2010年四川省宜宾市中考数学试卷(全解全析)

2010年四川省宜宾市中考数学试卷(全解全析)

一、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）‎ ‎1、（2010•广东）﹣2的绝对值是 ．‎ 考点：绝对值。‎ 分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．‎ 解答：解：|﹣2|=2．‎ 故填2．‎ 点评：规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎2、（2010•宜宾）分解因式：2a2﹣4a+2= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．‎ 解答：解：2a2﹣4a+2，‎ ‎=2（a2﹣2a+1），‎ ‎=2（a﹣1）2．‎ 点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎3、（2010•宜宾）在加大农机补贴的政策影响下，某企业的农机在2010年1﹣3月份的销售收入为5亿元，而2009年同期为2亿元，那么该企业的农机销售收入的同期增长率为 %．‎ 考点：有理数的混合运算。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据题意列出算式，计算即可．增长率=增加的收入原来的收入×100%．‎ 解答：解：（5﹣2）÷2×100%=150%．‎ ‎∴该企业的农机销售收入的同期增长率为150%．‎ 点评：解决此题的关键是列算式，按运算顺序进行计算．‎ ‎4、（2010•宜宾）方程‎1‎x﹣2‎=‎2‎x的解是x= ．‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．‎ 解答：解：方程两边都乘x（x﹣2），得 x=2（x﹣2），‎ 解得x=4．‎ 检验：当x=4时，x（x﹣2）≠0．‎ ‎∴x=4是原方程的解．‎ 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎5、（2010•宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）．连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是 ．‎ 考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：根据题意可得0A=5，再分两种情况讨论：①OA为等腰三角形一条边；②OA为底边．再计算求解．‎ 解答：解：∵A（3，4）‎ ‎∴OB=3，AB=4‎ ‎∴0A=5‎ ‎∴当OA为等腰三角形一条边，则点P的坐标是（8，4）（﹣2，4）（﹣3，4）；‎ 当OA为底边，则点P的坐标是（﹣‎7‎‎6‎，4）．‎ 故填（8，4）或（﹣2，4）或（﹣3，4）或（﹣‎7‎‎6‎，4）．‎ 点评：本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；分两种情况进行讨论时正确解答本题的关键．‎ 二、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎6、（2010•宜宾）函数y=‎2‎x﹣1‎中自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎ A、x≠﹣1 B、x＞1‎ ‎ C、x＜1 D、x≠1‎ 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；可得x﹣1≠0，解可得答案．‎ 解答：解：根据题意可得：x﹣1≠0；‎ 解得x≠1；‎ 故选D．‎ 点评：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．‎ ‎7、（2010•宜宾）下列运算中，不正确的是（　　）‎ ‎ A、x3+x3=2x3 B、（﹣x2）3=﹣x5‎ ‎ C、x2•x4=x6 D、2x3÷x2=2x 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的性质解答．‎ 解答：解：A、x3+x3=2x3，正确；‎ B、应为（﹣x2）3=﹣x6，故本选项错误；‎ C、x2•x4=x6，正确；‎ D、2x3÷x2=2x，正确．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查幂的运算性质，需要熟练掌握．‎ ‎8、（2010•宜宾）今年4月14日，我国青海省玉树发生了7.1级强烈地震．截至4月18日，来自各方参加救援的人员超过了17 600人．那么17 600这个数用科学记数法表示为（　　）‎ ‎ A、176×102 B、17.6×103‎ ‎ C、1.76×104 D、0.176×105‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：17 600=1.76×104．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎9、（2010•宜宾）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）‎ ‎ A、点A在圆内 B、点A在圆上 ‎ C、点A在圆外 D、不能确定 考点：点与圆的位置关系。