2010年云南省红河州中考数学试卷(全解全析)

2010年云南省红河州中考数学试卷(全解全析)

一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎1、（2010•红河哈尼族彝族自治州）下列计算正确的是（　　）‎ ‎ A、（﹣1）﹣1=1 B、（﹣3）2=﹣6‎ ‎ C、π0=1 D、（﹣2）6÷（﹣2）3=（﹣2）2‎ 考点：负整数指数幂；同底数幂的除法；零指数幂。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据平方根，负指数幂的意义，同底数的幂的除法的意义，分别计算出各个式子的值即可判断．‎ 解答：解：A、（﹣1）﹣1=﹣1，故A错误；‎ B、（﹣3）2=9，故B错误；‎ C、任何非0实数的零次幂等于1，故C正确；‎ D、（﹣2）6÷（﹣2）3=（﹣2）3，故D错误．‎ 故选C．‎ 点评：解决此题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、同底数的幂的除法等考点的运算．‎ ‎2、（2010•红河哈尼族彝族自治州）不在函数y=‎‎12‎x图象上的点是（　　）‎ ‎ A、（2，6） B、（﹣2，﹣6）‎ ‎ C、（3，4） D、（﹣3，4）‎ 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：根据y=‎‎12‎x得k=xy=12，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于12，就在函数图象上．‎ 解答：解：A、2×6=12，不符合题意；‎ B、﹣2×（﹣6）=12，不符合题意；‎ C、3×4=12，不符合题意；‎ D、﹣3×4=﹣12≠12，符合题意；‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．‎ ‎3、（2010•红河哈尼族彝族自治州）下图是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ 解答：解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选B．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎4、（2010•红河哈尼族彝族自治州）使分式‎1‎‎3﹣x有意义的x的取值是（　　）‎ ‎ A、x≠0 B、x≠±3‎ ‎ C、x≠﹣3 D、x≠3‎ 考点：分式有意义的条件。‎ 分析：要使分式有意义，分式的分母不能为0．‎ 解答：解：∵3﹣x≠0，‎ ‎∴x≠3．‎ 故选D．‎ 点评：解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的值即可．‎ ‎5、（2010•红河哈尼族彝族自治州）下列命题错误的是（　　）‎ ‎ A、四边形内角和等于外角和 B、相似多边形的面积比等于相似比 ‎ C、点P（1，2）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2） D、三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 考点：相似多边形的性质；三角形中位线定理；多边形内角与外角；命题与定理；关于原点对称的点的坐标。‎ 分析：根据四边形内角和与外角和定理，相似多边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征及三角形的中位线定理作答．‎ 解答：解：A、四边形的内角和和外角和都是360°，正确；‎ B、相似多边形的面积比等于相似比的平方，错误；‎ C、点关于原点对称的点的横纵坐标均变为原来的相反数，故正确；‎ D、根据三角形中位线定理可知，D选项正确，故正确．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查了四边形内角和与外角和定理，相似多边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征及三角形的中位线定理．‎ ‎6、（2010•红河哈尼族彝族自治州）如果3x2n﹣1ym与﹣5xmy3是同类项，则m和n的取值是（　　）‎ ‎ A、3和﹣2 B、﹣3和2‎ ‎ C、3和2 D、﹣3和﹣2‎ 考点：同类项；解二元一次方程组。‎ 分析：本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可列出关于m、n的方程组，求出m、n的值．‎ 解答：解：由题意，得‎&2n﹣1=m‎&m=3‎，‎ 解得‎&m=3‎‎&n=2‎．‎ 故选C．‎ 点评：同类项定义中的两个“相同”：‎ ‎（1）所含字母相同；‎ ‎（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．‎ ‎7、（2010•红河哈尼族彝族自治州）如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（　　）‎ ‎ A、30° B、40°‎ ‎ C、50° D、60°‎ 考点：圆周角定理；垂径定理。