希望杯全国数学邀请赛初二第2试试题

希望杯全国数学邀请赛初二第2试试题

“希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 试试题 一、选择题（每小题 4 分，满分 40 分） 1．将数字“6”旋转 1800，得到数字“9”；将数字“9”旋转 1800，得到数字“6”；那么将两位数“69” 旋转 1800，得到的数字是（ ） A、69 B、96 C、66 D、99 2．关于 yx, 的方程组    012 ,01 ybx ayx 有无数组解，则 ba, 的值为（ ） A、 0,0  ba B、 1,2  ba C、 1,2  ba D、 1,2  ba 3．在平面直角坐标系内，有等腰三角形 AOB，O 是坐标原点，点 A 的坐标是 ),( ba ，底边 AB 的中线在 1、 3 象限的角平分线上，则点 B 的坐标为（ ） A、 ),( ab B、 ),( ba  C、 ),( ba  D、 ),( ba 4．给出两列数：（1）1，3，5，7，…，2007；（2）1，6，11，16，…，2006，则同时出现在两列数中的 数的个数为（ ） A、201 B、200 C、199 D、198 5．If one side of a triangle is 2 times of another side and it has the largest possible area, then the ratio of its three sides is ( ) A、 3:2:1 B、 2:1:1 C、 2:3:1 D、 5:2:1 （英汉小词典：possible 可能的；area 面积；ratio 比率、比值） 6．有面值为 10 元、20 元、50 元的人民币（每种至少一张），合计 1000 元，那么面值为 20 元的人民币有 （ ）张 A、2 或 4 B、4 C、4 或 8 D、2 到 4 之间的任意偶数 7．由 1，2，3 这三个数字组成四位数，在每个四位数中，这三个数字至少出现一次．这样的四位数有（ ） A、33 个 B、36 个 C、37 个 D、39 个 8．如图 1，矩形 ABCD 的长 AD=9cm，宽 AB=3cm，将它折 叠，使点 D 与点B重合，求折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ） A、 cmcm 10,5 B、 cmcm 3,5 C、 cmcm 10,6 D、 cmcm 4,5 9．如图 2，函数 mmxy 4 的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 N、M，线段 MN 上 两 点 A 、 B 在 x 轴 上 的 垂 足 分 别 为 1A 、 1B ， 若 411  OBOA ，则 AOA1 的面积 1S 与 BOB1 的面积 2S 的 大 小 关 系 是（ ） A、 21 SS  B、 21 SS  C、 21 SS  D、不确定的 10.已知 a 是方程 0133  xx 的一个实数根，则直线 aaxy  1 不经过（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 二、填空题（每小题 4 分，满分 40 分） 11．化简： 20082008 200820081004 357 153 3 7       ，得到 ． 12．三位数 ab3 的 2 倍等于 8ab ，则 ab3 等于 ． 13．当 2x 时，化简代数式 1212  xxxx ，得 ． A B C DE F C′ 图 1 M N x A O 图 2 B B1A1 y 14．已知 2 1 1 11)(  xxxxf ，并且 0)( af ，则 a 等于 ． 15．If the sum of a 4-digit natural number and 17,the difference between it and 72 are all square numbers ,then the 4-digit natural number is . （英汉小词典：4-digit natural number 四位自然数；difference 差；square numbers 完全 平方数） 16．将等腰三角形纸片 ABC 的底边 BC 折起，使点 C 落在腰上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形， 则∠A= ． 17．将 100 只乒乓球放在 n 个盒子中，使得每个盒子中的乒乓球的上数都含有数字“8”，如当 n=3 时，箱 子中的乒乓球的数目可以分别为 8，8，84；若当 n=5 时，有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同，那么各 箱子中的乒乓球的个数分别是 ． 18．已知一个有序数组 ),,,( dcba ，现按下列方式重新写成数组 ),,,( 1111 dcba ，使 adddcccabbaa  1111 ,,, ， 按照这个规律继续写出 ),,,( 2222 dcba ，…， ),,,( nnnn dcba ，若 20001000   dcba dcba nnnn ，则 n ． 19．如图 3，一束光线从点 O 射出，照在经过 A（1，0）、B（0，1） 的 镜 面 上 的点 D，经 AB 反射后，反射光线又照到竖立在 y 轴位置的镜面，要 使 最 后 经 y 轴 再 反 射 的 光 线 恰 好 通 过 点 A ， 则 点 D 的 坐 标 为 ． 20．某条直线公路上有 1121 ,,, AAA  共 11 个车站，且 )8,,3,2,1(17),9,,3,2,1(12 32    ikmAAikmAA iiii ， 若 kmAA 56111  ，则  721110 AAAA km． 三、解答题（共 3 个小题，满分 40 分） 21．（本题满分 10 分）如图，在 ABCRt 中， 090ACB ，AC=BC=10，CD 是射线， 060BCF ， 点 D 在 AB 上，AF、BE 分别垂直于 CD（或延长线）于 F、E，求 EF 的长． 22．（本题满分 15 分）在平面直角坐标系中，ΔABC 满足：∠C=900，AC=2，BC=1，点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点 A 从原点开始在 x 轴的正半轴上运动时，点 C 随着在 y 轴上运动． （1）当 A 在原点时，求原点 O 到点 B 的距离 OB； （2）当 OA=OC 时，求原点 O 到点 B 的距离 OB； （3）求原点 O 到点 B 的距离 OB 的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？ 23．（本题满分 15 分）已知 )(, nmnm  是正整数． （1）若 m3 与 n3 的末位数字相同，求 nm  的最小值； （2）若 m3 与 n3 的末两位数字都相同，求 nm  的最小值； A B xO 图 3 y A BC D F E A B C x y O