2010年湖北省孝感市中考数学试卷

2010年湖北省孝感市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1、（2010•孝感）（﹣1）2010的值是（　　）‎ ‎ A、1 B、﹣1‎ ‎ C、2010 D、﹣2010‎ 考点：有理数的乘方。‎ 分析：根据有理数乘方的运算法则计算即可．‎ 解答：解：（﹣1）2010=1．‎ 故选A．‎ 点评：主要根据﹣1的偶数次方是1，﹣1的奇数次方是﹣1．‎ ‎2、（2010•孝感）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，则∠1的度数是（　　）‎ ‎ A、55° B、65°‎ ‎ C、75° D、85°‎ 考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理。‎ 专题：应用题。‎ 分析：利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．‎ 解答：解：一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°，由图可知∠1所在的三角形另外两个角的度数是60°，90°﹣45°=45°，所以∠1=180°﹣60°﹣45°=75°．‎ ‎（利用外角性质解题为：∠1=30°+45°=75°）‎ 故选C．‎ 点评：主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．本题容易，解法很灵活．‎ ‎3、（2010•孝感）如图所示，数轴上两点A，B分别表示实数a，b，则下列四个数中最大的一个数是（　　）‎ ‎ A、a B、b ‎ C、‎1‎a D、‎‎1‎b 考点：实数大小比较。‎ 分析：由于负数小于正数，所以a，‎1‎a比b，‎1‎b小，在区间（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．‎ 解答：解：∵负数小于正数，‎ ‎∴‎1‎a＜a＜b＜‎1‎b，‎ 在区间（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．‎ 所以‎1‎b＞b．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查知识点为：负数小于正数，在区间（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．‎ ‎4、（2010•孝感）将右边正方体的平面展开图重新折成正方体后，“董”字对面的字是（　　）‎ ‎ A、孝 B、感 ‎ C、动 D、天 考点：专题：正方体相对两个面上的文字。‎ 专题：操作型。‎ 分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．方法比较灵活可让“董”字面不动，分别把各个面围绕该面折成正方体，这需要空间想象能力，如果想象不出就动手操作，或者拿手边的正方体展成该形状观察．‎ 解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“孝”与面“天”相对，面“永”与面“感”相对，“董”与面“动”相对．‎ 故选C．‎ 点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．‎ ‎5、（2010•孝感）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随即地选择一条路径，则它获得食物的概率是（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎2‎ B、‎‎1‎‎3‎ ‎ C、‎1‎‎4‎ D、‎‎1‎‎6‎ 考点：概率公式。‎ 分析：看有食物的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：共有6条路径，有食物的有2条，所以概率是‎1‎‎3‎，故选B．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ ‎6、（2010•孝感）如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（　　）‎ ‎ A、‎6‎‎5‎ B、‎‎5‎‎6‎ ‎ C、‎2‎‎10‎‎3‎ D、‎‎3‎‎10‎‎20‎ 考点：锐角三角函数的定义。‎ 专题：网格型。‎ 分析：根据三角函数的定义即可求出tan∠A的值．‎ 解答：解：利用三角函数的定义可知tan∠A=‎6‎‎5‎．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．‎ ‎7、（2010•孝感）均匀地向如图所示的一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，能大致反映水面高度h随时间t变化的图象是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：函数的图象。‎ 分析：此题首先要弄清横、纵坐标所代表的意义，然后要考虑到上下两个圆柱的底面积不同，所以水位升高的速度也不同；可依据上面的两点来判断各项的对错．