中考卷-2020中考数学试题(解析版) (103)

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中考卷-2020中考数学试题(解析版) (103)

湖南省邵阳市 2020 年中考数学试题 一、选择题(本大题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.2020 的倒数是( ) A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020  【答案】C 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答. 【详解】2020 的倒数是 1 2020 , 故选:C. 【点睛】此题考查倒数的定义,熟记倒数的定义是解题的关键. 2.下列四个立体图形中,它们各自的三视图都相同的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形解答即可. 【详解】A、球的三视图都是圆,故本选项正确; B、圆锥的主视图和左视图是三角形,俯视图是带有圆心的圆,故本选项错误; C、圆柱的主视图和左视图是矩形,俯视图是圆,故本选项错误; D、三棱柱的主视图和左视图是矩形,俯视图是三角形,故本选项错误. 故选 A. 【点睛】本题考查的是几何体的三视图,理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看 所得到的图形是解题的关键. 3.2020 年 6 月 23 日,中国第 55 颗北斗号航卫星成功发射,标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面 建成.据统计:2019 年,我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达 3450 亿元,较 2018 年增长 14.4%.其 中,3450 亿元用科学记数法表示为( ) A. 103.45 10 元 B. 93.45 10 元 C. 83.45 10 元 D. 113.45 10 元 【答案】D 【解析】 【分析】 根据科学计数法的表示形式为 10 na  ,其中1 10a < ,n 为整数,即可做出选择. 【 详 解 】 解 : 根 据 科 学 计 数 法 的 表 示 形 式 为 10 na  , 其 中 1 10a < , n 为 整 数 , 则 3450 亿 =345000000000=3.45×1011 元. 故选:D 【点睛】本题主要考查利用科学计数法表示较大的数的方法,掌握科学计数法的表示方法是解答本题的关 键,这里还需要注意 n 的取值. 4.设方程 2 3 2 0x x   的两根分别是 1 2,x x ,则 1 2x x 的值为( ) A. 3 B. 3 2  C. 3 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 本题可利用韦达定理,求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值,代入公式求解即可. 【详解】由 2 3 2 0x x   可知,其二次项系数 1a  ,一次项系数 3b   , 由韦达定理: 1 2x x ( 3) 31 b a      , 故选:A. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,求解时可利用常规思路求解一元二次方程,也可以通过 韦达定理提升解题效率. 5.已知正比例函数 ( 0)y kx k  的图象过点 2,3 ,把正比例函数 ( 0)y kx k  的图象平移,使它过点  1, 1 ,则平移后的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出正比例函数解析式,再根据平移和经过点 1, 1 求出一次函数解析式,即可求解. 【详解】解:把点 2,3 代入 ( 0)y kx k  得 2 3k  解得 3 2k = , ∴正比例函数解析式为 3 2y x , 设正比例函数平移后函数解析式为 3 2y x b  , 把点 1, 1 代入 3 2y x b  得 3 = 12 b  , ∴ 5= 2b  , ∴平移后函数解析式为 3 5 2 2y x  , 故函数图象大致 . 故选:D 【点睛】本题考查了求正比例函数,一次函数解析式,一次函数图象与性质,根据正比例函数求出平移后 一次函数解析式是解题关键. 6.下列计算正确的是( ) A. 5 3 18 8 3  B.  32 2 32 6a b a b   C. 2 2 2( )a b a b   D. 2 4 22 a a b aa b a      【答案】D 【解析】 【分析】 分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可. 【详解】解:A. 5 3 18 3 25 3   ,故 A 选项错误; B.      3 332 2 3 6 32 2 8a b a b a b     ,故 B 选项错误; C. 2 2 2( ) 2a b a ab b    ,故 C 选项错误; D.   2 2 24 22 2 a aa a b a b aa b a a b a            ,故 D 选项正确. 