- 2021-11-10 发布 |
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湘教版九年级数学上册全册精品教学课件
1.1 反比例函数 第 1 章 反比例函数 湘教版九年级数学上册教学课件 1. 理解并掌握反比例函数的概念 . ( 重点 ) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念， 能根据已知 条件确定反比例函数的解析式 . ( 重点、难点 ) 学习目标 ？ ？ 导入新课 情境引入 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备 . 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价 x / 元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记本数量 y / 本 通过填表，你发现 x ， y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 ？ 反比例函数的概念 一 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式 . 合作探究 ( 1 ) 京沪线铁路全程为 1463 km ，某次列车的平均速 度 v ( 单位： km/h) 随此次列车的全程运行时间 t ( 单位： h) 的变化而变化； ( 2 ) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m 2 的矩形草 坪，草坪的长 y ( 单位： m) 随宽 x ( 单位： m) 的 变化而变化； ( 3 ) 已知北京市的总面积为 1.68 × 10 4 km 2 ，人均占 有面积 S (km 2 / 人 ) 随全市总人口 n ( 单位：人 ) 的 变化而变化 . 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 问题： 都具有 的形式，其中 是常数． 分式 分子 ( k 为常数， k ≠ 0) 的函数， 叫做 反比例函数 ，其中 x 是自变量， y 是函数 . 一般地，形如 反比例函数 ( k ≠ 0) 的自变量 x 的 取值范围 是什么？ 思考： 因为 x 作为分母， 不能等于零 ，因此自变量 x 的取值范围是 所有非零实数 . 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量 的 取值范围 . 例如，在前面得到的第一个解析式 中， t 的取值范围是 t ＞ 0 ，且当 t 取每一个确定的 值时， v 都有唯一确定的值与其对应 . 反比例函数除了可以用 ( k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 想一想： 反比例函数的三种表达方式： ( 注意 k ≠ 0 ) 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值 . 是 ， k = 3 不是 不是 不是 练一练 是 ， 解：因为 是反比例函数 所以 4 － k 2 =0 ， k － 2≠0. 解得 k = － 2. 所以该反比例函数的解析式为 方法总结： 已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程 ( 组 ) 求解即可 . 例 1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的解析式 . 1. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须满足 . 2. 当 m= 时， 是反比例函数 . k≠ 2 且 k≠ － 1 ± 1 练一练 确定反比例函数的解析式 二 例 2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x =2 时， y =6. ( 1 ) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 提示： 因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 . 把 x =2 和 y =6 代入上式，就可求出常数 k 的值 . 解：设 . 因为当 x =2 时， y =6 ，所以有 解得 k =12. 因此 ( 2 ) 当 x =4 时，求 y 的值 . 解：把 x =4 代入 ，得 方法总结： 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件 ( 自变量与函数的对应值 ) 代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式 . 练一练 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x =3 时， y = － 4. ( 1 ) 写出 y 关于 x 的函数解析式； ( 2 ) 当 y =6 时，求 x 的值 . 解： (1) 设 . 因为当 x =3 时， y = － 4 ，所以有 解得 k = － 12. 因此 (2) 把 y =6 代入 ，得 解得 x = － 2. 例 3 ： 在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa 是它的受力面积 S m 2 的反比例函数，如图 . （ 1 ）求 p 与 S 之间的函数表达式； （ 2 ）当 S =0.5 时，求 p 的值 . 解：（ 1 ）设 （ k ≠0 ）， 因为函数图象过点（ 0.1,1000 ） , 代入上式，得 解得 k =100. 所以 p 与 S 的函数表达式是 ； （ 2 ） 当 S =0.5 时， p s O 0.1 1000 建立简单的反比例函数模型 三 例 4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f ( 度 ) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100 km/h 时视野的度数 . 当 v =100 时， f =40. 所以 当车速为100 km/h 时视野为 40 度 . 解：设 . 由题意知，当 v =50 时， f =80 ，所以 解得 k =4000. 因此 如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为 180 ，设它的两条对角线 AC ， BD 的长分别为 x ， y . 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数 . A B C D 练一练 解 : 因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半， 所以 所以 变量 y 与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数 . 当堂练习 1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x 人共饮水 10 kg ，平均每人饮水 y kg ；②底面半径为 x m ，高为 y m 的圆柱形水桶的体积为 10 m 3 ；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm ，做成圆的半径为 y cm ；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x ，放满一桶水的时间 y A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D. 4 个 B A. B. C. D. 2. 下列函数中， y 是 x 的反比例函数的是 ( ) A 3. 填空 ( 1 ) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围 是 . ( 2 ) 若 是反比例函数，则 m 的取值范 围是 . ( 3 ) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围 是 . m ≠ 1 m ≠ 0 且 m ≠ － 2 m = － 1 4. 已知 y 与 x +1 成反比例，并且当 x = 3 时， y = 4. ( 1 ) 写出 y 关于 x 的函数解析式； ( 2 ) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解： (1) 设 ，因为当 x = 3 时， y =4 ， 所以有 ，解得 k = 16 ，因此 . (2) 当 x = 7 时， 5. 小明家离学校 1000 m ，每天他往返于两地之间，有 时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速 度为 v ( m/min ) ，所用的时间为 t ( min ) ． ( 1 ) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； 解： ( t >0) ． ( 2 ) 小明星期二步行上学用了 25 min ，星期三骑自行 车上学用了 8 min ，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 125 － 40 ＝ 85 ( m/min ) ． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t ＝ 25 时， ； 当 t ＝ 8 时， . 能力提升： 6. 已知 y = y 1 + y 2 ， y 1 与 ( x － 1) 成正比例， y 2 与 ( x + 1) 成反比例，当 x = 0 时， y = － 3 ；当 x =1 时， y = － 1 ， 求： ( 1 ) y 关于 x 的关系式； 解：设 y 1 = k 1 ( x － 1) ( k 1 ≠0) ， ( k 2 ≠0) ， 则 . ∵ x = 0 时， y = － 3 ； x =1 时， y = － 1 ， － 3= － k 1 + k 2 ， ∴ k 1 =1 ， k 2 = － 2. ∴ ∴ ( 2 ) 当 x = 时， y 的值 . 解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 课堂小结 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义 / 三种表达方式 反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质 第 1 章 反比例函数 第 1 课时 反比例函数 的图象与性质 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1. 了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制简单的反比例函数图象． 2. 了解并学会应用反比例函数 图象的基本性质． ( 重点、难点 ) 导入新课 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？ 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 复习引入 反比例函数的图象和性质 一 例 1 画反比例函数 与 的图象 . 合作探究 提示： 画函数的图象步骤一般分为：列表 → 描点 → 连线 . 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解： 列表如下： x … － 6 － 5 － 4 － 3 － 2 － 1 1 2 3 4 5 6 … … … … … － 1 － 1.2 － 1.5 － 2 － 3 － 6 6 3 2 1.5 1.2 1 － 2 － 2.4 － 3 － 4 － 6 6 4 3 2.4 2 O － 2 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 － 3 － 4 － 1 － 5 － 6 － 1 － 2 － 3 － 4 － 5 － 6 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可 得 的图象． 方法归纳 绘制反比例函数的图象与绘制一次函数的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比例函数图象为 曲线 ，连线时应该尽量保证 线条自然， 图象是 延伸的 ，注意不要画成有明 确端点．曲线的发展趋势 只能靠近 坐标轴 , 但 不能和坐标轴相交 ． 观察这两个函数图象，回答问题： 思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着 x 的增大， y 如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 ( k ＞ 0) ，考虑问题 (1)(2) ， 你能得出同样的结论吗？ ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、 y 轴都不相交； ●在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 . 反比例函数 ( k ＞ 0) 的 图象 和 性质 ： 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 练一练 2. 已知反比例函数 的图象过点 ( － 2 ，－ 3) ，函 数图象上有两点 A ( ， y 1 ) ， B (5 ， y 2 ) ， 则 y 1 与 y 2 的大小关系为 ( ) A. y 1 > y 2 B. y 1 = y 2 C. y 1 < y 2 D. 无法确定 C 提示： 由题可知反比例函数的解析式为 ，因为 6 ＞ 0 ，且 A ， B 两点 均在该函数图象的第一象限部分，根据 >5 ，可知 y 1 ， y 2 的大小关系 . 例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (2 ， 6). ( 1 ) 这个函数的图象位于哪些象限？ y 随 x 的 增大如 何变化？ 解：因为点 A (2 ， 6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内， y 随 x 的 增大而减小 . ( 2 ) 点 B (3 ， 4) ， C ( ， ) ， D (2 ， 5) 是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2 ， 6) 在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B ， C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B ， C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上 . 所以反比例函数的解析式为 . ( 1 ) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例 2 如图，是反比例函数 图象的一支 . 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限 . 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以 m － 5 ＞ 0 ， 解得 m ＞ 5. ( 2 ) 在这个函数图象的某一支上任取点 A ( x 1 ， y 1 ) 和 点 B ( x 2 ， y 2 ). 如果 x 1 ＞ x 2 ，那么 y 1 和 y 2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m － 5 ＞ 0 ，所以在这个函数图象的任一支 上， y 都随 x 的增大而减小，因此当 x 1 ＞ x 2 时， y 1 ＜ y 2 . 2 ． 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则 m 的取值范围是 ________. 当堂练习 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 B 3. 在反比例函数 ( k >0) 的图象上有两点 A ( x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) 且 x 1 > x 2 >0 ，则 y 1 - y 2 的值为 ( ) A ． 正数 B ． 负数 C ．非正数 D ．非负数 B 4. 已知反比例函数 y = mx m ² － 5 ，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值 . 解：因为反比例函数 y = mx m ² － 5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m 2 － 5= － 1 ， m ＞ 0 ， 解得 m =2. 5. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2 ， 3) ． ( 1 ) 求这个函数的表达式； 解： ∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2 ， 3) ， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . ( 2 ) 判断点 B ( － 1 ， 6) ， C (3 ， 2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解： 分别把点 B ， C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． ( 3 ) 当 － 3< x < － 1 时，求 y 的取值范围． 解： ∵ 当 x = － 3 时， y = － 2 ； 当 x = － 1 时， y = － 6 ，且 k > 0 ， ∴ 当 x < 0 时， y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 － 3 < x < － 1 时，－ 6 < y < － 2. 性质：在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 图象：分别位于第一、三象限 课堂小结 图象的画法（描点法）：列表、描点、连线 1.2 反比例函数的图象与性质 第 1 章 反比例函数 第 2 课时 反比例函数 的图象与性质 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1. 了解反比例函数 的相关性质 . ( 重点、难点） 2. 理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系． （重点、难点） 3. 利用双曲线的性质解决简单的数学问题． 观察与思考 问题 下表是一个反比例函数的部分取值，想一想这些点如果在平面直角坐标系中是怎样一种情况呢？可以试着动手画一画． x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 反比例函数 图象与性质 一 例 1 ： 画反比例函数 的图象 . 解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为 列表 描点 连线 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0 ． 解：列表如下 x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y … 0.8 1 2 4 -4 -2 -1 -0.8 … 描点： 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 连线： 用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象． 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -6 -5 5 6 y x y = x 4 O 图象的画法与 图象的画法类似，但在解题的时候要注意图象 所在的象限． 方法归纳 观察与思考 当 k = － 2 ， － 4 ， － 6 时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k ＞ 0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k ＜ 0) 的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 反比例函数 ( k ＜ 0) 的 图象 和 性质 ： ●由两条曲线组成， 且分别位于第二、四象限 它们与 x 轴、 y 轴都不相交； ●在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 . 归纳： 归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内， y 随 x 的增大而增大 . 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性 点 (2 ， y 1 ) 和 (3 ， y 2 ) 在函数 上，则 y 1 y 2 ( 填“ > ”“ < ” 或“ = ” ) . < 练一练 例 2 ： 反比例函数 的图象大致是（ ) y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 典例精析 D 例 3 ： 如图是反比例函数 的图象，根据图像，回答下列问题： （ 1 ） k 的取值范围是 k >0 还是 k <0 ？说明理由； x y o 由图可知，反比例函数的图像的 两支双曲线分别位于第一三象限 内，在每个象限内，函数值 y 随自 变量 x 的增大而减小，因此， k >0 （ 2 ）如果点 A （ -3 ， y 1 ）， B （ -2 ， y 2 ）是该函数上的两点，试比较 y 1 、 y 2 的大小 . x y o 因为点 A （ -3 ， y 1 ）， B （ -2 ， y 2 ） 是该图像上的两点，且 -3<0 ， -2<0 ， 所以点 A ， B 都位于第三象限 . 又因为 -3<-2 ，由反比例函数图像的性质 可知： y 1> y 2 例 4 ： 若双曲线 y = 的两个分支分别在第二、四象限，则 k 的取值范围是 ( ) A. k ＞ B. k ＜ C. k = D. 不存在 解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有 2 k -1 ＜ 0 ，解得 k ＜ . 故选 B . B 例 5 已知反比例函数 ， y 随 x 的 增大而增大，求 a 的值 . 解：由题意得 a 2 + a － 7= － 1 ，且 a － 1<0 ． 解得 a= － 3 . 双曲线的概念及性质 二 问题： 观察前面绘制出来的图象，想一想它们有什么样的共同点与特征呢？ x y x y 双曲线 是 轴对称 图形，也是 以原点为对称中心的 中 心对称 图形． O O 例 6 ： 如图，已知直线 y= mx 与双曲线 的一个交点坐标为 (-1,3) ，则它们的另一个交点坐标是 ( ) A. (1,3) B. (3,1) C. (1,-3) D. (-1,3) x y C O 例 7 ： 点 (2 ， y 1 ) 和 (3 ， y 2 ) 在函数 上， 则 y 1 y 2 ．（填“ > ”“ < ” 或“ = ” ） < 解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，且 y 随着自变量 x 的增大而增大， 故 y 1 < y 2 ． 当堂练习 １．若反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，则 k 的取值可能是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2 x 与 的 图象大致是 ( ) O x y O x y O x y O x y A. B. C. D. B 3 . 