中考数学第一轮复习导学案因式分解

中考数学第一轮复习导学案因式分解

- 1 - 因式分解 ◆【课前热身】 1.已知(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)可因式分解成(axb)(8xc)，其中 a、b、c 均 为整数，则 abc 的值是 （ ） A．12 B．32 C．38 D．72 2.把多项式 aaxax 22  分解因式，下列结果正确的是 （ ） A. )1)(2(  xxa B. )1)(2(  xxa C. 2)1( xa D. )1)(2(  axax 3.下列式子中是完全平方式的是（ ） A． 22 baba  B． 222  aa C． 22 2 bba  D． 122  aa 4.分解因式：3 x 2 －27= ． 5. 22008 2009 2008 ＝ . 【参考答案】1. A 2. A 3. D 4. 3(x +3)（x -3） 5. - ◆【考点聚焦】 掌握并灵活运用提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）进行因式分解 ◆【备考兵法】 因式分解的基本方法 1）提取公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）； 2）运用公式法：a2－b2=（a+b）（ a－b）； a2±2ab+b2=（a±b）2； 3）分组分解法：①分组后直接提公因式；②分组后直接运用公式； 4）十字相乘法：x2+（p+q）x+pq 型式子和因式分解，即：x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq= （x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+q）（ x+p）； 5）求根公式法：在分解二次三项式 ax2+bx+c 的因式时，可先用公式求方程 ax2+bx+c 的两个根 x1，x2，然后得 ax2+bx+c=a（x－x1）（ x－x2）． 因式分解的其他方法 ①配方法；②换元法；③拆项添项法 易错知识辨析 - 2 - （1）注意因式分解与整式乘法的区别； （2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式. ◆【考点链接】 1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因 式都不能再分解为止． 2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ， ⑶ ，⑷ . 3. 提公因式法：  mcmbma __________ _________. 4. 公式法: ⑴  22 ba ⑵  22 2 baba ， ⑶  22 2 baba . 5. 十字相乘法：    pqxqpx2 ． 6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）． ◆【典例精析】 例 1 填空题： （1）分解因式：2a（b+c）－3（b+c）=_______． （2）分解因式：a3－2a2+a=______； （3）分解因式：a2－4b2=________． 【答案】（1）2a（b+c）－3（b+c）=（2a－3）（ b+c） （2）a3－2a2+a=a（a2－2a+1）=a（a－1）2 （3）a2－4b2 = a2－（2b）2=（a－2b）（ a+2b） 【解析】 （1）提取公因式法是分解因式的常用方法之一，•当公因式是一个多项式时， 可以直接提取． （2）本题提公因式 a 后，原多项式变形为 a（a2－2a+1），这一步虽然是因式分解，但 其中一个因式 a2－2a+1 在有理数范围内仍然能再分解，即 a2－2a+1=（a－1）2，切记因式分 解的最后结果必须使每一个因式在指定数的范围内都不能再分解． （3）运用公式法分解因式，可以先把所给多项式转化成公式 的形式，•再运用公式进 行分解，以免由于误判，使分解的结果产生错误． 例 2 选择题： （1）若 a，b，c 是三角形三边的长，则代数式 a2+b2－c2－2ab 的值（ ） - 3 - A．大于零 B．小于零 C．大于或等于零 D．小于或等于零 （2）把多项式 4x2+8x－1 分解因式的结果是（ ） A．（ x－ 25 2  ）（ x－ 25 2  ） B．（ x+ ） C．4（x+ ）（ x+ ） D．（ 2x+2－ 5 ）（ 2x+2+ ） 【答案】（1）∵a2+b2－c 2－2ab=（a2－2ab+b2）－c2=（a－b）2－c2 =（a－b+c）（ a－b－c）， 又∵a，b，•c 是三角形三边的长． ∴a+c>b，a0，a－b－c<0 ∴（a－b+c）（ a－b－c）<0 即 a2+b2－c2－2ab<0，故选 B． （2）由求根公式法，可得方程 4x2+8x－1=0 的两根是 x1= ，x2= ，∴ 4x2+8x－1=4（x－ ）（ x－ ）=（2x+2－ ）（ 2x+2+ ），故选 D． 【解析】（1）本题是确定代数式的取值范围与因式分解的综合题，•把所给多项式的部 分因式进行因式分解，再结合“a，b，c 是三角形的三边”，应满足三角形三边关系是解决 这类问题的常用方法． （2）确定因式分解结果的选择题，其选择项的确定方法一般有两种，•一种是先把所给 多项式进行分解，得到结果再确定选择项；二是把所给的每一个选择项，分别按照整式和乘 法法则进行计算，再把所得积与所给的多项式进行比较，最终确定选择项． 例 3（湖南长沙）因式分解： 224aa ． 【答案】 )2(2 aa 【解析】本题考查了因式分解的基本方法----提公因式法.本题只要将原式的公因式 2a 提出即可. ◆【迎考精练】 一、选择题 1. （北京）把 3 2 22x x y xy分解因式，结果正确的是 （ ） - 4 - A.   x x y x y B.  222x x xy y C.  2x x y D.  2x x y 2. (四川内江) 在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（ a ＞b ）（如图甲）， 把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验 证（ ） A． 