故答案为 D. 【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算,掌握相关运算法则是解答本题的关键. 7.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 E,B,D,F 在同一条直线上,请添加一个条件使得 ABE CDF△ ≌△ ,下列不正确...的是( ) A. AE CF B. AEB CFD   C. EAB FCD   D. BE DF 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定,逐项进行判断即可. 【详解】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠ABD=∠BDC, ∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF, ∴∠ABE=∠CDF, A.若添加 AE CF ,则无法证明 ABE CDF△ ≌△ ,故 A 错误; B.若添加 AEB CFD   ,运用 AAS 可以证明 ABE CDF△ ≌△ ,故选项 B 正确; C.若添加 EAB FCD   ,运用 ASA 可以证明 ABE CDF△ ≌△ ,故选项 C 正确; D.若添加 BE DF ,运用 SAS 可以证明 ABE CDF△ ≌△ ,故选项 D 正确. 故选:A. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是准确寻找全等三角 形解决问题,属于中考常考题型. 8.已知 0, 0a b ab   ,则在如图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的坐标可能是( ) A.  ,a b B.  ,a b C.  ,a b  D.  ,a b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 0, 0a b ab   ,得出 0, 0a b  ,判断选项中的点所在的象限,即可得出答案. 【详解】∵ 0, 0a b ab   ∴ 0, 0a b  选项A: ,a b 在第一象限 选项B: ,a b 在第二象限 选项C: ,a b  在第三象限 选项D:  ,a b 在第四象限 小手盖住的点位于第二象限 故选:B 【点睛】本题考查了点的象限的判断,熟练进行 ,a b 正负的判断是解题的关键. 9.如图①所示,平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分),小明想了解该图案的面积是多少,他采 取了以下办法:用一个长为5m ,宽为 4m 的长方形,将不规则图案围起来,然后在适当位置随机地朝长方 形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果),他将 若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图,由此他估计不规则图案的面积大约为( ) A. 26m B. 27m C. 28m D. 29m 【答案】B 【解析】 【分析】 本题分两部分求解,首先假设不规则图案面积为 x,根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小; 继而根据折线图用频率估计概率,综合以上列方程求解. 【详解】假设不规则图案面积为 x, 由已知得:长方形面积为 20, 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为: 20 x , 当事件 A 实验次数足够多,即样本足够大时,其频率可作为事件 A 发生的概率估计值,故由折线图可知, 小球落在不规则图案的概率大约为 0.35, 综上有: 0.3520 x  ,解得 7x  . 故选:B. 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率,并在此基础上进行了题目创新,解题关键在于清晰理解 题意,能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简,创新题目对基础知识要求极高. 10.将一张矩形纸片 ABCD 按如图所示操作: (1)将 DA 沿 DP 向内折叠,使点 A 落在点 1A 处, (2)将 DP 沿 1DA 向内继续折叠,使点 P 落在点 1P 处,折痕与边 AB 交于点 M. 若 1PM AB ,则 1DPM 的大小是( ) A. 135° B. 120° C. 112.5° D. 115° 【答案】C 【解析】 【分析】 由折叠前后对应角相等且 1 90  PMA 可先求出 1 45∠    DMP DMA ,进一步求出 45ADM   ,再 由折叠可求出 1 22.5      MDP ADP PDM ,最后在 1DPM 中由三角形内角和定理即可求解. 【详解】解:∵折叠,且 1 90  PMA , ∴ 1 45∠    DMP DMA ,即 45ADM   , ∵折叠, ∴ 1 1 22.52         MDP ADP PDM ADM , ∴在 1DPM 中, 1 =180 45 22.5 112.5      DPM , 故选:C. 