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则 m 的取值范围是 ________. 4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 ( － 1 ， 12) 和点 ( 10 ，－ 1.2) ； (2) 在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于 二、四象限 . 其中正确的是 ( 填序号 ). (1)(3) m ＞ 2 5. 已知反比例函数的图象的一支如图所示． (1) 判断 k 是正数还是负数； (2) 求这个反比例函数的表达式； (3) 补画这个反比例函数图象的另一支． 解： (1) 因为反比例函数的图象在第二象限，所以 k 是负数． (2) 设反比例函数的表达式为 将 (-4 ， 2) 代入 其 中，解得 k=- 8 ，所以反比例函数的表达式为 : (3) 根据反比例函数图象的中心对称性可补画出另一支，图象略． 6. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2 ，－ 4). ( 1 ) 求 k 的值； 解： ∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2 ，－ 4 ) ， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 解得 k = － 8. ( 2 ) 这个函数的图象分布在哪些象限？ y 随 x 的增大 如何变化 ? 解： 这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内， y 随 x 的 增大而增大 . ( 3 ) 画出该函数的图象； O x y 解：如图所示： ( 4 ) 点 B (1 ，－ 8) ， C ( － 3 ， 5) 是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上 . 解：该反比例函数的解析式为 . 能力提升： 7. 点 ( a － 1 ， y 1 ) ， ( a ＋ 1 ， y 2 ) 在反比例函数 (k ＞ 0) 的图象上，若 y 1 ＜ y 2 ，求 a 的取值范围 . 解：由题意知，在图象的每一支上， y 随 x 的增大而 减小 . ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵ y 1 ＜ y 2 ，∴ a －1＞ a +1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵ y 1 ＜ y 2 ， ∴ 必有 y 1 ＜ 0 ＜ y 2 . ∴ a －1＜0， a +1＞0， 解得：－1＜ a ＜1 . 故 a 的取值范围为：－1＜ a ＜1． 反比例函数 ( k ≠0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 课堂小结 1.2 反比例函数的图象与性质 第 1 章 反比例函数 第 3 课时 反比例函数图象与性质的综合应用 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中 . ( 重点、难点 ) 2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题 . ( 重 点、难点) 3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想 方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运 用能力. (重点、难点) 导入新课 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 反比例函数的图 象 是双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限， 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 . 复习引入 问题 1 问题 2 反比例函数解析式中 k 的几何意义 一 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P ， Q 向 x 轴、 y 轴作垂线，围成面积 分别 为 S 1 ， S 2 的矩形， 填写下页表格： 合作探究 5 1 2 3 4 － 1 5 x y O P S 1 S 2 P (2 ， 2) Q (4 ， 1) S 1 的值 S 2 的值 S 1 与 S 2 的关系 猜想 S 1 ， S 2 与 k 的关系 4 4 S 1 = S 2 S 1 = S 2 = k － 5 － 4 － 3 － 2 1 4 3 2 － 3 － 2 － 4 － 5 － 1 Q S 1 的值 S 2 的值 S 1 与 S 2 的关系 猜想与 k 的关系 P ( － 1 ， 4) Q ( － 2 ， 2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P ， Q 两点，填写表格： 4 4 S 1 = S 2 S 1 = S 2 = － k y x O P Q S 1 S 2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是 图象上的任意一点 ，作 P A 垂直于 x 轴，作 P B 垂直于 y 轴，矩形 AOB P 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOB P = | k | . y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 ( a ， b ) A B ∵ 点 P ( a ， b ) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab=k . ∴ S 矩形 AOB P = PB · PA= － a · b= － ab= － k ； 若点 P 在第二象限，则 a <0 ， b >0 ， 若点 P 在第四象限，则 a >0 ， b <0 ， ∴ S 矩形 AOB P = PB · PA =a · ( － b ) = － ab= － k . B P A 综上， S 矩形 AOB P = | k |. 自己尝试证明 k > 0 的情况 . 点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于 x 轴，矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOBQ = . 推理：△ QAO 与△ QBO 的 面积和 k 的关系是 S △ QAO = S △QBO = . Q 对于反比例函数 ， A B | k | y x O 归纳： 反比例函数的 面积不变性 A. SA > SB > SC B. SA < SB < SC C. SA = SB = SC D. SA < SC < SB 1. 如图，在函数 ( x ＞0)的图像上有三点 A ， B ， C ，过这三点分别向 x 轴、 y 轴作垂线，过每一点 所作的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分 别为 SA ， SB ， SC ， 则 ( ) y x O A B C C 练一练 2 . 如图，过反比例函数 图象上的一点 P ，作 PA ⊥ x 轴于 A . 若△ POA 的面积为 6，则 k = . －12 提示： 当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k ＜ 0. y x O P A 3 . 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别为点 M ， N ，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 例 1 如图， P ， C 是函数 ( x >0 ) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA ，垂足为 A ，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD ，垂足为 D ，连接 OC 交 PA 于点 E . 设 △ POA 的面积 为 S 1 ，则 S 1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S 2 ，则 S 1 与 S 2 的大小 关系是 S 1 S 2 ；△ POE 的面 积 S 3 和 S 2 的大小关系是S 2 S 3 . 典例精析 2 S 1 S 2 ＞ ＝ S 3 如图所示，直线与双曲线交于 A ， B 两点， P 是 AB 上的点，△ AOC 的面积 S 1 、 △ BOD 的面积 S 2 、 △ POE 的面积 S 3 的大小关系为 . S 1 = S 2 < S 3 练一练 解析：由 反比例函数面积的不变 性易知 S 1 = S 2 . PE 与双曲线的一 支交于点 F ，连接 OF ，易知， S △ OFE = S 1 = S 2 ，而 S 3 ＞ S △ OFE ， 所以 S 1 ， S 2 ， S 3 的大小关系为 S 1 = S 2 < S 3 F S 1 S 2 S 3 y D B A C x 例 2 如图，点 A 是反比例函数 ( x ＞0)的图象上 任意一点， AB // x 轴交反比例函数 ( x ＜ 0) 的图象于点 B ，以 AB 为边作平行四边形 ABCD ，其中 点 C ， D 在 x 轴上，则 S 平行四边形 ABCD = ___ . 3 2 5 如图所示，在平面直角坐标系中，过点 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 ( x ＞0) 和 ( x ＜0) 的图象交于点 P ， Q ，若△ POQ 的面积为 8，则 k =______ . Q P O x M y － 10 练一练 例 3 如图所示，点 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )都在双曲线 上，且 x 2 － x 1 = 4， y 1 － y 2 =2 . 分别过点 A ， B 向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别为 C ， D ， E ， F ， AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2，五边形 AEODB 的面积为 14，那么双曲线的解析式 为 . 解得 k = 6. ∴ 双曲线的解析式为 . 解析： ∵ x 2 － x 1 = 4， y 1 － y 2 =2， ∴ BG = 4 ， AG =5 ， ∴ S △ ABG =4 × 5 ÷ 2=10. 由 反比例函数面积的不变 性可知， S 长方形 ACOE = S 长方形 BDOF = k . ∴ S 五边形 AEODB = S 四边形 ACOE + S 四边形 BDOF － S 四边形 F O CG + S △ABG = k + k － 2+4=14. 如图，已知点 A ， B 在双曲线 上， AC ⊥ x 轴于 点 C ， BD ⊥ y 轴于点 D ， AC 与 BD 交于点 P ， P 是 AC 的中点，若△ ABP 的面积为6，则 k = . 24 练一练 E F 解析：作 AE ⊥ y 轴于点 E ， BF ⊥ x 轴于点 F . ∵ P 是 AC 的中点， ∴ S 四边形 OCPD = S 四边形 ACOE = S 四边形 BDOF = k ， S △ ABP = S 四边形 BFCP ， = ( S 四边形 BDOF － S 四边形 OCPD ) = ( k － k )= k = 6. ∴ k =24. 反比例函数与一次函数的综合 二 在同一坐标系中，函数 和 y= k 2 x+b 的图象大致如下，则 k 1 、 k 2 、 b 各应满足什么条件？ k 2 >0 b >0 k 1 >0 k 2 >0 b <0 k 1 >0 合作探究 ① x y O x y O ② k 2 <0 b <0 k 1 <0 k 2 <0 b >0 ③ x y O k 1 >0 ④ x y O 例 4 函数 y = kx － k 与 的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k ＜ 0 k ＞ 0 × × × √ k ＞ 0 k ＜ 0 由一次函数增减性得 k ＞ 0 由一次函数与 y 轴交点知 － k ＞ 0 ， 则 k ＜ 0 x 提示： 由于两个函数解析式都含有相同的系数 k ，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案 . 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax +1 ( a ≠0) 的图象可能是 ( ) A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B 练一练 例 5 如图是一次函数 y 1 = kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y 1 ﹥ y 2 时， x 的取值范围为 . － 2 3 y x 0 － 2< x <0 或 x >3 解析： y 1 ﹥ y 2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时 . 观察右图，可知 － 2< x <0 或 x >3. 方法总结： 对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了 . 练一练 如图，一次函数 y 1 = k 1 x + b ( k 1 ≠0 ) 的图象与反比例函数 的图象交于 A ， B 两点，观察图象，当 y 1 ＞ y 2 时， x 的取值范围是 ． － 1 2 y x 0 A B － 1< x <0 或 x >2 例 6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P ( － 3 ， 4) . 试求出它们的解析式，并画出图象 . 由于这两个函数的图象交于点 P ( － 3 ， 4) ，则点 P ( － 3 ， 4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式 . 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k 1 x 和 . 所以 ， . 解得 ， . P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示 . 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 想一想： 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3 x 的图象的交点坐标为 ． (2 ， 6) ， ( － 2 ，－ 6) 解析： 联立两个函数解析式，解方程即可 . 练一练 例 7 已知 A ( － 4 ， ) ， B ( － 1 ， 2) 是一次函数 y = kx + b 与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数 解析式及 m 的值 . 解：把 A ( － 4 ， ) ， B ( － 1 ， 2) 代入 y = kx + b 中，得 － 4 k + b = ， － k + b =2 ， k = ， 解得 b = ， 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B ( － 1 ， 2) 代入 中，得 m = － 1 × 2= － 2. 当堂练习 A. 4 B. 2 C. － 2 D. 不确定 1 . 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB ⊥ x 轴于点 B ，点 A 在 y 轴上， △ ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) O B A P x y A 2. 如图，函数 y ＝－ x 与函数 的图象相交于 A ， B 两点，过点 A ， B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为 C ， D ，则四边形 ACBD 的面积为 ( ) A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 D y x O C A B D 3. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2 x +1 的 图象的一个交点是 (1， k )，则反比例函数的解析 式是_______． 4. 如图，直线 y = k 1 x + b 与反比例函数 ( x ＞ 0) 交于 A ， B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k 1 x + b ＞ 的解集是___________． 1 ＜ x ＜ 5 O B A x y 1 5 x y O B A 5 . 如图，直线 y = a x + b 与双曲线 交于两点 A (1 ， 2) ， B ( m ， 4) 两点， ( 1 ) 求直线与双曲线的解析式； 所以 一次函数的解析式为 y = 4 x － 2. 把 A ， B 两点坐标代入一次函数解析式中，得到 a =4 ， b = － 2. 解：把 B (1 ， 2) 代入双曲线解析式中， 得 k = 2 ，故其解析式为 . 当 y = － 4 时， m = . ( 2 ) 求不等式 a x + b ＞ 的解集 . x y O B A 解：根据图象可知，若 a x + b ＞ ， 则 x ＞ 1 或 ＜ x ＜ 0. 6 . 如图，反比例函数 与一次函数 y =－ x + 2 的图象交于 A ， B 两点 . ( 1 ) 求 A ， B 两点的坐标； A y O B x 解： y = － x + 2 ， 解得 x = 4 ， y = － 2 所以 A ( － 2 ， 4) ， B (4 ，－ 2) . 或 x = － 2 ， y = 4. 作 AC ⊥ x 轴于 C ， BD ⊥ x 轴于 D ， 则 AC =4 ， BD =2. ( 2 ) 求△ AOB 的面积 . 解：一次函数与 x 轴的交点为 M (2 ， 0) ， ∴ OM =2. O A y B x M C D ∴ S △ OMB = OM · BD ÷ 2=2 × 2 ÷ 2=2 ， ∴ S △ OMA = OM · AC ÷ 2=2 × 4 ÷ 2=4 ， ∴ S △ AOB = S △ OMB + S △ OMA =2+4=6. 课堂小结 面积问题 面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的 中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数图象和性质的综合运用 1.3 反比例函数的应用 第 1 章 反比例函数 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. ( 重点、难点 ) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 导入新课 对于一个矩形，当它面积一定时，长 a 是宽 b 的反比例函数，其函数解析式可以写为 ( S ＞ 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式． 实例： 函数解析式： ． 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入 ( S ＞ 0) 的反比例函数 ； 讲授新课 反比例函数在实际生活中的应用 一 引例： 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m 2 ) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合 计 600N ，那么 (1) 用含 S 的代数式表示 p ， p 是 S 的反比 例函数吗？为什么？ 由 p ＝ 得 p ＝ p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，对应的就有唯一的一个 p 值和它对应，根据函数定义，则 p 是 S 的反比例函数． (2) 当木板面积为 0.2m 2 时，压强是多少？ 当 S ＝ 0.2m 2 时， p ＝ ＝ 3000(Pa) ． 答：当木板面积为 0.2m 2 时压强是 3000Pa ． (3) 如果要求压强不超过 6000Pa ，木板面积至少要多大？ (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 图象如下 当 p ≤6000 Pa 时， S ≥0.1m 2 ． 0.1 0.5 O 0.6 0.3 0.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 p /Pa S/ 例 1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 10 4 m 3 的圆柱形煤气储存室 . ( 1 ) 储存室的底面积 S ( 单位： m 2 ) 与其深度 d ( 单位： m) 有怎样的函数关系 ? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd = 10 4 ， ∴ S 关于 d 的函数解析式为 典例精析 ( 2 ) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m 2 ， 施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20 . 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 ( 3 ) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时 ，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地， 储存室的底面积应改为多少 ( 结果 保留 小 数点后 两位)? 解得 S≈666.67 . 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 ( 2 ) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 ( 3 ) 问则是与第 ( 2 ) 问相反． 想一想： 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C. D. x y x y x y x y 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． ( 1 ) 漏斗口的面积 S ( 单位： dm 2 )与漏斗的深 d ( 单位： dm) 有怎样的函数关系? d 解： ( 2 ) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm 2 ？ 解： 10cm=1dm ，把 d =1 代入解析式，得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm 2 . ( 3 ) 如果漏斗口的面积为 60 cm 2 ，则漏斗的深为多少? 解： 60 cm 2 = 0.6 dm 2 ，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例 2 码头工人每天 往一艘轮船上装载 30吨货物 ， 装载完毕恰好用了8天时间. ( 1 ) 轮船到达目的地后开始卸货 ，平均 卸货速度 v (单位 ： 吨/天)与卸货 天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示： 根据 平均 装货速度×装货 天数 =货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据 平均 卸货速度=货物的总量÷卸货 天数 ，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 ( 2 ) 由于遇到紧急情况 ，要求 船上的货物不超过 5 天 卸 载完毕 ， 那么平均每天至少要卸 载 多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载 完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知， t 越小， v 越大 . 