2019年山东省济南市高新区中考数学二模试卷

2019年山东省济南市高新区中考数学二模试卷

第 1 页 共 26 页 ◎ 第 2 页 共 26 页 2019 年山东省济南市高新区中考数学二模试卷 一.选择题（共 12 小题，每小题 4 分） 1. −2的平方等于（ ） A. ± 4 B.2 C.−4 D.4 2. 图中立体图形的主视图是( ) A. B. C. D. 3. 将33.5万用科学记数法表示为（ ） A.33.5 × 104 B.0.335 × 106 C.3.35 × 104 D.3.35 × 105 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线AB、CD相交于点E，DF // AB．若∠D＝70∘，则∠CEB等于（ ） A.70∘ B.80∘ C.90∘ D.110∘ 6. 下列运算正确的是（ ） A.x2 + x＝x3 B.(−2x2)3＝8x5 C.(x + 1)(x−2)＝x2−x−2 D.(x−y)2＝x2−y2 7. 关于x的方程3x−2＝2a的解为负数，则a的取值范围是（ ） A.a > 1 B.a < 1 C.a > −1 D.a < −1 8. 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF = 2，BD = 2，则菱 形ABCD的面积为（ ） A.2 2 B. 2 C.6 2 D.8 2 9. 如图，直线l的解析式为y＝3x + 3，若直线y＝a与直线l的交点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A.1 < a < 2 B.3 < a < 4 C.−1 < a < 0 D.0 < a < 3 10. 如图，在Rt △ ABC中，∠B＝90∘，∠A＝30∘，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为 圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ） A. 3 12 B. 3 6 C. 3 3 D. 3 2 11. 如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将 △ ABE以BE 为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则CF CD的值是（ ） 第 3 页 共 26 页 ◎ 第 4 页 共 26 页 A.1 B.1 2 C.1 3 D.1 4 12. 二次函数y = −(x−1)2 + 5，当m ≤ x ≤ n且mn < 0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m + n的值为( ) A.5 2 B.2 C.3 2 D.1 2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 分解因式：3a2−12＝________． 某班有6名同学参加校“综合素质技能竞赛”，成绩（单位：分）分别是87，92，87，91，94，76．则他们成 绩的中位数是________分． 已知m是关于x的方程x2−2x−3 = 0的一个根，则2m2−4m = ________． 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90∘，半径OA＝2．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在弧AB上点D 处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为________． 如图，在Rt △ AOB中，直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将 △ AOB绕点B逆时针旋转90∘ 后，得到 △ A′O′B，且反比例函数y = k x的图象恰好经过斜边A′B的中点C，若SABO＝4，tan∠BAO＝2，则k＝ ________． 定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n + 5；②当n为偶数时，结果为 n 2k（其中k是使 n 2k为 奇数的最小正整数），并且运算重复进行．例如：取n＝26，则运算过程如图： 那么当n＝9时，第2019次“F运算”的结果是________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 78 分） 计算：(3− 2)0 + (1 3)−1−|− 12| + tan60∘ 解不等式组{ 2−x > 0 5x + 1 2 + 1 ≥ 2x−1 3  ． 如图，点E、F、G分别在▱ABCD的边AB、BC和AD上，且BA＝BF，AE＝AG，连接FE．求证：FE＝FG． 列方程或方程组解应用题： 去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修 车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工 地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度． 