2019年山西中考数学试题（解析版）

2019年山西中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年山西省中考数学试卷 ‎{适用范围：3.九年级}‎ ‎{标题}2019年山西省中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 ‎{题型：1－选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分． ‎ ‎{题目}1．（2019·山西省，1）﹣3的绝对值是（ ）‎ ‎ A.﹣3 B.3 C.﹣ D.‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了绝对值的代数意义，正数的绝对是是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以=3，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:绝对值的意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019·山西省，2）下列运算正确的是（ ）‎ ‎ A. 2a+3a=5a2 B.(a+2b)2=a2+4b2 Ca2·a3=a6 D(﹣ab2)3=﹣a3b6‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了整式的加法、乘法公式，幂的有关运算，整式加法的实质合并同类项即字母及字母的指数不变，将系数相加，故A选项的正确结果为5a；完全平方公式的展开式可根据口诀进行即“首平方，尾平方，积的2倍夹中间”，故B选项的正确结果为a2+4ab+4b2；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故C选项正确结果为a5；积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故D选项正确.因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}3．（2019·山西省，3）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是（ ）‎ A.青 B.春 C.梦 D.想 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了正方体的侧面展开图，在展开图中，寻找相对面的方法：“不在同一行时，找Z两头；在同一行（列）时，找隔一个”，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形}‎ ‎{考点:几何体的展开图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．（2019·山西省，4）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了最简二次根式的定义，判断最简二次根式，必须具备两个条件：①被开方数中不含分母；②被开方数中所有因数（或因式）的幂指数都小于2，两个条件缺一不可.A、B两选项中，被开方数都含有分母，故A、B不正确；C选项中，被开方数8=23，幂指数＞2，故C不正确，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-16-1]二次根式}‎ ‎{考点:最简二次根式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019·山西省，5）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是（ ）‎ A.30° B.35° C.40° D.45°‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质.由等腰三角形的性质和内角和定理可得∠ACB=75°，再由三角形的外角性质可得∠AED=115°，结合平行线性质可得∠2=115°－75°=40°，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{考点:等边对等角}‎ ‎{考点:两直线平行同位角相等}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}6．（2019·山西省，6）不等式组，的解集是（ ）‎ A.x＞4 B.x＞﹣1 C.﹣1＜x＜4 D.x＜﹣1‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解每一个不等式，再取每个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法：①借助数轴；②利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小无解集”.解不等式x－1＞3得x＞4，解不等式2－2x＜4得x＞﹣1，所以不等式组的解集为x＞4．因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7．（2019·山西省，7）五自山景区空气清爽，景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游客12万人次，再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人，以此计算，“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示为（ ）‎ ‎ A.2.016×108元 B.0.2016x107元 C.2.016x107元 D.2016×104元 ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了用科学记数法表示一个绝对值较大的数，用科学记数法表示数，就是把一个数写成a×10n的形式（其中1≤＜10，n为整数），其具体步骤是：（1）确定a的值，a为 整数位数只有一位的数；（2）确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．168×120000=20 160 000=2.016x107，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节: [1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8．（2019·山西省，8）一元二次方程x2﹣4x﹣1=0配方后可化为（ ）‎ ‎ A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 C.(x﹣2)2=3 D.(x﹣2)2=5‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了一元二次方程的配方，其具体步骤是：①先将未知数的系数化为1；②再将含有未知数的项移到等号的左边，不含未知数的项移到等号的右边；③在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方；④将等号的左边写成完全平方的形式.因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-2-1] 配方法}‎ ‎{考点:配方法的应用}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}9．（2019·山西省，9）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则此抛物线型钢拱的函数表达式为（ ）‎ A.y= B.y=﹣ C.y= D.y=﹣‎ ‎ ‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了利用二次函数模型解决实际问题，由二次函数的图象和性质可知：A（﹣45，﹣78），将其代入y=ax2（a＜0）可得a=﹣，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}‎ ‎{考点:二次函数y=ax2的图象}‎ ‎{考点:二次函数y=ax2的性质}‎ ‎{考点:桥洞问题}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10．（2019·山西省，10）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）‎ A. B. C.2－π D.4－‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了锐角三角函数，圆周角定理，扇形的面积公式，阴影部分面积的计算方法.计算阴影部分的面积方法：①间接法；②割补法.‎ 连结OD，过点D作DE⊥AB于点E，‎ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，所以tan∠BAC=，即∠BAC=30°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=60°，在Rt△DOE中，∠DEO=90°，OD=AO=AB=，∠DOE=60°，所以DE=ODsin∠DOE=×=，S△ABC=AB×BC=2，S扇形BOD==，S△AOD=AO×DE=，所以S阴影=S△ABC－S扇形BOD－S△AOD=2－－=.因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:三角函数的关系}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{考点:扇形的面积}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型：2－填空题}二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，合计15分．