2020年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷 解析版

2020年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷 解析版

‎2020年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．16的算术平方根是（　　）‎ A．4 B．﹣4 C．±4 D．2‎ ‎2．如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．2019年10月1日国庆阅兵式上首次亮相了我国自主研发的洲际导弹“东风41号”，它的射程可以达到12000公里，数字12000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.2×103 B．1.2×104 C．12×103 D．0.12×104‎ ‎4．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠BAC＝70°，∠1的度数为（　　）‎ A．25° B．30° C．35° D．70°‎ ‎5．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．下列运算正确的是（　　）‎ A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2×a3＝a6 ‎ C．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2 D．（a2）3＝a6‎ ‎7．化简•的结果是（　　）‎ A．x+1 B．x+2 C． D．‎ ‎8．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：‎ 成绩/m ‎1.50‎ ‎1.60‎ ‎1.65‎ ‎1.70‎ ‎1.75‎ ‎1.80‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（　　）‎ A．1.65、1.70 B．1.65、1.75 C．1.70、1.75 D．1.70、1.70‎ ‎9．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）‎ A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（　　）‎ A．（﹣2﹣，） B．（﹣2﹣，2﹣） ‎ C．（﹣3，2﹣） D．（﹣3，）‎ ‎11．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4‎ ‎12．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）‎ A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2+7 ‎ C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+4‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．分解因式：a2﹣9＝　 　．‎ ‎14．已知关于x的方程2（x+a）＝5x﹣1的解是3，则a的值为　 　．‎ ‎15．一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形边数是　 　．‎ ‎16．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是　 　个．‎ ‎17．某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为　 　．‎ ‎18．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②BD＝1+；③BE+DF＝EF；④∠AEB＝75°．其中正确的序号是　 　．‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎19．计算：|﹣3|+（π﹣3）0﹣+tan45°．‎ ‎20．求不等式组的整数解，‎ ‎21．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．求证：AE＝CF．‎ ‎22．某中学共有3个一样规模的大餐厅和2个一样规模的小餐厅，经过测试同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供3000名学生就餐；同时开放1个大餐厅，1个小餐厅，可供1700名学生就餐．‎ ‎（1）请问1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐．‎ ‎（2）如果3个大餐厅和2个小餐厅全部开放，那么能否供全校4500名学生就餐？请说明理由．‎ ‎23．如图，已知AB是圆O的直径，DC是圆O的切线，点C是切点，AD⊥DC垂足为D，且与圆O相交于点E．‎ ‎（1）求证：∠DAC＝∠BAC，‎ ‎（2）若圆O的直径为5cm，EC＝3cm，求AC的长．‎ ‎24．为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．‎ 男、女生所选类别人数统计表 ‎ 类别 男生（人）‎ 女生（人）‎ 文学类 ‎12‎ ‎8‎ 史学类 m ‎5‎ 科学类 ‎6‎ ‎5‎ 哲学类 ‎2‎ n 根据以上信息解决下列问题 ‎（1）m＝　 　，n＝　 　；‎ ‎（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为　 　°；‎ ‎（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．‎ ‎25．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．‎ ‎（1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为　 　．‎ ‎（2）连接EF，求∠EFC的正切值；‎ ‎（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．‎ ‎26．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．