鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练22解直角三角形的应用试题

鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练22解直角三角形的应用试题

课时训练(二十二)　解直角三角形的应用 ‎(限时:30分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2018·宜昌] 如图K22-1,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于 (　　)‎ 图K22-1‎ A.100sin35°米 B.100sin55°米 C.100tan35°米 D.100tan55°米 ‎2.[2019·长春]如图K22-2,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离BC为(　　)‎ 图K22-2‎ A.3sinα米 B.3cosα米 ‎ C.‎3‎sinα米 D.‎3‎cosα米 ‎3.[2019·温州]某简易房示意图如图K22-3所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为 (　　)‎ 图K22-3‎ A.‎9‎‎5sinα米 B.‎9‎‎5cosα米 ‎ C.‎5‎‎9sinα米 D.‎5‎‎9cosα米 ‎4.[2019·衢州]如图K22-4,人字梯AB,AC的长都为2米,当α=50°时,人字梯顶端离地面的高度AD是　　 ‎ 9‎ ‎　　米.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19) ‎ 图K22-4‎ ‎5.[2018·咸宁] 如图K22-5,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110 m,那么,该建筑物的高度BC约为　　　　m.(结果保留整数,‎3‎≈1.73) ‎ 图K22-5‎ ‎6.[2019·台州] 图K22-6①是一辆在平地上滑行的滑板车,图②是其示意图,已知车杆AB长92 cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°,前后轮子的半径均为6 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)‎ 图K22-6‎ ‎7.[2018·邵阳] 某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图K22-7‎ 9‎ 所示,已知原阶梯式自动扶梯AB的长为10 m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1 m,温馨提示:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)‎ 图K22-7‎ ‎8.[2019·武威] 如图K22-8①是放置在水平面上的台灯,图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计),其中灯臂AC=40 cm,灯罩CD=30 cm,灯臂与底座构成的∠CAB=60°.CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用发现:当CD与水平线所成的角为30°时,台灯光线最佳.现测得点D到桌面的距离为49.6 cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳?(参考数据:‎3‎取1.73)‎ 图K22-8‎ ‎|能力提升|‎ ‎9.[2018·绵阳] 一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30‎ 9‎ 海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据:‎3‎≈1.732,‎2‎≈1.414) (　　)‎ A.4.64海里 ‎ B.5.49海里 C.6.12海里 ‎ D.6.21海里 ‎10.[2019·温州]图K22-9①是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为　　　　分米;当OB从水平状态旋转到OB'(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'-BE为　　　　分米. ‎ 图K22-9‎ ‎11.[2019·金华] 如图K22-10②③是某公共汽车双开门的俯视示意图,ME,EF,FN是门轴的滑动轨道,∠E=∠F=90°,两门AB,CD的门轴A,B,C,D都在滑动轨道上,两门关闭时(图②),A,D分别在E,F处,门缝忽略不计(即B,C重合);两门同时开启,A,D分别沿E→M,F→N的方向匀速滑动,带动B,C滑动.B到达E时,C恰好到达F,此时两门完全开启.已知AB=50 cm,CD=40 cm.‎ ‎(1)如图③,当∠ABE=30°时,BC=　　　cm. ‎ ‎(2)在(1)的基础上,当A向M方向继续滑动15 cm时,四边形ABCD的面积为　　　cm2. ‎ 图K22-10‎ ‎12.[2018·呼和浩特] 如图K22-11,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1∶3.已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°,求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(‎ 9‎ 结果用含有非特殊角的三角函数和根式表示即可)‎ 图K22-11‎ 9‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C ‎2.A　[解析]由题意可得:sinα=BCAB‎=‎BC‎3‎,‎ ‎∴BC=3sinα(米).