这样若货物 不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入 ，得 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． ( 1 ) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： ( 2 ) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解： x =12 × 5=60 ，代入函数解析式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完 . ( 3 ) 在 ( 2 ) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了8天后剩余的垃圾有 1200－8×60=720 ( 立方米 ) ， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6=120 ( 立方米 ) ， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 ( 辆 ) ， 即至少需要增加拖拉机10－5=5 ( 辆 ). 例 3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. ( 1 ) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80 × 6 =480 ( 千米 ) 答：甲、乙两地相距 480 千米 . ( 2 ) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt =480 ， 整理得 ( t ＞ 0). 例 4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. ( 1 ) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 ? 当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力 ? 反比例函数在其他学科中的应用 一 解：根据 “ 杠杆原理 ” ，得 Fl = 1200 × 0.5 ， ∴ F 关于 l 的函数解析式为 当 l =1.5m 时， 对于函数 ，当 l =1.5 m 时， F =400 N ，此 时杠杆平衡 . 因此撬动石头至少需要 400N 的力 . ( 2 ) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂 l 至少要加长多少? 提示： 对于函数 ， F 随 l 的增大而减小 . 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量 . 解：当 F=400 × =200 时，由 200 = 得 300 － 1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞ 0 时， l 越大， F 越 小 . 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 假定地球重量的近似值为 6 × 1025 牛顿 ( 即阻力 ) ，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 由已知得 F × l ＝6×1025×2×106 =1.2×10 32 米， 当 F =500时， l =2.4×10 29 米， 解： 2000 千米 = 2×10 6 米， 练一练 变形得： 故用2.4×10 29 米动力臂的杠杆才能把地球撬动 . 例 5 一个用电器的电阻是可调节的 ， 其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V ， 这个用电器的电路图如图所示. ( 1 ) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U ~ 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 ( 2 ) 这个 用电器功率的范围 是 多 少 ? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小 . 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 因此 用电器功率的范围为220~440 W. 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( ) D 练一练 A. B. C. D. I R I R I R I R 例 6 已知某电路的电压 U （V）、电流 I （A）、电阻 R （Ω）三者之间有如下关系： U=IR ，且该电路的电压 U 恒为220V． ( 1 ) 写出电流 I 与 电阻 R 的函数关系式 ； ( 2 ) 当电流 I ＝0.5 时，求电阻 R 的值． 解： ( 1 ) 因为 U=IR ，且 U =220V ， 所以 IR =220 ， 即该电路的电流 I 关于电阻 R 的函数表达式为 (2) 因为该电路的电阻 R =220Ω ， 所以通过该电路的电流 （ A ） . ( 3 ) 如图所示，如果该电路接入的是一个滑动变阻器，怎样调整电阻 R ，就可以使电路中的电流 I 增大？ 根据反比例函数 图像及性质可知，当滑动变阻器的电阻 R 减小时，就可以使电路中的电流 I 增大 . R /Ω I /A O 当堂练习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为 x ，另一直角边 长 为 y ，则 y 与 x 的变化规律用 图象可 大致 表示为 ( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C 2. ( 1 ) 体积为 20 cm 3 的面团做成拉面，面条的总长度 y ( 单位： cm) 与面条粗细 (横截面积) S ( 单位： cm 2 ) 的函数关系 为 . ( 2 ) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm 2 ， 则 面条 的 总长 度 是 cm. 2000 3. A 、 B 两城市相距720千米，一列火车从 A 城去 B 城. ( 1 ) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是___ __ ___． ( 2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于____________． 240 千米 / 时 4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤， 现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么 这批煤能维持 y 天. ( 1 ) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6×150=90 (吨)， 根据题意有 ( x ＞ 0). ( 2 ) 画出函数的图象； 解： 如图所示 . 30 90 1 x y O ( 3 ) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 0.1 吨煤， ∴ 每天的用煤量为 0.6 － 0.1=0.5 (吨)， ∴ 这批煤能维持 180 天． 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． ( 1 ) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： ( 2 ) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他骑车的平均速度是 240 米/分 . ( 3 ) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位 ? 解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得： t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 6. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电 阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． ( 1 ) 求这个反比例函数的表达式； 解：设 ，把 M (4，9) 代入得 k =4×9=36. ∴ 这个反比例函数的 表达式 为 . O 9 I (A) 4 R (Ω) M (4 ， 9) ( 2 ) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 解： 当 R =10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4， ∴电流不可能是4A． 7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力 F (N)之间的函数关系如 下图所示： ( 1 ) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式； O 20 v (m/s) 3000 F (N) 解： ( 3 ) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ ( 2 ) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多 少 km/h？ 解： 把 F = 1200 N 代入 求得的解析式得 v = 50 ， ∴ 汽车 的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m. 答案： F ≥ 2000 N. 8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y ( 天 ) 与每天完成的工 程量 x ( m/天 ) 的函数关系图象如图所示 . (1 ) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x (m/ 天 ) y ( 天 ) O 解： ( 2 ) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m ，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 ( m ) ； 2 台挖掘机需要 1200÷ ( 2×15 ) =40 ( 天 ). ( 3 ) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 ( 按 30 天计算 ) 完成任务，那么每天至少要完成多 少 m ？ 解：1200÷30=40 ( m ) ， 故每天至少要完成40 m． 课堂小结 实际问题中的反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 小结与复习 第 1 章 反比例函数 湘教版九年级数学上册精品教学课件 1. 反比例函数的概念 要点梳理 定义：形如________ ( k 为常数， k ≠0) 的函数称为 反 比例函数 ，其中 x 是自变量， y 是 x 的函数， k 是比例 系数． 三种表达式方法： 或 x y ＝ kx 或y＝ kx －1 ( k ≠0)． 防错提醒：(1) k ≠0；(2)自变量 x ≠0；(3)函数 y ≠0. 2. 反比例函数的图象和性质 ( 1 ) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ， 它既 是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的 两条对称轴 为 直线 和 ； 对称中心是： . 双曲线 原点 y = x y= － x ( 2 ) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 ( k ≠0) k ＞ 0 一、三象限 ( x ， y 同号 ) 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 k ＜ 0 二、四象限 ( x ， y 异号 ) 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 x y o x y o ( 3 ) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 ( x ， y ) 具有 两坐标之积 ( xy ＝ k ) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 | k | . 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 ． 3. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数 ： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x 、 y 的一对 对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ◑ 反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y ＝ k 1 x ＋ b ( k 1 ≠0) 和双曲线 ( k 2 ≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组. ◑ 利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值 . 考点讲练 考点一 反比例函数的概念 针对训练 1 . 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数 ? ① y = 3 x －1 ② y = 2 x 2 ⑤ y = 3 x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 2 . 已知点 P (1，－3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A . 3 B . －3 C. D . B 3 . 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A . 1 B . －1 C . ±1 D . 任意实数 A 例 1 已知点 A(1， y 1 )，B(2， y 2 )，C(－3， y 3 ) 都在反比 例函数 的图象上，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系是 ( ) A . y 3 ＜ y 1 ＜ y 2 B . y 1 ＜ y 2 ＜ y 3 C . y 2 ＜ y 1 ＜ y 3 D . y 3 ＜ y 2 ＜ y 1 解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y 1 ， y 2 ， y 3 的值，再比较出其大小即可． 方法②：根据反比例函数的图象和性质比较． 考点二 反比例函数的图象和性质 D 方法总结： 比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定． 已知点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ( x 1 ＜ 0 ＜ x 2 ) 都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y 1 与 y 2 的大小关系 (从大到小) 为 . y 1 ＞0＞ y 2 针对训练 例 2 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C 1 和 C 2 ，设点 P 在 C 1 上， PA ⊥ x 轴于点 A ，交 C 2 于点 B ，则△ POB 的面积为 . 1 考点三 与反比例函数 k 有关的问题 针对训练 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l∥ y 轴，且直线 l 分别与 反比例函数 ( x ＞0)和 ( x ＞0) 的图象交于 P ， Q 两点，若 S △ POQ =14， 则 k 的值为 . 20 考点四 反比例函数的应用 例 3 如图，已知 A ( －4， ) ， B ( － 1 ，2 ) 是一次函数 y = kx + b 与反比例函数 ( m ＜0 ) 图象的两个交点， AC ⊥ x 轴于点 C ， BD ⊥ y 轴于点 D ． ( 1 ) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值 时，一次函数的值大于反比例函数的值； O B A x y C D 解：当－4＜ x ＜－1时，一 次函数的值大于反比例 函数的值. ( 2 ) 求一次函数解析式及 m 的值； 解：把 A ( － 4 ， ) ， B ( － 1 ， 2) 代入 y = kx + b 中，得 － 4 k + b = ， － k + b =2 ， 解得 k = ， b = ， 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B ( － 1 ， 2) 代入 中，得 m = － 1 × 2= － 2. ( 3 ) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC ， PD ，若△ PCA 和 △ PDB 面积相等，求点 P 坐标 . O B A x y C D P ∵ △ PCA 面积和△ PDB 面积相等， ∴ AC ·[ t － ( －4 ) ] = BD ·[ 2－ [ 2－ ( t + )] ， 解得： t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( ， ) ． 解：设点 P 的坐标为 ( t ， t + ) ， P 点到直线 AC 的 距离为 t － ( －4 ) ， P 点到直线 BD 的距离为2－ ( t + ) ． 方法总结： 此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 针对训练 如图，设反比例函数的解析式为 ( k ＞0 ) ． ( 1 ) 若该反比例函数与正比例函数 y =2 x 的图象有一个 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； O y x 解：由题意知点 P 在正比例函数 y =2 x 上， 把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式，得 P ( 1，2 ) ， 把 P ( 1，2 ) 代入 ， 得到 P 2 ( 2 ) 若该反比例函数与过点 M ( －2，0 ) 的直线 l ： y = kx + b 的图象交于 A ， B 两点，如图所示，当 △ ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式； 解：把 M ( －2，0 ) 代入 y = kx + b ， 得 b = 2 k ，∴ y = kx +2k， O A y B x M l N 解得 x =－3 或 1 . y ＝ kx +2 k ， ∴ ∴ B ( －3，－ k ) ， A ( 1，3 k ). ∵ △ ABO 的面积为 ∴ 2 · 3 k · + 2 · k · = 解得 ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ． O y x M l N A ( 1，3 k ) B ( －3，－ k ) ( 3 ) 在 第 (2) 题的条件下， 当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ O y x M l N A ( 1，3 k ) B ( －3，－ k ) 解：当 x ＜－ 3 或 0 ＜ x ＜ 1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值. 例 4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克 . 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图) . 根据以上信息解答下列问题： ( 1 ) 求当 0 ≤ x ≤2 时， y 与 x 的函数解析式； 解：当 0 ≤ x ≤2 时， y 与 x 成正比 例函数关系． 设 y ＝ kx ，由于点 (2，4) 在 线段上， 所以 4＝2 k ， k ＝2，即 y ＝2 x . O y / 毫克 x / 小时 2 4 ( 2 ) 求当 x > 2 时， y 与 x 的函数解析式； 解：当 x > 2时， y 与 x 成反比例函数关系， 设 解得 k ＝8. 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 即 O y / 毫克 x / 小时 2 4 ( 3 ) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则 服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤ x ≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2 x ≥2， 解得 x ≥1， ∴1≤ x ≤2 ； 当 x >2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴ 2< x ≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 1 ＋ 2 ＝ 3 ( 小时 ) ． O y / 毫克 x / 小时 2 4 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热，停止加热 后，材料温度逐渐下降，这 时温度 y 与时间 x 成反比例 函数关系，已知第 12 分钟 时，材料温度是14℃． 针对训练 O y (℃) x (min) 12 4 14 28 ( 1 ) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出 x 的取值范围）； O y (℃) x (min) 12 4 14 28 答案： y = 4 x + 4 (0 ≤ x ≤ 6) ， ( x ＞ 6 ). ( 2 ) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟 ? 解：当 y =12时， y =4 x +4，解得 x =2． 由 ，解得 x =14 . 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14－2=12 ( 分钟 ) ． O y (℃) x (min) 12 4 14 28 课堂小结 反比例函数 定义 图象 性质 x ， y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 2.1 一元二次方程 第 2 章 一元二次方程 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 理解一元二次方程的概念 . （难点） 2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数 . 3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题 .