‎ ‎（1）观察猜想：‎ ‎ 图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　； ‎ ‎（2）探究证明：‎ ‎ 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； ‎ ‎（3）拓展延伸：‎ ‎ 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．‎ ‎27．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点M是抛物线在x轴上方上的动点，过点M作MN∥y轴交线BC于点N，求线段MN的最大值．‎ ‎（3）在（2）的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴h上是否存在点P，使△‎ PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．16的算术平方根是（　　）‎ A．4 B．﹣4 C．±4 D．2‎ ‎【分析】利用算术平方根的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：∵42＝16，‎ ‎∴16的算术平方根是4，‎ 故选：A．‎ ‎2．如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，‎ 故选：B．‎ ‎3．2019年10月1日国庆阅兵式上首次亮相了我国自主研发的洲际导弹“东风41号”，它的射程可以达到12000公里，数字12000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.2×103 B．1.2×104 C．12×103 D．0.12×104‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将12000用科学记数法表示为：1.2×104．‎ 故选：B．‎ ‎4．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠BAC＝70°，∠1的度数为（　　）‎ A．25° B．30° C．35° D．70°‎ ‎【分析】由AD是∠BAC的平分线，利用角平分线的定义可得出∠CAF的度数，由EF∥AC，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠1的度数．‎ ‎【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝70°，‎ ‎∴∠CAF＝∠BAC＝35°．‎ ‎∵EF∥AC，‎ ‎∴∠1＝∠CAF＝35°．‎ 故选：C．‎ ‎5．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎6．下列运算正确的是（　　）‎ A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2×a3＝a6 ‎ C．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2 D．（a2）3＝a6‎ ‎【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项A错误；‎ ‎∵a2×a3＝a5，故选项B错误；‎ ‎∵（a﹣b）（b﹣a）＝﹣a2+2ab﹣b2，故选项C错误；‎ ‎∵（a2）3＝a6，故选项D正确；‎ 故选：D．‎ ‎7．化简•的结果是（　　）‎ A．x+1 B．x+2 C． D．‎ ‎【分析】将分子利用平方差公式因式分解，之后约分即可．‎ ‎【解答】解：•＝＝x+2，‎ 故选：B．‎ ‎8．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：‎ 成绩/m ‎1.50‎ ‎1.60‎ ‎1.65‎ ‎1.70‎ ‎1.75‎ ‎1.80‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（　　）‎ A．1.65、1.70 B．1.65、1.75 C．1.70、1.75 D．1.70、1.70‎ ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎【解答】解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；‎ 跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；‎ 故选：C．‎ ‎9．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）‎ A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长＝4BC问题得解．‎ ‎【解答】解：∵E是AC中点，‎ ‎∵EF∥BC，交AB于点F，‎ ‎∴EF是△ABC的中位线，‎ ‎∴EF＝BC，‎ ‎∴BC＝6，‎ ‎∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．‎ 故选：A．‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（　　）‎ A．（﹣2﹣，） B．（﹣2﹣，2﹣） ‎ C．（﹣3，2﹣） D．（﹣3，）‎ ‎【分析】如图，作B′H⊥x轴于H．解直角三角形求出B′H，OH即可．‎ ‎【解答】解：作B′H⊥x轴于H．‎ 由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，‎ ‎∴∠A′B′H＝30°，‎ ‎∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，‎ ‎∴OH＝3，‎ ‎∴B′（﹣3，），‎ 故选：D．‎ ‎11．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4‎ ‎【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah＝k1，bh＝k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，求出k1﹣k2＝8．‎ ‎【解答】解：∵AB∥x轴，‎ ‎∴A，B两点纵坐标相同．‎ 设A（a，h），B（b，h），则ah＝k1，bh＝k2．‎ ‎∵S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，‎ ‎∴k1﹣k2＝8．‎ 故选：A．‎ ‎12．