- 2021-11-10 发布 |
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文档介绍
中考数学专题复习练习：函数考点探究
函数考点探究：一、变量与函数 考点1：理解函数的概念，认识函数关系 在一个变化过程中，有两个变量（如x、y），对于自变量（x）的每一个确定值，函数（y）都有唯一确定的值与它对应。 如何判断函数关系： 第一：是不是一个变化过程； 第二：是不是有两个变量； 第三：自变量每取一个值，函数有几个值与它对应。 例1．下面的表分别给出了变量与之间的对应关系，判断是的函数吗？ 如果不是，说明出理由． 1 2 3 4 5 3 6 9 12 15 1 2 3 4 5 7 11 8 12 15 1 2 3 2 1 2 5 10 -5 -2 1 2 3 4 5 9 9 9 9 9 考点2：认识函数关系式中的常量、自变量与函数 常量：在变化过程中，始终保持不变的量； 变量：在变化过程中，可以取不同数值的量； 一般地说，等式左边的是函数，等式右边的是自变量。 例2．指出下列函数中的自变量、函数和常量： （1）；（2）；（3）；（4）． 考点3：自变量的取值范围 一般来说，用解析法表示的函数，自变量的取值范围就是使代数式有意义的范围。 （1）分母不为零； （2）被开方数必须是非负数。 例3．求下列函数中自变量的取值范围： （1）；（2）；（3）；（4）． 考点4：函数值的讨论 函数值随着自变量取值的变化而变化；反之，函数的取值也决定着自变量的取值。 （1）自变量的每一个值对应着唯一一个函数值； （2）函数的每一个值对应着相应的自变量值。 难点：当给出一个量的取值范围，求另一个量的取值时，要结合不等式（或不等 式组）加以讨论。 例4．写出下列函数中自变量的取值范围，并分别求出当自变量取2时函数的值： （1）；（2）；（3）． 例5．按要求填空： （1）在y=5x-3中，当x满足 时，y≤2。 （2）在y=2-x中，若3≤x≤6，则y的取值为 。 考点5：实际问题中函数关系式的列法及自变量取值范围的限制 （一）函数式的列法：关键是要弄清各数量之间的关系 （二）实际问题的自变量取值范围：不但要使得出的函数式有意义，还必须考虑 到使实际问题有意义。 （1）非负数；（甚至于是非负整数或正整数） （2）最大与最小的限制。 例6．汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距 沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围． 例7．如图，长方形ABCD．当点P在边AD上从A向D移动时， （1）试指出，哪些三角形的面积始终保持不变，哪些发生了变化？ （2）假设长方形的长AD为10cm，宽AB为4cm，线段AP的长度为x cm， ①写出x的取值范围； ②写出线段PD的长度y（cm）与x之间的函数关系式； ③写出的面积与x之间的函数关系式。 例8．下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？ （1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积； （3）某人的年龄与身高； （4）关系式||=中的与． 函数考点探究：二、平面直角坐标系 考点6：点坐标的特征 （一）在平面直角坐标系中，任意一点都表示一个有序实数对； （二）根据点在平面直角坐标系中不同位置，具有以下不同特征： 位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴上 y轴上 特征 （＋，＋） （－，＋） （－，－） （＋，－） （a，0） （0，a） 附：点在第一、三象限夹角的平分线，横坐标=纵坐标； 点在第二、四象限夹角的平分线，横坐标＋纵坐标=0。 例9．按要求填空： （1）若点A（a，b）在第三象限，则点Q（-a+1，3b-5）在第 象限； （2）若点B（m+4，m-1）在x轴上，则m= . （3）若点C（x，y）满足x+y＜0，xy＞0，则点C在第 象限. （4）若点D（6-5m，m2-2）在第二、四象限夹角平分线上，则m= . （5）如果点，则点M可能在 象限． （6）已知点在第二象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （7）已知点在第三象限，且为整数，则的值为 。 （8）已知点在第四象限，则点在第 象限． （9）已知点在第一、三象限坐标轴夹角平分线上，则x等 于 ，y的值为 ． 考点7：具有特殊关系的点的特征 原来的点 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 （a，b） （a，－b） （－a，b） （－a，－b） 例10．按要求填空： （1）点M（5，-6）关于x轴的对称点的坐标是（ ）． （Ａ）（－６，５） （Ｂ）（－５，－６） （Ｃ）（５，６） （Ｄ）（－５，６） （2）点N（a，-b）关于原点的对称点是坐标是（ ）. （A）（-a，b） （B）（-a，-b） （C）（a，b） （D）（-b，a） （3）已知点和点关于y轴对称，则a= ，b= . 考点8：平面直角坐标系中的距离运算（常与勾股定理联系起来） 点A坐标 到x轴距离 到y轴距离 到O点距离 到B（m，n）距离 （a，b） dx=︱b︱ dy=︱a︱ AO=√a2＋b2 AB=√（a－m）2＋（b－n）2 例11．按要求填空： （1）在平面直角坐标系中，到x轴的距离为2，到y轴的距离为3的点有（ ）个。 A、1 B、2 C、3 D、4 （2）如果点A（0，0），B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积是5，则C点 坐标为 。 （3）已知点与点在同一条平行于x轴的直线上，且到y轴的 距离等于4，那么点的坐标是（ ） A．（4，2）或（－4，2） B．（4，－2）或（－4，－2） C．