似地分析．‎ 解：（1）；‎ 根据等式性质1．等式两边都减去5．‎ ‎（2）；‎ 根据等式性质1．等式两边都加上3．‎ ‎（3）；‎ 根据等式性质1．等式两边都加上．‎ ‎（4）；‎ 根据等式性质2．等式两边都乘以2．‎ ‎（5）；‎ 根据等式的性质1．等式两边都加上．‎ ‎（6）；‎ 根据等式的性质2．等式两边都除以4．‎ ‎（7）；‎ 根据等式性质1．等式两边都加上2．‎ ‎（8）；‎ 根据等式性质2，等式两边都乘以6．‎ 等式的性质的典型例题三 例 请利用等式性质解方程： ①‎ 分析：第一步，想办法去掉等式右边的，可以利用等式性质1，两边同减去，得 ‎ ②‎ ‎ 第二步，想办法去掉左边的－10，可利用等式性质1，两边同加上10，得 ‎ ③‎ 第三步，想办法把x项的系数3变成1，可以利用等式性质2，两边同乘以，得 ‎ ④‎ 于是我们求出了方程①的解 ‎ 解：两边同减去，得 ‎ 两边同加上10，得 ‎ 两边同乘以，得 ‎．‎ ‎ 说明：上述等式①、②、③、④都是方程，其中等式④具有双重性：既可以看成是方程，也可以看成是方程的解．‎ 等式的性质的典型例题四 例 利用等式的性质解下列方程并检验： ‎ ‎（1） （2） （3）‎ 解：（1）两边减9，得 化简，得 两边同除以2，得 检验：将代入方程的左边，得 方程的左右两边相等，所以是方程的解．‎ ‎（2）两边加6，得 化简，得 两边同除以0.5，得 检验：将代入方程的左边，得 方程的左右两边相等，所以是方程的解．‎ ‎（3）两边减4，得 化简，得 两边同除以－3，得 检验：将代入方程的左边，得 ‎ 方程的左右两边相等，所以是方程的解．‎ ‎ 说明：（1）解方程是运用等式的性质将方程转化为的形式，解方程的过程也可以看作是等式变形的过程．在解方程的过程中，要注意严格按照等式的性质．（2）检验是检查所求未知数的值是否为方程的解的必要过程，将所得到的未知数的值代人方程中，经计算后观察等式左右两边是否相等．（3）无论是解方程还是检验都应注意计算的准确性，养成正确计算的习惯．‎ 等式的性质的典型例题五 例 学校每年都要组织部分学生到游乐园游玩，并有一名带队去师．游乐园的门票成人8元，学生5元，此次购买门票共花183元，问共有多少学生参加了此次活动？‎ 解：设共有学生x人参加，购买门票共花5x元．则：‎ 两边减8，得 两边同时除以5，得 答：共有35个学生参加了此次活动．‎ 说明：列方程解应用问题关键是找准题目中的相等关系，此题可以以总钱数作为相等关系，也可以以学生购票所花钱数作为相等关系，求出方程的解后还应观察其是否符合实际意义，以及时发现错误．‎ 等式的性质的典型例题六 ‎ 例 利用等式性质解下列一元一次方程 ‎（1）；（2）；（3）；（4）．‎ 分析：（1）（2）利用性质1，（3）利用性质2，（4）利用性质1和性质2．‎ 解：（1）两边同时减去2得 于是．‎ ‎（2）两边同时加上5得 于是，习惯上写成．‎ ‎（3）两边同时除以－3，得 于是．‎ ‎（4）两边同时加2得，‎ 整理后，两边同乘以－3，得．‎ 说明：①根据等式的性质将方程化成的形式； ‎ ‎②有时要多次使用性质，但要注意不要同时使用，要按先后次序，避免造成混乱．‎ 等式的性质的典型例题七 例 甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？‎ 分析：若设从乙队抽调x人到甲队，则现在甲队有人，乙队有人，等量关系：甲队人数＝2倍乙队人数．‎ 解：设从乙队抽调x人到甲队，根据题意，有 ‎．整理后．‎ 方程两边先加，后减32得，再除以3得．‎ 所以，需从乙队抽调8人到甲队．‎ 说明：①根据实际问题，设未知数，找出等量关系，列出方程；②根据等式的性质将方程化成的形式．‎ 等式的性质的典型例题八 ‎ 例 A足球队进行足球联赛，联赛规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，A队一共比赛了10场，并保持不败记录，一共得了22分．A队胜了多少场？平了多少场？