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）‎ A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2+7 ‎ C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+4‎ ‎【分析】曲线段AB扫过的面积＝（xB﹣xA）×AA′＝3AA′＝9，则AA′＝3，即可求解．‎ ‎【解答】解：曲线段AB扫过的面积＝（xB﹣xA）×AA′＝3AA′＝9，‎ 则AA′＝3，‎ 故抛物线向上平移3个单位，则y＝（x﹣2）2+4‎ 故选：D．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．分解因式：a2﹣9＝　（a+3）（a﹣3）　．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．‎ ‎【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．‎ 故答案为：（a+3）（a﹣3）．‎ ‎14．已知关于x的方程2（x+a）＝5x﹣1的解是3，则a的值为　4　．‎ ‎【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案．‎ ‎【解答】解：将x＝3代入原方程可得：2（3+a）＝15﹣1，‎ 解得：a＝4，‎ 故答案为：4．‎ ‎15．一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形边数是　10　．‎ ‎【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°即可解决问题．‎ ‎【解答】解：设它的边数为n，根据题意，得 ‎（n﹣2）•180°＝1440°，‎ 所以n＝10．‎ 故答案为：10．‎ ‎16．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是　15　个．‎ ‎【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，则摸到蓝球的概率为75%，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．‎ ‎【解答】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，‎ 所以摸到蓝球的概率为75%，‎ 因为20×75%＝15（个），‎ 所以可估计袋中蓝色球的个数为15个．‎ 故答案为15．‎ ‎17．某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为　9：20　．‎ ‎【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．‎ ‎【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，‎ ‎∴y1＝6x+40；‎ 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，‎ ‎∴y2＝﹣4x+240，‎ 联立，解得，‎ ‎∴此刻的时间为9：20．‎ 故答案为：9：20．‎ ‎18．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②BD＝1+；③BE+DF＝EF；④∠AEB＝75°．其中正确的序号是　①②④　．‎ ‎【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①‎ 的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断④的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC⊥EF，然后分别求得AG与CG的长，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝AD，‎ ‎∵△AEF是等边三角形，‎ ‎∴AE＝AF，‎ 在Rt△ABE和Rt△ADF中，，‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），‎ ‎∴BE＝DF，‎ ‎∵BC＝DC，‎ ‎∴BC﹣BE＝CD﹣DF，‎ ‎∴CE＝CF，故①正确；‎ ‎∵CE＝CF，‎ ‎∴△ECF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CEF＝45°，‎ ‎∵∠AEF＝60°，‎ ‎∴∠AEB＝75°，故④正确；‎ 如图，连接AC，交EF于G点，‎ ‎∴AC⊥EF，且AC平分EF，‎ ‎∵∠CAF≠∠DAF，‎ ‎∴DF≠FG，‎ ‎∴BE+DF≠EF，故③错误；‎ ‎∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB＝∠ACD，‎ ‎∴AC⊥EF，EG＝FG，‎ ‎∴AG＝AE•sin60°＝2×＝，CG＝EF＝1，‎ ‎∴AC＝AG+CG＝+1；故②正确．‎ 故答案为：①②④．‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎19．计算：|﹣3|+（π﹣3）0﹣+tan45°．‎ ‎【分析】分别求出每一项，|﹣3|＝3，（π﹣3）0＝1，＝2，tan45°＝1，然后进行运算即可；‎ ‎【解答】解：|﹣3|+（π﹣3）0﹣+tan45°＝3+1﹣2+1＝3；‎ ‎20．求不等式组的整数解，‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式①，得：x＜4，‎ 解不等式②，得：x≥1，‎ 则不等式组的解集为1≤x＜4，‎ 则不等式组的整数解为1、2、3．‎ ‎21．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．求证：AE＝CF．‎ ‎【分析】根据角平分线的性质先得出∠BEC＝∠DFA，然后再证∠ACB＝∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出AE＝CF．‎ ‎【解答】证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，‎ ‎∴∠ACB＝∠CAD．‎ ‎∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，‎ ‎∴∠BEC＝∠ABE+∠BAE＝∠FDC+∠FCD＝∠DFA，‎ 在△BEC与△DFA中，‎ ‎∵‎ ‎∴△BEC≌△DFA（AAS），‎ ‎∴AF＝CE，‎ ‎∴AE＝CF．