2020-2021学年初三数学上册同步练习：因式分解法解一元二次方程

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2020-2021 学年初三数学上册同步练习：因式分解法解一元二次方程 1．下列命题：①关于 x 的方程 2 20kx x   是一元二次方程；② x=1 与方程 2 1x  是同解方程；③ 方程 2xx 与方程 x=1 是同解方程；④由 ( 1 ) ( 1 ) 3xx   可得 x+1=3 或 x-1=3．其中正确的命题有 （ ）. A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】A 【解析】 根据一元二次方程的概念，由于 k 的值不确定，当 k=0 时，此方程为一元一次方程，故①不正确； 方程 2 1x  的解是 x=±1，所以与 x=1 不是同解方程，故②不正确； 方程 2xx 的解是 x=1 或 x=0，所以与 x=1 不是同解方程，故③不正确； 由   1 1 3xx   可得 x2-1=3，即 x2=4，故④不正确. 因此正确的命题有 0 个. 故选：A. 2．若关于 x 的方程 2 50x x k   的一个根是 0，则另一个根是（ ） A．1 B．－1 C．5 D． 1 2 【答案】C 【解析】 根据方程的解，可直接把 x=0 代入，可得 k=0，则原方程为 2 50xx，因式分解为 x（x-5）=0，解得 x=0 或 x=5，另一个解为 x=5. 故选：C. 3．若 2222()(3)40abab ，则 22ab 的值为（ ）. A．－3 B．－1 或 4 C．4 D．无法计算 【答案】C 【解析】 把 22ab 看做一个整体，则方程可看作 2 2 2 2 2( ) 3( ) 4 0a b a b     ，然后分解因式为（ +1） （ -4）=0，解得 =-1（舍去）或 =4. 故选：C. 4．方程푥2 − 2 = |푥|的根的个数是( ) A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】 【分析】对方程分两种情况进行计算即可. 【详解】 当푥 ≥ 0时，原方程可化为푥2 − 푥 − 2 = 0， 解得푥1 = 2，푥2 = −1(舍去)； 当푥 < 0时，原方程可化为푥2 + 푥 − 2 = 0， 解得푥1 = −2，푥2 = 1(舍去)． ∴原方程有 2 个根． 故选 B． 【点评】本题考查了绝对值的意义及因式分解法解一元二次方程. 5．若一元二次方程式 x2﹣8x﹣3×11=0 的两根为 a、b，且 a＞b，则 a﹣2b 之值为何？（ ） A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17 【答案】D 【解析】 分析：先利用因式分解法解方程得到 a=11，b=﹣3，然后计算代数式 a﹣2b 的值． 详解：（x﹣11）（ x+3）=0， x﹣11=0 或 x﹣3=0， 所以 x1=11，x2=﹣3， 即 a=11，b=﹣3， 所以 a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过 因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方 程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思 想）． 6．若关于 x 的两个方程 2 20xx   与 12 1x x a  有一个解相同，则 a  __________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先解出一元二次方程 的解，根据两个方程的解相同，把 x 的值代入第二个方程中， 解出 a 即可． 【详解】 解：解方程 得 x1＝2，x2＝−1， ∵x＋1≠0， ∴x≠−1， 把 x＝2 代入 中得： 12 212 a ， 解得：a＝4， 故答案为 4． 【点评】此题主要考查了解一元二次方程，以及解分式方程，关键是正确确定 x 的值，分式方程注意分母 要有意义． 7．设一元二次方程 2 50xx的较大的根为 m ， 2 320xx 的较小的根为 n ，则 mn 的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用因式分解法解两个一元二次方程得到 m=0，n=1，然后计算 m+n． 【详解】 ∵ ， ∴ ( 5 ) 0xx， 解得 0x  或 5x  ， ∴ 0m  ． ∵ 2 3 2 0xx   ， ∴ ( 1 ) ( 2) 0xx   ， 解得 1x  或 2x  ， ∴ 1n  ， ∴ 1mn． 【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两 个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也 就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 8．