如图， △ ABC中，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作 ⊙ O， ⊙ O恰好与AC相切于点D，连接B D，BD平分∠ABC． （1）求∠C的度数； （2）如果∠A＝30∘，AD＝2 3，求线段CD的长度． 学校为了响应国家阳光体育活动，选派部分学生参加足球、乒乓球、篮球、排球队集训．根据参加项目制成 如下两幅不完整的统计图（如图1和如图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类，图中用足球、乒乓 球、篮球、排球代表喜欢这四种球类某种球类的学生人数） 第 5 页 共 26 页 ◎ 第 6 页 共 26 页 请你根据图中提供的信息解答下烈问题； （1）参加篮球队的有________人，喜欢排球小组的人数在扇形统计图中的圆心角的度数是________； （2）补全频数分布折线统计图； （3）若足球队只剩一个集训名额，学生小明和小虎都想参加足球队，决定采用随机摸球的方式确定参加权， 具体规则如下：一个不适明的袋子中装着标有数字1、2、3、4的四个完全相同的小球，小明随机地从四个小 球中摸出一球，然后放回，小虎再随机地摸出一球，若小明摸出的小球标有数字比小虎探出的小球标有的数 字大，则小明参加，否则小虎参加，试分析这种规则对双方是否公平？ 如图，反比例函数y = k x(x > 0)的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90∘，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于 点A，B，四边形OAMB的面积为6． （1）求k的值； （2）点P在反比例函数y = k x(x > 0)的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF＝90∘，其两边分别与x轴的正半轴，直 线y＝x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE＝PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延长线上一点，AE = BD．将 △ ABE绕点A顺时针旋转α度(0∘ < α < 360∘)得到 △ AB′E′，点B，E的对应点分别为B′，E′． (1)如图1，当α = 30∘时，求证：B′C = DE； (2)连接B′E，DE′，当B′E = DE′时，请用图2求α的值； (3)如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围 为________． 如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝ax2 + bx− 3的图象经过点A(−1, 0)，C(2, 0)，与y轴交于点B，其对称 轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求1 2PB + PD的最小值； （3）M(x, t)为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形， 则这样的点N共有________个． 第 7 页 共 26 页 ◎ 第 8 页 共 26 页 参考答案与试题解析 2019 年山东省济南市高新区中考数学二模试卷 一.选择题（共 12 小题，每小题 4 分） 1. 【答案】 D 【考点】 有理数的乘方 【解析】 根据有理数的乘方的定义解答． 【解答】 −2的平方的是4， 2. 【答案】 B 【考点】 简单组合体的三视图 【解析】 根据主视图是从正面看的图形解答． 【解答】 解：从正面看，共有两层，下面三个小正方体， 上面有两个小正方体，且在右边． 故选B. 3. 【答案】 D 【考点】 科学记数法--表示较大的数 【解析】 科学记数法的表示形式为a × 10n的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小 数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值 > 10时，n是正数；当原数的绝对值 < 1时，n是负数． 【解答】 33.5万＝335000＝3.35 × 105． 4. 【答案】 B 【考点】 轴对称图形 中心对称图形 【解析】 根据中心对称图形的定义旋转180∘后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如 果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称 轴，即可判断出答案． 【解答】 A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． 5. 【答案】 D 【考点】 平行线的性质 【解析】 由DF // AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BED的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案． 