222 2)( bababa  B． 222 2)( bababa  C． ))((22 bababa  D． 22 2))(2( babababa  3. （四川眉山）下列因式分解错误的是( ) A． 22( )( )x y x y x y    B． 226 9 ( 3)x x x    C． 2 ()x xy x x y   D． 2 2 2()x y x y   4. （广西南宁）把多项式 22 8 8xx分解因式，结果正确的是（ ） A． 224x  B．  224x  C．  222x  D．  222x  二、填空题 1.（广东省）分解因式 328xx =__________． 2.（湖北黄石）因式分解 3 4aa ． 3.(湖北黄冈)分解因式： 36 54aa =________． 4.（湖北恩施）分解因式： 328aa____________． 5.（四川内江）分解因式： _____________2 23  xxx . 6.（四川泸州）分解因式：  ayax . 7.（四川宜宾）因式分解： 82 2x . 8.（浙江绍兴）因式分解： 32x xy ＝___________． 9.（浙江嘉兴）因式分解：  )(3)( 2 yxyx ． 10.（浙江杭州）在实数范围内因式分解 44 x = _____________． a a a a b b b b 图甲 图乙 图乙 - 5 - 11.（山东济宁）分解因式： 2ax a . 12.（福建福州）分解因式： 2 2xx = . 13.（安徽）因式分解： 2221a b b    ． 三、解答题 1.（吉林省）在三个整式 2 2 22 , 2 ,x xy y xy x中，请你任意选出两个进行加（或减）运算， 使所得整式可以因式分解，并进行因式分解 2．（湖北孝感）已知： 31x ， 31y ，求下列各式的值. （1） 222x xy y；（ 3 分） （2） 22xy ．（3 分） 3.（湖南湘西自治州）先化简再计算： yxyx yx   2 22 ，其中 x =3， y =2 - 6 - 4.（浙江衢州）给出三个整式 a2，b2 和 2ab． (1) 当 a=3，b=4 时，求 a2+b2+2ab 的值； (2) 在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能 够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程． 5．(浙江温州)在学习中，小明发现：当 n=1，2，3 时，n2—6n 的值都是负数．于是小朋猜 想：当 n 为任意正整数时，n2-6n 的值都是负数．小明的猜想正确吗?请简要说明你的理由． 6.（福建漳州）给出三个多项式： 21 212 xx， 21 412 xx， 21 22 xx ．请选择你最 喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 7.（湖北十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值： （1）a2b+ab2 （2）a2+b2 【参考答案】 - 7 - 选择题 1.D 2.C 3.D 4.C 填空题 1.   2 2 2x x x 2. )2)(2(  aaa 3.   336  aaa 4. 2 ( 2)( 2)a a a 5. -x(x+1)2 6. )( yxa  7. )2(22  xx ）（ 8. x（x+y）（ x-y） 9. )3)((  yxyx 10. )2)(2)(2( 2  xxx 11. a（x+1）（ x-1） 12. x（x－２） 13. ( 1)( 1)a b a b    解答题 1. 解： 2 2 2( 2 ) 2 2 2 ( );x xy x x xy x x y      或 2 2 2( 2 ) ( ) ;y xy x x y    或 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( )( );x xy y xy x y x y x y        或 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( )( ).y xy x xy y x y x y x        2. 解：（1）原式＝ 2()xy ＝ 2( 3 1 3 1)   ＝ 2(2 3) ＝ 12 （2）原式＝( )( )x y x y＝ )]13()13)][(13()13[(  ＝ 2 3 2 ＝ 43 3. 解：原式＝ yxyx yxyx   2)( ))(( ＝x＋y－2x＋y ＝－x＋2y 因为 x＝3，y＝2 所以原式＝－3＋4＝1 4. 解：(1) 当 a=3，b=4 时， a2+b2+2ab= 2()ab =49． (2) 答案不唯一，式子写对给 2 分，因式分解正确给 2 分．例如， 若选 a2，b2，则 a2-b2=(a+b)(a-b)． 若选 a2，2ab，则 a2±2ab=a(a±2b)． 5. 答：不正确。 - 8 - 解法一：（利用反证说明）例如：当 n=7 时，n2-6n=7>0 解法二：n2-6n=n(n-6),当 n2-6n≥0 6. 解：情况一： 22112 1 4 122x x x x     = 2 6xx = ( 6)xx ． 情况二： 22112 1 222x x x x    = 2 1x  = ( 1)( 1)xx． 情况三： 22114 1 222x x x x    = 2 21xx= 2( 1)x  7. 解法①： （1） 632)(22  baababba （2） ∵ 222 2)( bababa  ∴ 52232)( 2222  abbaba 解法②： 由题意得      2 3 ab ba 解得：      1 2 1 1 b a      2 1 2 2 b a 当 1,2  ba 时， 514,624 2222  baabba 当 2,1  ba 时， 541,642 2222  baabba