方程 x2-9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为________. 【答案】15. 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程得到 x1=3，x2=6，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为 3，腰为 6， 然后计算三角形的周长． 【详解】 x2−9x+18=0， (x−3)(x−6)=0， ∴x1=3，x2=6， ∵3+3=6，所以 3 不能为腰， 当等腰三角形的腰为 6，底为 3，这个等腰三角形的周长为 3+6+6=15. 故答案为 15. 【点评】此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握 运算法则. 9．若 n 是方程 x2+mx+n=0 的根，n≠0，则 m+n 等于_____． 【答案】﹣1． 【解析】 【分析】将 n 代入方程可得 n2+mn+n=0，提取 n 得到 n（m+n+1）=0，由 n≠0 可得 m+n+1=0，进而得出 m+n 的值. 【详解】 由题意得：n2+mn+n=0， n（m+n+1）=0， ∵n≠0， ∴m+n+1=0， ∴m+n=﹣1. 故答案为﹣1. 【点评】本题主要考查一元二次方程根的意义. 10． 2 2096xx因式分解结果为________，方程 2 20960xx 的根为________． 【答案】（x+24）(x-4) x1=-24 ， x2=4 【解析】 运用十字相乘法对二次三项式进行因式分解， x2+20x-96=（x+24）（ x-4）．然后把 x2+20x-96=0 方程因式分 解为（x+24）（ x-4）=0 然后根据 ab=0 式的方程的解法，可得 x+24=0 或 x-4=0，解得 x1=-24，x2=4． 故答案为：（x+24）（ x-4）； -24，4． 【点评】本题考查的是二次三项式的因式分解和因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解并求 出方程的两个根． 11．按指定的方法解方程： （1）9（x﹣1）2﹣5=0（直接开平方法） （2）2x2﹣4x﹣8=0（配方法） （3）6x2﹣5x﹣2=0（公式法） （4）（ x+1）2=2x+2（因式分解法） 【答案】（1）x1= 3 + 5 3 ，x2= 35 3  ；（ 2）x1=1+ 5 ，x2=1﹣ ；（ 3）x1= 5 + 7 3 12 ，x2= 5 73 12  ；（ 4） x1=﹣1，x2=1． 【解析】 【分析】（1）移项后，利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法，先把二次项的系数化为 1，再确定一次项的系数，然后配方即可； （3）先确定 a、b、c 的值，然后求出△ =b2-4ac，判断后利用公式法解方程即可； （4）把方程右边提公因式 2，再移项，提公因式 x+1 即可解方程. 【详解】 （1）移项得：9（x﹣1）2=5， （x﹣1）2= 5 9 ， 开方得：x﹣1=± 5 3 ， x1= 3 + 5 3 ，x2= 35 3  ； （2）2x2﹣4x﹣8=0， 2x2﹣4x=8， x2﹣2x=4， 配方得：x2﹣2x+1=4+1， （x﹣1）2=5， 开方得：x﹣1=± 5 ， x1=1+ ，x2=1﹣ ； （3）6x2﹣5x﹣2=0， b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×6×（﹣2）=73， x= 573 26   ， x1= 5 + 7 3 12 ，x2= 573 12  ； （4）（ x+1）2=2x+2， （x+1）2﹣2（x+1）=0， （x+1）（ x+1﹣2）=0， x+1=0，x+1﹣2=0， x1=﹣1，x2=1． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，关键是熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配 方法，公式法，因式分解法. 12．如果方程 2 60ax bx   与方程 2 2 15 0ax bx   有一个公共根是 3，求 a、b 的值，并分别求出 两个方程的另一个根． 【答案】 a=b=1；该方程的另一个根为－2；该方程的另一个根为－5． 【解析】 试题分析：把 x=3 代入题中两个方程中，得到关于 a、b 的二元一次方程组，用适当的方法解答，求出 a、b 的值，再解方程即可求得． 试题解析：将 代入两个方程得 ，解得： , ∴ ；将 代入方程 得 ， ∴ ， ∴ ， ∴该方程的另一个根为－2； 将 代入方程 得 ， ∴ ， ∴ ， ∴该方程的另一个根为－5．