第一章一元二次方程第-6课时(教案)

第一章一元二次方程第-6课时(教案)

课 题 一元二次方程根的判别式第7 课时 课型 新授课 教学目标 ‎（一）知识技能： ‎ ‎1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况． ‎ ‎2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明． ‎ ‎（二）过程方法： ‎ ‎1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性． ‎ ‎2．培养学生的推理论证能力． ‎ ‎（三）情感态度价值观：‎ 通过例题教学，渗透分类的思想． ‎ 教学重点 运用判别式求出符合题意的字母的取值范围 教学难点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根。‎ 教学方法 合作探究法 教 学 内 容 及 过 程 备注 一、复习提问 ‎ ‎（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项． ‎ ‎（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式是什么？如何确定它的根的情况？ ‎ 二、新课探究 将复习提问中的问题（2）的正确答案板书：“一元二次方程ax2+bx+c＝0，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根”。这样我们就可以不解方程直接判定方程的根的情况。‎ 例1 不解方程，判别下列方程根的情况：‎ （1） ‎3x2＋4x－3＝0　　（2）7y＝5（y2＋1）‎ ‎（3）4x2＝12x－9‎ 提出问题：将上面的命题反过来是否成立？答案是显然的。‎ 即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”（这里△＝b2－4ac）。即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题： ‎ 例1  已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时 ‎ ‎（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； ‎ ‎（3）方程无实数根． ‎ 解：∵  a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1， ‎ ‎∴  b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1） ＝8k+9． ‎ 方程有两个不相等的实数根． ‎ 方程有两个相等的实数根． ‎ 15‎ 方程无实数根． ‎ 练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0． ‎ t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？ ‎ 学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．教师评价，纠正不正确的步骤． ‎ 假设二次项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？ ‎ 练习2．已知：关于x的一元二次方程： ‎ kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围． ‎ 和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围． ‎ 分析：先计算出△的值，再利用有关结论进行说明 .‎ ‎（四）总结、扩展 ‎ ‎1．本节课的主要内容是判别式的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点： ‎ ‎（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件． ‎ ‎（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0． ‎ ‎（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断． ‎ ‎2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力． ‎ 四、布置作业 : 1.教材P27　T2． ‎ ‎2.不解方程，判别下列方程的根的情况：‎ ‎（1）3x2＋4x－2＝0　　　（2）2y2＋5＝6y ‎（3）4p（p－1）－3＝0　　（4）x2＋5＝2　5　x 15‎ 后记：‎ 课 题 一元二次方程根的应用（1）第8课时 课型 新授课 教学目标 知识技能：‎ ‎1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。‎ ‎2、在应用一元二次方程解决问题的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。‎ 过程方法：‎ 通过分析问题列出方程解决问题 情感态度价值观：‎ ‎ 体会数学知识在现实生活中的作用。‎ 教学重点 建立一元二次方程模型解决一些代数问题。‎ 教学难点 把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。‎ 教学方法 合作探究法 教 学 内 容 及 过 程 备注 一、复习提问 ‎ ‎1、回顾与思考：你已经学过了用什么样的方程解应用题？“列方程解应用题”你有什么经验？‎ ‎2、填空：‎ （1） 当x＝＿＿＿时，代数式3x－5与3＋2x的值互为相反数。‎ （2） 当x＝＿＿＿时，代数式3x－5的值大于3＋2x的值。‎ （3） 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中 当b2－4ac＿＿0时，方程有两个不相等的实数根；‎ 当b2－4ac ＿＿0时，方程有两个相等的实数根；‎ 15‎ 当b2－4ac＿＿0时，方程没有实数根。‎ 二、创设问题情境 前面我们已经体会到方程是刻画现实世界中等量关系的工具，现在通过学习一元二次方程的应用能使我们进一步感受到方程的作用，数学的价值。‎ 三、例题讲解 例1　当x取什么值时，一元二次多项式x2－x－2与一元一次多项式2x－1的值相等。‎ 例2　当y取什么值时，一元二次多项式（y－5）2＋9y2的值等于40？ ‎ 说明和建议：让学生明确解这类题　的步骤是：首先用方程表示问题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式并求解，最后作答。‎ 四、练习：教材P22　T1‎ 五、小结：‎ 1、 用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么？‎ 2、 在本节课的解题中要注意一些什么问题？‎ 六、作业：‎ 1、 教材P27　T1‎ 2、 当x取什么值时，一元二次多项式x2－4x＋1的值等于－3？‎ 15‎ 教学后记： ‎ 课 题 一元二次方程根的应用(2) 第9课时 课型 新授课 教学目标 知识技能：‎ ‎1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。‎ ‎2、提高学生分析问题、解决问题的能力。