‎ 分析：要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．‎ 解答：解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，‎ ‎∴点A在⊙O内．故选A．‎ 点评：本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．‎ ‎10、（2010•宜宾）小丽在清点本班为青海玉树地震灾区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下：100元的5张，50元的10张，10元的20张，5元的10张．在这些不同面额的钞票中，众数是（　　）元的钞票．‎ ‎ A、5 B、10‎ ‎ C、50 D、100‎ 考点：众数。‎ 分析：根据众数的概念直接求得结果，选择正确选项．‎ 解答：解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，‎ ‎∴众数是10元的钞票．‎ 故选B．‎ 点评：考查了众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎11、（2010•宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（　　）‎ ‎ A、1：2 B、1：3‎ ‎ C、1：4 D、1：5‎ 考点：相似三角形的判定与性质。‎ 分析：易证得△BCD∽△BAC，得∠BCD=∠A=30°，那么BC=2BD，即△BCD与△BAC的相似比为1：2，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到正确的结论．‎ 解答：解：∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，‎ ‎∴△BCD∽△BAC；①‎ ‎∴∠BCD=∠A=30°；‎ Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；‎ 由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；‎ 故选A．‎ 点评：此题主要考查的是直角三角形和相似三角形的性质；‎ 相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．‎ ‎12、（2010•宜宾）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体．那么其三种视图中面积最小的是（　　）‎ ‎ A、正视图 B、左视图 ‎ C、俯视图 D、三种一样 考点：简单组合体的三视图。‎ 分析：如图可知该几何体的正视图由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，易得解．‎ 解答：解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，故三种视图面积最小的是左视图，故选B．‎ 点评：本题考查的是三视图的知识以及学生对该知识点的巩固，难度属简单．‎ 三、解答题（共12小题，满分84分）‎ ‎13、（2010•宜宾）（1）计算：（‎2010‎+1）0+（﹣‎1‎‎3‎）﹣1﹣|‎2‎﹣2|﹣2sin45°；‎ ‎（2）先化简，再求值：（x﹣‎1‎x）÷x+1‎x，其中x=‎2‎+1；‎ ‎（3）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．‎ 考点：实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；分母有理化；直角三角形全等的判定；特殊角的三角函数值。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）按照实数的运算法则计算得出结果；‎ ‎（2）把分式化成最简，代入x求值；‎ ‎（3）因为D是BC中点，BF⊥AF，CE⊥AF，可证明△BDF≌△CDE，则BF=CE．‎ 解答：解：（1）原式=1﹣3+2﹣‎2‎﹣‎2‎‎2‎‎2‎=﹣2‎2‎；‎ ‎（2）原式=xxx+1‎﹣‎‎1‎xxx+1‎ ‎=x‎2‎x+1‎﹣‎xx‎2‎‎+x ‎=x‎2‎x+1‎﹣‎xx（x+1）‎ ‎=﹣xx﹣1‎．‎ ‎∵x=‎2‎+1，‎ ‎∴原式=﹣‎2‎‎+1‎‎2‎=﹣‎2+‎‎2‎‎2‎；‎ ‎（3）∵BF⊥AF，CE⊥AF，‎ ‎∴BF∥CE，‎ ‎∴∠FBD=∠ECD．‎ ‎∵BD=CD，∠BDF=∠CDE，‎ ‎∴△BDF≌△CDE．‎ ‎∴BF=CE．‎ 点评：此题综合考查了实数的运算，分式的化简和全等三角形的判定．解题的关键是熟练掌握各知识点．‎ ‎14、（2010•宜宾）某市“每天锻炼一小时，幸福生活一辈子”活动已开展了一年，为了解该市此项活动的开展情况，某调查统计公司准备采用以下调查方式中的一种进行调查：‎ A、从一个社区随机选取200名居民；‎ B、从一个城镇的不同住宅楼中随机选取200名居民；‎ C、从该市公安局户籍管理处随机抽取200名城乡居民作为调查对象，然后进行调查．‎ ‎（1）在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是 （填番号）．