【解答】 ∵ DF // AB， ∴ ∠BED＝∠D＝70∘， ∵ ∠BED + ∠BEC＝180∘， ∴ ∠CEB＝180∘−70∘＝110∘． 6. 【答案】 C 【考点】 合并同类项 幂的乘方与积的乘方 完全平方公式 多项式乘多项式 【解析】 各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】 A、原式不能合并，不符合题意； B、原式＝−8x6，不符合题意； C、原式＝x2−x−2，符合题意； D、原式＝x2−2xy + y2，不符合题意， 7. 【答案】 D 【考点】 解一元一次不等式 一元一次方程的解 【解析】 把a看做常数，求出已知方程的解，根据方程的解是负数得到x小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解 集即可得到a的范围． 【解答】 第 9 页 共 26 页 ◎ 第 10 页 共 26 页 3x−2＝2a， 移项得：3x＝2a + 2， 解得：x = 2a + 2 3 ， 由方程的解是负数，得到x < 0， 即2a + 2 3 < 0， 解得：a < −1． 8. 【答案】 A 【考点】 菱形的面积 三角形中位线定理 【解析】 根据中位线定理可得对角线AC的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案． 【解答】 解：∵ E，F分别是AD，CD边上的中点，EF = 2， ∴ AC = 2EF = 2 2. 又∵ BD = 2， ∴ 菱形ABCD的面积S = 1 2 × AC × BD = 1 2 × 2 2 × 2 = 2 2. 故选A. 9. 【答案】 D 【考点】 一次函数图象与系数的关系 【解析】 首先求出方程组{y = 3x + 3 y = a  的解，然后根据第二象限内点的坐标特征，列出关于a的不等式组，从而得出a的 取值范围． 【解答】 解方程组{y = 3x + 3 y = a  ， 得{x = a−3 3 y = a  ． ∵ 交点在第二象限， ∴ {a−3 3 < 0 a > 0  ， 解得0 < a < 3． 10. 【答案】 B 【考点】 解直角三角形 【解析】 设BC＝x，由含30∘角的直角三角形的性质得出AC＝2BC＝2x，求出AB = 3BC = 3x，根据题意得出AD＝BC＝x， AE＝DE＝AB = 3x，作EM ⊥ AD于M，由等腰三角形的性质得出AM = 1 2AD = 1 2x，在Rt △ AEM中，由三角函数的 定义即可得出结果． 【解答】 故选：B． 11. 【答案】 C 【考点】 翻折变换（折叠问题） 矩形的性质 相似三角形的性质与判定 【解析】 观察第3个图，易知 △ ECF ∽ △ ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB＝B E＝6，那么BD＝EC＝2，即可得到EC、AD的长，由此得解． 【解答】 由题意知：AB＝BE＝6，BD＝AD−AB＝2，AD＝AB−BD＝4； ∵ CE // AB， ∴ △ ECF ∽ △ ADF， 得CE AD = CF DF = 1 2， 即DF＝2CF，所以CF:CD＝1:3； 12. 【答案】 D 【考点】 二次函数的最值 【解析】 结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 第 11 页 共 26 页 ◎ 第 12 页 共 26 页 【解答】 解：二次函数y = −(x−1)2 + 5的大致图象如下： ． ①当m ≤ 0 ≤ x ≤ n < 1时，当x = m时，y取最小值， 即2m = −(m−1)2 + 5， 解得：m = −2． 当x = n时，y取最大值， 即2n = −(n−1)2 + 5， 解得：n = 2或n = −2（均不合题意，舍去）； ②当m ≤ 0 ≤ x ≤ 1 ≤ n时，当x = m时，y取最小值， 即2m = −(m−1)2 + 5， 解得：m = −2． 当x = 1时，y取最大值，即2n = −(1−1)2 + 5， 解得：n = 5 2， 所以m + n = −2 + 5 2 = 1 2． 故选D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 【答案】 3(a + 2)(a−2) 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【解析】 先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】 3a2−12＝3(a + 2)(a−2)． 【答案】 89 【考点】 中位数 【解析】 将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的两个数的平均数，叫做这组数据的中位数． 【解答】 首先把数据按从小到大的顺序排列为：76、87、87、91、92、94， 则中位数是：(87 + 91) ÷ 2＝89（分）． 【答案】 6 【考点】 一元二次方程的解 【解析】 根据m是关于x的方程x2−2x−3＝0的一个根，通过变形可以得到2m2−4m值，本题得以解决． 