2020-2021学年初三数学上册同步练习：弧、弦、圆心角

2020-2021学年初三数学上册同步练习：弧、弦、圆心角

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：弧、弦、圆心角 1．如图，C、D 为半圆上三等分点，则下列说法：① AD =CD = BC ；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD ＝CD＝OC；④△AOD 沿 OD 翻折与△ COD 重合．正确的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】A 【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可． 【详解】 ∵C、D 为半圆上三等分点， ∴ AD CD BC  ，故①正确， ∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相， ∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确， ∵OA=OD=OC=OB， ∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形， ∴△AOD 沿 OD 翻折与△ COD 重合．故④正确， ∴正确的说法有：①②③④共 4 个， 故选 A． 【点评】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦 相等和平角的概念求解． 2．若 AB 和CD的度数相等，则下列命题中正确的是（ ） A． AB =CD B． AB 和CD的长度相等 C． AB 所对的弦和CD所对的弦相等 D． AB 所对的圆心角与CD所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】【分析】画出两个同心圆，弧 AB 和弧 CD 的度数相等，再逐个判断即可． 【详解】 如图， AB 与CD的度数相等， A、根据度数相等，不能推出弧相等，故本选项错误； B、根据度数相等，不能推出两弧的长度相等，故本选项错误； C、根据度数相等，不能推出所对应的弦相等，故本选项错误； D、根据度数相等，能推出弧所对的两个圆心角相等，故本选项正确； 故选 D． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间关系的应用，主要考查学生对定理的理解能力和判断能力． 3．如图，⊙O 中弦 AB＝CD，且 AB 与 CD 交于 E. 求证：DE＝AE. 【答案】见解析 【解析】【分析】连接 AD，由于 AB=CD，所以 AB CD ，从而得到 AC BD ，再根据同弧所对的圆周 角相等得到∠BAD=∠CDA，最后由等角对等边证得 DE=AE． 【详解】 解：证明：连接 AD， ∵AB=CD， ∴ AB CD ， ∴ AB BC CD BC   ， 即 AC BD ， ∴∠BAD=∠CDA， ∴DE=AE(等角对等边). 【点评】本题考查了在同圆中，圆周角、弧、弦的关系及等腰三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造 出等腰三角形是解答此题的关键． 4．已知：如图所示，AB，CD 是 O 的弦，OC，OD 分别交 AB 于点 E，F，且OE OF ，求证：AC BD . 【答案】详见解析 【解析】【分析】过点 O 作OM AB 于点 M.由等腰三角形的性质可证 AOM BOM  ， EOM FOM  ，从而可得 AOC BOD  ，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论. 【详解】 证明：如图，过点 O 作OM AB 于点 M. OA OB ， AOM BOM  . 同理， EOM FOM  . AOC BOD  . AC BD  . 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中 有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质. 5．某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔 A ，B ，通告所有船只不 要进入以 AB 为弦的弓形区域（阴影部分）内（含边界）以免触礁，如图所示.现有一艘货轮 P 正向暗礁区 域靠近，当 APB 多大时，才能避开暗礁？ 【答案】使∠APB<55°，即在 ACB外行驶，就能避开暗礁. 【解析】【分析】利用极限法，找出恰好不能避开暗礁的两个位置，即可确定答案. 【详解】 解：货轮 P 在航行时，只要使∠APB<55°，即在 ACB 外行驶，就能避开暗礁. 【点评】本题考查了圆心角和极限思维的相关知识，特别极限思维是解答本题的关键. 6．阅读下面材料： 对于平面图形 A，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图 形 A 被这个圆所覆盖. 对于平面图形 A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不 大于这个圆的半径，则称图形 A 被这些圆所覆盖. 例如：图 1 中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖. 回答下列问题： (1)边长为 1 cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是______ cm; (2)边长为 1 cm 的等边三角形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是_____ cm; (3)长为 2 cm，宽为 1 cm 的矩形被两个半径均为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是_____ cm.这两个圆的圆心距是 _____ cm.． 【答案】（1) 2 2 ；(2) 3 3 ；(3) 2 2 ， 1. 【解析】试题分析：（1）边长为 1 cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖，则 r 应大于等于正方形对角线 的一半，即半径最小为 2 2 ；（2）当圆外接三角形时圆的半径最小，如图，根据勾股定理可求得圆的半径 是 3 3 ；（3）根据对称性可知两圆的交点分别是 AD 和 BC 的中点，将矩形分成两个相等的小正方形，圆的 最小半径就是小正方形的对角线的一半，圆心距就是小正方形的边长. （1)以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径 r 的最小值＝ 2 2 ; (2) 边长为 1 cm 的等边三角形被一个半径为 r 的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三 角形 ABC 的高 AD 构成直角三角形 ABD，斜边 AB＝1，BD＝ 1 2 ， 所以 AD＝，因为三角形是正三角形， 所以∠ABC＝60°，O 是外心，所以∠OBC=30°，OD＝ 1 2 OB， 设 OA＝OB=x，则 OD＝ 1 2 x， 在直角三角形 OBD 中，根据勾股定理列方程：， 解得：x＝ 3 3 . (3)如图：矩形 ABCD 中 AB＝1，BC＝2， 则覆盖 ABCD 的两个圆与矩形交于 E、F 两点， 由对称性知 E、F 分别是 AD 和 BC 的中点， 则四边形 ABFE、EFCD 是两个边长为 1 的正方形， 所以圆的半径 r＝ 2 2 , 两圆心距＝ 1. 7．如图，在⊙O 中，直径 MN 垂直于弦 AB，垂足为 C，图中相等的线段有______，相等的劣弧有_______. 【答案】AC=BC 弧 AM=弧 BM，弧 AN=弧 BN. 【解析】【分析】由题可知，OM、ON 为⊙O 的半径，根据同圆的半径都相等即可得出一对线段相等；又由 于图中 MN 是直径，AB 是弦且 MN⊥AB，那么根据垂径定理，即可得到另一对线段相等；然后再根据垂 径定理的相关推论可得 MN 平分 AB 所对的弧，至此不难得到相等的劣弧有哪些. 【详解】 MN 是直径，O 是圆心，故 OM=ON. ∵MN⊥AB，MN 过圆心， ∴AC=BC，弧 AM=弧 BM，弧 AN=弧 BN. 故答案为：AC=BC，弧 AM=弧 BM，弧 AN=弧 BN. 【点评】此题考查圆心角、弧、弦、弦心距的关系，解题关键在于掌握其性质定义结合图形进行解答. 8．如图：∠AOB＝2∠COD，则