初中数学中考总复习课件PPT：19矩形、菱形、正方形

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第 19 课时　矩形、菱形、正方形 考点梳理 自主测试 考点一 　 矩形的性质与判定 1 . 定义 有一个角是 直角 的平行四边形是矩形 . 2 . 性质 (1)矩形的对边 平行且相等 ; (2)矩形的四个角都是 直角 ; (3)矩形的对角线 相等 ; (4)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,它的对称中心是对角线的交点 . 3 . 判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有三个角是 直角 的四边形是矩形; (3)对角线 相等 的平行四边形是矩形 . 考点梳理 自主测试 考点二 　 菱形的性质与判定 1 . 定义 一组邻边相等的 平行四边形 叫做菱形 . 2 . 性质 (1)菱形的对边 平行 ,四边都 相等 ; (2)菱形的对角 相等 ; (3)菱形的对角线 互相垂直且平分 ,并且每一条对角线平分一组对角 . 3 . 判定 (1)一组 邻边 相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的 平行四边形 是菱形; (3)四条边都相等的 四边形 是菱形 . 4 . 菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,即 S 菱形 = ab. (其中 a , b 为菱形对角线长) 考点梳理 自主测试 考点三 　 正方形的性质与判定 1 . 定义 一组邻边相等的 矩形 叫做正方形 . 2 . 性质 (1)正方形的四条边都 相等 ,四个角都是 直角 ; (2)正方形的对角线 相等 ,且互相 垂直平分 ,每条对角线平分一组对角; (3)正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴;正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心 . 考点梳理 自主测试 3 . 判定 (1)一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形 是正方形; (2)一组邻边相等的 矩形 是正方形; (3)对角线互相垂直的 矩形 是正方形; (4)有一个角是直角的 菱形 是正方形; (5)对角线相等的 菱形 是正方形 . 4 . 正方形的面积公式: S= a 2 ( a 为边长)或 S= l 2 . ( l 为对角线的长) 考 点 梳理 自主测试 1 . 已知四边形 ABCD 是平行四边形 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , 下列结论不正确的是 ( 　　 ) A. 当 AB=BC 时 , 四边形 ABCD 是菱形 B. 当 AC ⊥ BD 时 , 四边形 ABCD 是菱形 C. 当 OA=OB 时 , 四边形 ABCD 是矩形 D. 当 ∠ ABD= ∠ CBD 时 , 四边形 ABCD 是矩形 解析 : A. 根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确 ;B. 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确 ;C. 根据对角线相等的平行四边形是矩形可以得到该选项正确 ;D. 不能得到一个角是直角 , 故错误 . 故选 D . 答案 : D 考 点 梳理 自主测试 2 . 如图,在菱形 ABCD 中, ∠ B= 60°, AB= 4,则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为( 　　 ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析: ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AB=BC. ∵ ∠ B= 60°, ∴ △ ABC 是等边三角形 . ∴ AC=AB= 4 . ∴ 正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF= 4 × 4 = 16, 故选 C. 答案: C 考 点 梳理 自主测试 3 . 下列命题是真命题的是( 　　 ) A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形 答案: C 4 . 如图,在正方形 ABCD 中, AD= 1 . 将 △ ABD 绕点 B 顺时针旋转45°得到 △ A'BD' ,此时 A'D' 与 CD 交于点 E ,则 DE 的长度为 　　　　　 .  命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 1 　 矩形的性质与判定 【例 1 】 如图,在 △ ABC 中, AB=AC , AD , AE 分别是 ∠ BAC 和 ∠ BAC 外角的平分线, BE ⊥ AE . (1)求证: DA ⊥ AE ; (2)试判断 AB 与 DE 是否相等?