2009年北京市西城区中考数学一模试卷

2009年北京市西城区中考数学一模试卷

‎4 2009年北京市西城区中考数学一模试卷 一、选择题(共8道小题，每小题4分，共32分)‎ ‎1．－2的相反数等于( )‎ A．2 B．－‎2 ‎C． D．－‎ ‎2．2009年，全国普通高校本、专科共计划招生6290000人，将6290000用科学记数法表示应为( )‎ A．6.29×105 B．62.9×105‎ C．6.29×106 D．0.629×107‎ ‎3．右图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是( )‎ 第3题图 ‎4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( )‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ‎5．2004—2008年社会消费品零售总额及增长速度情况如下图所示，那么社会消费品零售总额比上年增长最快的年份是( )‎ 第5题图 A．2005年 B．2006年 C．2007年 D．2008年 ‎6．如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于( )‎ A．110° B．100° C．80° D．70°‎ ‎ ‎ 第6题图 第7题图 ‎7．如图，在边长为1的等边三角形ABC中，若将两条含120°圆心角的、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC面积的比等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若m、n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是( )‎ A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 二、填空题(共4道小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．在函数中，自变量x的取值范围是________．‎ ‎10．若，则xy的值等于________．‎ ‎11．如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于E，BE⊥AC，DE∥BC交AB于D，若BC＝4，则DE＝________．‎ 第11题图 ‎12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，若BC·AC＝AB2，则∠A＝________°．‎ 三、解答题(本题共30分，每小题5分)‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解不等式组在数轴上表示它的解集，求它的整数解．‎ 第14题图 ‎15．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BD＝CE，F为BA延长线上一点，BF＝CD．‎ 求证：∠DEF＝∠DFE．‎ 第15题图 ‎16．解方程：．‎ ‎17．已知抛物线y＝－x2＋(m＋2)x＋‎3m－20经过点(1，－3)，求抛物线与x轴交点的坐标及顶点的坐标．‎ ‎18．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠A＝60°，BC＝4，求CD的长．‎ 第18题图 四、解答题(本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分)‎ ‎19．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D＝∠ACB．‎ ‎(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎(2)若⊙O的半径等于4，tan∠ACB＝，求CD的长．‎ 第19题图 ‎20．有三个完全相同的小球，上面分别标有数字1、－2、－3‎ ‎，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀)，设第一次摸到的球上所标的数字为m，第二次摸到的球上所标的数字为n，依次以m、n作为点M的横、纵坐标．‎ ‎(1)用树状图(或列表法)表示出点M(m，n)的坐标所有可能的结果；‎ ‎(2)求点M(m，n)在第三象限的概率．‎ ‎21．某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．‎ ‎(1)设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎(2)若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：‎ 苹果品种 甲 乙 丙 每吨苹果所获利润(万元)‎ ‎0.22‎ ‎0.21‎ ‎0.2‎ 设此次运输的利润为W(万元)，问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W最大，并求出最大利润．‎ ‎22．已知：如图，△ABC中，AC＜AB＜BC．‎ ‎(1)在BC边上确定点P的位置，使∠APC＝∠C．请画出图形，不写画法；‎ ‎(2)在图中画出一条直线l，使得直线l分别与AB、BC边交于点M、N，并且沿直线l将△ABC剪开后可拼成一个等腰梯形．请画出直线l及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．