【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等,记牢折叠问题的特点:折叠前后对 应边相等,对应角相等即可解题. 二、填空题(本大题有 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分) 11.因式分解: 22 18x  =______. 【答案】2(x+3)(x﹣3). 【解析】 试题分析:先提公因式 2 后,再利用平方差公式分解即可,即 22 18x  =2(x2-9)=2(x+3)(x-3). 考点:因式分解. 12.如图,已知点 A 在反比例函数 ( 0)ky k x   的图象上,过点 A 作 AB y 轴于点 B, OAB 的面积是 2.则 k 的值是_________. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据△OAB 的面积等于 2 即可得到线段 OB 与线段 AB 的乘积,进而得到 A 点横坐标与纵坐标的乘积,进 而求出 k 值. 【详解】解:设点 A 的坐标为( ,A Ax y ), AB y , 由题意可知: 1 1= = 22 2   OAB A AS OB AB y x , ∴ 4 A Ay x , 又点 A 在反比例函数图像上, 故有 4  A Ak x y . 故答案为: 4 . 【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义,三角形的面积公式等,熟练掌握反比例函数的图形和 性质是解决此类题的关键. 13.据统计:2019 年,邵阳市在教育扶贫方面,共资助学生 91.3 万人次,全市没有一名学生因贫失学,其中, 某校老师承担了对甲,乙两名学生每周“送教上门”的任务,以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上 门”的时间(单位:小时): 甲:7,8,8,9,7,8,8,9,7,9; 乙:6,8,7,7,8,9,10,7,9,9. 从接受“送教上门”的时间波动大小来看,___________学生每周接受送教的时间更稳定.(填“甲”或“乙”) 【答案】甲 【解析】 【分析】 先算出甲、乙送教上门时间的平均数,进而求出方差,方差越小,则接受送教的时间更稳定. 【详解】解:甲的“送教上门”时间的平均数为: 7 8 8 9 7 8 8 9 7 9 =810          , 乙的“送教上门”时间的平均数为: 6 8 7 7 8 9 10 7 9 9 =810          , 甲的方差:      2 2 2 2 3 7 8 4 8 8 3 9 8 3= =10 5S         甲 , 乙的方差:          2 2 2 2 2 2 6 8 3 7 8 2 8 8 3 9 8 10 8 7= =10 5S             乙 , 3 7 5 5  , 所以甲的方差小,故甲学生每周接受送教的时间更稳定. 故答案为:甲. 【点睛】本题主要考查方差,熟练掌握方差的意义:方差越小,数据的密集度越高,波动幅度越小是解题 的关键. 14.如图,线段 10cmAB  ,用尺规作图法按如下步骤作图. (1)过点 B 作 AB 的垂线,并在垂线上取 1 2BC AB ; (2)连接 AC ,以点 C 为圆心, CB 为半径画弧,交 AC 于点 E; (3)以点 A 为圆心, AE 为半径画弧,交 AB 于点 D.即点 D 为线段 AB 的黄金分割点. 则线段 AD 的长度约为___________cm (结果保留两位小数,参考数据: 2 1.414, 3 1.732, 5 2.236   ) 【答案】6.18 【解析】 【分析】 根据作图得△ABC 为直角三角形, 1 5cm2CE BC AB   ,AE=AD, 根据勾股定理求出 AC,再求出 AE,即可求出 AD. 【详解】解:由作图得△ABC 为直角三角形, 1 5cm2CE BC AB   ,AE=AD, ∴ 2 2 2 210 5 5 5AC AB BC     cm, ∴  5 5 5 5 5 1AE AC CE      cm, ∴  5 5 1 6.18AD AE    cm. 故答案为:6.18 【点睛】本题考查了尺规作图,勾股定理等知识,根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键. 15.在如图方格中,若要使横、竖、斜对角的 3 个实数相乘都得到同样的结果,则 2 个空格的实数之积为 ________. 3 2 2 3 1 6 3 2 【答案】 6 2 【解析】 【分析】 先将表格中最上一行的 3 个数相乘得到 6 6 ,然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是 6 6 ,即可求解. 【详解】解:由题意可知,第一行三个数的乘积为:3 2 2 3 6 6   , 设第二行中间数为 x,则1 6 6 6  x ,解得 6x  , 设第三行第一个数为 y,则 3 2 6 6  y ,解得 2 3y  , ∴2 个空格的实数之积为 2 18 6 2xy   . 故答案为: 6 2 . 【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则,熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关 键. 16.