并证明你的结论 . 分析: 第 (1) 题利用邻补角的角平分线互相垂直易证 ; 在第 (2) 题中 , AB 与 DE 是四边形 ADBE 的对角线 , 可考虑利用矩形的判定 , 证明四边形 ADBE 是矩形即可 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 (1) 证明 : ∵ AD , AE 分别平分 ∠ BAC , ∠ BAF , (2) 解 : AB=DE. 理由 : ∵ AB=AC , AD 平分 ∠ BAC , ∴ AD ⊥ BC. ∴ ∠ ADB= 90°. ∵ BE ⊥ AE , ∴ ∠ AEB= 90°. ∵ ∠ DAE= 90°, ∴ 四边形 ADBE 是矩形 . ∴ AB=DE. 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 2 　 菱形的性质与判定 【例 2 】 如图,在 ▱ ABCD 中, AE 平分 ∠ BAD ,交 BC 于点 E , BF 平分 ∠ ABC ,交 AD 于点 F , AE 与 BF 交于点 P ,连接 EF , PD. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若 AB= 4, AD= 6, ∠ ABC= 60°,求tan ∠ ADP 的值 . (1) 证明: ∵ BF 平分 ∠ ABC , ∴ ∠ ABF= ∠ EBF. ∵ AD ∥ BC , ∴ ∠ AFB= ∠ EBF. ∴ ∠ AFB= ∠ ABF. ∴ AB=AF. 同理 , AB=BE. ∴ AF=BE. 又 AF ∥ BE , ∴ 四边形 ABEF 是平行四边形 . ∵ AB=AF , ∴ 四边形 ABEF 是菱形 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 (2) 解 : 过点 P 作 PG ⊥ AD 于点 G , 如图 . ∵ 四边形 ABEF 是菱形 , ∠ ABC= 60°, ∴ △ ABE 是等边三角形 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 1 命题点 2 命题点 3 变式训练 如图 , 在菱形 ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , AB= 5, AC= 6 . 过 D 点作 DE ∥ AC 交 BC 的延长线于点 E. (1) 求 △ BDE 的周长 ; (2) 点 P 为线段 BC 上的点 , 连接 PO , 并延长交 AD 于点 Q , 求证 : BP=DQ. 命题点 1 命题点 2 命题点 3 (1) 解 : 因为四边形 ABCD 为菱形 , 所以 BE ∥ AD. 又 AC ∥ DE , 所以四边形 ACED 为平行四边形 , 则有 AB=AD=BC=CE= 5, 所以 BE=BC+CE= 10, AC=DE= 6 . (2) 证明 : 因为四边形 ABCD 为菱形 , 所以 OB=OD , BE ∥ AD , 则 ∠ DBC= ∠ ADB. 又 ∠ BOP= ∠ DOQ , 所以 △ BOP ≌△ DOQ , 故有 BP=DQ. 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 3 　 正方形的性质与判定 【例 3 】 如图 ① ,在正方形 ABCD 中, E , F , G , H 分别为边 AB , BC , CD , DA 上的点, HA=EB=FC=GD ,连接 EG , FH ,交点为 O. (1)如图 ② ,连接 EF , FG , GH , HE ,试判断四边形 EFGH 的形状,并证明你的结论 ;   (2)将正方形 ABCD 沿线段 EG , HF 剪开,再把得到的四个四边形按图 ③ 的方式拼接成一个四边形 . 若正方形 ABCD 的边长为3 cm , HA=EB=FC=GD= 1 cm,则图 ③ 中阴影部分的面积为 　　　　 cm 2 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 分析 : 根据题目的条件 , 可先证 △ AEH , △ BFE , △ CGF , △ DHG 四个三角形全等 , 证得四边形 EFGH 的四边相等 , 然后由全等再证一个角是直角 . 解 : (1) 四边形 EFGH 是正方形 . 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴ ∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D= 90°, AB=BC=CD=DA. ∵ HA=EB=FC=GD , ∴ AE=BF=CG=DH. ∴ △ AEH ≌△ BFE ≌△ CGF ≌△ DHG. ∴ EF=FG=GH=HE. ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 由 △ DHG ≌△ AEH , 知 ∠ DHG= ∠ AEH. ∵ ∠ AEH+ ∠ AHE= 90°, ∴ ∠ DHG+ ∠ AHE= 90°. ∴ ∠ GHE= 90°. ∴ 菱形 EFGH 是正方形 . (2)1 命题点 1 命题点 2 命题点 3