( 重点） 导入新课 复习引入 没有未知数 1. 下列式子哪些是 方程？ 2+6=8 2 x +3 5 x +6=22 x +3 y =8 x -5 ＜ 18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 2. 什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程 . 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及 分式方程， 其中前两种方程是 整式方程 . 3. 什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的 整式方程 叫做一元一次方程 . 想一想：什么叫一元二次方程呢？ 问题 1: 如图，已知一矩形的长为 2 00cm , 宽 1 50cm. 现 在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三 . 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中π取 3 ） . 解：设由于圆的半径为 x cm ， 则它的面积为 3 x 2 cm 2 . 整理，得 根据题意有， 2 00cm 1 50cm 一元二次方程的概念 一 讲授新课 问题 2: 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆 . 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 . 解：该市 两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x 整理，得 根据题意有， 问题 3 在一块宽 20m 、长 32m 的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为 570 m 2 ，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 1 .若设小路的宽是 x m，那么横向小路的面______m 2 ，纵向小路的面积是 m 2 ,两者重叠的面积是 m 2 . 32 x 2 .由于花坛的总面积是570m 2 .你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得： 思考： 2 ×20 x 32 ×20 － (32 x ＋ 2×20 x ) ＋ 2 x 2 =570 2 x 2 x 2 -36 x ＋35 =0 ③ 32 20 x 想一想： 还有其它的列法吗？试说明原因. (20- x )(32-2 x )=570 32-2 x 20- x 32 20 观察与思考 方程①、②、 ③ 都不是一元一次方程 . 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点 : ① 都是整式方程 ; ② 只含一个未知数 ; ③ 未知数的最高次数是 2 . x 2 -36 x ＋35 =0 ③ 只含有 一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax 2 + bx + c =0( a , b , c 为常数 , a ≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程 . ax 2 + bx + c = 0 ( a , b , c 为常数 , a ≠0) ax 2 称为二次项 , a 称为二次项系数 . bx 称为一次项 , b 称为一次项系数 . c 称为常数项 . 知识要点 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 想一想 为什么一般形式中 ax 2 + bx + c =0 要限制 a ≠0 ， b 、 c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx ＋ c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0 时 ， ax 2 ＋ c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0 时 ， ax 2 ＋ b x = 0 当 a ≠ 0 ， b = c =0 时 ， ax 2 = 0 总结：只要满足 a ≠ 0 ， b ， c 可以为 任意实数 . 典例精析 例 1 下列选项中，关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x 2 -3 x +2=0 少了限制条件 a ≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断 . 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x 3 + x 2 =36 (3) x +3 y =36 (5) x +1=0 (1) x 2 + x =36 例 2: a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) ax 2 － x =2 x 2 (2) ( a － 1) x | a | +1 － 2 x － 7=0. 解： (1) 将方程式转化为一般形式，得 ( a -2) x 2 - x =0 , 所以当 a -2≠0 ，即 a ≠2 时，原方程是一元二次方程； (2) 由 ∣ a ∣ +1 =2 ，且 a -1 ≠0 知，当 a =-1 时，原方程是一元二次方程 . 方法点拨： 用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于 2 ，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 0 的字母的值． 变式： 方程 ( 2 a - 4 ) x 2 － 2 bx + a =0, （ 1 ）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （ 2 ）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解（ 1 ）当 2 a － 4≠ 0 ，即 a ≠2 时是一元二次方程 （ 2 ）当 a =2 且 b ≠0 时是一元一次方程 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax = b ( a ≠0 ） ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0 ） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2 例 3 ： 下列方程是一元二次方程吗？若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项 . （ 1 ） 3 x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2) （ 2 ） 5 x ( x + 1) + 7 = 5 x 2 - 4. 解：（ 1 ）去括号， 得 3 x - 3 x 2 + 10 = 2 x + 4. 移项， 合并同类项， 得 - 3 x 2 + x + 6 = 0 ， 这是一元二次方程， 其中二次项系数是 -3 ， 一次项系数是 1 ， 常数项是 6 . 可以， 其中二次项系数是 3 ， 一次项系数是 1 ， 常数项是 6 . 思考： 上式可以写成 3 x 2 - x -6 = 0 吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？ 去括号， 得 移项， 合并同类项， 得 这是一元一次方程， 不是一元二次方程 . （ 2 ） 5 x ( x + 1) + 7 = 5 x 2 - 4. 5 x 2 + 5 x + 7 = 5 x 2 - 4. 5 x + 11 = 0 ， 练一练： 将 方程 3 x ( x -1)=5( x +2) 化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数 . 解： 去括号，得 3 x 2 -3 x =5 x +10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3 x 2 -8 x -10=0. 其中二次项是 3 x 2 , 系数是 3 ；一次项是 -8 x , 系数是 -8 ；常数项是 -10. 系数和项均包含前面的符号 . 注意 视频：一元二次方程一般式 当堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3 x +2=5 x -2 x 2 =0 ( x +3)(2 x -4)= x 2 3 y 2 =(3 y +1)( y -2) x 2 = x 3 + x 2 -1 3 x 2 =5 x -1 2. 填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 3. 关于 x 的方程 ( k 2 － 1) x 2 ＋ 2 ( k － 1) x ＋ 2 k ＋ 2 ＝ 0 , 当 k 时，是一元二次方程． 当 k 时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－ 1 4. (1) 有一块矩形铁皮 , 长 100cm , 宽 50cm, 在它的四角各切去一个正方形 , 然后将四周凸出部分折起 , 就能制作一个无盖方盒 , 如果要制作的方盒的底面积为 3600cm 2 , 那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100cm 50cm x 3600cm 2 解：设切去的正方形的边长为 x cm, 则盒底的长为 （ 100 － 2 x )cm , 宽为 (50 － 2 x )cm , 根据方盒的底面积为 3600cm 2 , 得 化简，得 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ (2) 要组织 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 解：根据题意，列方程： 化简，得： 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 . 一般形式 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) 其中 ( a ≠0) 是一元二次方程的必要条件； 列方程 2.2.1 配方法 第 2 章 一元二次方程 第 1 课时 用直接开平方法解一元二次方程 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程 . ( 难点） 2. 运用开平方法解形如 x 2 = p 或 （ x + n ) 2 = p ( p ≥0) 的方程 . ( 重点） 1. 如果 x 2 = a , 则 x 叫做 a 的 . 导入新课 复习引入 平方根 2 . 如果 x 2 = a ( a ≥0) , 则 x = . 3 . 如果 x 2 =64 , 则 x = . ±8 4 . 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数 . 讲授新课 问题： 一桶油漆可刷的面积为 1500dm 2 ，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解： 设正方体的棱长为 x dm ，则一个正方体的表面积为 6 x 2 dm 2 ，可 列出方程 10×6 x 2 =1500 ， 由此可得 x 2 =25 开平方得 即 x 1 =5 ， x 2 = － 5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为 5 dm ． x =±5 ， 一元二次方程的根 一 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的 解 （又叫做 根 ） . 练一练： 下面哪些数是方程 x 2 – x – 6 = 0 的解 ? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3 和 -2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根 . 概念学习 例 1 ：已知 a 是方程 x 2 + 2 x － 2 = 0 的一个实数根 , 求 2 a 2 + 4 a + 2018 的值 . 解：由题意得 方法点拨： 求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 2 .已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +ax+a =0的一个根是3，求 a 的值. 解：由题意把 x =3代入方程 x 2 +ax+a =0，得 3 2 +3 a + a =0 9+4 a =0 4 a = - 9 1. 已知方程 5x²+mx-6=0 的一个根为 4 ，则ｍ的值为 _______ ． 练一练 直接开平方法解一元二次方程 二 问题 1 ： 能化为 ( x + m ) 2 = n ( n ≥0) 的 形式的方程需要具备什么特点？ 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程 可化为 ( x + m ) 2 = n ( n ≥0). 问题2 ： x 2 ＝9 ，根据平方根的意义，直接开平方得 x ＝±3，如果 x 换元为 2 t ＋1 ，即 (2 t ＋1) 2 ＝9 ，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流 . (1) x 2 =4 (2) x 2 =0 (3) x 2 +1=0 解 : 根据平方根的意义，得 x 1 =2, x 2 =-2. 解 : 根据平方根的意义，得 x 1 = x 2 =0. 解 : 根据平方根的意义，得 x 2 =-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解 . (2) 当 p =0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 = 0 ； (3) 当 p <0 时 , 因为任何实数 x ，都有 x 2 ≥0 ，所以方程 (I) 无实数根 . 探究归纳 一般的，对于可化为方程 x 2 = p , (I) ( 1 ) 当 p >0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不等 的实数根 ， ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫 直接开平方法 . 归纳 例 2 利用直接开平方法解下列方程 : (1) 4 x 2 -25=0 ； (2) x 2 － 900=0. 解： （ 1 ） 原方程可化为 根据平方根的意义，得 （ 2 ） 移项，得 x 2 =900. 直接开平方，得 x = ± 30 ， ∴ x 1 =30, x 2 = － 30. 典例精析 在解方程 (I) 时，由方程 x 2 =25 得 x =±5 . 由此想到 : （ x +3) 2 =5 ， ② 得 对照上面方法，你认为怎样解方程 （ x +3 ） 2 =5 探究交流 于是，方程 （ x +3 ） 2 =5 的两个根为 上面的解法中 ，由方程 ② 得到 ③ ，实质上是 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 ，这样就把方程 ② 转化为我们会解的方程了 . 解题归纳 例 3 解下列方程： ⑴ （ 2 x ＋ 1 ） 2 = 2 ； 解 析： 通过 “ 降次 ” ， 将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 . 解： （ 1 ） 根据平方根的意义，得 或 解析： 第 2 小题先将 － 4 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解 . 例 3 解下列方程： （ 2 ） （ x － 1 ） 2 － 4 = 0； 即 x 1 =3 ， x 2 =-1 . 解： （ 2 ） 移项，得（ x -1 ） 2 =4 . ∵ x -1 是 4 的平方根， ∴ x -1=±2 . ∴ x 1 = ， x 2 = (3) 12 （ 3 － 2 x ） 2 － 3 = 0 . 解析： 第 3 小题先将 －3 移到方程的右边，再两边都除以 12 ，再同第 1 小题一样地去解，然后两边都除以 -2 即可 . 解 ： (3) 移项，得 12 （ 3-2 x ） 2 =3， 两边都除以 12 ， 得 （ 3-2 x ） 2 =0.25 . ∵3-2 x 是 0.25 的平方根， ∴3-2 x =±0.5 . 即 3-2 x =0.5,3-2 x =-0.5 解： 方程的两根为 解： 方程的两根为 例 4 解下列方程： 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x 2 = p 或 （ x ＋ n ） 2 = p （ p ≥0 ） 的形式，那么就可以用直接开平方法求解 . 2 . 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明 . 探讨交流 当堂练习 (C) 4( x -1) 2 =9, 解方程，得 4( x -1)= ±3, x 1 = ; x 2 = (D) (2 x +3) 2 =25, 解方程，得 2 x +3=±5, x 1 = 1; x 2 =-4 1 . 下列解方程的过程中，正确的是（ ） (A) x 2 =-2, 解方程，得 x =± (B) ( x -2) 2 =4, 解方程，得 x -2=2, x =4 D (1) 方程 x 2 =0.25 的根是 . (2) 方程 2 x 2 =18 的根是 . (3) 方程 (2 x -1) 2 =9 的根是 . 3. 解下列方程： (1) x 2 -81 ＝ 0 ； (2)2 x 2 ＝ 50 ； (3)( x ＋ 1) 2 =4 . x 1 =0.5, x 2 =-0.5 x 1 ＝ 3, x 2 ＝ -3 x 1 ＝ 2, x 2 ＝－ 1 2. 填空 : 解： x 1 ＝ 9, x 2 ＝－ 9 ； 解： x 1 ＝ 5, x 2 ＝－ 5 ； 解： x 1 ＝ 1, x 2 ＝－ 3. 4. 若关于 x 的一元二次方程 （ m +2) x 2 +5 x + m 2 -4=0 有一个根为 0 ，求 m 的值 . 二次项系数不为零不容忽视 解：将 x =0 代入方程 m 2 -4=0 ， 解得 m = ±2. ∵ m +2 ≠0 ， ∴ m ≠-2 ， 综上所述 ： m =2. 5. （请你当小老师） 下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗 ? 如果有错，指出具体位置并帮他改正 . ① ② ③ ④ 解： 解：不对，从开始错，应改为 思考 : 1. 若 a+b+c =0, 你能通过观察 , 求出方程 ax 2 +bx+c =0 ( a ≠0) 的一个根吗 ? 解：由题意得 ∴方程 ax 2 +bx+c =0 ( a ≠0) 的一个根是 1. 2. 若 a - b + c= 0,4 a +2 b + c =0 ，你能通过观察 , 求出方程 ax 2 +bx+c =0 ( a ≠0) 的一个根吗 ? x =2 拓广探索 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0 ( a ≠0) 一个根为 1, 求 a+b+c 的值 . 解：由题意得 解方程 : 挑战自我 解： 方程的两根为 课堂小结 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x 2 =p ( p ≥0) 或 ( x+n ) 2 =p ( p ≥ 0) . 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 2.2.1 配方法 第 2 章 一元二次方程 第 1 课时 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 理解配方法，会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程．（重点） 2. 通过配方法体会“等价转化”的数学思想． 1. 如果 x 2 = a , 则 x 叫做 a 的 . 导入新课 复习引入 平方根 2 . 如果 x 2 = a ( a ≥0) , 则 x = . 3 . 如果 x 2 =64 , 则 x = . ±8 4 . 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数 . 填一填 你能填上适当的数使等式成立吗？ (1) x 2 ＋ 6 x ＋ ____ ＝ ( x ＋ ____) 2 ； (2) x 2 － 6 x ＋ ____ ＝ ( x － ____) 2 ； (3) x 2 ＋ 6 x ＋ 5 ＝ x 2 ＋ 6 x ＋ ____ － ___ ＋ 5 ＝ ( x ＋ ____) 2 － ____ ． 9 3 9 3 9 3 4 9 导入新课 你能发现什么规律吗？ 配方的方法 一 问题 1. 你还记得吗？填一填下列完全平方公式 . (1) a 2 +2 ab + b 2 =( ) 2 ； (2) a 2 -2 ab + b 2 =( ) 2 . a+b a-b 探究交流 讲授新课 问题 2. 填上适当的数或式 , 使下列各等式成立 . （ 1 ） x 2 +4 x + = ( x + ) 2 （ 2 ） x 2 -6 x + = ( x - ) 2 （ 3 ） x 2 +8 x + = ( x + ) 2 （ 4 ） x 2 - x + = ( x - ) 2 你能总结这个规律吗？ 2 2 2 3 2 3 4 2 4 二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方 . 归纳总结 想一想： x 2 + px +( ) 2 =( x + ) 2 配方的方法 用配方法解 二次项系数为 1 的一元二次方程 二 合作探究 怎样解方程 : x 2 +6 x +4=0 (1) 问题 1 方程 (1) 怎样变成 （ x + n ) 2 = p 的 形式呢？ 解： x 2 +6 x +4=0 x 2 +6 x =-4 移项 x 2 +6 x +9=-4+9 两边都加上 9 二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方 . 方法归纳 在方程两边都加上 一次项系数一半 的 平方 . 注意是在 二次项系数为 1 的前提下进行的 . 问题 2 为什么在方程 x 2 +6 x =-4 的两边加上 9 ？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方 x 2 +2 bx + b 2 的形式 . 方程配方的方法： 要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做 配方法 . 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把方程化为 （ x + n ) 2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 典例精析 例 1 ： 用配方法 解下列方程： (1) x 2 +10 x +9=0 解： 配方 ，得 x 2 +10 x +5 2 － 5 2 +9=0 因此 ( x +5) 2 =16 由此 得 x +5=4 或 x +5= － 4 解得 x 1 = － 1, x 2 = － 9 解： 配方 ，得 x 2 － 12 x+ 6 2 － 6 2 － 13=0 因此 ( x － 6) 2 =49 由此得 x － 6=7 或 x － 6= － 7 解得 x 1 =13 , x 2 = － 1 (2) x 2 -12 x -13=0 方法归纳 用配方法解一元二次方程的 步骤 ： 移项 配方 开方 求解 定解 把常数项移到方程的右边 方程两边都加上一次项系数一半的平方 方程两边开平方 解一元一次方程 写出原方程的解 试一试： x 2 + 12 x - 15=0 . 