北师大版九年级数学下册期末测试题及答案（一）
北师大版九年级数学下册期末测试题及答案（一）
(考试时间：120分钟 满分：120分)
分数：____________
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)
1．2cos 45°的值等于 ( B )
A．1 B． C． D．2
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则sin A＝ ( C )
A． B． C． D．
3．已知二次函数y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是 ( D )
A．该图象的顶点坐标为(1，－4a)
B．该图象与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)
C．若该图象经过点(－2，5)，则一定经过点(4，5)
D.当x>1时，y随x的增大而增大
4．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin ∠CDB＝，BD＝5，则AH的长为 ( B )
A． B． C． D．
第4题图
5．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列说法：①ac>0，②2a＋b>0，③4ac
0时，y随x的增大而减小，其中正确的是 ( C )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
第5题图
6．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点在第三象限，则关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0根的情况中正确的是 ( A )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，
那么得到的抛物线的表达式为__y＝2(x＋2)2＋2__．
8．如图，抛物线y＝ax2＋1(a<0)与过点(0，－3)且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝__－__．
第8题图
9．“南昌之星”摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，摩天轮高160 m(最高点到地面的距离).如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小贤在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，则摩天轮的半径为____m(结果保留根号).
第9题图
10．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC的长分别为2，2，以点B为圆心的弧与AD，DC相切于点E，F，则图中阴影部分的面积是__2－π__．
第10题图
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin ∠ECF等于____．
第11题图
12．在矩形ABCD中，边AB＝1，AD＝2，E是边AD的中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段DP的长度等于__或或__．
选择、填空题答题卡
一、选择题(每小题3分，共18分)
题号
1
2
3
4
5
6
得分
答案
B
C
D
B
C
A
二、填空题(每小题3分，共18分)得分：________
7．__y＝2(x＋2)2＋2__ 8.__－__
9．____ 10.__2－π__
11．____ 12.__或或__
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1.
(1)BC的长为__2＋1__；
(2)求tan ∠DAE的值．
解：∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝＋.
∴DE＝CE－CD＝－.
∴tan ∠DAE＝＝－.
14．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.
(1)求证：BD＝CD；
(2)若圆O的半径为3，则的长为__π__．
(1)证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB＋∠BAD＝180°.
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝75°.
∵∠DBC＝75°，
∴∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴BD＝CD.
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，OE⊥AB于点E，连接BD.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹).
(1)在图①中，若BA＝BD，画出△ABD中AD边上的高BG.
(2)在图②中，若BC＝AD，AB＝2CD，画出△ABD中BD边上的中线AF.
解：(1)(2)作图如图所示．
16．(贵阳中考)如图，C，D是半圆O上的三等分点，AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.
(1)则∠AFE的度数为__60°__；
(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)
解：由(1)知，∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，AB＝4，
∴△AOD是等边三角形，OA＝2，∵DE⊥AO，∴易得DE＝，
∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝π－.
17．某校九年级进行集体跳绳比赛．如图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G，绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G关于直线AB对称．
(1)求抛物线G的表达式并写出自变量的取值范围；
(2)如果身高为1.5米的小华站在C，D之间，且距点C的水平距离为m米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m的取值范围．
解：(1)由题易得抛物线G的表达式为y＝－x2＋1.
自变量的取值范围为－4≤x≤4.(答案不唯一)
(2)m的取值范围是4－2＜m＜4＋2.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
(1)证明：连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，∴PA＝PC，
∴△OAP≌△OCP(SSS)，
∴∠OCP＝∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．
(2) 解：∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，∵AB＝10，∴OC＝5，
由(1)知∠OCF＝90°，
∴CF＝OC·tan ∠COB＝5.
19．网上销售已成为产品销售的一种重要方式，很多大学生也在网上开起了网店．某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机，手机每部进价为1 000元，经过试销发现：售价x(元/部)与每天交易量y(部)之间满足如图所示关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与售价x之间的函数关系式，
并说明将价格定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
由函数图象可知
解得
∴y与x的函数关系式为y＝－0.1x＋180.