‎ 解答：解：由题意知：纵坐标表示的是水位的高度，横坐标表示的时间；‎ 整个注水过程大致可分为两个阶段：‎ ‎①向容器下面的大圆柱体中注水时，由于注水速度不变，则此段函数是一次函数，可排除D；‎ ‎②向容器上面的小圆柱体中注水时，由于小圆柱体的底面积小于大圆柱体，因此水位上升的幅度会加大，可排除A、B；‎ 故选C．‎ 点评：主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．‎ ‎8、（2010•孝感）双曲线y=‎4‎x与y=‎2‎x在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接OA，OB，则△AOB的面积为（　　）‎ ‎ A、1 B、2‎ ‎ C、3 D、4‎ 考点：反比例函数系数k的几何意义。‎ 分析：如果设直线AB与x轴交于点C，那么△AOB的面积=△AOC的面积﹣△COB的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知△AOC的面积=2，△COB的面积=1，从而求出结果．‎ 解答：解：设直线AB与x轴交于点C．‎ ‎∵AB∥y轴，‎ ‎∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．‎ ‎∵点A在双曲线y=‎4‎x的图象上，∴△AOC的面积=‎1‎‎2‎×4=2．‎ 点B在双曲线y=‎2‎x的图象上，∴△COB的面积=‎1‎‎2‎×2=1．‎ ‎∴△AOB的面积=△AOC的面积﹣△COB的面积=2﹣1=1．‎ 故选A．‎ 点评：本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=‎1‎‎2‎|k|．‎ ‎9、（2010•孝感）方程x2﹣2x﹣2=0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是（　　）‎ ‎ A、﹣2＜x1＜﹣1 B、﹣1＜x1＜0‎ ‎ C、0＜x1＜1 D、1＜x1＜2‎ 考点：估算一元二次方程的近似解。‎ 分析：首先求出一元二次方程的较小根，然后再判断其大致的取值范围．‎ 解答：解：x2﹣2x﹣2=0，‎ x2﹣2x=2‎ x2﹣2x+1=3‎ ‎（x﹣1）2=3，‎ 解得x1=1﹣‎3‎，x2=1+‎3‎；‎ ‎∵1＜‎3‎＜2，即﹣2＜﹣‎3‎＜﹣1，‎ ‎∴﹣1＜1﹣‎3‎＜0，即﹣1＜x1＜0；‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查了一元二次方程的解法以及故算无理数的大小．‎ 估算一个根号表示的无理数的大小，通常采用“逐步逼近”的方法，能够准确找出与被开方数相邻的两个完全平方数是解答此类题的关键．‎ ‎10、（2010•孝感）如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是（　　）‎ ‎ A、8 B、10‎‎2‎ ‎ C、15‎2‎ D、20‎‎2‎ 考点：圆锥的计算；平面展开-最短路径问题。‎ 分析：易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．‎ 解答：解：圆锥的底面周长=2π×5=10π，‎ 设侧面展开图的圆心角的度数为n．‎ ‎∴nπ×20‎‎180‎=10π，‎ 解得n=90，‎ ‎∴最短路程为：‎20‎‎2‎‎+‎‎20‎‎2‎=20‎2‎，故选D．‎ 点评：求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．‎ ‎11、（2010•孝感）有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1＜d＜7．其中正确的命题有（　　）‎ ‎ A、1个 B、2个 ‎ C、3个 D、4个 考点：命题与定理。‎ 分析：要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．‎ 解答：解：①两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误；‎ ‎②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误；‎ ‎③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；‎ ‎④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1≤d≤7，故错误．‎ 所以只有一个正确，故选A．‎ 点评：此题综合考查平行线的性质，全等三角形的判定，菱形的对称性及两圆的位置与半径的关系．‎ ‎12、（2010•孝感）若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（　　）‎ ‎ A、﹣3，﹣2，﹣1，0 B、﹣2，﹣1，0，1‎ ‎ C、﹣1，0，1，2 D、0，1，2，3‎ 考点：两条直线相交或平行问题。‎ 专题：计算题。‎ 分析：由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．