‎ ‎（2）由一种比较合理的调查方式所得到的数据制成了如图所示的频数分布直方图，在这个调查中，这200名居民每天锻炼2小时的人数是多少？‎ ‎（3）若该市有100万人，请你利用（2）中的调查结果，估计该市每天锻炼2小时及以上的人数是多少？‎ ‎（4）你认为这个调查活动的设计有没有不合理的地方？谈谈你的理由．‎ 考点：频数（率）分布直方图；一元一次方程的应用；全面调查与抽样调查；抽样调查的可靠性；用样本估计总体。‎ 专题：阅读型；图表型。‎ 分析：（1）调查方式要合理，（2）由条形图直接可得结论；（3）先算出200人中每天锻炼2小时及以上的人数，再计算100万人中每天锻炼2小时及以上的人数；（4）只要合题意即可．‎ 解答：解：（1）A、B两种调查方式具有片面性，故C比较合理；（1分）‎ ‎（2）由条形图可得，每天锻炼2小时的人数是52人；（2分）‎ ‎（3）设100万人中有x万人锻炼时间在2小时及以上，则有‎52+38+16‎‎200‎=x‎100‎，（1分）‎ 解之，得x=53（万）；（1分）‎ ‎（4）这个调查有不合理的地方．（1分）‎ 比如：在100万人的总体中，随机抽取的200人作为样本，样本容量偏小，会导致调查的结果不够准确，建议增大样本容量．（只要说法正确即可）（1分）‎ 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎15、（2010•宜宾）为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%．‎ ‎（1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？‎ ‎（2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？‎ 考点：二元一次方程组的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：（1）设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x，y台，分别根据“政策出台前一个月共售出某品牌汽车的汽车的手动型和自动型共960台”，“第一个月售出这两种型号的汽车共1228台”作为相等关系列方程组即可求解；‎ ‎（2）由（1）可知政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车数量，根据题意求得第一个月的销售数量手动型汽车是560（1+30%），自动型汽车是400×（1+25%），再分别列式计算即可．‎ 解答：解：（1）设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x，y台，根据题意，得 ‎&x+y=960‎‎&x（1+30%）+y（1+25%）=1228‎ 解得‎&x=560‎‎&y=400‎ 答：政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为560台和400台．‎ ‎（2）手动型汽车的补贴额为：560×（1+30%）×8×5%=291.2（万元）；‎ 自动型汽车的补贴额为：400×（1+25%）×9×5%=225（万元）；‎ 答：政策出台后第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴516.2万元．‎ 点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．‎ ‎16、（2010•宜宾）2010年我国西南地区遭受了百年一遇的旱灾，但在这次旱情中，某市因近年来“森林城市”的建设而受灾较轻．据统计，该市2009年全年植树5亿棵，涵养水源3亿立方米，若该市以后每年年均植树5亿棵，到2015年“森林城市”的建设将全面完成，那时，树木可以长期保持涵养水源确11亿立方米．‎ ‎（1）从2009年到2015年这七年时间里，该市一共植树多少亿棵？‎ ‎（2）若把2009年作为第1年，设树木涵养水源的能力y（亿立方米）与第x年成一次函数，求出该函数的解析式，并求出到第3年（即2011年）可以涵养多少水源？‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）由题意可知每年增加的数目已知，年数已知，即可以计算植树数目．（2）设出函数关系式，然后由题意解出函数关系式，把x=3代入函数关系式就能求出y的值．‎ 解答：解：（1）35亿棵；‎ ‎（2）设一次函数为y=kx+b（k≠0），由题意，得‎&3=k+b‎&11=7k+b 解之得‎&k=‎‎4‎‎3‎‎&b=‎‎5‎‎3‎ 所以，该函数解析式为：y=‎4‎‎3‎x+‎‎5‎‎3‎ 到第3年（即2011年）时，可涵养水源为y=‎4‎‎3‎×3+‎5‎‎3‎=‎17‎‎3‎（亿立方米）．‎ 点评：本题主要考查一次函数的应用，应用函数解决实际问题，比较简单．‎ ‎17、（2010•宜宾）下列三种说法：‎ ‎（1）三条任意长的线段都可以组成一个三角形；‎ ‎（2）任意掷一枚均匀的硬币，正面一定朝上；‎ ‎（3）购买一张彩票可能中奖．‎ 其中，正确说法的序号是 ．‎ 考点：概率的意义。‎ 分析：根据题意，首先分析三种说法中表述的事件是随机事件，再由随机事件的意义可得答案．