‎ ‎{题目}11．（2019·山西省，11）化简－的结果是 ‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了两个异分母分式的加减法.两个异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后分母不变，分子相加减.－=＋=．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}12．（2019·山西省，12）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是 ．‎ ‎{答案}扇形统计图 ‎{解析}本题考查了统计图的选择，扇形统计图能反映出扇形各部分所占的百分比；条形统计图能直观地反映出各部分的数据多少；折线统计图能反映出各部分的变化趋势.因此本题答案为“扇形统计图”．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13．（2019·山西省，13）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2.设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为 ．‎ ‎{答案}（12－x）（8－x）=77或x2－20x＋19=0‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用，解决这类问题的关键是分析题意，找到题中的等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—面积问题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}14．（2019·山西省，14）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为(﹣4，0)，点D的坐标为(﹣1，4)，反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过点C，则k的值为 ．‎ ‎{答案}16‎ ‎{解析}本题考查了点的坐标的应用，菱形的性质，待敌系数法求反比例函数的解析式．‎ 过点D作DE⊥x轴于点E，‎ 由点D的坐标为(﹣1，4)可得DE=4，OE=1，结合点A的坐标为(﹣4，0)可得AE=3，在Rt△ADE中，由勾股定理得AD=5，再由菱形的性质可知：DC=AD=5，所以点C的坐标为（4，4），将其代入反比例函数解析可得k=16.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:点的坐标的应用}‎ ‎{考点:反比例函数的解析式}‎ ‎{考点:菱形的性质}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15．（2019·山西省，15）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 cm．‎ ‎{答案}10－2‎ ‎{解析}本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形、三角函数的关系、勾股定理.‎ 过点A作AG⊥DE于点G，‎ 由旋转的性质可知：AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，∠CAE=∠BAD=15°，所以△DAE是等腰直角三角形即∠ADE=45°，因为AG⊥DE，所以AG=DG=GE，再由勾股定理可得AG=3.由三角形的外角性质可知∠AFG=60°，在Rt△AFG中，AF==2，所以CF=AC－AF=10－2．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:旋转的性质}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:三角函数的关系}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型：3－解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计75分．‎ ‎{题目}16．（2019·山西省，16（1））计算：＋（﹣）﹣2﹣3tan60°＋（π﹣）0‎ ‎{解析}本题考查了二次根式的化简、负整指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂．‎ ‎{答案}解： 原式=3＋4－3＋1=5‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:逆用二次根式乘法法则}‎ ‎{考点:负指数参与的运算}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{题目}16．（2019·山西省，16（2））解方程组：‎ ‎{解析}本题考查了二元一次方程的解法．‎ ‎{答案}解： ①＋②得：4x=﹣8，∴x=﹣2，‎ 将x=﹣2代入②得：2y=2，解得y=1，‎ ‎∴方程组的解为：‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:加减消元法}‎ ‎{题目}17．（2019·山西省，17）已知：如图，点B、D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F.求证：BC=DF.‎ ‎{解析}本题考查了角角边判定三角形全等．‎ ‎{答案}证明：∵ AD=BE，∴AD－BD=BE－BD，即AB=DE，‎ ‎∵AC∥EF，∴∠A=∠E，‎ 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F，∠A=∠E，AB=DE，‎ ‎∴△ABC≌△DEF，‎ ‎∴BC=DF.‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{题目}18．（2019·山西省，18）中华人民共和国第二届青年运动会(简称二青会)将于2019年8月在山西举行.太原市作为主赛区，将承担多项赛事.现正从某高校的甲，乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们勇跃报名，甲，乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分，各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人.对这次基本素质测评中甲，乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图.‎ 请解答下列问题 ‎ ‎ ‎（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用(只写判断结果，不必写理由).‎ ‎（2）请你对甲，乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价(从“众数”“中位数”或“平均数”中的一个方面评价即可).‎ ‎（3）甲，乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两 个场馆进行颁奖礼仪服务.四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示.现把分别印有A，B，C，D的四张卡片(除字母外，其余都相同)背面朝上，洗匀放好.志愿者小玲从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张.请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率.‎ ‎{解析}本题考查了用“中位数、众数、平均数”分析问题，借助树状图或列表法计算两步概率问题．‎ ‎{答案}解：（1）小华不能，小丽能被录用；‎ ‎（2）从众数来看：甲，乙两班各被录用的10名志愿者成绩的众数分别为8分，10分，说明甲班被录用的10名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多.‎ 从中位数来看：甲，乙两班各被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分，8.5分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数.‎ 从平均数来看：甲，乙两班各被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为8.9分，8.7分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数.‎ ‎（3）列表如下：‎ ‎ 第二张 第一张 A B C D A ‎（A，B）‎ ‎（A，C）‎ ‎（A，D）‎ B ‎（B，A）‎ ‎（B，C）‎ ‎（B，D）‎ C ‎（C，A）‎ ‎（C，B）‎ ‎（C，D）‎ D ‎（D，A）‎ ‎（D，B）‎ ‎（D，C）‎ 有表格可知：一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽到“A”和“B”的结果有2种.‎ 所以P（抽到“A”和“B”）==.‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:统计的应用问题}‎ ‎{考点:算术平均数}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{题目}19．（2019·山西省，19）某游泳馆推出了两种收费方式.‎ 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.‎ 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.