解：可以把常数项移到方程的右边 , 得 x 2 + 12 x = 15 , 两边都加 6 2 （一次项系数 6 的一半的平方） , 得 x 2 + 12 x + 6 2 = 15 + 6 2 , 即 ( x +6 ) 2 = 51 . 两边开平方 , 得 x + 6 = , 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x 1 = , x 2 = . 当堂练习 1. 将一元二次方程 x 2 -8 x -5=0 化成 ( x + a ) 2 = b 的形式， 则 b 等于 ( ) A.-13 B.13 C.-21 D.21 D 解： 方程的两根为 2. 解下列方程： 解：（ 1 ）移项，得 x 2 － 8 x = － 1, 配方，得 x 2 － 8 x +4 2 = － 1+4 2 , ( x － 4) 2 =15 由此可得 即 3. 解方程： ( x + 1 )( x - 1) + 2( x + 3) = 8 解：方程化简，得 x 2 + 2 x + 5 = 8 . 移项，得 x 2 + 2 x = 3 , 配方，得 x 2 + 2 x + 1 = 3 + 1 , 即 （ x + 1 ） 2 = 4 . 开平方 , 得 x + 1 = ± 2 . 解得 x 1 = 1 , x 2 = － 3 . 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 课堂小结 用直接开平方法求出它的解 移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项 2.2.1 配方法 第 2 章 一元二次方程 第 3 课时 用配方法解二次项系数不为 1 的 一元二次方程 湘教版九年级数学上册教学课件 1. 会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 ;. （重点） 2. 能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程 . （难点） 学习目标 导入新课 复习引入 (1) 9 x 2 =1 ； (2) ( x -2) 2 =2. 2 . 下列方程能用直接开平方法来解吗 ? 1 . 用直接开平方法解下列方程 : (1) x 2 +6 x +9 = 5 ； (2) x 2 +6 x +4=0. 把两题转化成 ( x + n ) 2 = p ( p ≥0) 的 形式，再利用开平方 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 一 问题 1 ： 观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： ① x 2 + 6 x + 8 = 0 ; ② 3 x 2 +8 x － 3 = 0 . 问题 2 ： 用配方法来解 x 2 + 6 x + 8 = 0 . 解： 移项，得 x 2 + 6 x = - 8 , 配方，得 （ x + 3 ） 2 = 1 . 开平方 , 得 x + 3 = ± 1 . 解得 x 1 = - 2 , x 2 = - 4 . 想一想怎么来解 3 x 2 +8 x － 3 = 0 . 讲授新课 试一试： 解方程： 3 x 2 + 8 x - 3 = 0 . 解： 两边同除以 3, 得 x 2 + x - 1=0 . 配方 , 得 x 2 + x + ( ) 2 - ( ) 2 - 1 = 0 , （ x + ） 2 - =0 . 移项 , 得 x + = ± , 即 x + = 或 x + = . 所以 x 1 = , x 2 = -3 . 配方，得 由此可得 二次项系数化为 1 ，得 解：移项，得 2 x 2 － 3 x = － 1, 即 移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换一下呢 ? 例 1 解下列方程： 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为 1 ，得 为什么方程两边都加 1 2 ？ 即 思考 1 ： 用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 思考 2 ： 用配方法解一元二次方程的一般步骤 . 移项时需注意改变符号 . ①移项，二次项系数化为 1 ； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程 . 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 ( x + n ) 2 = p . ①当 p >0 时 , 则 , 方程的两个根为 ②当 p =0 时 , 则 ( x + n ) 2 =0, x + n =0, 开平方得方程的两个根为 x 1 = x 2 =- n . ③当 p <0 时 , 则方程 ( x + n ) 2 = p 无实数根 . 规律总结 引例： 一个小球从地面上以 15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系： h= 15 t - 5 t 2 . 小球何时能达到 10m 高？ 解： 将 h = 10 代入方程式中 . 15 t - 5 t 2 = 10 . 两边同时除以 -5, 得 t 2 - 3 t = - 2 , 配方 , 得 t 2 - 3 t + ( ) 2 = ( ) 2 - 2 , （ t - ） 2 = 配方法的应用 二 移项 , 得 （ t - ） 2 = 即 t - = , 或 t - = . 所以 t 1 = 2 , t 2 = 1 . 即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10m 高 . 例 2 . 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k 2 － 4 k ＋ 5 的值必定大于零 . 解： k 2 － 4 k ＋ 5= k 2 － 4 k ＋ 4 ＋ 1 = （ k － 2 ） 2 ＋ 1 因为（ k － 2 ） 2 ≥0 ，所以（ k － 2 ） 2 ＋ 1≥1. 所以 k 2 － 4 k ＋ 5 的值必定大于零 . 例 3 . 若 a,b,c 为△ ABC 的三边长，且 试判断 △ ABC 的形状 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ ABC 为直角三角形 . 例 4 ： 解方程 4 x 2 -12 x - 1 = 0 解：将二次项的系数化为 1 , 得 x 2 - 3 x - = 0 , 配方 , 得 因此 由此 , 得 或 所以 1. 方程 2 x 2 - 3 m - x + m 2 +2=0 有一根为 x = 0 ，则 m 的值为（ ） A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 - 2 2. 应用配方法求最值 . (1) 2 x 2 - 4 x +5 的最小值； (2) -3 x 2 + 5 x +1 的最大值 . 练一练 C 解：原式 = 2( x - 1) 2 +3 当 x =1 时有最小值 3 解： 原式 = - 3( x - 2) 2 - 4 当 x =2 时有最大值 -4 归纳总结 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负） 对于一个关于 x 的二次多项式通过配方成 a ( x+m ) 2 ＋ n 的形式后， ( x+m ) 2 ≥0 ， n 为常数， 当 a ＞ 0 时，可知其 最小值； 当 a ＜ 0 时，可知其 最大值 . 2 .完全平方式中的配方 如：已知 x 2 － 2 mx ＋ 16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于 16 ，即 m 2 =16 ， m= ± 4 . 3 .利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是 配方成多个完全平方式得其和为 0 ，再根据非负数的和为 0 ，各项均为 0 ，从而求解 . 如： a 2 ＋ b 2 － 4 b ＋ 4=0, 则 a 2 ＋ ( b － 2) 2 =0, 即 a =0 ， b =2. 例 5 . 读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄 . ） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年 督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为 x ，十位数字为 ( x- 3) x 1 =6, x 2 =5 x 2 -11 x =-30 x 2 -11 x +5.5 2 =-30+5.5 2 ( x -5.5) 2 =0.25 x -5.5=0.5, 或 x -5.5=-0.5 x 2 =10( x -3)+ x ∴ 这个两位数为 36 或 25 ， ∴ 周瑜去世的年龄为 36 岁 . ∵ 周瑜 30 岁还攻打过东吴， 1. 解下列方程： （ 1 ） x 2 +4 x -9=2 x -11 ；（ 2 ） x ( x +4)=8 x +12 ； （ 3 ） 4 x 2 -6 x -3=0 ； （ 4 ） 3 x 2 +6 x -9=0. 解： x 2 +2 x +2=0 ， ( x +1) 2 =-1. 此方程无解； 解： x 2 -4 x -12=0 ， ( x -2) 2 =16. x 1 =6, x 2 =-2 ； 解： x 2 +2 x -3=0 ， ( x +1) 2 =4. x 1 =-3, x 2 =1. 当堂练习 2. 利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 － x 2 － x － 1 的值总是负数，并求出它的最大值 . 解： － x 2 － x － 1 = － ( x 2 + x+ )+ － 1 所以 － x 2 － x － 1 的值必定小于零 . 当 时， － x 2 － x － 1 有最大值 3. 若 ，求 ( xy ) z 的值 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 4. 如图，在一块长 35m 、 宽 26m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850m 2 ， 道路的宽应为多少？ 解：设道路的宽为 x m , 根据题意得 （ 35- x )(26- x )=850 ， 整理得 x 2 -61 x +60=0. 解得 x 1 =60 （不合题意，舍去） , x 2 =1. 答：道路的宽为 1m. 5. 已知 a,b,c 为△ ABC 的三边长，且 试判断 △ ABC 的形状 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ ABC 为等边三角形 . 课堂小结 配方法 方法 步骤 一移常数项； 二配方 [ 配上 ] ； 三写成 （ x + n ) 2 = p ( p ≥0); 四直接开平方法解方程 . 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为 x 2 + px + q =0 的形式 . 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 2.2.2 公式法 第 2 章 一元二次方程 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2. 会用公式法解一元二次方程；（重点） 3. 会用根的判别式 b 2 -4 ac 判断一元二次方程根的情况及相关应用 . （难点） 导入新课 复习引入 1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2. 如何用配方法解方程 2 x 2 +4 x +1=0? 讲授新课 求根公式的推导 一 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax 2 + bx + c =0 能否也用配方法得出它的解呢？ 合作探究 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0). 方程两边都除以 a 解 : 移项，得 配方，得 即 问题： 接下来 能用直接开平方解吗？ 即 一元二次方程的求根公式 特别提醒 ∵ a ≠0,4 a 2 >0 ， 当 b 2 -4 ac ≥0 时， ∵ a ≠0,4 a 2 >0 ， 当 b 2 -4 ac ＜ 0 时， 而 x 取任何实数都不能使上式成立 . 因此，方程无实数根 . 由上可知，一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) 的根由方程的系数 a ， b ， c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) ，当 b 2 -4 ac ≥0 时 ， 将 a ， b ， c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的 求根公式 ，利用它解一元二次方程的方法叫做 公式法 ，由求根公式可知，一元二次方程 最多 有两个实数根 . 用 公式法 解一元二次方程的 前提 是: 1. 必需是一般形式的一元二次方程: ax 2 + bx + c =0( a ≠0); 2. b 2 -4 ac ≥0. 注意 典例精析 例1 ：（ 1 ）解方程： x 2 - x - 2 =0 解：这里 a =1, b = -1, c = -2. ∵ b 2 - 4 a c =(- 1 ) 2 - 4×1×(- 2 )= 9 ﹥0, 即： x 1 =2, x 2 = -1. 公式法解方程 二 （ 2 ）解方程： x 2 - 2 x = 1 解：移项，得 x 2 - 2 x - 1 = 0 这里 a =1, b = -2, c = -1. ∵ b 2 - 4 a c =(- 1 ) 2 - 4×1×(- 1 )= 8 ﹥0, 因此，原方程的根为： 例 2 ：解方程： 9 x 2 +12 x +4 =0 解：这里 a =9, b =12, c =4 因而 b 2 -4 ac =12 2 -4×9×4=0 所以 因此，原方程的根为 1. 用公式法解方 程 5 x 2 -4 x -12=0 解： ∵ a =5, b =-4, c =-12 ， b 2 -4 ac =(-4) 2 -4×5×(-12)=256>0. 练一练 2 解方程： 化简为一般式： 解： 即 ： 这里的 a 、 b 、 c 的值是什么？ 例 3 解方程： 4 x 2 -3 x +2=0 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根 . 解： 要点归纳 公式法解方程的步骤 1. 变形 : 化已知方程为一般形式 ; 2. 确定系数 : 用 a , b , c 写出各项系数 ; 3. 计算 : b 2 -4 ac 的值 ; 4. 判断： 若 b 2 -4 ac ≥0 ，则利用求根公式求出 ; 若 b 2 -4 ac <0 ，则方程没有实数根 . 1. 解方程： x 2 +7 x – 18 = 0. 解：这里 a =1, b = 7, c = -18. ∵ b 2 - 4 ac =7 2 – 4 × 1× ( - 18 ) =121 > 0, 即 x 1 = -9, x 2 = 2 . 当堂练习 2. 解方程 （ x - 2) (1 - 3 x ) = 6 . 解：去括号 ，得 x – 2 - 3 x 2 + 6 x = 6, 化简为一般式 3 x 2 - 7 x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = - 7 , c = 8. ∵ b 2 - 4 ac =( - 7 ) 2 – 4 × 3 × 8 = 49 – 96 = - 47 < 0, ∴ 原方程没有实数根 . 3. 解方程： 2 x 2 - x + 3 = 0 解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 . ∵ b 2 - 4 ac = 27 - 4×2× 3 = 3 > 0 , ∴ 即 x 1 = x 2 = 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算） . 根的判别式 b 2 -4 ac 务必将方程化为一般形式 2.4 用因式分解法求解 一元二次方程 第二章 一元二次方程 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 理解 用因式分解法解方程的依据 . 2. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程 . （重点） 3. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程 . （难点） 导入新课 情境引入 我们知道 ab =0 ， 那么 a =0 或 b =0 ，类似的解方程 ( x +1)( x － 1)=0 时，可转化为两个一元一次方程 x +1=0 或 x -1=0 来解，你能求 ( x +3)( x － 5)=0 的解吗？ 讲授新课 因式分解法解一元二次方程 一 引例： 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度 ( 单位： m ) 为 10-4.9 x 2 . 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 ( 精确到 0.01s )? 分析 ： 设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 ，即 10 x -4.9 x 2 =0 ① 解： 解： ∵ a= 4.9 ,b= -10 ,c= 0 . ∴ b 2 － 4 ac = ( － 10) 2 － 4×4.9×0 =100 . 公式法解方程 10 x -4.9 x 2 =0. 配方法解方程 10 x -4.9 x 2 =0. 10 x -4.9 x 2 =0 . 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0 . 两个因式乘积为 0 ，说明什么？ 或 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10 x -4.9 x 2 =0 ① x (10-4.9 x ) =0 ② x =0 10-4.9 x =0 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做 因式分解法. 要点归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移 ----- 方程的右边 =0 ; 二分 ----- 方程的左边因式分解 ; 三化 ----- 方程化为两个一元一次方程 ; 四解 ----- 写出方程两个解 ; 简记歌诀 ： 右化零 左分解 两因式 各求解 试一试： 下列各方程的根分别是多少？ (1) x ( x -2)=0 ； (1) x 1 =0, x 2 =2 ； (2) ( y +2)( y -3)=0 ； (2) y 1 =-2, y 2 =3 ； (3) (3 x +6)(2 x -4)=0 ； (3) x 1 =-2, x 2 =2 ； (4) x 2 = x . (4) x 1 =0, x 2 =1. 例 1 用因式分解法解下列方程： 因式分解，得 于是得 x =0 或 x － 8 ＝ 0, x 1 = 0 ， x 2 = 8 . (2) 移项，得 因式分解， 得 ( 5 x － 1)( 2 x － 3 )=0. 于是得 5 x － 1=0 或 2 x － 3 =0, x ( x － 8 )=0. 典例精析 解： ( 1 ) 原方程可化为 即 于是得 65 － 2 x =0 或 5 － 2 x ＝ 0, 解： 原方程可化为 解得 例 2 解下列方程： 解： ( 1 ) 因式分解，得 于是得 x － 2 ＝ 0 或 x ＋ 1=0, x 1 =2 ， x 2 = － 1. (2) 移项、合并同类项，得 因式分解， 得 ( 2 x ＋ 1)( 2 x － 1 )=0. 于是得 2 x ＋ 1=0 或 2 x － 1=0, ( x － 2)( x ＋ 1)=0. 典例精析 1. 解方程 x ( x +1)=2 时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为 x 1 = , x 2 = . x 2 + x － 2=0 － 2 1 当堂练习 2. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来 . 解方程 ( x -5)( x +2)=18. 解 : 原方程化为： ( x -5)( x +2)=18 . ① 由 x -5=3, 得 x =8 ; ② 由 x +2=6, 得 x =4 ; ③ 所以原方程的解为 x 1 =8 或 x 2 =4. 解 : 原方程化为： x 2 － 3 x － 28 = 0 ， ( x － 7)( x +4)=0 ， x 1 = 7 ， x 2 = － 4. 解 ：化为一般式为 因式分解，得 x 2 － 2 x +1 = 0. ( x － 1 )( x － 1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0 ， x 1 = x 2 =1. 解 ：因式分解，得 ( 2 x + 11 )( 2 x － 11 ) = 0. 有 2 x + 11 = 0 或 2 x － 11= 0 ， 3. 解方程： 4. 把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为 r ， 根据题意 ( r + 5 ) 2 × π =2 r 2 π . 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 课堂小结 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀 ： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果 a · b =0 ，那么 a =0 或 b =0. 原理 将方程左边因式分解，右边 =0. 因式分解的方法有 ma + mb + mc = m ( a + b + c ); a 2 ±2 ab + b 2 =( a ± b ) 2 ； a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ). 2.2.3 因式分解法一元二次方程 第 2 章 一元二次方程 第 2 课时 选择合适的方法解一元二次方程 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 理解解一元二次方程的基本思路； 2. 能根据题目特点选用最恰当的方法求解 . （重点） 导入新课 问题： 我们学习过的解一元二次方程的方法有哪些？ ①因式分解法 ② 直接 开平方法 ③ 公式法 ④配方法 （方程一边是 0 ，另一边整式容易因式分解） （ x + a ) 2 = C ( C ≥0 ） ( 化方程为一般式） （二次项系数为 1 ，而一次项系数为偶数） 灵活选用方法解方程 例 1 用适当的方法解方程： ( 1 ) 3 x （ x + 5 ） = 5 （ x + 5 ） ； ( 2 ) （ 5 x + 1 ） 2 = 1 ； 分析： 该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快 . 解：化简 ( 3 x - 5 ) ( x + 5 ) = 0 . 即 3 x - 5 = 0 或 x + 5 = 0 . 分析： 方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法 . 解：开平方 , 得 5 x + 1 = ±1 . 解得 , x 1 = 0 , x 2 = 讲授新课 （ 3 ） x 2 - 12 x = 4 ; （ 4 ） 3 x 2 = 4 x + 1 ； 分析： 二次项的系数为 1 ，可用配方法来解题较快 . 解：配方 , 得 x 2 - 12 x + 6 2 = 4 + 6 2 , 即 ( x - 6) 2 = 40 . 开平方 , 得 解得 x 1 = , x 2 = 分析： 二次项的系数不为 1 ，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法 . 