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步, 问阔及长各几步?翻译成数学问题是:一块矩形田地的面积为 864 平方步,它的宽比长少 12 步,问它的长 与宽各多少步?利用方程思想,设宽为 x 步,则依题意列方程为____________. 【答案】x(x+12)=864 【解析】 【分析】 本题理清题意后,可利用矩形面积公式,根据假设未知数表示长与宽,按要求列方程即可. 【详解】因为宽为 x,且宽比长少 12,所以长为 x+12, 故根据矩形面积公式列方程:x(x+12)=864, 故答案:x(x+12)=864. 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用,此类型题目去除复杂题目背景后,按照常规公式,假设未知 数,列方程求解即可. 17.如图①是山东舰航徽的构图,采用航母 45 度破浪而出的角度,展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出 世的气势,将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形,则是一条长为10 的弧,若该弧所在的扇形是高为 12 的 圆锥侧面展开图(如图②),则该圆锥的母线长 AB 为____________. 【答案】13. 【解析】 【分析】 由扇形弧长求出底面半径,由勾股定理即可求出母线 AB 的长. 【详解】解:∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=10 ∴OB=10 52    , 在Rt△AOB 中,AB= 2 2 2 212 5 13AO BO    , 所以,该圆锥的母线长 AB 为 13. 故答案为:13. 【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用,解题的关键是牢记有关的公式. 18.如图,在 Rt ABC 中, 90ACB   ,斜边 2AB  ,过点 C 作 //CF AB ,以 AB 为边作菱形 ABEF , 若 30F   ,则 Rt ABC 的面积为________. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 如下图,先利用直角三角形中 30°角的性质求出 HE 的长度,然后利用平行线间的距离处处相等,可得 CG 的长度,即可求出直角三角形 ABC 面积. 【详解】 如图,分别过点 E、C 作 EH、CG 垂直 AB,垂足为点 H、G, ∵根据题意四边形 ABEF 为菱形, ∴AB=BE= 2 , 又∵∠ABE=30° ∴在 RT△BHE 中,EH= 2 2 , 根据题意,AB∥CF, 根据平行线间的距离处处相等, ∴HE=CG= 2 2 , ∴ Rt ABC 的面积为 1 2 12 =2 2 2   . 【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键,通过辅助线,利用直角三角形中的 30°角所对直角边是斜边一半 的性质,求出 HE,再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到 HE=CG,最终求出直角三角形面积. 三、解答题(本大题有 8 个小题,第 19~25 题每题 8 分,第 26 是 10 分,共 66 分.解答应写 出必要的文字说明,演算步骤或证明过程) 19.计算: 1 2020 1( 1) | 1 3 | 2sin602           . 【答案】2 【解析】 【分析】 分别利用零指数幂、负指数幂的性质,绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可. 【详解】解:原式=   31 2 3 1 2 2      =1 2 3 1 3    =2 【点睛】此题主要考查了根式运算,指数计算,绝对值,三角函数值等知识点,正确应用记住它们的化简 规则是解题关键. 20.已知:| 1| 2 0m n    , (1)求 m,n 的值; (2)先化简,再求值: 2 2( 3 ) ( 2 ) 4m m n m n n    . 【答案】(1) 1, 2m n   ;(2) 22m mn ,0 【解析】 【分析】 (1)分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出 m、n 的方程,解之即可求出 m、n 的值; (2)先利用整式的运算法则化简,再代入 m、n 值计算即可求解. 【详解】(1)根据非负数得:m-1=0 且 n+2=0, 解得: 1, 2m n   , (2)原式= 2 2 2 23 4 4 4m mn m mn n n     = 22m mn , 当 1, 2m n   ,原式= 2 1 1 ( 2) 0     . 【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值,还涉及去括号法则、完全平方公式、 合并同类项法则等知识,熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键. 21.