‎ 分析：欲求∠DBC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．‎ 解答：解：∵⊙O的直径BD⊥AC，‎ ‎∴AD‎=‎CD；（垂径定理）‎ ‎∴∠DBC=‎1‎‎2‎∠AOD=30°；（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）‎ 故选A．‎ 点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎8、（2010•红河哈尼族彝族自治州）﹣‎1‎‎3‎的相反数是 ．‎ 考点：相反数。‎ 分析：求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．‎ 解答：解：﹣‎1‎‎3‎的相反数是﹣（﹣‎1‎‎3‎）=‎1‎‎3‎．‎ 点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；‎ 一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．‎ ‎9、（2010•红河哈尼族彝族自治州）四次测试小丽每分钟做仰卧起坐的次数分别为：50、45、48、47，这组数据的中位数为 ．‎ 考点：中位数。‎ 分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．‎ 解答：解：从小到大排列此数据为：45，47，48，50，出于中间的有两个数47和48，平均为47.5，所以这组数据的中位数为47.5．‎ 故填47.5．‎ 点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．‎ 注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．‎ ‎10、（2010•红河哈尼族彝族自治州）红河州初中毕业生参加今年中考的学生数约是36600人，这个数用科学记数法可表示为 ．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：36 600用科学记数法可表示为3.66×104．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎11、（2010•红河哈尼族彝族自治州）如图，D、E分别是AB、AC上的点，若∠A=70°，∠B=60°，DE∥BC．则∠AED的度数是 度．‎ 考点：三角形内角和定理；平行线的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据平行线的性质即可求得∠AED的度数．‎ 解答：解：∵∠A=70°，∠B=60°，‎ ‎∴∠C=50°．‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠AED=∠C=50°．‎ 点评：此题综合考查了三角形的内角和定理和平行线的性质．‎ ‎12、（2010•红河哈尼族彝族自治州）已知一次函数y=﹣3x+2，它的图象不经过第 象限．‎ 考点：一次函数的性质。‎ 分析：根据一次函数的性质容易得出结论．‎ 解答：解：因为解析式y=﹣3x+2中，﹣3＜0，2＞0，图象过一、二、四象限，故图象不经过第三象限．‎ 点评：在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．‎ ‎13、（2010•红河哈尼族彝族自治州）计算：‎12‎+2sin60°= ．‎ 考点：特殊角的三角函数值；二次根式的加减法。‎ 分析：先将‎12‎化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可，注意sin60°=‎3‎‎2‎．‎ 解答：解：原式=2‎3‎+2×‎3‎‎2‎=2‎3‎+‎3‎=3‎3‎．‎ 点评：此题考查了二次根式的加减运算以及特殊角的三角函数值，合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．‎ ‎14、（2010•红河哈尼族彝族自治州）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为 度．‎ 考点：圆锥的计算。‎ 分析：易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的扇形的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角．‎ 解答：解：圆锥的底面周长=4π，‎ ‎∴nπ×6‎‎180‎=4π，‎ 解得n=120°．‎ 点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．‎ ‎15、（2010•红河哈尼族彝族自治州）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个．‎ 考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理。‎ 专题：规律型。