解：化为一般形式 3 x 2 - 4 x + 1 = 0 . ∵Δ = b 2 - 4 ac = 28 > 0 , 填一填： 各种一元二次方程的解法及适用类型 . 拓展提升 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x 2 + px + q = 0 （ p 2 - 4 q ≥0 ） ( x + m ) 2 ＝ n （ n ≥ 0 ） ax 2 + bx + c = 0( a ≠0 , b 2 - 4 ac ≥0) ( x + m ) （ x + n ）＝ 0 1. 一般地，当一元二次方程一次项系数为 0 时（ ax 2 + c =0 ），应选用 直接开平方法 ； 2. 若常数项为 0 （ ax 2 + bx =0 ）， 应选用 因式分解法； 3. 若一次项系数和常数项都不为 0 ( ax 2 + bx + c =0 ）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用 因式分解法 ，不然选用 公式法 ； 4. 不过当二次项系数是 1 ，且一次项系数是偶数时，用 配方法 也较简单. 要点归纳 解法选择基本思路 例 2 用因式分解法解方程： x 2 -10 x +24=0 解：配方 ，得 x 2 -10 x +5 2 -5 2 +24=0 把方程左边因式分解，得 ( x -5+1)( x -5-1)=0 即( x -4 )( x - 6 ) ＝ 0, 解得 x 1 = 4 ， x 2 = 6 . 因而 ( x -5 ) 2 -1 2 =0. 例 3 选择合适的方法解下列方程： 解： ( 1 ) 因式分解，得 于是得 x =0 或 x +3 ＝ 0, x 1 = 0 ， x 2 = － 3 . (2) 这里 a =5, b = － 4, c = － 1 因而 Δ = b 2 - 4 ac = 36 > 0 , 于是得 x ( x +3 )=0. 解： 原方程可化为 于是得 x +1 ＝ 2 或 x +1 ＝ － 2 , x 1 = 1 ， x 2 = － 3 . 即 ( x +1 ) 2 = 4 . ① x 2 -3 x +1=0 ； ② 3 x 2 -1=0 ； ③ -3 t 2 + t =0 ； ④ x 2 -4 x =2 ； ⑤ 2 x 2 - x =0； ⑥ 5( m +2) 2 =8； ⑦ 3 y 2 - y -1=0； ⑧ 2 x 2 +4 x -1=0； ⑨ ( x -2) 2 =2( x -2) . 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 当堂练习 1. 填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 2. 方程 ( x -3)( x +1)= x -3 的解是 ( ) A. x =0 B. x =-3 C. x =3 或 x =-1 D. x =3 或 x =0 解析：方程两边有公因式 ( x -3) ，可以利用因式分解法解方程，原方程变形，得 ( x -3)( x +1)-( x -3)=0 ，所以 ( x - 3)( x + 1 - 1) = 0 ，即 x -3=0 或 x =0 ，所以原方程的解为 x =3 ， x =0. 故答案为 D . D 3. 用适当的方法解下列方程． (1) x 2 － 3 x ＋ 1 ＝ 0 ； (2)( x － 1) 2 ＝ 3 ； 解： (1) 因为 a ＝ 1 ， b ＝－ 3 ， c ＝ 1 ， 所以 b 2 － 4 ac ＝ ( － 3) 2 － 4×1×1 ＝ 5 ， x ＝ ， 所以原方程的解为 x 1 ＝ ， x 2 ＝ . (2) 两边直接开平方，得 x － 1 ＝ ， 所以原方程的解为 x 1 ＝ 1 ＋ ， x 2 ＝ 1 － . 解： (3) 左边分解因式， 得 x ( x － 3) ＝ 0 ， x ＝ 0 或 x － 3 ＝ 0 ， 所以原方程的解为 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 3 . (4) 方程两边都加 1 ，得 x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 4 ＋ 1 ， 所以 ( x － 1) 2 ＝ 5 ， x － 1 ＝ ， 所以原方程的解为 x 1 ＝ 1 ＋ ， x 2 ＝ 1 － . 3. 用适当的方法解下列方程． (3) x 2 － 3 x ＝ 0 ； (4) x 2 － 2 x ＝ 4. 一元二次方程的解法 课堂小结 方法 配方法 因式分解法 基本思路：降次 直接开平方法 公式法 2.3 一元二次方程根的判别式 第 2 章 一元二次方程 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3. 根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围 . （重点、难点） 导入新课 问题： 老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？ 回顾： 用配方法解方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) . 解：二次项系数化为 1 ，得 x 2 + x + = 0 . 配方，得 x 2 + x + ( ) 2 - ( ) 2 - = 0, 移项，得 （ x + ） 2 = 问题 1 ： 接下来 能用直接开平方解吗？ 讲授新课 一元二次方程根的判别式 一 问题 2 ： 什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ （ x + ） 2 ≥ 0 , 4 a 2 ＞ 0 . 当 b 2 – 4 ac ＞ 0 时 , x 1 = , x 2 = 当 b 2 – 4 ac = 0 时 , x 1 =x 2 = 当 b 2 - 4 ac ＜ 0 时 , 不能开方 ( 负数没有平方根 ), 所以原方程没有实数根 . 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b 2 -4 ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 根的判别式 ，通常用符号“ ”表示，即 = b 2 -4 ac . > 0 = 0 < 0 ≥ 0 要点归纳 按要求完成下列表格： 练一练 的值 0 4 根的情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 3. 判别根的情况，得出结论 . 1. 化为一般式，确定 a , b , c 的值 . 要点归纳 根的判别式使用方法 2. 计算 的值，确定 的符号 . 根的判别式的应用 二 应用 1 ： 用根的判别式判断一元二次方程根的情况 例 1: 已知一元二次方程 x 2 + x =1 ，下列判断正确的是 ( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为 x 2 + x -1=0 .∵ b 2 -4 ac =1-4×1× （ -1 ） =5 ＞ 0 ，∴该方程有两个不相等的实数根，故选 B . B 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax 2 + bx + c= 0( a ≠0) . b 2 - 4 ac > 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 . b 2 - 4 ac = 0 时 , 方程有两个相等的实数根 . b 2 - 4 ac < 0 时 , 方程无实数根 . 应用 2 ： 根据方程根的情况确定字母的取值范围 例 2 : 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 -2 x -1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k >-1 B. k >-1 且 k ≠0 C. k <1 D. k <1 且 k ≠0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则 b 2 -4 ac >0 ，同时要求二次项系数不为 0 ， 即 ， k ≠0. 解得 k > -1 且 k ≠0 ，故选 B . B 应用 3 ： 不解方程判断一元二次方程的根的情况 例 3: 不解方程，判断下列方程的根的情况． （ 1 ） 3 x 2 +4 x － 3=0 ；（ 2 ） 4 x 2 =12 x － 9; (3) 7 y =5( y 2 +1). 解：（ 1 ） 3 x 2 +4 x － 3=0 ， a =3, b =4, c = － 3 , ∴ b 2 － 4 ac =3 2 － 4×3×( － 3)=52 ＞ 0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）方程化为： 4 x 2 － 12 x +9=0 , ∴ b 2 － 4 ac =( － 12) 2 － 4×4×9=0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 例 3 : 不解方程，判断下列方程的根的情况． (3) 7 y =5( y 2 +1 ). 解：（ 3 ）方程化为： 5 y 2 － 7 y +5=0 , ∴ b 2 － 4 ac =( － 7) 2 － 4×5×5= － 51 ＜ 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 当堂练习 1. 关于 x 的一元二次方程 有 两个实根，则 m 的取值 范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况 . 解： ∴ 2. 不解方程，判断下列方程的根的情况． （ 1 ） 2 x 2 +3 x -4=0 ；（ 2 ） x 2 - x + =0; (3) x 2 - x +1=0. 解：（ 1 ） 2 x 2 +3 x -4=0 ， a =2, b =3, c =-4 , ∴ b 2 -4 ac =3 2 -4×2×(-4)=41 ＞ 0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （ 2 ） x 2 - x + =0, a =1, b =-1, c = . ∴ b 2 -4 ac =(-1) 2 -4×1× =0. ∴ 方程有两个相等的实数根． （ 3 ） x 2 - x +1=0 ， a =1, b =-1, c =1. ∴ b 2 -4 ac =(-1) 2 -4×1×1=-3<0. ∴ 方程无实数根． 3. 不解方程，判别关于 x 的方程 的根的情况 . 解： 所以方程有两个实数根． 能力提升： 在等腰 △ ABC 中，三边分别为 a , b , c ，其中 a =5 ，若关于 x 的方程 x 2 +( b +2) x +6- b =0 有两个相等的实数根，求 △ ABC 的周长 . 解： 关于 x 的方程 x 2 +( b +2) x +6- b =0 有两个相等的实 数根， 所以Δ = b 2 － 4 ac =( b -2) 2 -4(6- b )= b 2 +8 b -20=0. 所以 b =-10 或 b =2. 将 b =-10 代入原方程得 x 2 -8 x +16=0 ， x 1 = x 2 =4 ； 将 b =2 代入原方程得 x 2 +4 x +4=0 ， x 1 = x 2 =-2 （ 舍去 ）； 所以 △ ABC 的三边长为 4 ， 4 ， 5 ， 其周长为 4+4+5 = 13 . 根的判别式： b 2 -4 ac 课堂小结 判别式大于 0 ，方程有两个不相等的实数根 判别式小于 0 ，方程没有实根 判别式等于 0 ，方程有两个相等的实根 * 2.4 一元二次方程根与系数的关系 第 2 章 一元二次方程 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系 . （难点） 2. 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 . （重点） 导入新课 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想： 方程的两根 x 1 和 x 2 与系数 a,b,c 还有其它关系吗？ 2. 如何用判别式 b 2 - 4 ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) b 2 - 4 ac > 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 . b 2 - 4 ac = 0 时 , 方程有两个相等的实数根 . b 2 - 4 ac < 0 时 , 方程无实数根 . 讲授新课 探索一元二次方程的根与系数的关系 一 算一算 解下列方程并完成填空： （ 1 ） x 2 +3 x -4=0; (2) x 2 -5 x +6=0; (3)2 x 2 +3 x +1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x 1 x 2 x 2 +3 x -4=0 x 2 -5 x +6=0 2x 2 +3x+1=0 -4 1 2 3 -1 x 1 + x 2 =-3 x 1 · x 2 =-4 x 1 + x 2 =5 x 1 · x 2 =6 猜一猜 （ 1 ） 若一元二次方程的两根为 x 1 , x 2 , 则有 x - x 1 =0 , 且 x - x 2 =0 , 那么方程 （ x - x 1 )( x - x 2 )=0( x 1 , x 2 为已知数）的两根是什么？将方程化为 x 2 + px + q =0 的形式，你能看出 x 1 , x 2 与 p , q 之间的关系吗？ 重要发现 如果方程 x 2 + px + q =0 的两根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = -p , x 1 · x 2 = q . ( x - x 1 )( x - x 2 )=0. x 2 -( x 1 + x 2 ) x + x 1 · x 2 =0 ， x 2 + px + q =0 ， x 1 + x 2 = - p , x 1 · x 2 = q . 猜一猜 （ 2 ）通过上表猜想， 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？ 证一证： 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根为 x 1 、 x 2 ，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b 2 -4 ac ≥0. 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用 二 例 1 ： 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 . （ 1 ） 2 x 2 - 3 x +1 = 0 ; 解：这里 a = 2 , b = - 3 , c = 1 . Δ = b 2 - 4 ac = （ - 3 ） 2 – 4 × 2 ×1 = 1 > 0 , ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = , x 1 x 2 = . （ 2 ） x 2 - 3 x + 2 = 1 0 . 解：这里 a = 1 , b = - 3 , c = - 8 . Δ = b 2 - 4 ac = （ - 3 ） 2 – 4 × 1 × ( - 8) = 41 > 0 , ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = 3 , x 1 x 2 = - 8 . （ 3 ） 7 x 2 - 5 = x + 8 . 解：这里 a = 7 , b = - 1 , c = - 13 . Δ = b 2 - 4 ac = ( - 1 ) 2 – 4 × 7 ×( - 13)= 365 > 0 , ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = , x 1 x 2 = . 例 2 已知方程 x 2 +3 x + q =0 的一个根是 - 3 ，求它的另一个根及 q 的值 . 解：设方 程 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，其中 x 1 =-3 . 所以： x 1 + x 2 =-3 ， 即： x 2 =0 由于 x 1 · x 2 = q = （ -3 ） ·0 = 0 得： q = 0. 答：方程的另一个根是 0 ， q = 0 . 变式： 已知方程 3 x 2 -18 x + m =0 的一个根是 1 ，求它的另一个根及 m 的值 . 解：设方程的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，其中 x 1 =1 . 所以： x 1 + x 2 =1+ x 2 =6 ， 即： x 2 =5 . 由于 x 1 · x 2 =1×5= 得： m =15. 答：方程的另一个根是 5 ， m =15. 例 3 不解方程，求方程 2 x 2 +3 x -1=0 的两根的平方和、倒数和 . 解：根据根与系数的关系可知： 设 x 1 , x 2 为方程 x 2 -4 x +1=0 的两个根，则 : （ 1 ） x 1 + x 2 = , (2) x 1 · x 2 = , (3) , (4) . 4 1 14 12 练一练 例 4 ： 设 x 1 ， x 2 是方程 x 2 -2( k - 1) x + k 2 =0 的 两个 实数根，且 x 1 2 + x 2 2 =4 ，求 k 的值 . 解： 由方程有两个实数根 ，得 Δ = 4 （ k - 1 ） 2 - 4 k 2 ≥ 0 即 - 8 k + 4 ≥ 0 . 由根与系数的关系得 x 1 + x 2 = 2( k - 1) , x 1 x 2 = k 2 . ∴ x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 x 2 = 4( k - 1) 2 - 2 k 2 = 2 k 2 - 8 k + 4 . 由 x 1 2 + x 2 2 = 4 ， 得 2 k 2 - 8 k + 4 = 4 , 解得 k 1 = 0 , k 2 = 4 . 经检验， k 2 = 4 不合题意，舍去 . 总结 常见的求值 : 求与方程的根有关的代数式的值时 , 一般先将所求的代数式化成含两根之和 , 两根之积的形式 , 再整体代入 . 归纳 当堂练习 1. 如果 -1 是方程 2 x 2 － x + m =0 的一个根，则另一个根是 ___ ， m =____. 2 . 已知一元二次方程 x 2 + px + q =0 的两根分别为 -2 和 1 ，则： p = , q = . 1 -2 -3 3. 已知方程 3 x 2 -19 x + m =0 的一个根是 1 ，求它的另一个根及 m 的值 . 解： 将 x = 1 代入方程中： 3 -19 + m = 0 . 解得 m = 16 , 设另一个根为 x 1 , 则： 1 × x 1 = ∴ x 1 = 4. 已知 x 1 , x 2 是方程 2 x 2 +2 kx + k -1=0 的两个根，且 （ x 1 +1)( x 2 +1)=4 ； （ 1 ） 求 k 的值； （ 2 ） 求 ( x 1 - x 2 ) 2 的值 . 解 ： (1) 根据根与系数的关系 所以 ( x 1 +1)( x 2 +1)= x 1 x 2 +( x 1 + x 2 )+1= 解得： k =-7 ； （ 2 ） 因为 k =-7 , 所以 则： 5. 设 x 1 , x 2 是方程 3 x 2 + 4 x – 3 = 0 的两个根 . 利用根系数之间的关系 , 求下列各式的值 . (1) ( x 1 + 1)( x 2 + 1) ; (2) 解 : 根据根与系数的关系得： （ 1 ） ( x 1 + 1)( x 2 + 1) = x 1 x 2 + x 1 + x 2 + 1= （ 2 ） 6. 当 k 为何值时，方程 2x 2 -kx+1=0 的两根差为 1. 解：设方程两根分别为 x 1 ,x 2 (x 1 >x 2 ) ，则 x 1 -x 2 =1 ∵ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =1 拓展提升 由根与系数的关系，得 7. 已知关于 x 的一元二次方程 m x 2 -2mx+ m -2=0 （ 1 ）若方程 有实数根 , 求实数 m 的取值范围 . （ 2 ）若方程两根 x 1 , x 2 满足 ∣x 1 -x 2 ∣= 1 求 m 的值 . 解： (1) 方程有实数根 ∴m的取值范围为m＞0 (2)∵ 方程有实数根 x 1 , x 2 ∵ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =1 解得m=8 . 经检验m=8是原方程的解． 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么 应 用 2.5 一元二次方程的应用 第 2 章 一元二次方程 第 1 课时 增长率问题与经济问题 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 会用一元二次方程解决有关的实际问题； （重点、难点） 2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识． 导入新课 问题： 某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用 量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率 . 若今年的使用率为 40% ，计划后年的使用率达到 90% ，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变） . 今年的 使 用率 × （ 1+ 年平均增长率） ²= 后年的使用率 你能找出 问题中涉及的等量关系 吗？ 40% （ 1+ x ） ²=90% 整理，得 （ 1+ x ） ²=2.25 解得 x 1 =0.5=50% ， x 2 =-2.5 （不合题意，舍去） 答： 这两年秸秆使用率的年平均增长率为 50%. 若 设这两年秸秆使用率的年平均增长率为 x ，请你根据等量关系，列出方程： 接下来请你解出此一元二次方程 x 2 =-2.5 符合题意吗？ 填空： 1. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4650 元，则下降率是 . 如果保持这个下降率，则现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元 . 探究归纳 7% 4324.5 下降率 = 下降前的量 - 下降后的量 下降前的量 讲授新课 增长率问题 一 2. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x , 则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元 . 下降率 x 第一次降低前的量 5000(1- x ) 第一次降低后的量 5000 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1-x)(1-x) 5000(1- x ) 2 5000(1- x ) 5000(1- x ) 2 例 1 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为 x . 根据题意，列方程，得 5 000 ( 1 － x ) 2 = 3000 ， 解方程，得 x 1 ≈0.225 ， x 2 ≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5 ％ . 注意 下降率不可为负，且不大于 1 . 练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元 . 随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为 y . 根据题意，列方程，得 6 000 ( 1 － y ) 2 = 3 600. 