如图,在等腰 ABC 中, AB AC ,点 D 是 BC 上一点,以 BD 为直径的 O 过点 A,连接 AD , CAD C   . (1)求证: AC 是 O 的切线; (2)若 4, 2AC CD  ,求 O 的半径. 【答案】(1)证明见解析;(2)试题错误. 【解析】 【分析】 (1)连接 OA,由圆的性质可得 OA=OB,即∠OBA=∠OAB;再由 AB=AC,即∠OBA=∠C,再结合 CAD C   ,可得∠OAB=∠CAD,然后由∠BAD=90°说明∠OAC=90°即可完成证明; (2)试题错误. 【详解】(1)证明:如图:连接 OA ∵OA=OB ∴∠OBA=∠OAB ∵AB=AC ∴∠OBA=∠C ∴∠OAB=∠C ∵ CAD C   ∴∠OAB=∠CAD ∵BD 是直径 ∴∠BAD=90° ∵∠OAC=∠BAD-∠OAB+∠CAD=90° ∴ AC 是 O 的切线; (2)试题错误. 【点睛】本题考查了圆的切线的判定,证得∠OAC=90°是解答本题的关键. 22.2019 年 12 月 23 日,湖南省政府批准,全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库,将于 2020 年开工建设施工测绘中,饮水干渠需经过一座险峻的石山,如图所示, ,AB BC 表示需铺设的干渠引水管道, 经测量,A,B,C 所处位置的海拔 1 1 1, ,AA BB CC 分别为 62m ,100m , 200m .若管道 AB 与水平线 2AA 的夹角为 30°,管道 BC 与水平线 2BB 夹角为 45°,求管道 AB 和 BC 的总长度(结果保留根号). 【答案】 (76 100 2)m . 【解析】 【分析】 先根据题意得到 BO,CB2的长,在 Rt△ABO 中,由三角函数可得 AB 的长度,在 Rt△BCB2 中,由三角函 数可得 BC 的长度,再相加即可得到答案. 【详解】解:根据题意知,四边形 1 1AA B O 和四边形 1 1 2BB C B 均为矩形, 1 1 62mOB AA   , 2 1 1 100mB C BB  , 1 1 100 62 38mBO BB OB      , 2 1 2 1 200 100 100mCB CC B C     , 在 Rt AOB  中, 90AOB   , 30BAO   , 38mBO  , 2 2 38 76mAB BO     ; 在 2Rt CBB 中, 2 90CB B   , 2 54CBB   , 2 100mCB  , 22CB 100 2mBC   , (76 100 2)mAB BC    , 即管道 AB 和 BC 的总长度为: (76 100 2)m . 【点睛】考查了解直角三角形的应用,关键是根据三角函数得到 AB 和 BC 的长度. 23.“新冠病毒”疫情防控期间,我市积极开展“停课不停学”网络教学活动,为了了解和指导学生有效进行网 络学习,某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查(问卷调查表如图所示),并用调查结果绘 制了图①,图②两幅统计图(均不完整),请根据统计图解答以下问题: XX 学校“停课不停学”网络学习时间 调查表 亲爱的同学,你好! 为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习,请在表格中选择一项符合你学习时间的选项,在其后 的空格内打“√”. 平均每天利用网络学习时间问卷调查表 选项 学习时间(小时) A 0 1t  B 1 3t  C 3 5t  D 5t  (1)本次接受问卷调查的学生共有___________人; (2)请补全图①中的条形统计图; (3)图②中,D 选项所对应的扇形圆心角为_________度; (4)若该校共有 1500 名学生,请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在 C 选项 的有多少人? 【答案】(1)100 (2)见详解 (3)18 o (4)600 【解析】 【分析】 根据扇形图和条形图 A 选项的联系可以算出来总人数,进而求出 B 选项的人数,D 选项圆心角和 1500 人中 C 选项的人数. 【详解】(1)15÷15%=100(人) (2)如图选 B 的人数:100-40-15-5=40(人) (3)360 o × 5 100 =18 o (4)1500 × 40 100 =600(人) 【点睛】本题主要考察了,条形统计图,扇形统计图等知识点,准确的找出它们的联系是解题关键. 24.2020 年 5 月,全国“两会”召开以后,应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力,小丹准备购进 A、B 两 种类型的便携式风扇到地摊一条街出售.已知 2 台 A 型风扇和 5 台 B 型风扇进价共 100 元,3 台 A 型风扇 和 2 台 B 型风扇进价共 62 元. (1)求 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是多少元? (2)小丹准备购进这两种风扇共 100 台,根据市场调查发现,A 型风扇销售情况比 B 型风扇好,小丹准备 多购进 A 型风扇,但数量不超过 B 型风扇数量的 3 倍,购进 A、B 两种风扇的总金额不超过 1170 元.根据 以上信息,小丹共有哪些进货方案? 