北师大版九年级数学下册期末测试题及答案(一)

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北师大版九年级数学下册期末测试题及答案(一)

北师大版九年级数学下册期末测试题及答案(一)‎ ‎(考试时间:120分钟 满分:120分)‎ 分数:____________‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)‎ ‎1.2cos 45°的值等于 ( B )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,AC=2,则sin A= ( C )‎ A. B. C. D. ‎3.已知二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0),关于此函数的图象及性质,下列结论中不一定成立的是 ( D )‎ A.该图象的顶点坐标为(1,-4a)‎ B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)‎ C.若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5)‎ D.当x>1时,y随x的增大而增大 ‎4.如图,AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sin ∠CDB=,BD=5,则AH的长为 ( B )‎ A. B. C. D. 第4题图 ‎5.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,有下列说法:①ac>0,②2a+b>0,③4ac0时,y随x的增大而减小,其中正确的是 ( C )‎ A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④⑤‎ ‎ 第5题图 ‎6.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点在第三象限,则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0根的情况中正确的是 ( A )‎ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎7.将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,‎ 那么得到的抛物线的表达式为__y=2(x+2)2+2__.‎ ‎8.如图,抛物线y=ax2+1(a<0)与过点(0,-3)且平行于x轴的直线相交于点A,B,与y轴交于点C,若∠ACB为直角,则a=__-__.‎ 第8题图 ‎ ‎9.“南昌之星”摩天轮,位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园,摩天轮高160 m(最高点到地面的距离).如图,点O是摩天轮的圆心,AB是其垂直于地面的直径,小贤在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为45°,测得圆心O的仰角为30°,则摩天轮的半径为____m(结果保留根号).‎ ‎  第9题图 ‎10.如图,菱形ABCD的对角线BD,AC的长分别为2,2,以点B为圆心的弧与AD,DC相切于点E,F,则图中阴影部分的面积是__2-π__.‎ 第10题图 ‎11.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin ∠ECF等于____.‎ ‎ 第11题图 ‎12.在矩形ABCD中,边AB=1,AD=2,E是边AD的中点,点P在射线BD上运动,若△BEP为等腰三角形,则线段DP的长度等于__或或__.‎ 选择、填空题答题卡 一、选择题(每小题3分,共18分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 得分 答案 B C D B C A 二、填空题(每小题3分,共18分)得分:________‎ ‎7.__y=2(x+2)2+2__  8.__-__‎ ‎9.____ 10.__2-π__‎ ‎11.____ 12.__或或__‎ 三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)‎ ‎13.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.‎ ‎(1)BC的长为__2+1__;‎ ‎(2)求tan ∠DAE的值.‎ 解:∵AE是BC边上的中线,‎ ‎∴CE=BC=+.‎ ‎∴DE=CE-CD=-.‎ ‎∴tan ∠DAE==-.‎ ‎14.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连接BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.‎ ‎(1)求证:BD=CD;‎ ‎(2)若圆O的半径为3,则的长为__π__.‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD内接于圆O,‎ ‎∴∠DCB+∠BAD=180°.‎ ‎ ‎ ‎∵∠BAD=105°,‎ ‎∴∠DCB=75°.‎ ‎∵∠DBC=75°,‎ ‎∴∠DCB=∠DBC=75°,‎ ‎∴BD=CD.‎ ‎15.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,OE⊥AB于点E,连接BD.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹).‎ ‎(1)在图①中,若BA=BD,画出△ABD中AD边上的高BG.‎ ‎(2)在图②中,若BC=AD,AB=2CD,画出△ABD中BD边上的中线AF.‎ ‎ ‎ 解:(1)(2)作图如图所示.‎ ‎16.(贵阳中考)如图,C,D是半圆O上的三等分点,AB=4,连接AD,AC,DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F.‎ ‎(1)则∠AFE的度数为__60°__;‎ ‎(2)求阴影部分的面积.(结果保留π和根号)‎ 解:由(1)知,∠AOD=60°,‎ ‎∵OA=OD,AB=4,‎ ‎∴△AOD是等边三角形,OA=2,∵DE⊥AO,∴易得DE=,‎ ‎∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=π-.‎ ‎17.某校九年级进行集体跳绳比赛.如图所示,跳绳时,绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分,记作G,绳子两端的距离AB约为8米,两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米,当绳甩过最低点时刚好擦过地面,且与抛物线G关于直线AB对称.‎ ‎(1)求抛物线G的表达式并写出自变量的取值范围;‎ ‎(2)如果身高为1.5米的小华站在C,D之间,且距点C的水平距离为m米,绳子甩过最高处时超过她的头顶,直接写出m的取值范围.‎ 解:(1)由题易得抛物线G的表达式为y=-x2+1.