‎ ‎22．某中学共有3个一样规模的大餐厅和2个一样规模的小餐厅，经过测试同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供3000名学生就餐；同时开放1个大餐厅，1个小餐厅，可供1700名学生就餐．‎ ‎（1）请问1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐．‎ ‎（2）如果3个大餐厅和2个小餐厅全部开放，那么能否供全校4500名学生就餐？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐，根据“同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供3000名学生就餐；同时开放1个大餐厅，1个小餐厅，可供1700名学生就餐”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）利用可供就餐的人数＝每个餐厅可供就餐的人数×餐厅数，求出3个大餐厅和2个小餐厅全部开放可供就餐人数，将其与4500比较后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：1个大餐厅可供1300名学生就餐，1个小餐厅可供400名学生就餐．‎ ‎（2）∵3×1300+2×400＝4700（名），4700＞4500，‎ ‎∴如果3个大餐厅和2个小餐厅全部开放，那么能满足全校4500名学生的就餐要求．‎ ‎23．如图，已知AB是圆O的直径，DC是圆O的切线，点C是切点，AD⊥DC垂足为D，且与圆O相交于点E．‎ ‎（1）求证：∠DAC＝∠BAC，‎ ‎（2）若圆O的直径为5cm，EC＝3cm，求AC的长．‎ ‎【分析】（1）连接OC，推出OC⊥DC，求出AD∥OC，得出∠DAC＝∠BAC＝∠OCA，即可得出答案；‎ ‎（2）根据∠DAC＝∠BAC推出EC＝BC＝3，在△ACB中根据勾股定理求出AC即可．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵DC切⊙O于C，‎ ‎∴OC⊥DC，‎ ‎∵AD⊥DC，‎ ‎∴AD∥OC，‎ ‎∴∠DAC＝∠OCA，‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠BAC＝∠OCA，‎ ‎∴∠DAC＝∠BAC．‎ ‎（2）解：∵∠DAC＝∠BAC，‎ ‎∴EC＝BC＝3，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ 由勾股定理得：AC＝＝4，‎ 答：AC的长是4．‎ ‎24．为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”‎ 进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．‎ 男、女生所选类别人数统计表 ‎ 类别 男生（人）‎ 女生（人）‎ 文学类 ‎12‎ ‎8‎ 史学类 m ‎5‎ 科学类 ‎6‎ ‎5‎ 哲学类 ‎2‎ n 根据以上信息解决下列问题 ‎（1）m＝　10　，n＝　2　；‎ ‎（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为　79.2　°；‎ ‎（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．‎ ‎【分析】（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出m、n；‎ ‎（2）由360°乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果；‎ ‎（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）抽查的总学生数是：（12+8）÷40%＝50（人），‎ m＝50×30%﹣5＝10，n＝50﹣20﹣15﹣11﹣2＝2；‎ 故答案为：10，2；‎ ‎（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为360°×＝79.2°；‎ 故答案为：79.2；‎ ‎（3）列表得：‎ 男1‎ 男2‎ 女1‎ 女2‎ 男1‎ ‎﹣﹣‎ 男2男1‎ 女1男1‎ 女2男1‎ 男2‎ 男1男2‎ ‎﹣﹣‎ 女1男2‎ 女2男2‎ 女1‎ 男1女1‎ 男2女1‎ ‎﹣﹣‎ 女2女1‎ 女2‎ 男1女2‎ 男2女2‎ 女1女2‎ ‎﹣﹣‎ 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，‎ ‎∴所选取的两名学生都是男生的概率为＝．‎ ‎25．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．‎ ‎（1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为　（2，3）　．‎ ‎（2）连接EF，求∠EFC的正切值；‎ ‎（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．‎ ‎【分析】（1）求出点F的坐标，进而求出反比例函数的表达式，即可求解；‎ ‎（2）由CF＝BC﹣BF，CE＝AC﹣AE，求出CF、CE，即可求解；‎ ‎（3）证明△EHG∽△GBF，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵OB＝4，OA＝3，‎ ‎∴点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3），‎ 点F运动到边BC的中点时，点F（4，），‎ 将点F的坐标代入y＝并解得：k＝6，‎ 故反比例函数的表达式为：y＝，‎ 当y＝3时，x＝＝2，故E（2，3），‎ 故答案为：（2，3）；‎ ‎（2）∵F点的横坐标为4，点F在反比例函数上，‎ ‎∴F（4，），‎ ‎∴CF＝BC﹣BF＝3﹣＝，‎ ‎∵E的纵坐标为3，‎ ‎∴E（，3），‎ ‎∴CE＝AC﹣AE＝3﹣＝，‎ 在Rt△CEF中，tan∠EFC＝＝；‎ ‎（3）如图，由（2）知，CF＝，CE＝，＝，‎ 过点E作EH⊥OB于H，‎ ‎∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，‎ ‎∴∠EGH+∠HEG＝90°，‎ 由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，‎ ‎∴∠EGH+∠BGF＝90°，‎ ‎∴∠HEG＝∠BGF，‎ ‎∵∠EHG＝∠GBF＝90°，‎ ‎∴△EHG∽△GBF，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴BG＝．