2013年甘肃省天水市中考数学试题（含答案）

2013年甘肃省天水市中考数学试题（含答案）

甘肃省天水市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来。）‎ ‎1．（4分）（2013•天水）下列四个数中，小于0的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ π 考点：‎ 有理数大小比较．‎ 分析：‎ 在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：如图所示：‎ ‎∵﹣1在0的左边，‎ ‎∴﹣1＜0．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2013•天水）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a3+a2=2a5[来源:学&科&网]‎ B．‎ ‎（﹣2a3）2=4a6‎ C．‎ ‎（a+b）2=a2+b2‎ D．‎ a6÷a2=a3‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．‎ 分析：‎ 根据合并同类项法则；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式，同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、a3和a2不是同类项不能合并，故本选项错误；‎ B、（﹣2a3）2=4a6，正确；‎ C、应为（a+b）2=a2+b2+2ab，故本选项错误；‎ D、应为a6÷a2=a4，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，以及完全平方公式，是中学阶段的基础题目．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2013•天水）下列图形中，中心对称图形有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 考点：‎ 中心对称图形 分析：‎ 根据中心对称图形的概念求解．‎ 解答：‎ 解：第一个图形是中心对称图形；‎ 第二个图形是中心对称图形；‎ 第三个图形是中心对称图形；‎ 第四个图形不是中心对称图形．‎ 故共3个中心对称图形．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 掌握好中心对称图形的概念．中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2013•天水）函数y1=x和y2=的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＜﹣1或x＞1‎ B．‎ x＜﹣1或0＜x＜1‎ C．‎ ‎﹣1＜x＜0或x＞1‎ D．‎ ‎﹣1＜x＜0或0＜x＜1‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由两函数的交点横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．‎ 解答：‎ 解：由图象得：y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2013•天水）如图，直线l1∥l2，则∠α为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎150°‎ B．‎ ‎140°‎ C．‎ ‎130°‎ D．‎ ‎120°‎ 考点：‎ 平行线的性质；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及对顶角相等进行做题．‎ 解答：‎ 解：∵l1∥l2，‎ ‎∴130°所对应的同旁内角为∠1=180°﹣130°=50°，‎ 又∵α与（70°+50°）的角是对顶角，‎ ‎∴∠α=70°+50°=120°．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题重点考查了平行线的性质及对顶角相等，是一道较为简单的题目．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2013•天水）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎11‎ B．‎ ‎11或13‎ ‎　‎ C．‎ ‎13‎ D．‎ 以上选项都不正确 考点：‎ 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由两数相乘积为0，两数中至少有一个为0求出方程的解得到第三边长，即可求出周长．‎ 解答：‎ 解：方程（x﹣2）（x﹣4）=0，‎ 可得x﹣2=0或x﹣4=0，‎ 解得：x=2或x=4，‎ 当x=2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；‎ 则x=4，此时周长为3+4+6=13．‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形的三边关系，求出x的值是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2013•天水）一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2，1，0.4‎ B．‎ ‎2，2，0.4‎ C．[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎3，1，2‎ D．‎ ‎2，1，0.2[来源:Z*xx*k.Com]‎ 考点：‎ 方差；中位数；众数．‎ 分析：‎ 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均）数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．利用方差公式计算方差．‎ 解答：‎ 解：从小到大排列此数据为：3，2，1，2，2；数据2出现了三次最多为众数，2处在第5位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5=2，方差为[（3﹣2）2+3×（2﹣2）2+（1﹣2）2]=0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、方差和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2013•天水）从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎100m2‎ B．‎ ‎64m2‎ C．‎ ‎121m2‎ D．‎ ‎144m2‎ 考点：‎ 一元二次方程的应用．‎ 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 从一块正方形木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的仍然是一个长方形，此时这个长方形的长等于原来正方形木板的边长，宽等于正方形木板的边长减去2m，根据剩下的长方形的面积是48m2，列出方程，求出解，进而求出原来正方形木板的面积．