【解答】 解：∵ m是关于x的方程x2−2x−3 = 0的一个根， ∴ m2−2m−3 = 0， ∴ m2−2m = 3， ∴ 2m2−4m = 6， 故答案为：6. 【答案】 π−4 3 3 【考点】 翻折变换（折叠问题） 扇形面积的计算 【解析】 连接OD交BC于点E，由翻折的性质可知：OE＝DE＝1，在Rt △ OBE中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC＝ 30∘，然后在Rt △ COB中，可求得CO = 2 3 3 ，从而可求得 △ COB的面积 = 2 3 3 ，最后根据阴影部分的面积＝扇形面 积−2倍的 △ COB的面积求解即可． 【解答】 连接OD交BC于点E． ∴ 扇形的面积 = 1 4 × 22π＝π， ∵ 点O与点D关于BC对称， ∴ OE＝ED＝1，OD ⊥ BC． 在Rt △ OBE中，sin∠OBE = OE OB， ∴ ∠OBC＝30∘． 在Rt △ COB中，CO OB = tan30∘， ∴ CO 2 = 3 3 ． ∴ CO = 2 3 3 ． ∴ △ COB的面积 = 1 2 × 2 × 2 3 3 = 2 3 3 ． 阴影部分的面积＝扇形面积−2倍的 △ COB的面积 ＝π−4 3 3 ． 【答案】 6 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 解直角三角形 第 13 页 共 26 页 ◎ 第 14 页 共 26 页 坐标与图形变化-旋转 【解析】 先根据S△ABO＝4，tan∠BAO＝2求出AO、BO的长度，再根据点C为斜边A′B的中点，求出点C的坐标，点C的横 纵坐标之积即为k值． 【解答】 设点C坐标为(x, y)，作CD ⊥ BO′交边BO′于点D， ∵ tan∠BAO＝2， ∴ BO AO = 2， ∵ S△ABO = 1 2 ⋅ AO ⋅ BO＝4， ∴ AO＝2，BO＝4， ∵ △ ABO≅ △ A′O′B， ∴ AO＝A′O′＝2，BO＝BO′＝4， ∵ 点C为斜边A′B的中点，CD ⊥ BO′， ∴ CD = 1 2A′O′＝1，BD = 1 2BO′＝2， ∴ x＝BD＝2，y＝BO−CD＝4−1＝3， ∴ k＝x ⋅ y＝3 ⋅ 2＝6． 【答案】 8 【考点】 有理数的混合运算 【解析】 按新定义的运算法则，分别计算出当n＝9时，第一、二、三、四、五次运算的结果，发现循环规律即可解答． 【解答】 由题意可知，当n＝9时，历次运算的结果是： 3 × 9 + 5＝32， 32 2 × 16 = 1（使得32 2k为奇数的最小正整数为16），1 × 3 + 5＝8， 8 2 × 4 = 1，… 故32→1→8→1→8→…，即从第四次开始1和8出现循环，偶数次为1，奇数次为8， ∴ 当n＝9时，第2019次“F运算”的结果是8． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 78 分） 【答案】 原式＝1 + 3−2 3 + 3 ＝4− 3． 【考点】 零指数幂、负整数指数幂 特殊角的三角函数值 实数的运算 零指数幂 【解析】 直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【解答】 原式＝1 + 3−2 3 + 3 ＝4− 3． 【答案】 −1 ≤ x < 2 【考点】 解一元一次不等式组 【解析】 根据不等式组分别求出x的取值，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解． 【解答】 不等式组可化为：{3(5x + 1) + 6 ≥ 2(2x−1) x < 2  ， 整理得，{x ≥ −1 x < 2  ，即不等式组的解集为：−1 ≤ x < 2． 【答案】 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD // BC， ∴ ∠DAF＝∠BFA， ∵ BA＝BF， ∴ ∠BAF＝∠BFA， ∴ ∠DAF＝∠BAF，且AE＝AG，AF＝AF， ∴ △ AEF≅ △ AGF(SAS) ∴ FE＝FG． 【考点】 平行四边形的性质 全等三角形的性质与判定 【解析】 由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠BAF，由“SAS”可证 △ AEF≅ △ AGF，可得FE＝FG． 【解答】 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD // BC， ∴ ∠DAF＝∠BFA， ∵ BA＝BF， ∴ ∠BAF＝∠BFA， ∴ ∠DAF＝∠BAF，且AE＝AG，AF＝AF， ∴ △ AEF≅ △ AGF(SAS) ∴ FE＝FG． 【答案】 吉普车的速度为45千米/时 【考点】 分式方程的应用 【解析】 先设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时，根据时间 = 列出方程，求出x的值，再进行 检验，即可求出答案． 