【答案】(1)A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 10 元和 16 元;(2)丹 4 种进货方案分别是:①进 A 型 风扇 72 台,B 型风扇 28 台;②进 A 型风扇 73 台,B 型风扇 27 台;③进 A 型风扇 74 台,B 型风扇 26 台; ①进 A 型风扇 75 台,B 型风扇 24 台. 【解析】 【分析】 (1)设 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 x 元和 y 元,再根据“2 台 A 型风扇和 5 台 B 型风扇进价共 100 元”和“ 3 台 A 型风扇和 2 台 B 型风扇进价共 62 元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可; (2)设购进 A 型风扇 a 台、则 B 型风扇购进(100-a)台,再根据 “购进 A、B 两种风扇的总金额不超 过 1170 元”和“A 型风扇不超过 B 型风扇数量的 3 倍”两个不等关系列不等式组求出 a 的整数解的个数即可. 【详解】解:(1)设 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 x 元和 y 元 由题意得: 2 5 100 3 2 62 x y x y      ,解得 10 16 x y    答:A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 10 元和 16 元; (2)设购进 A 型风扇 a 台、则 B 型风扇购进(100-a)台 有题意得     3 100 10 16 100 1170 a a a a       ,解得: 271 753 a  ∴a 可以取 72、73、74、75 ∴小丹 4 种进货方案分别是:①进 A 型风扇 72 台,B 型风扇 28 台;②进 A 型风扇 73 台,B 型风扇 27 台; ③进 A 型风扇 74 台,B 型风扇 26 台;①进 A 型风扇 75 台,B 型风扇 24 台. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用,根据题意确定等量关系和不等关系是解 答本题的关键. 25.已知:如图①,将一块 45°角的直角三角板 DEF 与正方形 ABCD 的一角重合,连接 ,AF CE ,点 M 是CE 的中点,连接 DM . (1)请你猜想 AF 与 DM 的数量关系是__________. (2)如图②,把正方形 ABCD 绕着点 D 顺时针旋转 角( 0 90a    ). ① AF 与 DM 的数量关系是否仍成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(温馨提示:延长 DM 到 点 N,使 MN DM ,连接 CN ) ②求证: AF DM ; ③若旋转角 45  ,且 2EDM MDC   ,求 AD ED 的值.(可不写过程,直接写出结果) 【答案】(1)AF=2DM(2)①成立,理由见解析②见解析③ 6 2 2  【解析】 【分析】 (1)根据题意合理猜想即可; (2)①延长 DM 到点 N,使 MN DM ,连接 CN ,先证明△MNC≌△MDE,再证明△ADF≌△DCN, 得到 AF=DN,故可得到 AF=2DM; ②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解; ③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°,可设 AG=k,得到 DG,AD,FG,ED 的长,故可求解. 【详解】(1)猜想 AF 与 DM 的数量关系是 AF=2DM, 故答案为:AF=2DM; (2)①AF=2DM 仍然成立, 理由如下:延长 DM 到点 N,使 MN DM ,连接 CN , ∵M 是 CE 中点, ∴CM=EM 又∠CMN=∠EMD, ∴△MNC≌△MDE ∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE ∴CN∥DE, 又 AD∥BC ∴∠NCB=∠EDA ∴△ADF≌△DCN ∴AF=DN ∴AF=2DM ②∵△ADF≌△DCN ∴∠NDC=∠FAD, ∵∠CDA=90°, ∴∠NDC+∠NDA=90° ∴∠FAD+∠NDA=90° ∴AF⊥DM ③∵ 45  , ∴∠EDC=90°-45°=45° ∵ 2EDM MDC   , ∴∠EDM= 2 3 ∠EDC=30°, ∴∠AFD=30° 过 A 点作 AG⊥FD 的延长线于 G 点,∴∠ADG=90°-45°=45° ∴△ADG 是等腰直角三角形, 设 AG=k,则 DG=k,AD=AG÷sin45°= 2 k, FG=AG÷tan30°= 3 k, ∴FD=ED= 3 k-k 故 AD ED = 2 6 2 23 k k k   . 【点睛】此题主要考查四边形综合,解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与 性质及三角函数的运用. 26.