‎ 说明：本题只需保留作图痕迹，无需尺规作图．‎ 第22题图 五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)‎ ‎23．已知：反比例函数和在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在的图象上，AB∥y轴，与的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与、的图象交于点C、D．‎ ‎(1)若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；‎ ‎(2)若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小，并说明理由；‎ ‎(3)若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标．‎ 第23题图 ‎24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．‎ ‎(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎(2)若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出｜QA－QO｜的取值范围．‎ 第24题图 ‎25．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．‎ ‎(1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；‎ ‎(2)当∠APB变化，且其他条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．‎ 第25题图 答 案 ‎4．2009年北京市西城区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A 7．B 8．A 二、填空题 ‎9．x≠－2 10．1 11．2 12．15‎ 三、解答题 ‎13．解：‎ ‎．‎ ‎14．解：‎ 由①得x≥1．‎ 由②得x＜5．‎ 不等式组的解集在数轴上表示如下：‎ 第14题答图 所以原不等式组的解集为1≤x＜5．‎ 所以原不等式组的整数解为1，2，3，4．‎ ‎15．证明：如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．‎ 在△BDF和△CED中，‎ ‎∴△BDF≌△CED，‎ ‎∴DF＝ED，∴∠DEF＝∠DFE．‎ 第15题答图 ‎16．解：去分母，得x(x＋2)－(x2－4)＝2．‎ 去括号，得x2＋2x－x2＋4＝2．‎ 整理，得2x＝－2．‎ 解得x＝－1．‎ 经检验，x＝－1是原方程的解．‎ ‎17．解：∵抛物线y＝－x2＋(m＋2)x＋‎3m－20经过(1，－3)点，‎ ‎∴－12＋(m＋2)＋‎3m－20＝－3，‎ 整理，得‎4m－19＝－3．‎ 解得m＝4．‎ ‎∴二次函数的解析式为y＝－x2＋6x－8．‎ 令y＝0，可得－x2＋6x－8＝0，‎ 解得x1＝2，x2＝4，‎ ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，(4，0)．‎ ‎∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为(3，1)．‎ ‎18．解：连结BD，作DE⊥BC于点E．(如图)‎ ‎∵AB＝AD＝2，∠A＝60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，BD＝2，∠ADB＝60°．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DBC＝60°．‎ 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝60°‎ ‎∴DE＝BD·sin60°＝，BE＝BD·cos60°＝1．‎ 在Rt△CDE中，∠CED＝90°，CE＝BC－BE＝3，‎ ‎．‎ 第18题答图 解法二：作DE∥AB交BC于E，作EF⊥CD于F．‎ 解法三：连结BD，并延长BA、CD交于E．‎ 四、解答题 ‎19．解：(1)直线BD与⊙O相切．‎ 证明：如图，连结OB．‎ ‎∵∠OCB＝∠CBD＋∠D，∠1＝∠D，‎ ‎∴∠2＝∠CBD．‎ ‎∵AB∥OC，∴∠2＝∠A，∴∠A＝∠CBD．‎ ‎∵OB＝OC，∴∠BOC＋2∠3＝180°．‎ ‎∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＋∠3＝90°，‎ ‎∴∠CBD＋∠3＝90°．∴∠OBD＝90°．‎ ‎∴直线BD与⊙O相切．‎ 第19题答图 ‎(2)解：∵∠D＝∠ACB，，．‎ 在Rt△OBD中，∠OBD＝90°，OB＝4，，‎ ‎，，∴CD＝OD－OC＝1．‎ ‎20．解：(1)组成的点M(m，n)的坐标的所有可能性为：‎ 或列表如下：‎ ‎ 第一次 第二次 ‎1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎1‎ ‎(1，1)‎ ‎(-2，1)‎ ‎(-3，1)‎ ‎-2‎ ‎(1，-2)‎ ‎(-2，-2)‎ ‎(-3，-2)‎ ‎-3‎ ‎(1，-3)‎ ‎(-2，-3)‎ ‎(-3，-3)‎ ‎(2)落在第三象限的点有(－2，－2)，(－2，－3)，(－3，－2)，(－3，－3)，因此点M落在第三象限的概率为．