‎ 解答：‎ 解：设原来正方形木板的边长为xm．‎ 由题意，可知x（x﹣2）=48，‎ 解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）．‎ 所以8×8=64．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程的应用，理解从一块正方形木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的仍然是一个长方形，是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2013•天水）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ OM的长 B．‎ ‎2OM的长 C．‎ CD的长 D．‎ ‎2CD的长 考点：‎ 圆周角定理；锐角三角函数的定义．‎ 分析：‎ 作直径AE，连接BE．得直角三角形ABE．根据圆周角定理可证∠CBD=∠MAO，运用三角函数定义求解．‎ 解答：‎ 解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，‎ 由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，‎ 所以△ABE和△BCD都是直角三角形，‎ 所以∠CBD=∠EAB．‎ 又△OAM是直角三角形，∵AO=1，‎ ‎∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 考查了圆周角定理和三角函数定义．此题首先要观察题目涉及的线段，然后根据已知条件结合定理进行角的转换．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2013•天水）如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 动点问题的函数图象．‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 根据题意可知△AEG≌△BEF≌△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x；可得△AEG的面积y与x的关系；进而可判断得则y关于x的函数的图象的大致形状．‎ 解答：‎ 解：∵AE=BF=CG，且等边△ABC的边长为2，‎ ‎∴BE=CF=AG=2﹣x；‎ ‎∴△AEG≌△BEF≌△CFG．‎ 在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x，‎ ‎∵S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；‎ ‎∴y=S△ABC﹣3S△AEG=﹣3×x（2﹣x）=（x2﹣x+1）．‎ ‎∴其图象为二次函数，且开口向上．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出y与x的函数关系式，另外要求能根据函数解析式判断函数图象的形状．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）‎ ‎11．（4分）（2013•天水）已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是　（﹣1，1）　．‎ 考点：‎ 坐标与图形变化-平移．‎ 分析：‎ 直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．‎ 解答：‎ 解：原来点的横坐标是3，纵坐标是﹣2，向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3﹣4=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1．‎ 则点N的坐标是（﹣1，1）．‎ 故答案填：（﹣1，1）．‎ 点评：‎ 解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2013•天水）从1至9这9个自然数中任取一个数，使它既是2的倍数又是3的倍数的概率是　　．‎ 考点：‎ 概率公式．‎ 分析：‎ 从1到9这9个自然数中，既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，所以既是2的倍数，又是3的倍数的概率是九分之一．‎ 解答：‎ 解：∵既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，‎ ‎∴P（既是2的倍数，又是3的倍数）=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2013•天水）已知分式的值为零，那么x的值是　1　．‎ 考点：‎ 分式的值为零的条件．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．‎ 解答：‎ 解：根据题意，得 x2﹣1=0且x+1≠0，‎ 解得x=1．‎ 故答案为1．‎ 点评：‎ 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2013•天水）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=5，则这个梯形中位线的长等于　6.5　．‎ 考点：‎ 梯形中位线定理．‎ 分析：‎ 作DE∥AC，交BC的延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，根据已知及平行四边形的性质得梯形的中位线等于BE的一半，根据勾股定理可求得BE的长，从而不难求得其中位线的长．‎ 解答：‎ 解：作DE∥AC，交BC的延长线于E，则四边形ACED为平行四边形 ‎∴AD=CE ‎∵AC⊥BD ‎∴∠BDE=90°‎ ‎∴梯形的中位线长=（AD+BC）=（CE+BC）=BE ‎∵BE===13‎ ‎∴梯形的中位线长=×13=6.5．‎ 故答案为：6.5．‎ 点评：‎ 本题考查了梯形的中位线定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出平行四边形和直角三角形，将求梯形中位线转化为求直角三角形斜边的问题来解答．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2013•天水）有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据题意，可得方程　　．‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出分式方程 分析：‎ 关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．‎ 解答：‎ 解：第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：．方程应该为：．‎ 点评：‎ 列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2013•天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是　2＜r＜8　．