‎ 解答：解：由题意得‎&x+2y=2m‎&2x+y=2m+3‎，‎ 解得‎&x=‎‎2m+6‎‎3‎‎&y=‎‎2m﹣3‎‎3‎，‎ ‎∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，‎ ‎∴‎&‎2m+6‎‎3‎＞0‎‎&‎2m﹣3‎‎3‎＜0‎，解得：﹣3‎＜m＜‎‎3‎‎2‎，‎ 又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，‎ 故选B．‎ 点评：考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13、（2010•孝感）使‎12n是整数的最小正整数n= ．‎ 考点：二次根式的性质与化简。‎ 分析：先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值．‎ 解答：解：‎12n=2‎3n，由于‎12n是整数，所以n的最小正整数值是3．‎ 点评：解答此题的关键是能够正确的对二次根式进行化简．‎ ‎14、（2010•孝感）如图，长方形ABCD的长AB=4，宽BC=3，以AB所在直线为轴，将长方形旋转一周后所得几何体的主视图的面积是 ．‎ 考点：圆柱的计算；点、线、面、体。‎ 分析：易得此几何体为圆柱，求主视图即为求圆柱的轴截面的面积．‎ 解答：解：将长方形绕一边旋转一周后所得几何体为圆柱，那么轴截面的长为2BC=6，宽为AB=4，∴面积=6×4=24．‎ 点评：用到的知识点为：将长方形绕一边旋转一周后所得几何体为圆柱；求圆柱主视图的面积即为求圆柱的轴截面的面积．‎ ‎15、（2010•孝感）对红星学校某年级学生的体重（单位：kg精确到1kg）情况进行了抽查，将所得数据处理后分成A，B，C三组（每组含最低值，不含最高值），并制成图表（部分数据未填），在被抽查的学生中偏瘦和偏胖的学生共有 人．‎ 考点：扇形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：首先根据扇形统计图求得B所占的百分比，再进一步根据B有32人求得总人数，然后根据偏瘦和片胖的学生所占的比例，即可求得A和C的人数．‎ 解答：解：总人数是：32÷（1﹣16%﹣20%）=32÷64%=50（人），‎ 学生中偏瘦和偏胖的学生数是：50×（16%+20%）=18（人）．‎ 点评：读懂扇形统计图，扇形统计图表示各部分所占的百分比．已知部分求全体用除法，已知全体求部分用乘法．‎ ‎16、（2010•孝感）P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB=50°，点C为⊙O上一点（不与A，B重合），则∠ACB的度数为 ．‎ 考点：切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质。‎ 分析：连接OA、OB，根据切线的性质判断出∠OAP的度数，∠OBP的度数；再根据四边形的内角和是360°，求出 ‎∠ACB的度数，最后由圆内接四边形的性质，求出∠D的度数．‎ 解答：解：连接OA、OB．‎ ‎∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB；‎ ‎∴∠PAO=∠PBO=90°；‎ 又∵∠APB=50°，‎ ‎∴在四边形AOBP中，∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，‎ ‎∴∠ADB=‎1‎‎2‎×∠AOB=‎1‎‎2‎×130°=65°，‎ 即当C在D处时，∠ACB=65°．‎ 在四边形ADBC中，∠ACB=180°﹣∠ADB=180°﹣65°=115°．‎ 于是∠ACB的度数为65°或115°．‎ 点评：本题考查的是切线的性质定理，圆内接四边形的性质，是一道基础题．‎ ‎17、（2010•孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的被骗东30°‎ 的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是 海里（不近似计算）．‎ 考点：解直角三角形的应用-方向角问题。‎ 分析：过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，运用正弦函数求出SC的长．‎ 解答：解：过S作SC⊥AB于C．‎ ‎∵∠SBC=60°，∠A=30°，‎ ‎∴∠BSA=∠SBC﹣∠A=30°，‎ 即∠BSA=∠A=30°．‎ ‎∴SB=AB=12．‎ Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°，‎ ‎∴SC=SB•sin60°=12×‎3‎‎2‎=6‎3‎（海里）．‎ 即船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是6‎3‎海里．‎ 点评：本题主要考查了方向角含义，能够发现△ABS是等腰三角形，并正确的运用三角函数解直角三角形是解决本题的关键．‎ ‎18、（2010•孝感）用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”．