（4，－2）或（－5，－2） D．（4，－2）或（－1，－2） 例12．如图，平行四边形ABCD的边长，若把它放在直角坐标系内，是AB在x轴上，点C在y轴上，如果A的坐标是（-3，0），求B、C、D的坐标. 例13．如图所示，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中， B，C两点在第二角限内，OA与x轴的夹角为60°，那么B点的 坐标为______。 函数考点探究：三、函数的图象 考点9：正确理解函数图象与实际问题间的内在联系 函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x,y）代表了该函数关系的一对对应值。 1、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义； 2、读懂两个量在变化过程中的相互关系； 3、读懂两个量之间的变化规律。 例14．（常州市，2000）小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900 米的报亭看10分钟报纸后，用15分钟返回家里．图中表示小明的父亲离家的时间与距 离之间的关系是（ ）． 例15．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，请回答下列问题： （1）这是一次多少米赛跑？ （2）谁先到达终点？ （3）乙在这次赛跑中的速度是多少？ 例16．如图，分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像，图中s和t分 别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ） A．2．5m B．2m C．1．5m D．1m （2002年重庆市中考试题） 例17．（吉林省试题，2002）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列题： （1）农民自带的零钱是多少？ （2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？ （3）降价后他按每千克0．4元将剩余土豆出售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是 26元，问他一共带了多少千克土豆． 函数考点探究：四、一次函数 考点10：理解一次函数、正比例函数的概念． 形如y=kx＋b（k≠0）的函数，称y是x的一次函数； 特殊地，若b=0,即y=kx（k≠0）的函数，称y是x的正比例函数。 易错点：忽视对k、b的讨论。 例18．下列函数关系中（且为常数），（1）、（2）、 （3）、（4）、（5）、（6），是关于 的一次函数有（ ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 例19．下列函数关系中，是关于的正比例函数的有（ ）个。 （1）；（2）；（3）正方形周长y和一边的长x； （4）圆的面积y与半径x；（5）长一定时矩形面积与宽； （6）15斤梨售价20元．售价与斤数． A．3 B．4 C．5 D．6 例20．已知函数，m为 时，函数是正比例函数。 例21．已知与成正比例（其中，是常数） （1）求证：是的一次函数； （2）如果时，，时，，求这个一次函数的解析式． 考点11：y=kx＋b（k≠0）的图象 1、图象：一条直线； 2、与坐标轴的交点：y=kx＋b（k≠0）交x轴于（－b/k，0）,交y轴于（0，b）； y=kx（k≠0）过坐标原点（只有这一个交点），即（0，0）。 反之，由图象与轴的交点在x轴的上方还是下方来决定的正负； 交y轴于x轴上则． 例22．已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积为24． （1）求m的值； （2）当x取什么值时，？ 例23．直线上有点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为 。 考点12：y=kx＋b（k≠0）的性质 k＞0时，y随x的增大而增大，从左到右直线上升。 k＜0时，y随x的增大而减小，从左到右直线下降。 反之，图象自左向右是上升还是下降可以决定的正负。 例24．已知一次函数，求； （1）为何值时，随增大而减小； （2）为何值时，函数图像与轴的交点在轴下方； （3），分别取何值时，函数图像经过原点； （4）若，，求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标； （5）若图像经过一、二、三象限，求，的取值范围． 例25．如果一次函数的自变量x的取值范围是，相应函数值的范 围是，则此函数的解析式为 ． 考点13：多个一次函数【y=kx＋b（k≠0）】图象的位置关系 1、平行：几个k相等； 2、相交：几个k互不相等。 特别地，若几条直线交于y轴上，则b相等，交点坐标为（0，b）点； 若交于其它地方，则交点坐标为几个函数方程的公共解。 例26．已知直线y=kx＋b与直线y=2x－5交在y轴上，且平行于直线y=－x＋3，则该 直线为 。 例27．把直线y=kx＋b向上平移2个单位，得到的直线y=－3x＋m与函数y=－5x－2 的图象交于y轴上，则k= ，b= 。 考点14：用“待定系数法”求函数关系式 前提：1、一次函数的一般表达式：y=kx＋b（k≠0） 条件：直线上任意两点的坐标； 2、正比例函数（过坐标原点的直线）：y=kx（k≠0） 条件：直线上除原点外的任意一点[可变形为k=y/x]； 3、反比例函数（双曲线）：y=k/x（k≠0） 条件：双曲线上的任意一点[可变形为k=xy] 步骤：1、设（设出函数的一般表达式） 2、列（根据已知点的坐标列出方程或方程组） 3、解（解出方程，求出“待定系数”的值） 4、答（将“待定系数”代入一般表达式中，得出函数的关系式） 例28．