(2)W＝(x－1 000)y＝(x－1 000)(－0.1x＋180)
＝－0.1x2＋280x－180 000
＝－0.1(x－1 400)2＋16 000，
当x＝1 400时，W有最大值，W最大＝16 000，
∴将价格定为1 400元/部时，每天获得的利润最大，
最大利润为16 000元．
20．如图所示(左图为实景侧视图，右图为安装示意图)，在屋顶斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD(均与水平面垂直)，
再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4 m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tan θ1＝1.082，tan θ2＝0.412.如果安装工人确定支架AB高为25 cm，求支架CD的高(结果精确到1 cm)?
解：过点A作AE∥BC交CD于E，
在Rt△ADF中，DF＝AF tan θ1＝1.514 8(m)，
在Rt△EAF中，EF＝AF tan θ2＝0.576 8(m)，
∴DE＝DF－EF＝0.938(m)，
又可证四边形ABCE为平行四边形，
故有CE＝AB＝25 cm.∴CD＝DE＋CE＝93.8＋25＝118.8≈119(cm)
答：支架CD的高约为119 cm.
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，将△ABC沿边AC翻折得到△ADC，再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在⊙O上的点F处．
(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)当AB＝10，且tan ∠DAB＝时，则CE的长为__4__.
(1)证明：连接OC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B.
又∵∠B＝∠D，
∴∠OCB＝∠D.
∴OC∥AD.
又∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC.
∴直线CE是⊙O的切线．
22．已知抛物线C∶y＝x[a(x－1)＋x＋1](a为任意实数).
(1)无论a取何值，抛物线C恒过定点__(0，0)__，__(1，1)__．
(2)当a＝1时，设抛物线C在第一象限依次经过整数点(横、纵坐标均为整数的点)为A1，A2，…，An.将抛物线C沿直线y＝x(x≥0)平移，平移后的抛物线记为Cn，抛物线Cn经过点An，Cn的顶点坐标为Mn(n＝1，2，…，n，例如n＝1时，抛物线C1经过点A1，C1的顶点坐标为M1)
①抛物线C2的表达式为__y＝(x－3)2＋3__；顶点坐标为__(3，3)__；
②在抛物线C1上是否存在点P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出点P的坐标，并判断四边形PM1M2A2的形状；若不存在，请说明理由．
③直接写出线段Mn－1Mn的长为__2__．
解：(2)②假设存在点P，使得PM1∥A2M2，
由题易得直线PM1∶y＝－x＋2，
直线A2M2∶y＝－x＋6.故易知存在点P(0，2).使得PM1∥A2M2，
∵|PM1|＝，|A2M2|＝，
∴|PM1|＝|A2M2|，又∵PM1∥A2M2，
∴四边形PM1M2A2是平行四边形，
又∵|PM1|2＝2，
|M1M2|2＝8，|PM2|2＝10，
∴|PM2|2＝|PM1|2＋|M1M2|2，
∴∠PM1M2＝90°，∴四边形PM1M2A2是矩形．
六、(本大题共12分)
23．如图，已知抛物线y＝ax2－2x＋c与直线y＝kx＋b都经过A(0，－3)，B(3，0)两点，该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线AB的表达式；
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
解：(1)抛物线表达式为y＝x2－2x－3；
直线AB表达式为y＝x－3.
(2)存在．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的顶点C的坐标为(1，－4)，
∵CE∥y轴，
∴E(1，－2)，∴CE＝2，
①若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，
则CE＝MN，设M(a，a－3)，
则N(a，a2－2a－3)，∴MN＝a－3－(a2－2a－3)＝－a2＋3a，
∴－a2＋3a＝2，解得a＝2，a＝1(舍去)，∴M(2，－1)；
②若点M在x轴上方，同理可得M，
综上，M点的坐标为(2，－1)或.
(3)作PG∥y轴交直线AB于点G，
设P(m，m2－2m－3)，则G(m，m－3)，
∴PG＝－m2＋3m，
∴S△PAB＝S△PGA＋S△PGB＝PG·OB
＝－m2＋m
＝－＋，
∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，
此时P点坐标为.