‎ 考点：‎ 圆与圆的位置关系．‎ 分析：‎ 首先根据两圆的公切线的条数确定两圆的位置关系，然后根据一圆的半径和圆心距确定另一个半径的取值范围；‎ 解答：‎ 解：∵⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，‎ ‎∴两圆的位置关系为相交，‎ ‎∵⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，O1O2=5，‎ ‎∴r﹣3＜5＜r+3‎ 解得：2＜r＜8．‎ 故答案为：2＜r＜8．‎ 点评：‎ 本题考查了圆与圆的位置关系，本题的关键是判断两圆的位置关系．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2013•天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是　4﹣π　．‎ 考点：‎ 切线的性质；扇形面积的计算．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 连结AD，根据切线的性质得AD⊥BC，则S△ABC=AD•BC，然后利用S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF和扇形的面积公式计算即可．‎ 解答：‎ 解：连结AD，如图，‎ ‎∵⊙A与BC相切于点D，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∴S△ABC=AD•BC，‎ ‎∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF ‎=×2×4﹣‎ ‎=4﹣π．‎ 故答案为4﹣π．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了扇形的面积公式．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）（2013•天水）观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32012+32013 ①，‎ ‎ ①×3得3S=3+32+33+…+32013+32014 ②，‎ ‎ ②﹣①得2S=32014﹣1，S=．‎ 运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52013=　　．‎ 考点：‎ 整式的混合运算．3718684‎ 专题：‎ 整体思想．‎ 分析：‎ 首先根据已知设S=1+5+52+53+…+524+525 ①，再将其两边同乘5得到关系式②，②﹣①即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：设S=1+5+52+53+…+52013 ①，‎ 则5S=5+52+53+54…+52014②，‎ ‎②﹣①得：4S=52014﹣1，‎ 所以S=．[来源:Z.xx.k.Com]‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 此题考查了有理数的乘方运算，考查了学生的观察与归纳能力．题目难度不大，解题时需细心．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共3小题，共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过程）‎ ‎19．（10分）（2013•天水）Ⅰ．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．‎ Ⅱ．计算：（π﹣3）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；特殊角的三角函数值 分析：‎ I、求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集即可；‎ II、求出每一部分的值，代入后求出即可．‎ 解答：‎ 解：I、，‎ ‎∵解不等式①得：x＞1，‎ 解不等式②得：x＞5，‎ ‎∴不等式组的解集为x＞5，‎ 在数轴上表示不等式组的解集为：‎ ‎．‎ II、原式=1+3﹣2×﹣8‎ ‎=1+3﹣﹣8‎ ‎=﹣7+2．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值的应用，主要考查学生的计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）（2013•天水）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．‎ 考点：‎ 勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．‎ 分析：‎ 利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．‎ 解答：‎ 解：过点D作DH⊥AC，‎ ‎∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，‎ ‎∴EH=DH，‎ ‎∵EH2+DH2=ED2，‎ ‎∴EH2=1，‎ ‎∴EH=DH=1，‎ 又∵∠DCE=30°，‎ ‎∴DC=2，HC=，‎ ‎∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，‎ BE=2，‎ ‎∴AB=AE=2，‎ ‎∴AC=2+1+=3+，‎ ‎∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．‎ 点评：‎ 此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．‎ ‎　‎ ‎21．（9分）（2013•天水）某班同学分三组进行数学活动，对七年级400名同学最喜欢喝的饮料情况，八年级300名同学零花钱的最主要用途情况，九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据．‎ 时间 ‎1小时左右 ‎1.5小时左右 ‎2小时左右 ‎2.5小时左右 人数 ‎50‎ ‎80‎ ‎120‎ ‎50‎ 根据以上信息，请回答下列问题：‎ ‎（1）七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少；‎ ‎（2）补全八年级300名同学中零花钱的最主要用途情况频数分布直方图；‎ ‎（3）九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时？（结果保留一位小数）‎ 考点：‎ 加权平均数；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图．‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ ‎（1）先求出喝红茶的百分比，再乘总数．‎ ‎（2）先让总数减其它三种人数，再根据数值画直方图．‎ ‎（3）用加权平均公式求即可．