‎ 解答：解：根据题意，（1）（2）（3）中表述的均是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件；‎ 故正确的是（3），（1）（2）都是错误的；‎ 故答案为（3）．‎ 点评：本题要求学生弄清随机事件和必然事件的概念．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．‎ ‎18、（2010•宜宾）将半径为5的圆（如图1）剪去一个圆心角为n°的扇形后围成如图2所示的圆锥则n的值等于 ．‎ 考点：圆锥的计算。‎ 分析：易求得圆锥的底面周长，那么就求得了扇形的弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角．让圆周角减去所求得的角即可．‎ 解答：解：圆锥的底面周长为：2×3π=6π；‎ ‎∴nπ×5‎‎180‎=6π，‎ ‎∴围成扇形的圆心角为：n=216，‎ ‎∴要求的n=360﹣216=144°．‎ 点评：用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．注意本题是求剪去的扇形的圆心角．‎ ‎19、（2010•宜宾）已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=‎2‎，AB=‎3‎+1，则边BC的长为 ．‎ 考点：解直角三角形。‎ 分析：作CD⊥AB于点D．构造直角三角形求解．‎ 解答：解：‎ 作CD⊥AB于点D．‎ ‎∵∠A=45°，AC=‎2‎，∠ACD=45°，‎ 设AD=x，则CD=x．‎ 由勾股定理得2x2=2，‎ x=1．‎ ‎∵AB=‎3‎+1，‎ ‎∴BD=‎3‎．‎ 在Rt△BCD中，‎ BC2=BD2+CD2，‎ ‎∴BC=‎1‎‎2‎‎+‎‎（‎3‎）‎‎2‎=2．‎ 点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．‎ ‎20、（2010•宜宾）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=‎2‎EC．其中正确结论的序号是 ．‎ 考点：正方形的性质。‎ 分析：过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=‎2‎EC．‎ 解答：‎ 证明：过P作PG⊥AB于点G，‎ ‎∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，‎ ‎∴GP=EP，‎ 在△GPB中，∠GBP=45°，‎ ‎∴∠GPB=45°，‎ ‎∴GB=GP，‎ 同理，得 PE=BE，‎ ‎∵AB=BC=GF，‎ ‎∴AG=AB﹣GB，FP=GF﹣GP=AB﹣GB，‎ ‎∴AG=PF，‎ ‎∴△AGP≌△FPE，‎ ‎∴①AP=EF，‎ ‎∴④∠PFE=∠BAP，‎ ‎∵GF∥BC，‎ ‎∴∠DPF=∠DBC，‎ 又∵∠DPF=∠DBC=45°，‎ ‎∴∠PDF=∠DPF=45°，‎ ‎∴PF=EC，‎ ‎∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴DP=‎2‎EC．‎ ‎∴其中正确结论的序号是①④⑤．‎ 点评：本题考查了正方形的性质，即在正方形中，对角线平分对角．‎ ‎21、（2010•宜宾）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点B作BD∥AC，且BD=2AC，连接AD．试判断△ABD的形状，并说明理由．‎ 考点：等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质。‎ 分析：在BD上取点E，使BE=AC，连接AE，可证四边形ACBE是平行四边形，又因为∠C=90°，所以四边形ACBE是矩形．因为BD=2AC，则可求得AB=AD，故三角形可判定．‎ 解答：解：△ABD是等腰三角形．‎ 在BD上取点E，使BE=AC，连接AE ‎∵AC∥BD，BE=AC ‎∴四边形ACBE是平行四边形 又∵∠C=90°‎ ‎∴四边形ACBE是矩形 ‎∴AE⊥BD 又∵BE=AC=‎1‎‎2‎BD ‎∴BE=ED ‎∴AB=AD ‎∴△ABD是等腰三角形．‎ 点评：本题综合考查了矩形的判定和平行四边形的性质，解本题要充分利用条件，选择适当的方法证明是等腰三角形．‎ ‎22、（2010•宜宾）某班举行演讲革命故事的比赛中有一个抽奖活动．活动规则是：进入最后决赛的甲、乙两位同学，每人只有一次抽奖机会，在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中任选一个数字，选中后可以得到该数字后面的奖品，第一人选中的数字，第二人就不能再选择该数字．‎ ‎（1）求第一位抽奖的同学抽中文具与计算器的的概率分别是多少？‎ ‎（2）有同学认为，如果．甲先抽，那么他抽到海宝的概率会大些，你同意这种说法吗？并用列表格或画树状图的方式加以说明．‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：（1）一共有4种情况，文具有一种，计算器有2种，除以总情况数即为所求概率；‎ ‎（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：（1）第一位抽奖的同学抽中文具的概率是‎1‎‎4‎；抽中计算器的概率是‎1‎‎2‎；‎ ‎（2）不同意．（1分）‎ 从树状图中可以看出，所有可能出现的结果共l2种，而且这些情况都是等可能的．