解方程，得 y 1 ≈0.225 ， y 2 ≈ － 1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5 ％ . 解后反思 答：不能 . 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为 （ 5000-3000 ）÷ 2=1000 元，乙种药品成本的年平均下降额为 （ 6000-3000 ）÷ 2=1200 元 ，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题 1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 答：不能 . 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等 . 因此我们发现 虽然绝对量相差很多，但其相对量 （年平均下降率） 也可能相等． 问题 2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢 ? 也就说 能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢 ? 问题 3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式 . 若平均增长(或降低)百分率为 x ,增长(或降低)前的是 a ,增长(或降低) n 次后的量是 b ,则它们的数量关系可表示为 a (1± x ) n = b (其中增长取“ + ”,降低取“ － ”) . 变式1： 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x . 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为 29.3%. 变式 2: 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到 0.1% ） 解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 x ， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 ( 不合题意，舍去 ) 答：每次升价的百分率为 9.5%. 例 2 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次 降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元 . 求平均每次降价的百分率 . 解析： 原价 ×(1- 平均每次降价的百分率 )²= 现行售价 解：设平均每次降价的百分率为 x ，则根据等量关系得 100 ( 1- x ) ²=81 解得 x 1 =0.1=10%, x 2 =1.9 答：平均每次降价的百分率为 10%. ( 不合题意，舍去 ) 例 3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解 ：设这个增长率为 x . 根据 题意，得 答：这个增长率为 50% . 200+ 200(1+ x ) + 200(1+ x ) 2 =950 整理方程，得 4 x 2 +12 x -7=0 ， 解这个方程得 x 1 =-3.5 （ 舍去 ）， x 2 =0.5. 注意 增长率不可为负，但可以超过 1 . 情境引入 每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？ 例 4 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品 . 若每件商品的售价 为 x 元，则可卖出 （ 350-10 x ） 件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的 120 ％ . 若该商店计划从这批商品中获取 400 元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 解： （售价 - 进价） × 销售量 = 利润 . 根据等量关系得 （ x -21)(350-10 x )=400 整理，得 x ²-56 x +775=0 解得 x 1 =25, x 2 =31 . 利用一元二次方程解决营销问题 二 所以 x =31 不合题意， 应当舍去 . 故 x =25 . 答：该商店需要卖出 100 件商品，且每件商品的售价是 25 元 . 从而卖出 350-10 x =350-10×25=100 （件） 因为 21×120%=25.2 ，即售价不能超过 25.2 元， 方法归纳 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 例 5 ： 百佳超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析： 设商品单价为（ 50+ x ) 元 , 则每个商品得利润 [(50+ x ) － 40] 元，因为每涨价 1 元，其销售会减少 10 ，则每个涨价 x 元，其销售量会减少 10 x 个，故销售量为 (500 － 10 x ) 个，根据每件商品的利润 × 件数 =8000 ，则 (500 － 10 x )· [(50+ x ) － 40]=8000. 解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为 (50+ x ) 元，销售量为 (500 － 10 x ) 个，则 (500 － 10 x )· [(50+ x ) － 40]=8000 ， 整理得 x 2 － 40 x +300=0 ， 解得 x 1 =10 ， x 2 =30 都符合题意 . 当 x =10 时 ,50+ x =60 ， 500 － 10 x =400 ； 当 x =30 时， 50+ x =80 ， 500 － 10 x =200. 答：要想赚 8000 元，售价为 60 元或 80 元；若售价为 60 元，则进贷量应为 400 ；若售价为 80 元，则进贷量应为 200 个 . 某花圃用花盆培育某种花苗 , 经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系 . 每盆植入 3 株时 , 平均单株盈利 3 元 ; 以同样的栽培条件 , 若每盆增加 1 株 , 平均单株盈利就减少 0.5 元 . 要使每盆的盈利达到 10 元 , 每盆应该植多少株 ? 思考 : 这个问题设什么为 x ? 有几种设法 ? 如果直接设每盆植 x 株 , 怎样表示问题中相关的量 ? 如果设每盆花苗增加的株数为 x 株呢？ 针对练习 整理，得 x 2 - 3 x + 2 = 0 . 解这个方程 , 得 x 1 =1, x 2 =2 . 经检验， x 1 =1 , x 2 = 2 都符合题意 . 答 : 要使每盆的盈利达到 10 元 , 每盆应植入 4 株或 5 株 . 解 : 设每盆花苗增加的株数为 x 株 , 则每盆花苗有 ( x +3) 株 , 平均单株盈利为 (3 - 0.5 x ) 元 . 根据题意 , 得 . ( x + 3)(3 - 0.5 x ) = 10 . 总结归纳 利润问题常见关系式 基本关系： (1) 利润＝售价－ ________ ； (3) 总利润＝ ____________× 销量 进价 单个利润 当堂练习 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨 , 三月份的总产量为 720 吨 , 平均每月增长率是 x , 列方程 ( ) A.500(1+2 x )=720 B.500(1+ x ) 2 =720 C.500(1+ x 2 )=720 D.720(1+ x ) 2 =500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元 , 预计今明两年的投资总额为 8 万元 , 若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x , 则可列方程为 . B 2 （ 1+ x )+2(1+ x ) 2 =8 3. 青山村种的水稻去年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率 . 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为 x , 根据题意，得 系数化为 1 得， 直接开平方得， 则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10% . 7200 （ 1+ x ) 2 =8712 （ 1+ x ) 2 =1.21 1+ x =1.1, 1+ x =-1.1 x 1 =0.1, x 2 =-1.1, 4. 新华商场销售某种冰箱 , 每台进价为 2500 元 . 市场调研表明 : 当销售价为 2900 元时 , 平均每天能售出 8 台 ; 而当销价每降低 50 元时 , 平均每天能多售 4 台 . 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元 , 每台冰箱的定价应为多少元 ? 分析：本题的主要等量关系是： 每台的销售利润 × 平均每天销售的数量 = 5000 元 . 解： 设每台冰箱降价 x 元 , 根据题意 , 得 整理 , 得： x 2 - 300 x + 22500 = 0 . 解方程 , 得： x 1 = x 2 = 150 . ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750 . 答：每台冰箱的定价应为 2750 元 . 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得： （ 40- x )(20+2 x )=1200 整理得， x 2 -30 x+ 200=0 解方程得， x 1 =10, x 2 =20 因为要尽快减少库存，所以 x =10 舍去 . 答：每件衬衫应降价 20 元 . 5. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 能力提升 : 菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售 . 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售 . ( 1) 求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为 x ， 由题意，得 5(1 － x ) 2 =3.2 ， 解得 x 1 =20% ， x 2 =1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为 20%; (2) 小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元 . 试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由 . 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为： 3.2×0.9×5000=14400 ( 元 ) ； 方案二所需费用为： 3.2×5000 － 200×5=15000 ( 元 ) ， ∵ 14400 ＜ 15000 ， ∴小华选择方案一购买更优惠 . 课堂小结 一元二次方程 的应用 增长率问题 a (1+ x ) 2 = b , 其中 a 为增长前的量， x 为增长率， 2 为增长次数， b 为增长后的量 . 降低率问题 a (1- x ) 2 = b , 其中 a 为降低前的量， x 为降低率， 2 为降低次数， b 为降低后的量 . 注意 1 与 x 位置不可调换 . 经济利润问题 2.5 一元二次方程的应用 第 2 章 一元二次方程 第 2 课时 图形面积问题 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型 . （难点） 2. 能 运用 一元二次方程解决与面积有关的 实际问题 . （重点） 导入新课 问题 某小区规划在一个长 30 m 、宽 20 m 的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m 2 ，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m ，则由题意列的方程为 _____________________. C B D A (30 - 2 x )(20 - x ) =6×78 问题引入 讲授新课 几何图形与一元二次方程 一 引例： 要设计一本书的封面 , 封面长 27㎝ , 宽 21cm 正中央 是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 , 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一 , 上、下边衬等宽 , 左、右边衬等宽 , 应如何 设计四周边衬的宽度 ？ ( 精确到 0.1cm ) 27cm 21cm 合作探究 分析 : 这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： . 9 7 9 7 27cm 21cm 解：设中央长方形的长和宽分别为 9 a 和 7 a 由此得到上下边衬宽度之比为： 9 7 27cm 21cm 解 : 设上下边衬的 9 x cm ，左右边衬宽为 7 x cm 依题意得 解方程得 故上下边衬的宽度为 : 故左右边衬的宽度为 : 方程的哪个根合乎实际意义 ? 为什么 ? 试一试： 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解 : 设正中央的矩形两边别为 9 x cm ， 7 x cm. 依题意得 27cm 21cm 解得 故上下边衬的宽度为 : 故左右边衬的宽度为 : 试一试： 如图，一块长和宽分别为 40 cm，28 cm 的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 364 cm 2 . 求截去的小正方形的边长. 解：设截去的小正方形的边长为 x cm ，则无盖长方体盒子的底面边长分别为 (40-2 x )cm，(28-2 x )cm . 根据题意，有 (40-2 x )(28-2 x )=364 ． 解得 x 1 =27， x 2 =7 ． 整理得， x 2 -34 x +189=0 . 如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm. 因此 x 1 =27不合题意，应当舍去． 即所截去的小正方形的边长为 7cm, 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米 例 1 ： 如图， 在一块宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540㎡, 求道路的宽为多少？ 典例精析 还有其他解法吗？ 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米 20 -x 32- x (32- x )(20- x )=540 整理，得 x 2 -52 x +100=0 解得 x 1 =2, x 2 =50 当 x =50 时， 32- x =-18, 不合题意，舍去 . ∴ 取 x =2 答：道路的宽为 2 米 . 方法二： 例 2 ： 在长为 32m, 宽为 20m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540㎡, 求 这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32- x )(20- x )=540 可列方程为 20 32 x x x 20- x 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540m 2 , 求这种种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-2 x )(20- x )=540 可列方程为 变式一 32-2 x 20 32 x x x x 20 32 2 x 2x 32-2 x 20-2 x 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540 m 2 , 求这种种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-2 x )(20-2 x )=540 可列方程为 变式二 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑四条道路 , 余下的部分种上草坪， 如果横、纵小路的宽度比为 3 ： 2 ， 且使小路所占面积是矩形面积的四分之一 , 求道路的宽为多少？ 变式三 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解 : 设横、竖小路的宽度分别为 3 x 、 2 x ， 于是可列方程 (30-4 x )(20-6 x )= —×20×30 20 ㎝ 30 ㎝ 3 x 2 x 30-4 x 20-6 x 4 3 3 x 2 x 6 x 4 x 30-4 x 20-6 x 我们利用“ 图形经过移动，它的面积大小不会改变 ”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路） . 方法点拨 视频：平移求面积动态展示 解：设 AB 长是 x m . (100-4 x ) x =400 x 2 -25 x +100=0 x 1 =5 ， x 2 =20 x =20,100-4 x =20<25 x =5,100-4 x =80>25 x =5( 舍去 ) 答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长个是 20m,20m . 例 3 ： 如图：要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长个是多少米？ D C B A 25 米 变式： 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 平方米？ 住房墙 1m 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m ， 由题意得 x (25-2 x +1)=80 化简，得 x 2 -13 x +40=0 解得 x 1 =5 , x 2 =8 当 x =5 时， 26-2 x =16>12 ( 舍去） 当 x =8 时， 26-2 x =10<12 故所围矩形猪舍的长为 10m , 宽为 8m . 则平行于住房墙的一边长 (25-2 x +1) m. 例 4 如图，在△ ABC 中， ∠ C =90 °， AC =6cm ， BC =8cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1cm/s 的速度移动， 同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之 停止 移动，问点 PQ 出发几秒后，可使 △ PCQ 面积为 9cm 2 解：设点 P 、 Q 出发 x s 后可使 △ PCQ 的面积为 9cm 2 ， 由题意得 AP = x cm ， PC =(6- x )cm, CQ =2 x cm. 则由 可得 整理，得， x 2 -6x+9=0 解得， x 1 = x 2 =3 故点 P 、 Q 出发 3s 后可使△ PCQ 的面积为 9cm 2 B C A Q P 主要集中在几何图形的 面积 问题 , 这类问题的 面积公式 是等量关系 . 如果图形不规则应 割 或 补 成规则图形 , 找出各部分面积之间的关系 , 再运用规则图形的面积公式列出方程 ; 方法点拨 1 . 在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm 2 ，设金色纸边的宽为 x cm ，那么 x 满足的方程是（ ） A． x 2 +130 x -1400=0 B． x 2 +65 x -350=0 C． x 2 -130 x -1400=0 D． x 2 -65 x -350=0 80cm x x x x 50cm B 当堂练习 2. 一块长方形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5cm 的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm 3 ，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为 x cm , 则有长为 2 x cm 5(2 x -10)( x -10)=3000 x 2 -15 x -250=0 解得 x 1 =25 x 2 =-10( 舍去） 所以 2 x =50 答：铁板的长 50cm, 宽为 25cm. 3. 如图，要设计一个宽 20cm, 长为 30cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 解：设横向彩条的宽度 2 x cm , 竖彩条的宽度 3 x cm (20-6 x )(30-4 x )=400 6 x 2 -65 x +50=0 课堂小结 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 . 类 型 课本封面问题 彩条 / 小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 小结与复习 第 2 章 一元二次方程 湘教版九年级数学上册教学课件 一、一元二次方程的基本概念 1. 定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2. 一般形式： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 要点梳理 3. 项数和系数： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 一次项： ax 2 一次项系数： a 二次项： bx 二次项系数： b 常数项： c 4. 注意事项： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2 ； (3) 二次项系数不为 0 ； (4) 整式方程． 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x 2 + px + q = 0 （ p 2 - 4 q ≥0 ） ( x + m ) 2 ＝ n （ n ≥ 0 ） ax 2 + bx + c = 0( a ≠0 , b 2 - 4 ac ≥0) ( x + m ) （ x + n ）＝ 0 各种一元二次方程的解法及使用类型 三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （ 1 ）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （ 2 ）设元：就是设未知数 , 分直接设与间接设 , 应根据实际需要恰当选取设元法． （ 3 ）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （ 4 ）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （ 5 ）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 考点一 一元二次方程的定义 例 1 若关于 x 的方程 ( m -1) x 2 + mx -1=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A. m ≠1 B. m =1 C. m ≥1 D. m ≠0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为 0 ），因此它的系数 m -1≠0, 即 m ≠1 , 故选 A. A 1. 