‎ 分析：根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图（1）中，有3个平行四边形；在图（2）中，有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．‎ 解答：解：在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，‎ ‎∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1C A1C1=AB1A1B1=BC1A1C1=B1C，‎ ‎∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个．‎ 在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，‎ 同理可证：四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是平行四边形，共有6个．‎ ‎…‎ 按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．‎ 点评：本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．由特殊到一般，善于从中找出规律是关键．‎ 三、解答题（共8小题，满分75分）‎ ‎16、（2010•红河哈尼族彝族自治州）先化简再求值：a﹣2‎a+3‎‎÷a‎2‎‎﹣4‎‎2a+6‎﹣‎‎5‎a+2‎．选一个使原代数式有意义的数代入求值．‎ 考点：分式的化简求值。‎ 专题：开放型。‎ 分析：先根据分式的运算法则把原式化简，再选一个使原代数式有意义的数代入求值即可．‎ 解答：解：原式=‎a﹣2‎a+3‎‎÷‎（a+2）（a﹣2）‎‎2（a+3）‎﹣‎‎5‎a+2‎ ‎=a﹣2‎a+3‎‎•‎2（a+3）‎‎（a+2）（a﹣2）‎﹣‎‎5‎a+2‎，‎ ‎=‎2‎a+2‎‎﹣‎‎5‎a+2‎，‎ ‎=‎﹣‎‎3‎a+2‎．‎ 当a=1时，（a的取值不唯一，只要a≠2、﹣3即可）‎ 原式=‎﹣‎3‎‎1+2‎=﹣1‎．‎ 点评：此题答案不唯一，只需使分式有意义即可．‎ ‎17、（2010•红河哈尼族彝族自治州）如图，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：根据飞机的飞行速度和时间，易求得PC的长；Rt△PCD中，运用正切函数求出对边CD的值，进而根据DG=CG﹣CD求出山的高度．‎ 解答：解：延长CD交AB于G，则CG=12（千米）．‎ 依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米）．‎ 在Rt△PCD中：‎ PC=3，∠P=60°，‎ CD=PC•tan∠P ‎=3×tan60°‎ ‎=‎3‎‎3‎．‎ ‎∴12﹣CD=12﹣‎3‎‎3‎≈6.8（千米）．‎ 答：这座山的高约为6.8千米．‎ 点评：此题主要考查了俯角的定义，三角函数定义的应用．‎ ‎18、（2010•红河哈尼族彝族自治州）如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=DF+EF，∠1=∠2，请判断线段DF与BE有怎样的位置关系，并证明你的结论．‎ 考点：正方形的性质；平行线的判定；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：探究型。‎ 分析：只要判定△ABE≌△DAF，就不难证明DF∥BE．‎ 解答：解：根据题目条件可判断DF∥BE．‎ 证明如下：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°，‎ ‎∵AF=AE+EF，又AF=DF+EF，‎ ‎∴AE=DF，‎ ‎∵∠1=∠2，∴△ABE≌△DAF，（SAS）‎ ‎∴∠AFB=∠DEA，∠DAF=∠ABE，‎ ‎∴∠ABE+∠2=90°，‎ ‎∴∠AEB=∠DFA=90°，‎ ‎∴DF∥BE．‎ 点评：本题综合考查了正方形的性质、平行线的判定、全等三角形的判定以及全等三角形的性质．‎ ‎19、（2010•红河哈尼族彝族自治州）某中学计划对本校七年级10个班的480名学生按“学科”、“文体”、“手工”三个项目安排课外兴起小组，小组小明从每个班中随机抽取5名学生进行问卷调查，并将统计结果制成如下所示的表和图．‎ ‎（1）请将统计表、统计图补充完整；‎ ‎（2）请以小明的统计结果来估计该校七年级480名学生参加各个项目的人数．‎ 考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；条形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）首先根据频数可以求出各小组的百分比，也可以根据表格的数据补全条形统计图；‎ ‎（2）根据样本估计总体的思想，利用表格中的数据可以分别求出该校七年级480名学生参加各个项目的人数．‎ 解答：解：‎ ‎（1）统计表、统计图补充如上；‎ ‎（2）七年级480名学生参加个项目人数约为：‎ 学科：480×50%=240（人）‎ 文体：480×20%=96（人）‎ 手工：480×30%=144（人）‎ 答：该校七年级480名学生参加“学科”、“文体”、“手工”三个项目的人数分别约为240人，96人，144人．