‎ ‎26．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．‎ ‎（1）观察猜想：‎ ‎ 图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM＝PN　，位置关系是　PM⊥PN　； ‎ ‎（2）探究证明：‎ ‎ 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； ‎ ‎（3）拓展延伸：‎ ‎ 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；‎ ‎（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；‎ ‎（3）方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，‎ ‎∴PN∥BD，PN＝BD，‎ ‎∵点P，M是CD，DE的中点，‎ ‎∴PM∥CE，PM＝CE，‎ ‎∵AB＝AC，AD＝AE，‎ ‎∴BD＝CE，‎ ‎∴PM＝PN，‎ ‎∵PN∥BD，‎ ‎∴∠DPN＝∠ADC，‎ ‎∵PM∥CE，‎ ‎∴∠DPM＝∠DCA，‎ ‎∵∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠ADC+∠ACD＝90°，‎ ‎∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，‎ ‎∴PM⊥PN，‎ 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；‎ ‎（2）△PMN是等腰直角三角形．‎ 由旋转知，∠BAD＝∠CAE，‎ ‎∵AB＝AC，AD＝AE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，‎ 利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，‎ ‎∴PM＝PN，‎ ‎∴△PMN是等腰三角形，‎ 同（1）的方法得，PM∥CE，‎ ‎∴∠DPM＝∠DCE，‎ 同（1）的方法得，PN∥BD，‎ ‎∴∠PNC＝∠DBC，‎ ‎∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，‎ ‎∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ‎＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC ‎＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，‎ ‎∵∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠ACB+∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠MPN＝90°，‎ ‎∴△PMN是等腰直角三角形；‎ ‎（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，‎ ‎∴MN最大时，△PMN的面积最大，‎ ‎∴DE∥BC且DE在顶点A上面，‎ ‎∴MN最大＝AM+AN，‎ 连接AM，AN，‎ 在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，‎ ‎∴AM＝2，‎ 在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，‎ ‎∴MN最大＝2+5＝7，‎ ‎∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．‎ 方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，‎ ‎∴PM最大时，△PMN面积最大，‎ ‎∴点D在BA的延长线上，‎ ‎∴BD＝AB+AD＝14，‎ ‎∴PM＝7，‎ ‎∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．‎ ‎27．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点M是抛物线在x轴上方上的动点，过点M作MN∥y轴交线BC于点N，求线段MN的最大值．‎ ‎（3）在（2）的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴h上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）点C（0，﹣3），则c＝﹣3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝4，即可求解；‎ ‎（2）设点M（x，﹣x2+4x﹣3），则点N（x，x﹣3），MN＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x，即可求解；‎ ‎（3）分NB＝NP、BN＝BP、NP＝PB三种情况，分别求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）点C（0，﹣3），则c＝﹣3，‎ 将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝4，‎ 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3；‎ ‎（2）由点B、C的坐标得直线BC的表达式为：y＝x﹣3，‎ 设点M（x，﹣x2+4x﹣3），则点N（x，x﹣3），‎ MN＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x，‎ ‎∵﹣1＜0，故MN有最大值，此时x＝，‎ 则点N（，﹣）；‎ ‎（3）存在，理由：‎ 抛物线的对称轴为：x＝2，‎ 设点P（2，m），而点B（3，0），‎ 则BN2＝+＝，NP2＝+（m+）2，PB2＝1+m2，‎ ‎①当NB＝NP时，＝+（m+）2，解得：m＝；‎ ‎②当BN＝BP时，同理可得：m＝；‎ ‎③当NP＝PB时，同理可得：m＝﹣，‎ 故点P的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）或（2，﹣）或（2，﹣）．‎