‎ 考点：规律型：图形的变化类。‎ 分析：可得规律：第n个图形有2n﹣1层．而且中间层“0”的个数就是2n﹣1个．‎ 解答：解：图1，“O”个数为1；‎ 图2，“O”个数为1×2+（2×2﹣1）；‎ 图3，“O”个数为（1+3）×2+（2×3﹣1）；‎ 图4，“O”个数为（1+3+5）×2+（2×4﹣1）；‎ ‎…；‎ 图n，“O”个数为[1+3+5+…+（2n﹣3）]×2+（2n﹣1）=2（n﹣1）2+（2n﹣1）．‎ ‎∴第10个图案需要“O”个数为2×81+19=181．‎ 点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．‎ 三、解答题（共7小题，满分66分）‎ ‎19、（2010•孝感）解方程：‎2﹣xx﹣3‎‎+‎1‎‎3﹣x=1‎．‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题考查解分式方程的能力，因为3﹣x=﹣（x﹣3），所以可得方程最简公分母为（x﹣3），方程两边同乘（x﹣3）将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验．‎ 解答：解：方程两边同乘（x﹣3），‎ 得：2﹣x﹣1=x﹣3，‎ 整理解得：x=2，‎ 经检验：x=2是原方程的解．‎ 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎（3）方程有常数项的不要漏乘常数项．‎ ‎20、（2010•孝感）某市为了节约生活用水，计划制定每位居民统一用水量标准，然后根据标准，实行分段收费．此时，对居民上年度用水量频数分布直方图（图中分组含最低值，不含最高值），请根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）本次调查的居民人数为 人；‎ ‎（2）本次调查的居民月均用水量的中位数落在频数分布直方图中的第 小组内（从左到右数）；‎ ‎（3）当地政府希望让85%左右居民的月均用水量低于制定的月用水量标准，根据上述调查结果，你认为月用水量标准（取整数）定位多少吨较为合适？‎ 考点：频数（率）分布直方图；中位数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）所有人数之和；（2）把居民月均用水量从小到大排列，中间两个数的平均数是中位数，再看在哪一小组内；‎ ‎（3）85%左右居民的人数为85位，前6组有86位居民，则把居民用水量标准为3吨较为合适．‎ 解答：（1）4+8+15+22+25+12+8+4+2=100（位）；‎ 故填100．‎ ‎（2）第50位和第51位的平均数是中位数，这两位都落在第5小组；‎ 故填5．‎ ‎（3）100×85%=85，由直方图得，86位居民的月均用水量低于制定的月用水量标准，则居民用水量标准为3吨较为合适．‎ 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎21、（2010•孝感）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．‎ 请根据图1中直接三角形叙述勾股定理．‎ 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；‎ 利用图2中的直角梯形，我们可以证明a+bc＜‎2‎．其证明步骤如下：‎ ‎∵BC=a+b，AD= ；‎ 又∵在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），即 ．‎ ‎∴a+bc＜‎2‎．‎ 考点：勾股定理的证明；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：阅读型。‎ 分析：利用SAS可证△ABE≌△ECD，可得对应角相等，结合90°的角，可证∠AED=90°，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证a2+b2=c2，在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已证△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=‎2‎c，从而可证a+bc＜‎2‎．‎ 解答：解：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．‎ ‎∵Rt△ABE≌Rt△ECD，‎ ‎∴∠AEB=∠EDC；‎ 又∠EDC+∠EDC=90°，‎ ‎∴∠AEB+∠DEC=90°；‎ ‎∴∠AED=90°；（5分）‎ S梯形ABCD=SRt三角形ABE+SRt三角形DEC+SRt三角形AED ‎1‎‎2‎‎（a+b）（a+b）=‎1‎‎2‎ab+‎1‎‎2‎ab+‎1‎‎2‎c‎2‎；‎ 整理得a2+b2=c2（7分）．‎ AD=‎2‎c，BC＜AD，a+b‎＜‎‎2‎c．（10分）‎ 点评：本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知识．