中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义22 图形的旋转（学生版）

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义22 图形的旋转（学生版）

专题 22 图形的旋转 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 旋转的基础 旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫作图形的旋转.点 O 叫作旋转中心，转 动的角叫作旋转角.如图形上的点 P 经过旋转变化点 P ，那么这两个点叫作这个旋转的对应点. 如图所示， A OB  是 AOB 绕定点 O 逆时针旋转 45 得到的，其中点 A 与点 A 叫作对应点，线段 OB 与 线段 OB 叫作对应线段， OAB 与 OA B 叫作对应角，点 O 叫作旋转中心， AOA （或 BOB ）的度数叫 作旋转的角度. 【注意】 1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定. 2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。 【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角. 旋转的特征：  对应点到旋转中心的距离相等；  对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；  旋转前、后的图形全等. 旋转作图的步骤方法：  确定旋转中心、旋转方向、旋转角；  找出图形上的关键点；  连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；  按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形. 平移、旋转、轴对称之间的联系： 变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。 平移、旋转、轴对称之间的区别： 1） 变化方式不同： 平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。 旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。 轴对称：将一个图形沿一条直线对折。 2） 对应线段、对应角之间的关系不同 平移： 变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或 在一条直线上）、方向一致。 旋转： 变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。 轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。 3）确定条件不同 平移：距离与方向 旋转：旋转的三要素。 轴对称：对称轴 1．（2018·湖南中考模拟）如图，将正方形 ABCD 中的阴影三角形绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到的图形为 （ ） A． B． C． D． 2．（2018·沭阳县马厂实验学校中考模拟）将数字“6”旋转 180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转 180°，得 到数字 “6”．现将数字“69”旋转 180°，得到的数字是（ ） A．96 B．69 C．66 D．99 3．（2014·湖南中考真题）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120°后， 能与原图形完全重合的是（ ） A． B． C． D． 考查题型一 图形旋转的概念与性质的应用方法 1．（2018·甘肃中考真题）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90° 到△ABF 的位置，若四边形 AECF 的面积为 25，DE=2，则 AE 的长为（ ） A．5 B． 23 C．7 D． 29 2．（2019·天津中考模拟）如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC．若点 A，D，E 在同一条直 线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是 ( ) A．55° B．60° C．65° D．70° 3．（2018·天津中考模拟）如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 100°，得到△ADE．若点 D 在线段 BC 的延长 线上，则∠B 的大小为（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．（2019·天津中考真题）如图，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 DEC ，使点 A 的对应点 D 恰好落在边 AB 上，点 B 的对应点为 E ，连接 BE ．下列结论一定正确的是（ ） A． AC AD B． AB EB C． BC DE D． A EBC   5．（2011·浙江中考真题）如图，已知△AOB 是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB 绕点 O 按逆时针 方向旋转，使得 OA 与 OC 重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ） A．150° B．120° C．90° D．60° 考查题型二 确定旋转中心 1．（2019·江苏中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定 的角度得到的，则其旋转中心是（ ） A．（1，0） B．（﹣1，2） C．（0，0） D．（﹣1，1） 考查题型三 通过图形旋转相关知识作图 1．（2018·江苏中考真题）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐 标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0） （1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； （2）画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A2B2C2； （3）△A1B1C1 与△A2B2C2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴； （4）△A1B1C1 与△A2B2C2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标． 2．（2012·江苏中考模拟）如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1， 0）． （1）画出△ABC 关于原点成中心对称的三角形△A′B′C′； （2）将△ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90°，画出图形，直接写出点 B 的对应点 B″的坐标； （3）请直接写出：以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标． 考查题型四 旋转与全等三角形相结合解题 1．（2019·珠海市前山中学中考模拟）如图，在等边△ABC 中，点 D 是 AB 边上一点，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°后得到 CE，连接 AE．求证：AE∥BC． 2．（2013·湖南中考真题）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60°角的直角三 角板 ABC 与 AFE 按如图 （1）所示位置放置放置，现将 Rt△AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P． （1）求证：AM=AN； （2）当旋转角α=30°时，四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由． 3．（2019·山东中考模拟）如图，已知△ABC 中，AB＝AC，把△ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE， 连接 BD，CE 交于点 F． （1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若 AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长． 