‎ 点评：读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．‎ ‎20、（2010•红河哈尼族彝族自治州）现有一本故事书，姐妹俩商定通过摸球游戏定输赢（赢的一方先看），游戏规则是：用4个完全相同的小球，分别表上1、2、3、4后放进一个布袋内，先由姐姐从布袋中任意摸出一个小球，记下小球的标号后放回并摇匀，再由妹妹任意摸出一个小球，若两人摸出的小球标号之积为偶数，则姐姐赢，两人摸出的小球标号之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由．‎ 考点：游戏公平性；列表法与树状图法。‎ 分析：列举出所有情况，看两人摸出的小球标号之积为偶数的情况占所有情况的多少即可求得姐姐赢的概率；进而求得妹妹赢的概率，比较即可．‎ 解答：解：树状图如下图：‎ 或列表如下表：‎ 由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种，两人摸出的小球标号之积为偶数的情况为12种，∴P（姐姐赢）=‎12‎‎16‎‎=‎‎3‎‎4‎；P（妹妹赢）=‎4‎‎16‎‎=‎‎1‎‎4‎；‎ 所以此游戏对双方不公平，姐姐赢的可能性大．‎ 点评：解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎21、（2010•红河哈尼族彝族自治州）师徒二人分别组装28辆摩托车，徒弟单独工作一周（7天）不能完成，而师傅单独工作不到一周就已完成，已知师傅平均每天比徒弟多组装2辆，求：‎ ‎（1）徒弟平均每天组装多少辆摩托车（答案取整数）？‎ ‎（2）若徒弟先工作2天，师傅才开始工作，师傅工作几天，师徒两人做组装的摩托车辆数相同？‎ 考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用。‎ 专题：工程问题。‎ 分析：（1）设徒弟每天组装x辆摩托车．根据徒弟单独工作一周（7天）不能完成，得7x＜28；根据师傅单独工作不到一周就已完成，得7（x+2）＞28．列不等式组进行求解；‎ ‎（2）设师傅工作m天，师徒两人所组装的摩托车辆数相同．‎ 结合（1）中求得的结果，列方程求解．‎ 解答：解：（1）设徒弟每天组装x辆摩托车，则师傅每天组装（x+2）辆．‎ 依题意，得‎&7x＜28‎‎&7（x+2）＞28‎，‎ 解，得2＜x＜4．‎ ‎∵x取正整数，‎ ‎∴x=3．‎ ‎（2）设师傅工作m天，师徒两人所组装的摩托车辆数相同．‎ 依题意得：3（m+2）=5m 解得：m=3‎ 答：徒弟每天组装3辆摩托车；若徒弟先工作2天，师傅工作3天，师徒两人做组装的摩托车辆数相同．‎ 点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．‎ ‎22、（2010•红河哈尼族彝族自治州）二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．‎ ‎（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；‎ ‎（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？‎ 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点。‎ 专题：开放型。‎ 分析：（1）由平移规律求出新抛物线的解析式；‎ ‎（2）令y=0，求出x的值，即可得交点坐标．抛物线开口向上，当x的值在两交点之外y的值大于0．‎ 解答：解：画图如图所示：‎ 依题意得：y=（x﹣1）2﹣2‎ ‎=x2﹣2x+1﹣2‎ ‎=x2﹣2x﹣1‎ ‎∴平移后图象的解析式为：x2﹣2x﹣1‎ ‎（2）当y=0时，x2﹣2x﹣1=0（x﹣1）2=2‎x﹣1=±‎2‎x‎1‎=1﹣‎2‎，x‎2‎=1+‎‎2‎ ‎∴平移后的图象与x轴交与两点，坐标分别为（‎1﹣‎‎2‎，0）和（‎1+‎‎2‎，0）‎ 由图可知，当x＜‎1﹣‎‎2‎或x＞‎1+‎‎2‎时，‎ 二次函数y=（x﹣1）2﹣2的函数值大于0．‎ 点评：主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．‎ ‎23、（2010•红河哈尼族彝族自治州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=‎12‎‎3‎cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以‎2‎‎3‎cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．‎ ‎（1）求∠OAB的度数．‎ ‎（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？‎ ‎（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．‎ ‎（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由．