‎ ‎22、（2010•孝感）关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两实数根x1，x2，‎ ‎（1）求p的取值范围；‎ ‎（2）若[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求p的值．‎ 考点：根与系数的关系；根的判别式。‎ 分析：（1）一元二次方程有实根，△≥0，根据判别式的公式代入可求p的取值范围；‎ ‎（2）将等式变形，结合四个等式：x1+x2=1，x1•x2=p﹣1，x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，代入求p，结果要根据p的取值范围进行检验．‎ 解答：解：（1）由题意得：‎ ‎△=（﹣1）2﹣4（p﹣1）≥0‎ 解得，p≤‎5‎‎4‎；‎ ‎（2）由[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9得，‎ ‎（2+x1﹣x12）（2+x2﹣x22）=9‎ ‎∵x1，x2是方程x2﹣x+p﹣1=0的两实数根，‎ ‎∴x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，‎ ‎∴x1﹣x12=p﹣1，x2﹣x22=p﹣1‎ ‎∴（2+p﹣1）（2+p﹣1）=9，即（p+1）2=9‎ ‎∴p=2或p=﹣4，‎ ‎∵p≤‎5‎‎4‎，∴所求p的值为p=﹣4．‎ 点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力．‎ ‎23、（2010•孝感）如图，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在弧BC上运动（不与B，C重合），过点D作DE∥BC，DE交AC的延长线于点E，连接AD，CD．‎ ‎（1）在图1中，当AD=2‎10‎，求AE的长；‎ ‎（2）当点D为BC的中点时：‎ ‎①DE与⊙O的位置关系是 ；‎ ‎②求△ADC的内切圆半径r．‎ 考点：切线的判定；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心。‎ 专题：动点型。‎ 分析：（1）由于DE∥BC，那么∠E=∠ACB=60°；由圆周角定理易得∠ADC=∠B=60°，则∠ADC=∠E，即可证得△ADC∽△AED，根据相似三角形得到的比例线段即可求出AE的长；‎ ‎（2）①当D为弧BC中点时，AD平分∠BAC，根据等边三角形三线合一的性质知AD垂直平分BC，因此AD必过圆心O，且AD⊥DE，由此可证得DE是⊙O的切线；‎ ‎②作出内切圆，连接内心和三个切点，根据切线长定理将内切圆半径转化为直角三角形ADC三边之间的关系，然后求解．‎ 解答：解：（1）如图，△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠ACB=∠B=60°，‎ 又DE∥BC，‎ ‎∴∠E=∠ADC；‎ 又∠DAC=∠EAD，‎ ‎∴△ADC∽△AED，‎ ‎∴ADAE=ACAD，又AD=2‎10‎，‎ ‎∴AE=AD‎2‎AC=‎40‎‎6‎=‎20‎‎3‎（或6‎2‎‎3‎）．‎ ‎（2）①∵D是BC的中点，‎ ‎∴AD平分∠BAC；‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AD垂直平分BC，即AD是⊙O的直径；‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴AD⊥DE，‎ ‎∴DE与⊙O相切；‎ ‎②如图2，当D为⌒BC的中点时，有⌒BD=⌒DC，‎ ‎∴∠BAD=∠DAC=30°，又AB=AC ‎∴AD垂直平分BC．‎ AD为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACD=90°‎ 在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AC=6，‎ ‎∴DC=6•tan30°=6×‎3‎‎3‎=2‎‎3‎ ‎∴AD=2DC=4‎3‎；‎ 作Rt△ADC的内切圆⊙O′，‎ 分别切AD、AC、DC于F、G、H点，易知CG=CH=r，‎ ‎∴AG=AF=6﹣r，DH=DF=2‎3‎﹣r；‎ ‎∵AF+DF=AD，‎ ‎∴6﹣r+2‎3‎﹣r=4‎3‎．‎ ‎﹣2r=﹣6+2‎3‎，‎ ‎∴r=3﹣‎3‎．‎ 点评：此题主要考查了等边三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定以及直角三角形内切圆半径的求法等知识．‎ ‎24、（2010•孝感）X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序的建设中，在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数如下：‎ ‎（1）请你根据上表数据，在三个函数模型：①y=kx+b（k，b为常数，k≠0）；②y=kx（k为常数，k≠0）③y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，选取一个合适的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是m= （不写n的取值范围）；‎ ‎（2）结合你的求出的函数探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q最多（每节车厢容量设定为常数p）‎ 考点：二次函数的应用。