如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 BC 与 x 轴、y 轴的交点分别为    8,0 , 0,6 , 5C B CD  , 抛物线 2 15 ( 0)4y ax x c a    过 B,C 两点,动点 M 从点 D 开始以每秒 5 个单位长度的速度沿 D A B C   的方向运动到达 C 点后停止运动.动点 N 从点 O 以每秒 4 个单位长度的速度沿OC 方 向运动,到达 C 点后,立即返回,向 CO 方向运动,到达 O 点后,又立即返回,依此在线段OC 上反复运 动,当点 M 停止运动时,点 N 也停止运动,设运动时间为 t . (1)求抛物线的解析式; (2)求点 D 的坐标; (3)当点 M,N 同时开始运动时,若以点 M,D,C 为顶点的三角形与以点 B,O,N 为顶点的三角形相似, 求 t 的值; (4)过点 D 与 x 轴平行的直线,交抛物线的对称轴于点 Q,将线段 BA 沿过点 B 的直线翻折,点 A 的对称 点为 A ,求 A Q QN DN   的最小值. 【答案】(1) 23 15 68 4y x x   ;(2) (11,4)D ;(3) 6 2t  或 23 5t  ;(4) 29 5 . 【解析】 【分析】 (1)将    8,0 , 0,6C B 代入 2 15 4y ax x c   计算即可; (2)作 DE x 于点 E,证明 BOC CED△ △ ,可得 CE,DE 长度,进而得到点 D 的坐标; (3)分为点M在AD,BC上两种情况讨论,当点M在AD上时,分为 BON CDM△ △ 和 BON MDC△ △ 两种情况讨论;当点 M 在 BC 上时,分为 BON MCD△ △ 和 BON DCM△ △ 两种情况讨论; (4)作点 D 关于 x 轴的对称 F,连接 QF,可得QN DN 的最小值;连接 BQ 减去 BA 可得 A Q 的最小值, 综上可得 A Q QN DN   的最小值. 【详解】(1)将    8,0 , 0,6C B 代入 2 15 4y ax x c   得 1564 8 04 6 a c c        ,解得 3 8 6 a c     ∴抛物线的解析式为: 23 15 68 4y x x   (2)作 DE x 于点 E ∵    8,0 , 0,6C B ∴ 8, 6OC OB  ∴ 10BC  ∵ BOC BCD DEC     ∴ BOC CED△ △ ∴ BC BO OC CD CE DE   ∴ 3, 4CE DE  ∴ 11OE OC CE   ∴ (11,4)D (3)若点 M 在 DA 上运动时, 5 , 4DM t ON t  当 BON CDM△ △ ,则 BO ON CD DM  ,即 6 4 5 5 t t  不成立,舍去 当 BON MDC△ △ ,则 BO ON MD DC  ,即 6 4 5 5 t t  ,解得: 6 2t  若点 M 在 BC 上运动时, 25 5CM t  当 BON MCD△ △ ,则 BO ON MC CD  ,即 6 25 5 5 ON t  ∴ 6 5ON t   当3 4t  时, 16 4ON t  ∴ 6 16 45 tt   ,解得 9 7 2t  (舍去) 当 4 5t  时, 4 16ON t  ∴ 6 4 165 tt   ,无解; 当 BON DCM△ △ ,则 BO ON DC CM  ,即 6 5 25 5 ON t   ∴ 30 6ON t  当3 4t  时, 16 4ON t  ∴30 6 16 4t t   ,解得 7t  (舍去) 当 4 5t  时, 4 16ON t  ∴30 6 4 16t t   ,解得 23 5t  综上所示:当 6 2t  时, BON MDC△ △ ; 23 5t  时 BON DCM△ △ (4)作点 D 关于 x 轴的对称点 F,连接 QF 交 x 轴于点 N ∵点 D (11,4) , ∴点 (11, 4)F  由 23 15 68 4y x x   得对称轴为 5x  ∴点 (5,4)Q ∴ 2 2(5 11) (4 4) 10QF      2 2(0 5) (6 4) 29BQ      ∴ 29 5 10 29 5A Q QN DN BQ BA QF           故 A Q QN DN   的最小值为 29 5 . 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合,涉及相似三角形的性质与判定,最短路径问题的计算, 熟知以上知识的应用是解题的关键. 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网(http://zujuan.xkw.com)专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址:在组卷网浏览本卷 组卷网是学科网旗下的在线题库平台,覆盖小初高全学段全学科、超过 900 万精品解析试题。 关注组卷网服务号,可使用移动教学助手功能(布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练)。 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题,赢取丰厚稿酬,欢迎合作。 钱老师 QQ:537008204 曹老师 QQ:713000635
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