‎ 解答：‎ 解：（1）冰红茶的百分比为1﹣25%﹣25%﹣10%=40%，冰红茶的人数为400×40%=160（人），‎ 即七年级同学最喜欢喝“冰红茶”的人数是160人；‎ ‎（2）补全频数分布直方图如右图所示．‎ ‎（3）（小时）．[来源:学*科*网]‎ 答：九年级300名同学完成家庭作业的平均时间约为1.8小时．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ 四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）‎ ‎22．（8分）（2013•天水）如图所示，在天水至宝鸡（天宝）高速公路建设中需要确定某条隧道AB的长度，已知在离地面2700米高度C处的飞机上，测量人员测得正前方AB两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长．（结果保留根号）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析：‎ 易得∠CAO=60°，∠CBO=30°，利用相应的正切值可得AO，BO的长，相减即可得到AB的长．‎ 解答：‎ 解：由题意得∠CAO=60°，∠CBO=30°，‎ ‎∵OA=2700×tan30°=2700×=900m，OB=2700×tan60°=2700m，‎ ‎∴AB=2700﹣900=1800（m）．‎ 答：隧道AB的长为1800m．‎ 点评：‎ 考查解直角三角形的应用；利用三角函数值得到与所求线段相关线段的长度是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2013•天水）如图在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）将A点坐标代入y=（x＞0），求出m的值为2，再将（2，2）代入y=kx﹣k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式；‎ ‎（2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（m，2）代入y=（x＞0）得，‎ m=2，‎ 则A点坐标为A（2，2），‎ 将A（2，2）代入y=kx﹣k得，2k﹣k=2，‎ 解得k=2，则一次函数解析式为y=2x﹣2；‎ ‎（2）∵一次函数y=2x﹣2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为（0，﹣2），S△ABP=S△ACP+S△BPC，‎ ‎∴×2CP+×2CP=4，解得CP=2，‎ 则P点坐标为（3，0），（﹣1，0）．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2013•天水）某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22 400万元，但不超过22 500万元，且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：‎ 型号 A B 成本（万元/台）‎ ‎200‎ ‎240‎ 售价（万元/台）‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？‎ ‎（2）该厂如何生产能获得最大利润？‎ ‎（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润=售价﹣成本）‎ 考点：‎ 一元一次不等式的应用．‎ 专题：‎ 应用题；方案型．‎ 分析：‎ ‎（1）在题目中，每种型号的成本及总成本的上限和下限都已知，所以设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100﹣x）台的情况下，可列不等式22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，解不等式，取其整数值即可求解；‎ ‎（2）在知道生产方案以及每种利润情况下可列函数解析式W=50x+60（100﹣x）=6000﹣10x，利用函数的自变量取值范围和其单调性即可求得函数的最值；‎ ‎（3）结合（2）得W=（50+m）x+60（100﹣x）=6000+（m﹣10）x，在此，必须把（m﹣10）正负性考虑清楚，即m＞10，m=10，m＜10三种情况，最终才能得出结论．即怎样安排，完全取决于m的大小．‎ 解答：‎ 解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100﹣x）台，‎ 由题意得22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，‎ 解得37.5≤x≤40．‎ ‎∵x取非负整数，‎ ‎∴x为38，39，40．‎ ‎∴有三种生产方案 ‎①A型38台，B型62台；‎ ‎②A型39台，B型61台；‎ ‎③A型40台，B型60台．‎ ‎（2）设获得利润W（万元），由题意得W=50x+60（100﹣x）=6000﹣10x ‎∴当x=38时，W最大=5620（万元），‎ 即生产A型38台，B型62台时，获得最大利润．‎ ‎（3）由题意得W=（50+m）x+60（100﹣x）=6000+（m﹣10）x 总之，当0＜m＜10，则x=38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；‎ 当m=10时，m﹣10=0则三种生产方案获得利润相等；‎ 当m＞10，则x=40时，W最大，即生产A型40台，B型60台．‎ 点评：‎ 考查学生解决实际问题的能力，试题的特色是在要求学生能读懂题意，并且会用函数知识去解题，以及会讨论函数的最大值．要结合自变量的范围求函数的最大值，并要把（m﹣10）正负性考虑清楚，分情况讨论问题．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2013•天水）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；‎ ‎（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；‎ ‎（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；‎ ‎（3）综合利用几何变换和相似关系求解．‎ 方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；‎ 方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．‎ 特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）‎ ‎∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．‎ ‎（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），‎ 得：4=4k1，解得：k1=1‎ ‎∴直线OB的解析式为y=x，‎ ‎∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，‎ ‎∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，‎ ‎∴可设D（x，x2﹣3x），‎ 又∵点D在直线y=x﹣m上，‎ ‎∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，‎ ‎∵抛物线与直线只有一个公共点，‎ ‎∴△=16﹣4m=0，‎ 解得：m=4，‎ 此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，‎ ‎∴D点的坐标为（2，﹣2）．