‎ 专题：探究型。‎ 分析：（1）通过表中数据判断为一次函数，用待定系数法求得函数关系式；‎ ‎（2）根据等量关系“营运人数=每车厢的人数×往返次数×车厢节数”列出函数关系式并求得最大值．‎ 解答：解：（1）m=﹣2n+24‎ ‎（2）Q=pmn=pn（﹣2n+24）=﹣2pn2+24pn ‎∵﹣2p＜0，‎ ‎∴Q取最大值．‎ 当n=﹣‎24p‎2×（﹣2p）‎=6时，Q取最大值．‎ 此时，m=﹣2n+24=﹣2×6+24=12‎ ‎∴一列火车每次挂6节车厢，一天往返12小时，一天的设计运营人数最多．‎ 点评：本题考查了同学们运用函数关系式求解最值解决实际问题的能力．‎ ‎25、（2010•孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．‎ ‎（1）二次函数的解析式为y= ；‎ ‎（2）证明点（﹣m，2m﹣1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；‎ ‎（3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．‎ ‎①y轴上存在点K，使以K，Z，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是 ；‎ ‎②二次函数的图象上是否存在点p，使得S三角形POE=2S三角形ABD？求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题；压轴题。‎ 分析：（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．‎ ‎（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式．‎ ‎（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，‎ ‎①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则BA=DK，且BA∥DK，进而求出K点的坐标．‎ ‎②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S三角形ABD=2S三角形ACD，设P（x，‎1‎‎4‎x2﹣x+1），由题意可以解出x．‎ 解答：解：（1）解：y=‎1‎‎4‎x2﹣x+1，‎ ‎（2）证明：设点（﹣m，2m﹣1）在二次函数y=‎1‎‎4‎x2﹣x+1的图象上，‎ 则有：2m﹣1=‎1‎‎4‎m2+m+1，‎ 整理得m2﹣4m+8=0，‎ ‎∵△=（﹣4）2﹣4×8=﹣16＜0‎ ‎∴原方程无解，‎ ‎∴点（﹣m，2m﹣1）不在二次函数y=‎1‎‎4‎x2﹣x+1的图象上．‎ ‎（3）解：①K（0，5）或（0，﹣3）‎ ‎②二次函数的图象上存在点P，使得S三角形POE=2S三角形ABD，‎ 如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，‎ ‎∴OE=EF，由于y=‎1‎‎4‎x2﹣x+1和y=x+1可求得点B（8，9）‎ ‎∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），‎ ‎∴AD∥x轴，‎ ‎∴S三角形ABD=2S三角形ACD=2×‎1‎‎2‎×4×4=16．‎ 设P（x，‎1‎‎4‎x2﹣x+1），‎ 由题意有：S三角形POE=‎1‎‎2‎×4（‎1‎‎4‎x‎2‎﹣x+1）=‎1‎‎2‎x2﹣2x+2，‎ ‎∵S三角形POE=2S三角形ABD ‎∴‎1‎‎2‎x2﹣2x+2=32‎ 解得x=﹣6或x=10，‎ 当x=﹣6时，y=‎1‎‎4‎×36+6+1=16，‎ 当x=10时，y=‎1‎‎4‎×100﹣10+1=16，‎ ‎∴存在点P（﹣6，16）和P（10，16），使得S三角形POE=2S三角形ABD得到 ‎△POE的边OE上的高为16，即点P的纵坐标为16，‎ 然后由16=‎1‎‎4‎x2﹣x+1可求出P点坐标．‎ 点评：本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会判断点是否在直线上，本题步骤有点多，做题需要细心．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ lanyuemeng；HJJ；bjf；wangcen；bjy；Linaliu；MMCH；shenzigang；zhangchao；CJX；lanchong；张伟东；hbxglhl；nhx600；zhehe；yu123；xinruozai；zhangCF；zhjh；yangjigang。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日