方程 5 x 2 - x -3= x 2 -3+ x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 考点讲练 针对训练 考点二 一元二次方程的根的应用 解析 根据一元二次方程根的定义可知将 x =0 代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把 x =0 代入就可以得到以 m 为未知数的方程 m 2 -1=0 ，解得 m =±1 的值 . 这里应填 -1 . 这种题的解题方法我们称之为“有根必代” . 例 2 若关于 x 的一元二次方程 （ m -1) x 2 + x + m 2 -1=0 有一个根为 0, 则 m = . 【易错提示】 求出 m 值有两个 1 和 -1 , 由于原方程是一元二次方程，所以 1 不符合，应引起注意 . -1 针对训练 2. 一元二次方程 x 2 + px -2=0 的一个根为 2 ，则 p 的值为 . -1 【 易错提示 】 (1) 配方法的前提是二次项系数是 1 ； （ a - b ) 2 与 （ a + b) 2 要准确区分； （ 2 ） 求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯 解析 (1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； （ 2 ） 先求出方程 x 2 ﹣13 x +36=0 的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． 考点三 一元二次方程的解法 例 3 (1) 用配方法解方程 x 2 -2 x -5=0 时，原方程应变为（ ） A. ( x -1) 2 =6 B.( x +2) 2 =9 C. ( x +1) 2 =6 D.( x -2) 2 =9 (2) ( 易错题） 三角形两边长分别为 3 和 6 ，第三边的长是方程 x 2 ﹣ 13 x +36=0 的根，则该三角形的周长为（ ） A ． 13 B ． 15 C ． 18 D ． 13 或 18 A A 3. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6 ，边 AB 的长是方程 x 2 -7 x +12=0 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 16 或 12 D. 24 A 针对训练 4. 用公式法和配方法分别解方程： x 2 -4 x -1=0 （要求写出必要解题步骤） . 4. 用公式法和配方法分别解方程： x 2 -4 x -1=0 （要求写出必要解题步骤） . 考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 例 4 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 -3 m =4 x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. B. m <2 C. m ≥0 D. m <0 A 【易错提示】 应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定 a , b , c 的值 . 解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0 , 即 4 2 -4×1× （ -3 m )=16+12 m >0, 解得 , 故选 A . Δ 5. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x 2 + x =0 B. 5 x 2 -4 x -1=0 C.3 x 2 -4 x +1=0 D. 4 x 2 -5 x +2=0 6. （开放题） 若关于 x 的一元二次方程 x 2 - x + m =0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是 （写出一个即可）． D 0 针对训练 考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例 5 已知一元二次方程 x 2 － 4 x － 3 ＝ 0 的两根为 m ， n ， 则 m 2 － mn ＋ n 2 ＝ ． 25 解析 根据根与系数的关系可知， m + n =4, mn =-3. m 2 － mn ＋ n 2 ＝ m 2 + n 2 - mn =( m + n ) 2 -3 mn =4 2 -3 ×(-3)=25. 故填 25. 【 重要变形 】 针对训练 7. 已知方程 2 x 2 +4 x -3=0 的两根分别为 x 1 和 x 2 , 则 x 1 2 + x 2 2 的值等于（ ） A. 7 B. -2 C. D. A 考点六 一元二次方程的应用 例 6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元，平均每天能售出 32 件，而当销售价每上涨 2 元，平均每天就少售出 4 件 . (1) 若公司每天的销售价为 x 元，则每天的销售量为多少？ （ 2 ） 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？ 市场销售问题 解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设 公司每天的销售价为 x 元 . 单件利润 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 4 32 x -20 32-2( x -24) 150 其等量关系是：总利润 = 单件利润 × 销售量 . 解： （ 1 ） 32-( x -24) ×2=80-2 x ; （ 2 ） 由题意可得 ( x -20)(80-2 x )=150. 解得 x 1 =25, x 2 =35. 由题意 x ≤28, ∴ x =25, 即售价应当为 25 元 . 【 易错提示 】 销售量在正常销售的基础上进行减少 . 要注意验根 . 128 例 7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售 . 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销 . 小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售 . 求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是 x ，根据题意得 5 （ 1- x ) 2 =3.2 解得 x 1 =1.8 ( 舍去） , x 2 =0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是 20%. 平均变化率问题 例 8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为 30m, 宽为 20m 的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为 532m 2 , ，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形） 解：设小道进出口的宽为 x cm （ 30-2 x )(20- x )=532 x 2 -35 x +34=0 x 1 =1 x 2 =34 （舍去） 答：小道进出口的宽度应为 1 米 . 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解 . （注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等） 平移转化 方法总结 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念： ①整式方程； ②一元； ③二次 . 一般形式： ax 2 +bx+c=0 ( a ≠0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式 ： Δ = b 2 - 4 ac 根与系数的关系 一元二次方程的应用 营销问题、平均变化率问题 几何问题、数字问题 3.1 比例线段 第 3 章 图形的相似 3.1.1 比例的基本性质 湘教版九年级数学上册教学课件 1. 理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点） 2. 能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题 . （难点） 学习目标 导入新课 观察与思考 如图的 (1) 和 (2) 都是故宫太和殿的照片 ，(2) 是由 (1) 缩小得到的. （ 1 ） （ 2 ） P Q P ′ Q ′ 在照片 (1) 中任意取四个点 P ， Q ， A ， B 在照片 (2) 找出对应的两个点 P ′ ， Q ′ ， A ′ , B ′ 量出线段 PQ ， P ′ Q ′ ， AB ， A ′ B ′ 的长度 . 计算它们的长度的比值 . A A ´ B ´ B 讲授新课 比例的基本性质 一 合作探究 问题 1 ： 如果四个数 a , b , c , d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc , 那么 a , b , c , d 四个数成比例吗？ 如果四个数 a , b , c , d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd , 得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad=bc. 由此可得到比例的基本性质： 如果 ad=bc （ a , b , c , d 都不等于 0 ），那么 . 如果 ad=bc , 那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a , b , c , d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 典例精析 例1 已知四个数 a ， b ， c ， d 成比例，即 . 下列各式成立吗？若成立，请说明理由. ① ② ④ ③ 由此得到 解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立. 由①式得 ad=bc. 在上式两边同除以 cd ，得 在①式两边都加上1，得 例 2 ： 根据下列条件，求 a : b 的值： （1） 4 a= 5 b ； （2） （2）∵ ，∴8 a= 7 b ，∴ 解 （1）∵ 4 a= 5 b ，∴ 例 3 ： 已知 ，求 的值 . 解： 解法 1 ： 由比例的基本性质， 得 2 （ a +3 b ） =7×2 b . ∴ a =4 b ，∴ = 4 . 解法 2 ：由 ，得 . ∴ , ，那么 、 各等于多少？ 2 ．已知 1 ．已知： 线段 a 、 b 、 c 满足关系式 且 b ＝ 4 ，那么 ac ＝ ______ ． ， 练一练 16 问题 2 ： 已知 a , b, c, d, e, f 六个数，如果 （ b+d+f≠0 ） , 那么 成立吗？为什么？ 设 , 则 a = kb, c = kd , e= kf . 所以 等比性质（拓展） 二 由此可得到比例的又一性质： 例 3 ： 在△ ABC 与△ DEF 中，已知 ， 且 △ ABC 的周长为 18cm, 求△ DEF 得周长 . 解：∵ ∴ ∴ 4 ( AB + BC + CA )=3( DE + EF + FD ). 即 AB + BC + CA = ( DE + EF + FD ) ， 又 △ ABC 的周长为 18cm ， 即 AB + BC + CA = 18cm. ∴ △ DEF 的周长为 24cm . 例 4 ： 若 a ， b ， c 都是不等于零的数，且 ，求 k 的值 . 得 ， 则 k ＝＝ 2 ； 当 a ＋ b ＋ c ＝ 0 时，则有 a ＋ b ＝－ c . 此时 综上所述， k 的值是 2 或－ 1. 解：当 a ＋ b ＋ c ≠0 时，由 ， 1.(1) 已知 ，那么 = ， = . (3) 如果 ，那么 . (2) 如果 那么 . 当堂练习 2. 已知四个数 a ， b ， c ， d 成比例. （1）若 a =-3， b =9， c =2 ，求 d ； （2）若 a =-3， b = ， c =2 ，求 d . 比例的性质 如果 那么 ad = bc 基本性质 等比性质 如果 ad = bc （ a , b, c, d ） 都不等于 0 ，那么 课堂小结 3.1 比例线段 第 3 章 图形的相似 3.1.2 成比例线段 湘教版九年级数学上册教学课件 1. 理解线段的比与成比例线段的关系； （重点、难点） 2. 了解并掌握黄金分割问题． ( 重点、难点 ) 学习目标 两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？ 导入新课 线段的比和成比例线段 一 如果选用同一个长度单位得两条先线段 AB , CD 的长度分别是 m , n , 那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 A B C D m n AB : CD= m : n 或 如果把 表示成比值 k , 那么 =k ，或 AB=k · CD , 两条线段的比实际上就是两个数的比 . 讲授新课 1. 若线段 AB ＝6 cm ， CD ＝ 4 cm ，则 . 2. 若线段 AB ＝ 8cm ， CD ＝2dm ，则 . 思考： 两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？ 有关 ？ 无关 ？ 求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一 在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同 . 注意： 虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数 . 练一练 4. 五边形 ABCDE 与五边形 A'B'C'D'E' 形状相同， AB ＝ 5cm ， A'B' ＝ 3cm ， AB ∶ A'B' ＝ . A B C D E A' B' C' D' E' 5∶3 3. 已知线段 AB ＝ 8cm ， A'B' ＝ 2cm ， AB ∶ A'B' 的比为 ， AB ∶ A'B' 的比值为 ， AB ＝ A'B' . 4∶1 4 4 练一练 做一做： 设小方格的边长为 1 ，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的顶点都在格点上，那么 AB ， AD , EF , EH 的长度分别是多少？ A B C D G H E F 计算 的值，你发现了什么？ A B C D G H E F 四条线段 a, b, c, d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a , b ,c , d 叫作 成比例线段 ，简称 比例线段 . 归纳总结 AB，EF，AD，EH 是成比例线段， AB，AD，EF，EH 也是成比例线段 . 注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 如果 或 a ： b=c ： d ， 那么 a 、 b 、 c 、 d 叫做 组成比例的项， a 、 d 叫做 比例外项， b 、 c 叫做 比例内项， d 叫做 a 、 b 、 c 的第四比例项 . 特殊情况： 若作为比例内项的两条线段相等，即 a : b = b : c ， 则 b 叫做 a,c 的 比例中项 . 相关概念 例 1 ： 判断下列线段 a 、 b 、 c 、 d 是否是成比例线段： （ 1 ） a ＝ 0.8cm ， b ＝ 2cm ， c ＝ 5cm ， d ＝ 10cm ； 解： （ 1 ）∵ ∴ 线段 a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段． ， ∴ ， 典例精析 （ 2 ） a ＝ 2 ， b ＝ ， c ＝ ， d ＝ ． （ 2 ） ∵ ∴ ∴ 线段 a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段． 注意 : 1. 若 a:b=k , 说明 a 是 b 的 k 倍 ； 2. 两条线段的比与所采用的 长度单位无关 ，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3. 两条线段的 比值是一个没有单位的正数 ； 4. 除了 a=b 外 , a : b≠b : a , 互为倒数 . 1. 判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？ 成比例线段 不成比例线段 2. 下列各组线段中成比例线段的是 （ ） C 练一练 解：根据题意可知 , AB=a m, AE = a m, AD =1m . 由 ，得 即 开平方 , 得 例 2 ： 一块矩形绸布的长 AB=a m, 宽 AD =1m ，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么 a 的值应当是多少？ D A F E C B 黄金分割的概念 二 一个五角星如下图所示 . 问题 ： 度量 C 到点 A 、 B 的距离 , 与 相等吗？ A C B A B C A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC , 如果 , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 . 点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点 , AC 与 AB 的比称为 黄金比 . 概念学习 1. 计算黄金比 . 解：由 ，得 AC 2 = AB·BC . 设 AB = 1 ， AC = x , 则 BC = 1 – x. ∴ x 2 = 1 × （ 1 - x ） . 即 x 2 + x – 1 = 0. 解方程得： x 1 = x 2 = 黄金比 做一做 2. 如图所示 , 已知线段 AB 按照如下方法作图 : 1. 经过点 B 作 BD ⊥ AB , 使 BD = AB 2. 连接 AD , 在 AD 上截取 DE = DB . 3. 在 AB 上截取 AC = AE . 思考： 点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗 ? A B D E C 巴台农神庙 （ Parthenom Temple ） F C A E B D 想一想： 如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD ，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD ，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么 ? 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形 . A B C D E F 例 3 ： 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感 . 小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60 ，她的身高为 1.60m ，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解： 设肚脐到脚底的距离为 x m ，根据题意，得 ，解得 x = 0.96. 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y ≈0.075 ，而 0.075m=7.5cm. 故她应该穿约为 7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美 . 1. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm ，则它的宽约为 ( ) (A)12.36 cm (B)13.6 cm (C)32.36 cm (D)7.64 cm 【 解析 】 选 A. 0.618×20=12.36(cm). A 练一练 2. 如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB=10 cm ，则 AC 的长约为 _____cm. （结果精确到 0.1 cm ） 【 解析 】 本题考查黄金分割的有关知识，由题意知 ∴AC 2 =(10-AC)×10 ，解得 AC≈6.2 cm. 6.2 3. 如图所示，乐器上的一根弦 AB=80 cm ，两个端点 A 、 B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC=______cm ， DC=_______cm. 【 解析 】 由黄金分割定义可知， AC=BD= ×AB= ( 40 -40 ) cm, AD=AB-BD=(120-40 ) cm, 所以 DC=AC-AD=(80 -160) cm. 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬 30 度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30 度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。 衔远山，吞长江的中国三大 淡水湖也恰好在这黄金分割 的纬度上。 大自然与黄金分割 图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比 , 普通树叶的宽与长之比也接近 0.618; 人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是 23℃( 体温 ) ，也是正常人体温 ( 37℃ ) 的黄金点 ( 23=37×0.618 ) . 这说明医学与 0.618 有千丝万缕联系 , 尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节 . 上肢与下肢长度之比均 近似 0.618 . 在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美． B C A 设计与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异 . 但这些 金字塔底面的边长与高的比都接近于 0.618. 东方明珠塔， 塔高 468 米 . 设计师在 263 米 处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观 . 人的俊美 , 体现在头部及躯干是否符合黄金分割 . 美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例 0.618 ，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美． 黄金分割的魅力 Apple logo 苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6 ，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。 当堂练习 1 . 一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（ ） A .100:3 B.1:3 C.10:3 D.1000:3 2 . 甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（ ） A .5:1 B. 1:5 C.1:500000 D.500000:1 A C 3. 已知线段 AB ，点 P 是它的黄金分割点， AP>BP ，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1 ，以 PB 、 AB 为边的矩形面积为 S2 ，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A ． S1>S2 B ． S1查看更多