‎ ‎（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），‎ ‎∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），‎ 根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，‎ 设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），‎ ‎∴4k2+3=4，解得：k2=，‎ ‎∴直线A′B的解析式是y=，‎ ‎∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，‎ ‎∴BA′和BN重合，‎ 即点N在直线A′B上，‎ ‎∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，‎ ‎∴=n2﹣3n，‎ 解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）‎ ‎∴N点的坐标为（﹣，）．‎ 方法一：‎ 如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，‎ 则N1（，），B1（4，﹣4），‎ ‎∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．‎ ‎∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，‎ ‎∴△P1OD∽△N1OB1，‎ ‎∴，‎ ‎∴点P1的坐标为（，）．‎ 将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），‎ 综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．‎ 方法二：‎ 如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，‎ 则N2（，），B2（4，﹣4），‎ ‎∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．‎ ‎∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，‎ ‎∴△P1OD∽△N2OB2，‎ ‎∴，‎ ‎∴点P1的坐标为（，）．‎ 将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），‎ 综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．‎ 点评：‎ 本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；‎ ‎（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 一次函数综合题．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．‎ ‎（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．‎ ‎（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：‎ ‎①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．‎ ‎②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．‎ ‎③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②．‎ 综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：‎ BF=OE=2，OF==，‎ ‎∴点B的坐标是（，2）‎ 设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有．‎ 解得．‎ ‎∴直线AB的解析式是y=x+4；‎ ‎（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，‎ ‎∴△ABD≌△AOP，‎ ‎∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，‎ ‎∴∠DAP=∠BAO=60°，‎ ‎∴△ADP是等边三角形，‎ ‎∴DP=AP=．‎ 如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．‎ 方法（一）‎ 在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．‎ ‎∴BG=BD•cos60°=×=．‎ DG=BD•sin60°=×=．‎ ‎∴OH=EG=，DH=‎ ‎∴点D的坐标为（，）‎ 方法（二）‎ 易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，‎ ‎∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4，‎ 则有，解得BG=，DG=；‎ ‎∴OH=，DH=；‎ ‎∴点D的坐标为（，）．‎ ‎（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于．‎ 设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：‎ ‎①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t，‎ ‎∴DH=2+t．‎ ‎∵△OPD的面积等于，‎ ‎∴，‎ 解得，（舍去）‎ ‎∴点P1的坐标为（，0）．‎ ‎②∵当D在x轴上时，根据勾股定理求出BD==OP，‎ ‎∴当＜t≤0时，如图，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，‎ ‎∴GH=BF=2﹣（﹣t）=2+t．‎ ‎∵△OPD的面积等于，‎ ‎∴，‎ 解得，，‎ ‎∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）．‎ ‎③当t≤时，如图3，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，‎ ‎∴DH=﹣t﹣2．‎ ‎∵△OPD的面积等于，‎ ‎∴（﹣t）【﹣（2+t）】=，‎ 解得（舍去），‎ ‎∴点P4的坐标为（，0），‎ 综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、‎ P4（，0）．‎ 点评：‎ 本题综合考查的是一次函数的应用，难度较大．‎