【解答】 设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时，根据题意得： 第 15 页 共 26 页 ◎ 第 16 页 共 26 页 15 x − 15 1.5x = 10 60， 解得，x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解， 则1.5x＝45（千米/时）， 【答案】 如图，连接OD ∵ OD是 ⊙ O的半径，AC是 ⊙ O的切线，点D是切点， ∴ OD ⊥ AC ∵ OD＝OB， ∴ ∠ODB＝∠OBD， 又∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠OBD＝∠CBD ∴ ∠ODB＝∠CBD ∴ OD // CB， ∴ ∠C＝∠ADO＝90∘； 在Rt △ AOD中，∵ ∠A＝30∘，AD＝2 3， ∴ OD＝OB＝2，AO＝4， ∵ OD // CB， ∴ AD CD = AO OB， 即2 3 CD = 4 2， ∴ CD = 3． 【考点】 圆周角定理 切线的性质 【解析】 （1）连接OD，∠ADO＝90∘，由BD平分∠ABC，OB＝OD可得OD 与BC间的位置关系，则∠ACB＝90∘； （2）得Rt △ OAD，由∠A＝30∘，AD＝2 3，可求出OD、AO的长；根据平行线分线段成比例定理，得结论． 【解答】 如图，连接OD ∵ OD是 ⊙ O的半径，AC是 ⊙ O的切线，点D是切点， ∴ OD ⊥ AC ∵ OD＝OB， ∴ ∠ODB＝∠OBD， 又∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠OBD＝∠CBD ∴ ∠ODB＝∠CBD ∴ OD // CB， ∴ ∠C＝∠ADO＝90∘； 在Rt △ AOD中，∵ ∠A＝30∘，AD＝2 3， ∴ OD＝OB＝2，AO＝4， ∵ OD // CB， ∴ AD CD = AO OB， 即2 3 CD = 4 2， ∴ CD = 3． 【答案】 40,30 喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是百分比为：1−(40% + 30% + 20%)＝10%， 圆心角度数＝360 × 10%＝36∘；正确补全折线图中篮球、排球折线； 用列表法 小虎 小明 1 2 3 4 1 1，1 1，2 1，3 1，4 2 2，1 2，2 2，3 2，4 3 3，1 3，2 3，3 3，4 4 4，1 4，2 4，3 4，4 共有16种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中小明可能获得参加权的结果是六种， 分别是2，1；3，1；3，2；4，1；4，2；4，3； ∴ 小明获参加权的概率P1 = 6 16 = 3 8，小虎获参加权的概率P2 = 10 16，或小虎获参加权的概率P2＝1−3 8， ∵ P1 < P2， ∴ 这个规则对双方不公平． 第 17 页 共 26 页 ◎ 第 18 页 共 26 页 【考点】 列表法与树状图法 游戏公平性 频数（率）分布折线图 扇形统计图 【解析】 （1）根据折线图与扇形图首先得出参加乒乓球队的人数与百分比得出总人数，根据喜欢排球队的人数在扇 形统计图中所占的圆心角是百分比为：1−(40% + 30% + 20%)＝10%，即可得出所占的圆心角的度数， （2）分别喜欢篮球、排球的人数补全频数分布折线统计图即可； （3）用列表法画出即可得出小虎获参加权的概率以及小明获参加权的概率得出即可． 【解答】 ∵ 结合折线图与扇形图得出参加乒乓球队的人数为20，占总数的20%， ∴ 总人数为：20 ÷ 20%＝100人， ∴ 参加篮球队的有：100 × 40%＝40人， 参加足球队的人数占全部参加人数的：30 ÷ 100 × 100%＝30%， 故答案为：40，30； 喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是百分比为：1−(40% + 30% + 20%)＝10%， 圆心角度数＝360 × 10%＝36∘；正确补全折线图中篮球、排球折线； 用列表法 小虎 小明 1 2 3 4 1 1，1 1，2 1，3 1，4 2 2，1 2，2 2，3 2，4 3 3，1 3，2 3，3 3，4 4 4，1 4，2 4，3 4，4 共有16种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中小明可能获得参加权的结果是六种， 分别是2，1；3，1；3，2；4，1；4，2；4，3； ∴ 小明获参加权的概率P1 = 6 16 = 3 8，小虎获参加权的概率P2 = 10 16，或小虎获参加权的概率P2＝1−3 8， ∵ P1 < P2， ∴ 这个规则对双方不公平． 【答案】 如图1，过点M作MC ⊥ x轴于点C，MD ⊥ y轴于点D， 则∠MCA＝∠MDB＝90∘，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD， ∴ △ AMC≅ △ BMD， ∴ S四边形OCMD＝S四边形OAMB＝6， ∴ k＝6； 存在点E，使得PE＝PF． 