‎ ‎ 分析：设A队胜了x场，则A队平了场．‎ ‎ 解：设A队胜了x场，积分为3x，‎ ‎ 则平了场，积分为．‎ ‎ 因此，，整理后。‎ ‎ 方程两边喊10后，除以2得 ‎ 所以，A队胜了6场，平了4场．‎ ‎ 说明：①运用胜、平所得积分之和为22，列方程；‎ ‎ ②运用等式的性质解方程．‎ 等式的性质的典型例题九 例（2003年河南省中考题）一商店把某商品按标价的九折出售仍可获知得20％的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件_________元．‎ 分析：售价－进价＝利润 利润率＝‎ 解：设标价是每件x元，则售价为90％．‎ 根据题意，得．‎ 整理得，方程两边同时加上30得 ‎，再两边同时除以0.9，得（元）．‎ 所以标价为40元．‎ 等式的性质的典型例题十 例 （2003年山西省中考题）某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100％，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10％，则该药品现在的降价的幅度是（ ）‎ A．45％ B．50％ C．90％ D．95％‎ 分析：现在的价格降低后＝原来的价格×（1＋10％）．‎ 解：设原来的价格为a元，则现在的价格为，物价部门限定的价格为．‎ 设在现在的价格上降低的幅度是x，则降价后为，根据题意，得 ‎，整理后，‎ ‎，两边同时减去2，得．‎ 两边同时除以－2，得.‎ 答案：A．‎ 等式的性质的填空题 ‎1．如果，那么，根据__________，在等式两边__________；‎ ‎2．如果，那么，根据___________，在等式两边__________；‎ ‎3．在等式两边同时 得；‎ ‎4．在等式两边同时 得；‎ ‎5．在等式两边都 得；‎ ‎6．在等式两边都 得；‎ ‎7．在等式的两边都 得；‎ ‎8．如果，那第 ；‎ ‎9．如果，那么 ‎ ‎10．在等式两边都 得 ‎11．的一半比它的2倍少10，用等式表示应为_______．‎ ‎12．如果，那么的值是________．‎ ‎13．由得到可分两步，其步骤如下，完成下列填空．‎ 第一步：根据等式性质______，等式两边_______，得；‎ 第二步：根据等式性质______，等式两边_______，得．‎ ‎14．已知关于x的方程的解是2，则；‎ ‎15．一个数的与3的差等于最大的一位数，则这个数是_________．‎ 参考答案：‎ ‎1．2，等式性质1，同时减去3 2．3，等式性质2，同时除以5 3．加上1； ‎ ‎4． 减去； 5．加上； 6． 除以－5； 7 乘以－3（或除以）； ‎ ‎8． －3； 9． －2； 10． 都减去，然后两边都除以2． 11． ‎ ‎12．2． 13．第一步：1，同时加1，1；第二步：2，同时除以2 14．4 ‎ ‎ 15．84‎ 等式的性质的选择题 ‎1．如果，那么结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列等式能表示加法交换律的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．比a的2倍大7的数是13，可以列式表示为（ ）‎ A． B． C．13 D．‎ ‎4．利用等式性质1，将等式进行正确变形的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．利用等式性质2，不能将下列等式直接变形为的形式的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下列各式的变形，正确运用等式的性质的是（ ）‎ A．由得 B．由得 ‎ C．由得 D．由得 ‎7．由等式得的变形过程为（ ）‎ A．等式两边同时除以4 B．等式两边同时减去6‎ C．等式两边同时加上 D．等式两边同时加上 ‎8．