‎ 设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元)‎ ‎（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式.‎ ‎（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.‎ ‎{解析}本题考查了从实际问题中抽象出一次函数模型，利用一元一次不等式解决实际问题．‎ ‎{答案}解：（1）y1=30x＋200，y2=40x ‎（2）由y1＜y2得30x＋200＜40x，解得x＞20，当x＞20时，选择方式一比方式二省钱.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-19-4]课题学习 选择方案}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{考点:函数关系式}‎ ‎{考点:一元一次不等式的应用}‎ ‎{题目}20．（2019·山西省，20）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)．‎ 课题 测量旗杆的高度 成员 组长:xxx 组员：xxx，xxx，xxx 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量 示意图 说明:线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC=BD=‎ ‎1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内.点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 ‎∠GCE的度数 ‎25.6°‎ ‎25.8°‎ ‎25.7°‎ ‎∠GDE的度数 ‎31.2°‎ ‎30.8°‎ ‎31°‎ A,B之间的距离 ‎5.4m ‎5.6m ‎…‎ 任务一：两次测量A，B之问的距离的平均值是 m．‎ 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．‎ ‎(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)‎ 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形的应用——仰角．‎ ‎{答案}解：任务一：5.5‎ 任务二：由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，‎ ‎∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，‎ 设EG=xm，‎ 在Rt△DEG中，∠DEG=90°，∠GDE=31°，‎ ‎∵tan31°=，∴DE=，‎ 在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，‎ ‎∵tan25.7°=，∴CE=，‎ ‎∵CD=CE－DE，∴－=5.5，‎ ‎∴x=13.2，‎ ‎∴GH=GE＋EH=13.2＋1.5=14.7.‎ 答：旗杆GH的高度为14.7m.‎ 任务三：没有太阳；或旗杆底部不可到达；或测量旗杆影子的长度遇到困难（答案不唯一）‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用－仰角}‎ ‎{题目}21．（2019·山西省，21）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：‎ 莱昂哈德•欧拉是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理.下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2﹣2Rr.‎ 如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙O的半径为r，外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I (三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d，则有d2=R2﹣2Rr.‎ 下面是该定理的证明过程(部分)：‎ 延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.‎ ‎∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），‎ ‎∴△MDN∽△ANI.‎ ‎∴.∴IA▪ID=IM▪IN.①‎ 如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF.‎ ‎∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.‎ ‎∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°.∴∠DBE=∠IFA.‎ ‎∵∠BAD=∠E(同弧所对的圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB.‎ ‎∴.∴IA▪BD=DE▪IF.②‎ ‎…‎ ‎ ‎ ‎ （第21题图1） （第21题图2）‎ 任务：（1）观察发现：IM=R＋d，IN= （用含R，d的代数式表示）；‎ ‎（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；‎ ‎（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.‎ ‎{解析}本题考查了三角形的内心与外心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质．‎ ‎{答案}解：（1）R－d ‎（2）BD=ID 理由如下：∵点I是△ABC的内心，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，‎ ‎∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，‎ ‎∴∠BID=∠DBI.‎ ‎∴BD=DI.‎ ‎（3）证明：由（2）知：BD=ID，∴IA▪ID=DE▪IF，‎ 又∵IA▪ID=IM▪IN，∴DE▪IF=IM▪IN，‎ ‎∴2R▪r=(R＋d)(R－d).∴R2－d2=2Rr.‎ ‎∴d2=R2－2Rr..‎ ‎（4）‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:三角形的外接圆与外心}‎ ‎{考点:三角形的内切圆与内心}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{题目}22．（2019·山西省，22）综合与实践 动手操作：‎ 第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平.再沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.‎ 第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.‎ 第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5.图中的虚线为折痕.‎ 问题解决：‎ ‎（1）在图5中，∠BEC的度数是 ，的值是 ；‎ ‎（2）在图5中，请判断四边形EMCF的形状，并说明理由；‎ ‎ ‎ ‎（第22题图1） （第22题图2）（第22题图3）（第22题图4） （第22题图5）‎ ‎（3）在不增加字母的条件下，请你以图5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形： .‎ ‎{解析}本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，矩形的判定，菱形的性质与判定．‎ ‎{答案}解：（1）67.5°，‎ ‎（2）理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∠B=∠BCD=∠D=90°，‎ 由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4，CM=CG，‎ ‎∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC，∴∠1=∠2=∠3=∠4==22.5°，‎ ‎∴∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°.‎ 由折叠可知：MH，GH分别垂直平分EC，FC，∴MC=ME，GC=GF.‎ ‎∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，‎ ‎∴∠MEF=∠GFE=90°.‎ ‎∵∠MCG=90°，CM=CG，∠CMG=45°，‎ 又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°﹣∠CMG﹣∠BME=90°，‎ ‎∴四边形EMGF是矩形 ‎（3）菱形FGCH(或菱形EMCH)‎ ‎{分值}11‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:正方形的性质}‎ ‎{考点:三角函数的关系}‎ ‎{考点:轴对称的性质}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:与矩形菱形有关的综合题}‎ ‎{题目}23．（2019·山西省，23）综合与探究 如图，抛物线y=ax2＋bx＋6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1

查看更多