由题意，得点P的坐标为(3, 2)． ①如图2，过点P作PG ⊥ x轴于点G，过点F作FH ⊥ PG于点H，交y轴于点K． ∵ ∠PGE＝∠FHP＝90∘，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF， ∴ △ PGE≅ △ FHP， ∴ PG＝FH＝2，FK＝OK＝3−2＝1，GE＝HP＝2−1＝1， ∴ OE＝OG + GE＝3 + 1＝4， ∴ E(4, 0)； ②如图3，过点P作PG ⊥ x轴于点G，过点F作FH ⊥ PG于点H，交y轴于点K． ∵ ∠PGE＝∠FHP＝90∘，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF， ∴ △ PGE≅ △ FHP， ∴ PG＝FH＝2，FK＝OK＝3 + 2＝5，GE＝HP＝5−2＝3， ∴ OE＝OG + GE＝3 + 3＝6， ∴ E(6, 0)． 第 19 页 共 26 页 ◎ 第 20 页 共 26 页 【考点】 反比例函数与一次函数的综合 【解析】 （1）过点M作MC ⊥ x轴于点C，MD ⊥ y轴于点D，根据AAS证明 △ AMC≅ △ BMD，那么S四边形OCMD＝S四边形OAMB ＝6，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出k＝6； （2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P的坐标为(3, 2)．再分两种情况进行讨论：①如图2，过 点P作PG ⊥ x轴于点G，过点F作FH ⊥ PG于点H，交y轴于点K．根据AAS证明 △ PGE≅ △ FHP，进而求出E点坐标；② 如图3，同理求出E点坐标． 【解答】 如图1，过点M作MC ⊥ x轴于点C，MD ⊥ y轴于点D， 则∠MCA＝∠MDB＝90∘，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD， ∴ △ AMC≅ △ BMD， ∴ S四边形OCMD＝S四边形OAMB＝6， ∴ k＝6； 存在点E，使得PE＝PF． 由题意，得点P的坐标为(3, 2)． ①如图2，过点P作PG ⊥ x轴于点G，过点F作FH ⊥ PG于点H，交y轴于点K． ∵ ∠PGE＝∠FHP＝90∘，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF， ∴ △ PGE≅ △ FHP， ∴ PG＝FH＝2，FK＝OK＝3−2＝1，GE＝HP＝2−1＝1， ∴ OE＝OG + GE＝3 + 1＝4， ∴ E(4, 0)； ②如图3，过点P作PG ⊥ x轴于点G，过点F作FH ⊥ PG于点H，交y轴于点K． ∵ ∠PGE＝∠FHP＝90∘，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF， ∴ △ PGE≅ △ FHP， ∴ PG＝FH＝2，FK＝OK＝3 + 2＝5，GE＝HP＝5−2＝3， ∴ OE＝OG + GE＝3 + 3＝6， ∴ E(6, 0)． 【答案】 解：(1)如图1， 连接AC，B′C， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB = AD，AC ⊥ BD，AC = BD = 2OA，∠CAB = ADB = 45∘， ∵ AE = BD， ∴ AC = AE = 2OA， 在Rt △ AOE中，∠AOE = 90∘，AE = 2OA， ∴ ∠E = 30∘， ∴ ∠DAE = ∠ADB−∠E = 45∘−30∘ = 15∘， 由旋转得，AD = AB = AB′∠BAB′ = 30∘， ∴ ∠DAE = 15∘， 在 △ ADE和 △ AB′C中，{ AD = AB′∠DAE = ∠CAB′ AE = AC ， ∴ △ ADE≅ △ AB′C(SAS)， ∴ DE = B′C. (2)如图2， 第 21 页 共 26 页 ◎ 第 22 页 共 26 页 由旋转得，AB′ = AB = AD，AE′ = AE， 在 △ AEB′和 △ AE′D中， { AE = AE′ AD = AB′ DB′ = DE′ ， ∴ △ AEB′≅ △ AE′D， ∴ ∠DAE′ = ∠EAB′， ∴ ∠EAE′ = ∠DAB′， 由旋转得，∠EAE′ = ∠BAB′， ∴ ∠BAB′ = ∠DAB′， ∵ ∠BAB′ + ∠DAB′ = 90∘， ∴ α = ∠BAB′ = 45∘. 2 ≤ PQ ≤ 4 2 + 2 【考点】 全等三角形的性质与判定 四边形综合题 旋转的性质 正方形的性质 【解析】 （1）先由正方形的性质得到直角三角形AOE，再经过简单计算求出角，判断出 △ ADE≅ △ AB′C即可； （2）先判断出 △ AEB′≅ △ AE′D，再根据旋转角和图形，判断出∠BAB′ = ∠DAB′即可； （3）先判断出点Q的位置，PQ最小时和最大时的位置，进行计算即可． 