下列变形中，错误的是（ ）‎ A．变形为 B．变形为 C．变形为 D．变形为 ‎9．下列判断错误的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎10．解为的方程是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 参考答案：‎ ‎1． C 2．C 3．A 4．B 5．A ‎ ‎ 6．D 7．D 8．D 9．D． 10．D 等式的性质的解答题 ‎1．利用等式的性质解方程：‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）；‎ ‎（5）；（6）．‎ ‎ 2．为了促进销售，某商店提供分期付款服务，规定超过15 000元的商品，顾客可以先付3 000元，以后每月付1500元．李叔叔想用分期付款的形式购买价值19 500元的电视机，他需要用多长时间才能付清全部贷款？‎ ‎ 3．大箱子装有洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在四个同样大小的小箱子里，装满后还剩余‎2千克洗衣粉．每个小箱子装有洗衣粉多少于克？‎ ‎ 4．小军编了这样一道题：我是6月出生的，我的年龄的2倍加上8，正好是我出生那一月的总天数．你能猜出我的年龄吗？请你求出小军的年龄．‎ ‎ 5．内径为‎120 mm的圆柱形玻璃杯，和内径为‎300 mm、内高为‎32 mm的圆柱形玻璃盘可以盛同样多的水，求玻璃杯的内高？‎ ‎6．下面是某商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨迹污染．读了进货单后，请你求出这台电脑的进价．‎ 某商场商品进货单 电脑 供货单位 宏大公司 品名与规格 P4200‎ 商品代码 DN—63D7‎ 商品归属 电脑专柜 进价（商品的进货单价）‎ ‎ 元 标价（商品的预售价格）‎ ‎5850元 折扣 ‎8折 利润（实际销售后的利润）‎ ‎210元 售后服务 终生保修，三年内免收任何费用，周转机备用，五日快修，免费投诉、回访 ‎ 7．夏红在解方程时，在方程的左右两边都乘以0，得到，她说：“怎么x没有了？我做不下去了．”这时王刚也遇到了麻烦，他在解方程，在方程的左右两边都除以了x，竟得到．你知道他们错在哪里了吗？‎ ‎ 8．据了解，个体服装销售只要高出进价的20％便可盈利，但老板常以高出进价的50％～100％标价．假如你准备购买一件标价为200元的服装，应在什么范围内还价？‎ ‎ 9．某种商品的市场需求量D（千件）和单价P（元／件）服从需求关系 ‎ （1）当单价为4元时，求市场的需求量．‎ ‎ （2）若出售一件商品要在原单价4元的基础上征收税金1元，那么市场需求量如何变化？‎ ‎ （3）若出售一件商品可得到政府的政策性补贴元，于是销售商将货价降低 元，那么市场需求量如何变化？‎ ‎10．一名顾客到商店购鞋，仅知道自己的老尺码是‎43码，而不知道自己应穿多大的新鞋号，他记得老尺码加上一个数后折半计算即为新鞋号．由于他儿子鞋号的新老尺码都是整数且容易记住，因而他知道儿子穿鞋的老尺码是‎40码，新鞋号是25号．现在请你帮助这位顾客计算一下他的新鞋号是多少？‎ 参考答案：‎ ‎1．（1） （2） （3） （4） （5） （6）‎ ‎2．设他需x个月能付清全部贷款，则 ‎3．设每个小箱子装有洗衣粉x千克，则 ‎4．设小军年龄是x岁，则 ‎5．设玻璃杯的内高为x mm，则 ‎6．设电脑的进价为x元，则 ‎7．夏红错在方程的两边乘以了0，王刚同时除以的x是未知数，还不能确定是否为0，所以方程的两边不能同时除以x ‎8．设进价为x元，若高出进价50％标价，则，如果高出100％标价，则，可见进价在100～133元，因此还价范围可定在120～160元．‎ ‎9．（1）将代入，即此时市场需求量为5000件；（2）每件征收税金1元，则代入关系式，则；（3）每件补贴元，，代入关系式．‎ ‎10．新鞋号×2－10＝老尺码．‎