‎ 先抽取的人抽中海宝的概率是‎1‎‎4‎；‎ 后抽取的人抽中海宝的概率是‎3‎‎12‎=‎1‎‎4‎．‎ 所以，甲、乙两位同学抽中海宝的机会是相等的．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．注意本题是不放回实验．‎ ‎23、（2010•宜宾）小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表．为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案？请说明理由．‎ 考点：一元一次不等式组的应用。‎ 专题：方案型；图表型。‎ 分析：设购买大笔记本为x本，则购买小笔记本为（5﹣x）本．‎ 不等关系：①5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元；‎ ‎②购买的笔记本的总页数不低于340页．‎ 解答：解：设购买大笔记本为x本，则购买小笔记本为（5﹣x）本．‎ 依题意，得‎&6x+5（5﹣x）≤28‎‎&100x+60（5﹣x）≥340‎，‎ 解得，1≤x≤3．‎ x为整数，‎ ‎∴x的取值为1，2，3．‎ 当x=1时，购买笔记本的总金额为6×1+5×4=26（元）；‎ 当x=2时，购买笔记本的总金额为6×2+5×3=27（元）；‎ 当x=3时，购买笔记本的总金额为6×3+5×2=28（元）．‎ ‎∴应购买大笔记本l本，小笔记本4本，花钱最少．‎ 点评：正确找到题目中的不等关系是解决此题的关键．‎ ‎24、（2010•宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）已知OA、OC的长，可得A、C的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）设出点P的横坐标，表示出CP的长，由于PE∥AB，可利用相似三角形△CPE∽△CBA，求出△APE的面积表达式，进而可将面积问题转换为二次函数的最值问题，根据函数的性质即可得到△APE的最大面积及对应的P点坐标．‎ ‎（3）由于△AGC的面积无法直接求出，可用割补法求解，过G作GH⊥x轴于H，设出G点坐标，表示出△AGC、梯形AOHG的面积，它们的面积和减去△AOC的面积即可得到△AGC的面积表达式，然后将（2）题所得△APE的面积最大值代入上式中，联立抛物线的解析式即可得到点G的坐标．‎ 解答：解：（1）如图，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），‎ ‎∴c=6．（1分）‎ ‎∵抛物线的图象又经过点（﹣3，0）和（6，0），‎ ‎∴‎&0=9a﹣3b+6‎‎&0=36a+6b+6‎，（1分）‎ 解之得‎&a=﹣‎‎1‎‎3‎‎&b=1‎，（1分）‎ 故此抛物线的解析式为：y=﹣‎1‎‎3‎x2+x+6．（1分）‎ ‎（2）设点P的坐标为（m，0），‎ 则PC=6﹣m，S△ABC=‎1‎‎2‎BC•AO=‎1‎‎2‎×9×6=27；（1分）‎ ‎∵PE∥AB，‎ ‎∴△CEP∽△CAB；（1分）‎ ‎∴S‎△CEPS‎△CAB‎=（‎PCBC‎）‎‎2‎，‎ 即S‎△CEP‎27‎=（‎6﹣m‎9‎）2，‎ ‎∴S△CEP=‎1‎‎3‎（6﹣m）2，（1分）‎ ‎∵S△APC=‎1‎‎2‎PC•AO=‎1‎‎2‎（6﹣m）×6=3（6﹣m），‎ ‎∴S△APE=S△APC﹣S△CEP=3（6﹣m）﹣‎1‎‎3‎（6﹣m）2=﹣‎1‎‎3‎（m﹣‎3‎‎2‎）2+‎27‎‎4‎；‎ 当m=‎3‎‎2‎时，S△APE有最大面积为‎27‎‎4‎；‎ 此时，点P的坐标为（‎3‎‎2‎，0）．（1分）‎ ‎（3）如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G（a，b），（1分）‎ 连接AG、GC，‎ ‎∵S梯形AOHG=‎1‎‎2‎a（b+6），‎ S△CHG=‎1‎‎2‎（6﹣a）b，‎ ‎∴S四边形AOCG=‎1‎‎2‎a（b+6）+‎1‎‎2‎（6﹣a）b=3（a+b）．（1分）‎ ‎∵S△AGC=S四边形AOCG﹣S△AOC，‎ ‎∴‎27‎‎4‎=3（a+b）﹣18，（1分）‎ ‎∵点G（a，b）在抛物线y=﹣‎1‎‎3‎x2+x+6的图象上，‎ ‎∴b=﹣‎1‎‎3‎a2+a+6，‎ ‎∴‎27‎‎4‎=3（a﹣‎1‎‎3‎a2+a+6）﹣18，‎ 化简，得4a2﹣24a+27=0，‎ 解之得a1=‎3‎‎2‎，a2=‎9‎‎2‎；‎ 故点G的坐标为（‎3‎‎2‎，‎27‎‎4‎）或（‎9‎‎2‎，‎15‎‎4‎）．（1分）‎ 点评：此题涉及到二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识，注意面积问题与二次函数最值问题之间的联系．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ Linaliu；py168；MMCH；lanyuemeng；kuaile；张伟东；yangjigang；lanchong；bjy；shenzigang；zhangCF；zhangchao；nhx600；huangling；智波；xinruozai；csiya。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日