故选A.‎ ‎3.B　[解析]过点A作AD⊥BC,垂足为点D,‎ 则BD=1.5+0.3=1.8(米).‎ 在Rt△ABD中,∠ADB=90°,cosB=BDAB,‎ 所以AB=BDcosα‎=‎1.8‎cosα=‎‎9‎‎5cosα.故选B.‎ ‎4.1.5　[解析]由三角函数的定义得:sinα=sin50°=ADAC‎=‎AD‎2‎≈0.77,所以AD≈2×0.77=1.54≈1.5米.‎ ‎5.300　[解析] ∵在Rt△ABD中,AD=110 m,∠BAD=45°,∴BD=AD=110 m.‎ ‎∵在Rt△ACD中,∠CAD=60°,‎ ‎∴CD=AD·tan60°=110×‎3‎≈190(m).‎ ‎∴BC=BD+CD≈110+190=300(m).‎ 故该建筑物的高度BC约为300 m.‎ ‎6.解:过点A作AD⊥BC于点D,‎ 在Rt△ABD中,AB=92,∠B=70°,‎ ‎∴AD=ABsinB≈92×0.94=86.48,‎ ‎∴A离地面高度为86.48+6≈92.5(cm).‎ 答:把手A离地面的高度约为92.5 cm.‎ ‎7.解:由题意可知,在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10 m,‎ ‎∴AD=‎1‎‎2‎AB=5 m.‎ 在Rt△ACD中,sin∠ACD=ADAC,‎ ‎∵∠ACD=15°,AD=5 m,‎ ‎∴‎5‎AC≈0.26.‎ 解得AC≈19.2.‎ 答:AC的长度约为19.2 m.‎ ‎8.解:如图,作CE⊥AB于E,DH⊥AB于H,CF⊥DH于F.‎ 9‎ ‎∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°,‎ ‎∴四边形CEHF是矩形,‎ ‎∴CE=FH.‎ 在Rt△ACE中,‎ ‎∵AC=40 cm,∠A=60°,‎ ‎∴CE=AC·sin60°=34.6,‎ ‎∴FH=CE=34.6(cm).‎ ‎∵DH=49.6 cm,‎ ‎∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15(cm).‎ 在Rt△CDF中,sin∠DCF=DFCD‎=‎15‎‎30‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴∠DCF=30°,∴此时台灯光线为最佳.‎ ‎9.B　[解析] 如图所示,由题意知,∠BAC=30°,∠ACB=15°,作BD⊥AC于点D,以点B为顶点,BC为边,在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°,‎ 则∠BED=30°,BE=CE.设BD=x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=‎3‎x.‎ ‎∴AC=AD+DE+CE=2‎3‎x+2x.‎ ‎∵AC=30,∴2‎3‎x+2x=30.解得x=‎15(‎3‎-1)‎‎2‎≈5.49.故选B.‎ ‎10.5+5‎3‎　4　[解析](1)过点O分别作OL⊥MD,ON⊥AM,垂足分别为点L,N,‎ 则四边形NMLO是矩形,∴MN=LO.‎ 9‎ ‎∵OC=OD=10分米,∠COD=60°,∴∠COL=30°,CL=‎1‎‎2‎CO=5,OL=OC‎2‎-CL‎2‎‎=‎‎1‎0‎‎2‎-‎‎5‎‎2‎=5‎3‎,‎ ‎∵∠AOC=90°,∴∠AON=30°,‎ ‎∴AN=‎1‎‎2‎AO=5,∴AM=5+5‎3‎.‎ ‎(2)过点F分别作FQ⊥OB,FP⊥OC,垂足分别为点Q,P.‎ 在Rt△OFQ中,∠OQF=90°,∠BOD=60°,‎ ‎∴OQ=2,FQ=2‎3‎,‎ 在Rt△EFQ中,∠EQF=90°,FQ=2‎3‎,EF=6,‎ ‎∴QE=2‎6‎,BE=10-2-2‎6‎=8-2‎6‎.‎ 同理可得PE'=2‎6‎,‎ ‎∴B'E'=2+10-2‎6‎=12-2‎6‎,‎ ‎∴B'E'-BE=(12-2‎6‎)-(8-2‎6‎)=4.‎ ‎11.(1)(90-45‎3‎)　(2)2256　[解析](1)∵AB=50 cm,CD=40 cm,‎ ‎∴AB+CD=EF=90 cm.‎ 在Rt△ABE中,∵∠E=90°,∠ABE=30°,‎ ‎∴EB=25‎3‎.同理可得CF=20‎3‎.‎ ‎∴BC=EF-BE-CF=90-45‎3‎(cm).‎ ‎(2)根据题意,得AE=40,DF=32,EB=‎5‎0‎‎2‎-4‎‎0‎‎2‎=30,CF=‎4‎0‎‎2‎-3‎‎2‎‎2‎=24,‎ ‎∴S四边形ABCD=S梯形AEFD-S△ABE-S△CDF ‎=‎1‎‎2‎(AE+DF)·EF-‎1‎‎2‎AE·EB-‎1‎‎2‎CF·DF ‎=‎1‎‎2‎(40+32)×90-‎1‎‎2‎×40×30-‎1‎‎2‎×24×32‎ ‎=2256.‎ ‎12.解:如图,过点D作DF⊥BC于点F,DE⊥AC于点E.‎ ‎∴DF∶BF=1∶3.‎ 9‎ 设DF=k,则BF=3k.由勾股定理,可得BD=‎10‎k.‎ ‎∴sin∠DBF=DFBD‎=k‎10‎k=‎‎10‎‎10‎,‎ cos∠DBF=BFBD‎=‎3k‎10‎k=‎‎3‎‎10‎‎10‎.‎ ‎∴DF=BD·sin∠DBF=60‎10‎,‎ BF=BD·cos∠DBF=180‎10‎.‎ ‎∵∠ADE=45°,∴AE=DE=CF.‎ 设AE=DE=CF=x.‎ ‎∴BC=BF+CF=180‎10‎+x.‎ AC=AE+CE=AE+DF=x+60‎10‎.‎ 在Rt△ABC中,AC=BC·tan33°,‎ ‎∴x+60‎10‎=tan33°(180‎10‎+x).‎ ‎∴x=‎180‎10‎tan33°-60‎‎10‎‎1-tan33°‎,‎ ‎∴AC=AE+CE=‎180‎10‎tan33°-60‎10‎tan33°‎‎1-tan33°‎‎=‎‎120‎10‎tan33°‎‎1-tan33°‎(米).‎ 9‎