‎ ‎21．解：(1)∵8x＋10y＋11(10－x－y)＝100，‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y＝－3x＋10．‎ ‎∵y≥1，解得x≤3．‎ ‎∵x≥1，10－x－y≥1，且x是正整数，‎ ‎∴自变量x的取值范围是x＝1或x＝2或x＝3．‎ ‎(2)W＝8x×0.22＋10y×0.21＋11(10－x－y)×0.2＝－0.14x＋21．‎ 因为W随x的增大而减小，所以x取1时，可获得最大利润，‎ 此时W＝20.86(万元)．‎ 获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．‎ ‎22．解：(1)答案见图①、②(任选一种即可)．‎ ‎(2)答案见图③．‎ 剪拼方法：取AB的中点M，过点M作AP的平行线l，与BC交于点N，过点A作BC的平行线，与l交于点H，将△BMN绕点M顺时针旋转180°到△AMH，则四边形ACNH为拼接后的等腰梯形．‎ 第22题答图 五、解答题 ‎23．解：(1)如图①，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为A(2，4)，B(2，1)，，D(8，1)．‎ 解一：直线CD的解析式为．‎ ‎∵AB∥y轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，‎ ‎∴x＝2时，．∴点F的坐标为．‎ 解二：，，BD＝6，AB＝3．‎ ‎∵梯形ACBD，AC∥BD，F为梯形ACBD的对角线的交点，‎ ‎∴△ACF∽△BDF．．‎ ‎，，点F的纵坐标为．‎ ‎∴点F的坐标为．‎ 第23题答图 ‎(2)如图②，作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．当点A的横坐标为m时，点A、B、C、D的坐标分别为，，，．‎ ‎.‎ S△OBC＝S梯形CNMB＋S△OCN－S△OBM ‎.‎ ‎∴S△OBC＞S△ABC．‎ ‎(3)点A的坐标为(2，4)．‎ ‎24．解：(1)点C的坐标为(3，0)．‎ ‎∵点A、B的坐标分别为A(8，0)，B(0，6)，‎ ‎∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a(x－3)(x－8)．‎ 将x＝0，y＝6代入抛物线的解析式，得a＝．‎ ‎∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．‎ ‎(2)可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G．‎ 直线BC的解析式为y＝－2x＋6．‎ 设点P的坐标为(x，－2x＋6)．‎ ‎①‎ 解法一：如图①，作OP∥AD交直线BC于点P，连结AP，作PM⊥x轴于点M．‎ ‎∵OP∥AD，∴∠POM＝∠GAD，tan∠POM＝tan∠GAD．‎ ‎，即．‎ 解得．经检验是原方程的解．‎ 此时点P的坐标为．‎ 但此时，，OM＜GA．‎ ‎，，，‎ ‎∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，‎ ‎∴直线BC上不存在符合条件的点P．‎ 解法二：如图②，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO＝∠DEA，PE＝DE．‎ 可得△PEN≌△DEG．‎ 由，可得E点的坐标为(4，0)．‎ ‎，，．‎ ‎∴点P的坐标为．‎ 时，，‎ ‎∴点P不在直线BC上．‎ ‎∴直线BC上不存在符合条件的点P．‎ 第24题答图 ‎(3)｜QA－QO｜的取值范围是0≤x≤4．‎ 说明：如图③，由对称性可知QO＝QH，｜QA－QO｜＝｜QA－QH|．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，｜QA－QO｜取得最大值4(即为AH的长)；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，｜QA－QO｜取得最小值0．‎ ‎25．解：(1)①如图①，作AE⊥PB于点E．‎ ‎∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，‎ ‎，‎ ‎∵PB＝4，∴BE＝PB－PE＝3．‎ 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，.‎ 第25题答图 ‎②解法一：如图②，因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△AB，可得△PAD≌△AB，PD＝B，PA＝．‎ ‎∴∠＝90°，∠＝45°，∠PB＝90°．‎ ‎∴＝PA＝2．‎ 解法二：如图③，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G．‎ 在Rt△AEG中，可得 ‎，，．‎ 在Rt△PFG中，可得PF＝PG·cos∠FPG＝PG·cos∠ABE，．‎ 在Rt△PDF中，可得 ‎．‎ ‎(2)如图④所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△，PD的最大值即为的最大值．‎ ‎∵△PB中，B＜＋PB，＝PA＝2，PB＝4，‎ 且P、D两点落在直线AB的两侧，‎ ‎∴当、P、B三点共线时，B取得最大值(见图⑤)．‎ 此时B＝＋PB＝6，即B的最大值为6．‎ 此时∠APB＝180°－∠A＝135°．‎