已知一个一次函数的图像经过和两点，则这个一次函数的解析式为 ． 例29．已知一次函数图像如图所示，那么这个一次函数的解析式是 。 例30．如图，温度计上表示摄氏温度与华氏温度的刻度， （1）用函数解析式表示摄氏温度y（℃）与华氏 温度x（℉）的关系？ (2)如果今天的气温是摄氏32℃，那么华氏是 多少度？ 例31．随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少．下表中的数 据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势．试用你所学的函数知识解决下 列问题． （1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式； （2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过 1000人？（2002年辽宁省中考试题） 年份（x） 2000 2001 2002 … 入学儿童人数（y） 2520 2330 2140 … 例32．如图表示，一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中 路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）根据图象解答 下列问题： （1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的 函数解析式（写出自变量的取值范围）； （2）轮船和快艇的行驶速度分别是多少？ （3）问快艇出发多长时间赶上轮船？ （2003年哈尔滨市中考试题） 函数考点探究：五、反比例函数 考点15：理解反比例函数的概念 形如y=k/x（k≠0）〖或y=kx－1〗的函数，称y是x的反比例函数。 特别地，它可变形为k=xy（也就是说，在同一个反比例函数中，每一组y与x的对应值之积为一定值，始终等于“k”）。 例33．下面函数中，y是x的反比例函数有（ ）个。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1 B．2 C．3 D．4 例34．若函数是反比例函数，则m的值等于（ ） A．±1 B．1 C． D．－1 例35．如图，P是反比例函数上一点， 若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比 例函数的解析式． 例36．如图，A、C是函数的图象上的 任意两点，过A作轴的垂线，垂足为B；过C 作轴的垂线，垂足为D．记的面 积为，的面积为，则与 的关系是（ ）．（2000年武汉市中考题） （A）> (B)< （C）= （D）不能确定． 考点16：y=k/x（k≠0）的图象与性质 1、图象：双曲线 （1）两条分支关于坐标原点成中心对称； （2）双曲线无限地接近坐标轴，但始终不交于坐标轴。 2、性质： （1）k＞0，每条分支都从左到右上升，每条分支上y都随x的增大而增大； （2）k＜0，每条分支都从左到右下降，每条分支上y都随x的增大而减小； 例37．已知函数是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内， 随的增大而减小，则m的值为 ． 例38．如图所示正比例函数）与反比例函数 的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结 BC．若的面积为S，则：（ ） A． B． C． D．不确定 考点17：综合考查一次函数、正比例函数、反比例函数 一次函数 正比例函数 反比例函数 表达式（k≠0） y=kx＋b y=kx y=kx－1 变 形 k=y/x k=xy 图 象 直线 直线 双曲线 性 质 k＞0 位置 一、三象限 一、三象限 一、三象限 增减性 递增 递增 每条分支递减 k＜0 位置 二、四象限 二、四象限 二、四象限 增减性 递减 递减 每条分支递增 附：在讨论一次函数的位置时，待定系数b也具有重要的作用。 例39．在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．（正比例关系，填“正”；反 比例关系，填“反”；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填“非”） (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）； (5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）； 例40．已知，与x成正比例，与x成反比例，当时，； 当时，，求时，y的值． 例41．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图 中的（ ） 例42．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图像的 大致位置是图中的（ ） 函数考点探究：六、综合探究 考点18：利用函数的图象解决问题 1、利用图象求一次函数的解析式 y x 2 3 o 例43．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A、B两点， （1）写出A、B两点的坐标； （2）求直线AB的函数解析式。 x y o -4 2、利用图象确定变量的取值范围 例44．如图，直线y=kx+b与x轴交于（-4，0）， 则当y>0时，x的取值为（ ） x y o -2 1 A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 例45．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示， 则当x<0时，y的取值范围是（ ） A．y>0 B．y<0 C．-2查看更多