考查题型五 图形旋转综合题 1．（2015·湖北中考真题）如图，△ABC 中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点 A 按顺 时针方向旋转得到的，连接 BE，CF 相交于点 D。 （1）求证：BE＝CF ； （2）当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长。 2．（2016·山东中考真题）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到△ABQ，连接 EQ，求证： （1）EA 是∠QED 的平分线； （2）EF2=BE2+DF2． 考查题型六 图形旋转在开放性问题的应用 1．（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图 1，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 A，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 B 点的点 C，连 接 BC，取 BC 的中点 P（点 P 可以直接到达 A 点），利用工具过点 C 作 CD∥AB 交 AP 的延长线于点 D， 此时测得 CD＝200 米，那么 A，B 间的距离是 米． 思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC＝BC，AE＝DE，且 AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点 A 顺时针方向旋转，把点 E 在 AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点 B 和点 D 位于 AC 的两 侧），设旋转角为α，连接 BD，点 P 是线段 BD 的中点，连接 PC，PE． ①如图 2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 ； ②如图 3，当α＝90°时，点 D 落在 AB 边上，请判断 PC 与 PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若 BC＝3，DE＝l，请直接写出 PC2 的值． 2．（2013·湖南中考真题）小明在数学活动课上，将边长为 和 3 的两个正方形放置在直线 l 上，如图 a,他 连接 AD、CF，经测量发现 AD=CF． （1）他将正方形 ODEF 绕 O 点逆时针针旋转一定的角度，如图 b，试判断 AD 与 CF 还相等吗？说明 理由． （2）他将正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，使点 E 旋转至直线 l 上，如图 c，请求出 CF 的长． 知识点二 中心对称与中心对称图形 中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如图它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关 于对称中心的对称点. 如图， ABO 绕着点 O 旋转180 后，与 CDO 完全重合，则称 CDO 和 ABO 关于点 O 对称，点 C 是点 A 关于点 O 的对称点. 中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （3）对称点在两个图形上. （4）对称中心在两个图形之间. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心在图形上. 联系 （1）都是通过把图形旋转180 重合来定义的.（2）两者可以相互转化，如果把中心 对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形； 反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图 形”中心对称 中心对称的性质：  中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；  中心对称的两个图形是全等图形. 作中心对称图形的一般步骤（重点）：  作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长 一倍确定关键的对称点.  把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的 图形. 找对称中心的方法和步骤： 对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要，找不对称中心是解决先 关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找 对称中心的步骤如下： 方法 1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心. 方法 2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心. 关于原点对称的点的坐标规律 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点 O 的对称点 P’(-x，-y) 1．（2019·山东中考模拟）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（2015·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，点 ( 2,1)A  与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标为（ ）． A． ( 2,1) B． (2, 1) C． (2,1) D． ( 2, 1)  3．（2019·四川中考真题）不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是( ) A．轴对称图形 B．中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形 4．（2017·河南中考模拟）下列四个手机应用图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．（2019·深圳市龙岗区实验学校中考模拟）下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 考查题型七 对称中心确定方法 1.（2019·河北中考模拟）如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（ ） A．A 点 B．B 点 C．C 点 D．D 点 考查题型八 中心对称性质的运用 1．（2019·福建中考模拟）在平面直角坐标系中，点 P（－20，a）与点 Q（b，13）关于原点对称，则 a+b 的值为（） A．33 B．－33 C．－7 D．7 2．（2019·广西中考真题）若点  1,5P m 与点  3,2Q n 关于原点成中心对称，则 m n 的值是（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（2018·全国中考模拟）若在平面直角坐标系内 A(m-1,6),B(-2,n)两点关于原点对称,则 m+n 的值为( ) A．9 B．-3 C．3 D．5 4．（2015·四川中考模拟）已知点 A（a，2015）与点 A′（－2016，b）是关于原点 O 的对称点，则 的 值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 考查题型九 利用中心对称等分面积 1．（2018 春 平原区期末）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分． 考查题型十 平面直角坐标系利用中心对称作图 1．（2018·安徽中考模拟）在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标 系△ABC 是格点三角形（顶点在网格线的交点上） （1）先作△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1 向上平移 4 个单位长度得到△A2B2C2； （2）△A2B2C2 与△ABC 是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理 由. 30．（2018·广东省珠海市文园中学初二期中）△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C 三点 在格点上． （1）作出△ABC 关于原点 O 对称的△A1B1C1，并写出点 C1 的坐标； （2）求△ABC 的面积.