‎ 考点：切线的判定；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；解直角三角形。‎ 专题：代数几何综合题；压轴题；分类讨论。‎ 分析：（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的长，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度数；‎ ‎（2）连接O′M，当PM与⊙O′相切时，PM、PO同为⊙O′的切线，易证得△OO′P≌△MO′P，则∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等边三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根据∠PO′O的度数及OO′的长即可求得OP的长，已知了P点的运动速度，即可根据时间=路程÷速度求得t的值；‎ ‎（3）过Q作QE⊥x轴于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的长，进而根据∠OAB的度数表示出QE、AE的长，由S△PQR=S△OAB﹣S△OPR﹣S△APQ﹣S△BRQ即可求得S、t的函数关系式；根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最小值及对应的t的值；‎ ‎（4）由于△APQ的腰和底不确定，需分类讨论：‎ ‎①AP=AQ，可分别用t表示出两条线段的长，然后根据它们的等量关系求出此时t的值；‎ ‎②PQ=AQ，过点Q作QD⊥x轴于D，根据等腰三角形三线合一的性质知：PA=2AD；可分别用t表示出PA、AD的长，然后根据它们的等量关系列方程求解；‎ ‎③AP=PQ，过点Q做QH⊥AQ于H，方法同②．‎ 解答：解：（1）在Rt△AOB中：‎ tan∠OAB=OBOA‎=‎12‎‎12‎‎3‎=‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴∠OAB=30°．‎ ‎（2）如图，连接O‘P，O‘M．‎ 当PM与⊙O′相切时，有：‎ ‎∠PMO′=∠POO′=90°，‎ ‎△PMO′≌△POO．‎ 由（1）知∠OBA=60°，‎ ‎∵O′M=O′B，‎ ‎∴△O‘BM是等边三角形，‎ ‎∴∠BO‘M=60°．‎ 可得∠OO′P=∠MO′P=60°．‎ ‎∴OP=OO′•tan∠OO′P ‎=6×tan60°=‎6‎‎3‎．‎ 又∵OP=‎2‎‎3‎t，‎ ‎∴‎2‎‎3‎t=‎6‎‎3‎，t=3．‎ 即：t=3时，PM与⊙O‘相切．‎ ‎（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．‎ ‎∵∠BAO=30°，AQ=4t，‎ ‎∴QE=‎1‎‎2‎AQ=2t，‎ AE=AQ•cos∠OAB=4t×‎3‎‎2‎‎=2‎3‎t．‎ ‎∴OE=OA﹣AE=‎12‎‎3‎﹣‎2‎‎3‎t．‎ ‎∴Q点的坐标为（‎12‎‎3‎﹣‎2‎‎3‎t，2t），‎ S△PQR=S△OAB﹣S△OPR﹣S△APQ﹣S△BRQ ‎=‎‎1‎‎2‎‎•12•12‎3‎﹣‎1‎‎2‎•2‎3‎t•（12﹣2t）﹣‎1‎‎2‎（12‎3‎﹣2‎3‎t）•2t﹣‎1‎‎2‎•2t（12‎3‎﹣2‎3‎t）‎ ‎=‎‎6‎3‎t‎2‎﹣36‎3‎t+72‎‎3‎ ‎=‎6‎3‎（t﹣3‎）‎‎2‎+18‎‎3‎． （0＜t＜6）‎ 当t=3时，S△PQR最小=‎18‎‎3‎；‎ ‎（4）分三种情况：如图 ‎①当AP=AQ1=4t时，‎ ‎∵OP+AP=‎12‎‎3‎，‎ ‎∴‎2‎‎3‎t+4t=‎12‎‎3‎．‎ ‎∴t=‎6‎‎3‎‎3‎‎+2‎，‎ 或化简为t=‎12‎‎3‎﹣18；‎ ‎②当PQ2=AQ2=4t时，‎ 过Q2点作Q2D⊥x轴于点D．‎ ‎∴PA=2AD=2AQ2•cosA=‎4‎‎3‎t，‎ 即‎2‎‎3‎t+‎4‎‎3‎t=‎12‎‎3‎，‎ ‎∴t=2；‎ ‎③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．‎ AH=PA•cos30°=（‎12‎‎3‎﹣‎2‎‎3‎t）•‎3‎‎2‎=18﹣3t，‎ AQ3=2AH=36﹣6t，‎ 得36﹣6t=4t，‎ ‎∴t=3.6．‎ 综上所述，当t=2或t=3.6或t=‎12‎‎3‎﹣18时，△APQ是等腰三角形．‎ 点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、二次函数的应用以及等腰三角形的判定和性质等知识，需注意的是（4）题在不确定等腰三角形腰和底的情况下，要充分考虑到各种可能的情况，以免漏解．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ Linaliu；MMCH；HJJ；zhxl；CJX；张伟东；kuaile；lbz；nhx600；zhjh；haoyujun；lanchong；xinruozai；zhangchao；mama258；hbxglhl；wdxwzk；lihongfang。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日