‎ 自变量的取值范围为-4≤x≤4.(答案不唯一)‎ ‎(2)m的取值范围是4-2<m<4+2.‎ 四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎18.(天水中考)如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.‎ ‎(1)求证:PC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.‎ ‎ (1)证明:连接OC,‎ ‎∵OD⊥AC,OD经过圆心O,‎ ‎∴AD=CD,∴PA=PC,‎ ‎∴△OAP≌△OCP(SSS),‎ ‎∴∠OCP=∠OAP,‎ ‎∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,‎ 即OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线.‎ (2) 解:∵OB=OC,∠OBC=60°,∴△OBC是等边三角形,‎ ‎∴∠COB=60°,∵AB=10,∴OC=5,‎ 由(1)知∠OCF=90°,‎ ‎∴CF=OC·tan ∠COB=5.‎ ‎19.网上销售已成为产品销售的一种重要方式,很多大学生也在网上开起了网店.某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机,手机每部进价为1 000元,经过试销发现:售价x(元/部)与每天交易量y(部)之间满足如图所示关系.‎ ‎(1)求出y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)写出每天的利润W与售价x之间的函数关系式,‎ 并说明将价格定为多少时,每天获得的利润最大,最大利润是多少?‎ 解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,‎ 由函数图象可知 解得 ‎∴y与x的函数关系式为y=-0.1x+180.‎ ‎(2)W=(x-1 000)y=(x-1 000)(-0.1x+180)‎ ‎=-0.1x2+280x-180 000‎ ‎=-0.1(x-1 400)2+16 000,‎ 当x=1 400时,W有最大值,W最大=16 000,‎ ‎∴将价格定为1 400元/部时,每天获得的利润最大,‎ 最大利润为16 000元.‎ ‎20.如图所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB和CD(均与水平面垂直),‎ 再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD与水平面夹角为θ1,且在水平线上的射影AF为1.4 m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2,并已知tan θ1=1.082,tan θ2=0.412.如果安装工人确定支架AB高为25 cm,求支架CD的高(结果精确到1 cm)?‎ 解:过点A作AE∥BC交CD于E,‎ 在Rt△ADF中,DF=AF tan θ1=1.514 8(m),‎ 在Rt△EAF中,EF=AF tan θ2=0.576 8(m),‎ ‎∴DE=DF-EF=0.938(m),‎ 又可证四边形ABCE为平行四边形,‎ 故有CE=AB=25 cm.∴CD=DE+CE=93.8+25=118.8≈119(cm)‎ 答:支架CD的高约为119 cm.‎ 五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎21.如图,点C在以AB为直径的⊙O上,将△ABC沿边AC翻折得到△ADC,再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在⊙O上的点F处.‎ ‎(1)求证:直线CE是⊙O的切线;‎ ‎(2)当AB=10,且tan ∠DAB=时,则CE的长为__4__.‎ ‎(1)证明:连接OC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.‎ 又∵∠B=∠D,‎ ‎∴∠OCB=∠D.‎ ‎∴OC∥AD.‎ 又∵CE⊥AD,‎ ‎∴CE⊥OC.‎ ‎∴直线CE是⊙O的切线.‎ ‎22.已知抛物线C∶y=x[a(x-1)+x+1](a为任意实数).‎ ‎(1)无论a取何值,抛物线C恒过定点__(0,0)__,__(1,1)__.‎ ‎(2)当a=1时,设抛物线C在第一象限依次经过整数点(横、纵坐标均为整数的点)为A1,A2,…,An.将抛物线C沿直线y=x(x≥0)平移,平移后的抛物线记为Cn,抛物线Cn经过点An,Cn的顶点坐标为Mn(n=1,2,…,n,例如n=1时,抛物线C1经过点A1,C1的顶点坐标为M1)‎ ‎①抛物线C2的表达式为__y=(x-3)2+3__;顶点坐标为__(3,3)__;‎ ‎②在抛物线C1上是否存在点P,使得PM1∥A2M2?若存在,求出点P的坐标,并判断四边形PM1M2A2的形状;若不存在,请说明理由.‎ ‎③直接写出线段Mn-1Mn的长为__2__.‎ 解:(2)②假设存在点P,使得PM1∥A2M2,‎ 由题易得直线PM1∶y=-x+2,‎ 直线A2M2∶y=-x+6.故易知存在点P(0,2).使得PM1∥A2M2,‎ ‎∵|PM1|=,|A2M2|=,‎ ‎∴|PM1|=|A2M2|,又∵PM1∥A2M2,‎ ‎∴四边形PM1M2A2是平行四边形,‎ 又∵|PM1|2=2,‎ ‎|M1M2|2=8,|PM2|2=10,‎ ‎∴|PM2|2=|PM1|2+|M1M2|2,‎ ‎∴∠PM1M2=90°,∴四边形PM1M2A2是矩形.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23.如图,已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.‎ ‎(1)求此抛物线和直线AB的表达式;‎ ‎(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点,当△PAB面积最大时,求点P的坐标,并求△PAB面积的最大值.‎ 解:(1)抛物线表达式为y=x2-2x-3;‎ 直线AB表达式为y=x-3.‎ ‎(2)存在.∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,‎ ‎∴抛物线的顶点C的坐标为(1,-4),‎ ‎∵CE∥y轴,‎ ‎∴E(1,-2),∴CE=2,‎ ‎①若点M在x轴下方,四边形CEMN为平行四边形,‎ 则CE=MN,设M(a,a-3),‎ 则N(a,a2-2a-3),∴MN=a-3-(a2-2a-3)=-a2+3a,‎ ‎∴-a2+3a=2,解得a=2,a=1(舍去),∴M(2,-1);‎ ‎②若点M在x轴上方,同理可得M,‎ 综上,M点的坐标为(2,-1)或.‎ ‎(3)作PG∥y轴交直线AB于点G,‎ 设P(m,m2-2m-3),则G(m,m-3),‎ ‎∴PG=-m2+3m,‎ ‎∴S△PAB=S△PGA+S△PGB=PG·OB ‎=-m2+m ‎=-+,‎ ‎∴当m=时,△PAB面积的最大值是,‎ 此时P点坐标为.‎
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