【解答】 解：(1)如图1， 连接AC，B′C， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB = AD，AC ⊥ BD，AC = BD = 2OA，∠CAB = ADB = 45∘， ∵ AE = BD， ∴ AC = AE = 2OA， 在Rt △ AOE中，∠AOE = 90∘，AE = 2OA， ∴ ∠E = 30∘， ∴ ∠DAE = ∠ADB−∠E = 45∘−30∘ = 15∘， 由旋转得，AD = AB = AB′∠BAB′ = 30∘， ∴ ∠DAE = 15∘， 在 △ ADE和 △ AB′C中，{ AD = AB′∠DAE = ∠CAB′ AE = AC ， ∴ △ ADE≅ △ AB′C(SAS)， ∴ DE = B′C. (2)如图2， 由旋转得，AB′ = AB = AD，AE′ = AE， 在 △ AEB′和 △ AE′D中， { AE = AE′ AD = AB′ DB′ = DE′ ， ∴ △ AEB′≅ △ AE′D， ∴ ∠DAE′ = ∠EAB′， ∴ ∠EAE′ = ∠DAB′， 由旋转得，∠EAE′ = ∠BAB′， ∴ ∠BAB′ = ∠DAB′， ∵ ∠BAB′ + ∠DAB′ = 90∘， ∴ α = ∠BAB′ = 45∘. (3)如图3， 第 23 页 共 26 页 ◎ 第 24 页 共 26 页 由点到直线的距离，过点P作PM ⊥ BE， ∵ AB = 4，点P是AB中点， ∴ BP = 2， ∴ PM = 2， 在旋转过程中， △ ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E重合， ∴ AQ = AE = BQ = 4 2， ∴ PQ = AQ + AP = 4 2 + 2. 故答案为： 2 ≤ PQ ≤ 4 2 + 2. 【答案】 ∵ 二次函数y＝ax2 + bx− 3的图象经过点A(−1, 0)C(2, 0)， ∴ { a−b− 3 = 0 4a + 2b− 3 = 0 ， 解得：{ a = 3 2 b = − 3 2  ， ∴ 二次函数的表达式为y = 3 2 x2− 3 2 x− 3， ∵ y = 3 2 x2− 3 2 x− 3 = 3 2 (x−1 2)2−9 8 3， ∴ 抛物线的顶点坐标为(1 2,−9 8 3)； 如图，连接AB，作DH ⊥ AB于H，交OB于P，此时1 2PB + PD最小． 理由：∵ OA＝1，OB = 3， ∴ tan∠ABO = OA OB = 3 3 ， ∴ ∠ABO＝30∘， ∴ PH = 1 2PB， ∴ 1 2PB + PD＝PH + PD＝DH， ∴ 此时1 2PB + PD最短（垂线段最短）． 在Rt △ ADH中，∵ ∠AHD＝90∘，AD = 3 2，∠HAD＝60∘， ∴ sin60∘ = DH AD， ∴ DH = 3 3 4 ， ∴ 1 2PB + PD的最小值为3 3 4 ； 5 【考点】 二次函数综合题 【解析】 （1）将A、C三点的坐标代入y＝ax2 + bx− 3，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点 坐标； （2）连接AB，作DH ⊥ AB于H，交OB于P，此时1 2PB + PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可． （3）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个 交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直平 分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM．由M点的个数则可得出点N的个数有5个． 【解答】 ∵ 二次函数y＝ax2 + bx− 3的图象经过点A(−1, 0)C(2, 0)， ∴ { a−b− 3 = 0 4a + 2b− 3 = 0 ， 解得：{ a = 3 2 b = − 3 2  ， ∴ 二次函数的表达式为y = 3 2 x2− 3 2 x− 3， ∵ y = 3 2 x2− 3 2 x− 3 = 3 2 (x−1 2)2−9 8 3， ∴ 抛物线的顶点坐标为(1 2,−9 8 3)； 如图，连接AB，作DH ⊥ AB于H，交OB于P，此时1 2PB + PD最小． 理由：∵ OA＝1，OB = 3， ∴ tan∠ABO = OA OB = 3 3 ， ∴ ∠ABO＝30∘， ∴ PH = 1 2PB， ∴ 1 2PB + PD＝PH + PD＝DH， ∴ 此时1 2PB + PD最短（垂线段最短）． 在Rt △ ADH中，∵ ∠AHD＝90∘，AD = 3 2，∠HAD＝60∘， ∴ sin60∘ = DH AD， 第 25 页 共 26 页 ◎ 第 26 页 共 26 页 ∴ DH = 3 3 4 ， ∴ 1 2PB + PD的最小值为3 3 4 ； ①以A为圆心AB为半径画弧，因为AB > AD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM＝AB，即M点存在两个， 所以满足条件的N点有两个； ②以B为圆心AB为半径画弧，因为AB > 1 2，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM＝AB，即M点有两个，所 以满足条件的N点有两个； ③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，因为M点有一个，所以满足条件的N点有一个； 则满足条件的N点共有5个， 故答案为：5．