‎ 过程方法：‎ 列方程解决实际问题 情感态度价值观：‎ ‎ 体会数学知识在现实生活中的运用。‎ 教学重点 应用一元二次方程解决实际问题。‎ 教学难点 从实际问题中建立一元二次方程的模型。‎ 教学方法 合作探究法 教 学 内 容 及 过 程 备注 15‎ 一、复习提问 ‎ 1、 列方程解应用题的一般步骤是什么？‎ 2、 说一说，菱形的面积与它的对角线长有什么关系？‎ 二、例题讲解 例1　展示教材P22例4。‎ （1） 引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；‎ （2） 确定本题的等量关系是：菱形的面积＝1/5矩形面积；‎ （3） 引导学生根据题意设未知数；‎ （4） 引导学生根据等量关系列出方程；‎ （5） 引导学生求出所列方程的解；‎ （6） 检验所求方程的解的合理性；‎ （7） 根据题意作答；‎ （8） 教师板书解题过程。‎ 例2　如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。‎ 解：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘米，底面= 。‎ 请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。‎ 由学生回答解题过程，教师板书：‎ 解　设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得 ‎(60－2x) (40－2x) ＝800‎ 解方程得 ‎，，‎ 经检验，不符合题意，应舍去，符合题意的解是 答：截去正方形的边长为10厘米。‎ 三、应用新知 教材P25　T1、2‎ 四、小结 ‎1、用“（1）审、（2）设、（3）列、（4）解、（5）验、（6）答”六字概括列方程解应用题的六步，使学生对列方程解应用题的步骤更熟悉。‎ ‎2、在运用一元二次方程解实际问题时，一定注意检查求得的方程的解是否符合实际情况。‎ 五、作业 ‎1、教材P30　A组　T4、5‎ 六、思考与拓展 15‎ 如图，一个长为10米的梯子靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，（1）如果梯子的顶端下滑1米，那么底端也将下滑1米吗？（2）梯子顶端下滑多少距离正好等于底部下端滑动距离。‎ 教学后记： ‎ 课 题 一元二次方程根的应用(3) 第10课时 课型 新授课 教学目标 知识技能：‎ ‎1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。‎ ‎2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。‎ 过程方法：引导学生发现问题，解决问题。‎ 情感态度价值观：了解现实生活中相关价格的计算。‎ 教学重点 列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。‎ 教学难点 列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。‎ 教学方法 合作探究法 教 学 内 容 及 过 程 备注 一、创设问题情境 15‎ 百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。‎ 问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。（精确到0.1%）‎ 二、探索解决问题 ‎ 分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为，若原价为，则第一次降价后的零售价为，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价。‎ ‎ 思考：原价和现在的价格没有具体数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流。‎ ‎ 解　设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得 ‎(1－x) 2＝‎ 解这个方程，得x＝‎ 由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝不符合题意，因此符合本题要求的x为≈29.3%.‎ 答：每次降价的百分率为29.3%.‎ 三、拓展引申 ‎ 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）‎ 解，设原价为元，每次升价的百分率为，根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数，所以不符合题意，因此符合题意要求的为 答：每次升价的百分率为9.5%。‎ 四、巩固练习 基础训练Ｐ11 T5、6、7　P13　T8‎ 五、小结：‎ 15‎ 关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为，设平均变化率为，经第一次变化后数据为；经第二次变化后数据为。在依题意列出方程并解得值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。‎ 六、作业：‎ ‎1、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？‎ ‎2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？‎ 教学后记： ‎ 课 题 一元二次方程根的应用(4) 第11课时 课型 新授课 教学目标 ‎1、会熟练地列出一元二次方程解应用题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。‎ ‎2、在组织学生自主探索、相互交流、协作学习的过程中，培养学生敢于探索、勇于克服困难的精神和意志，在探索中获得成功的体验。‎ 教学重点 会熟练地列出一元二次方程解应用题。‎ 教学难点 将实际问题抽象为一元二次方程的模型。‎ 教学方法 自主探究法、合作交流 教 学 内 容 及 过 程 备注 15‎ 一、 复习引入 提问：1、列方程解应用题的基本步骤是什么？‎ ‎2、利用一元二次方程解决实际问题时，特别要注意什么？‎ 二、 探究新知 探究：小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，现在已备足可以砌10m长的墙的材料。大家来讨论：不同的砌法，猪圈的面积发生什么样的变化？‎ 把学生分成若干学习小组，让他们以小组为单位按下列程序，进行探究学习，填好教材P26表格，然后各组之间相互交流，老师加以适当引导归纳，得出正确结论。‎ ‎（1）当与已有墙面平行的一面墙的长度从10/3米减小时，猪圈的面积是否随着减小？‎ ‎（2）当与已有墙面平行的一面墙的长度从10/3米增加时，猪圈的面积怎样变化？‎ ‎（3）在上面所列的表中，什么时候猪圈的面积最大？‎ ‎（4）有没有一种砌墙的方法，使猪圈的面积大于12.5m2？先按照下述办法试一试：‎ 研究有没有一种砌法，使猪圈面积为12.55m2？‎ 设与已有墙面垂直的第一面墙的长度为xm，则与已有墙平等的一面墙的长度为（10－2x）m。根据题意，列出方程 x（10－2x）＝12.55‎ 这个方程可以写成 ‎2x2－10x＋12.55＝0‎ 讨论这个方程有没有实数根。由此可以看出，是否可以使猪圈面积为12.55m2。‎ 从上面这个具体例子受到启发，你能不能讲出猪圈面积不可能大于12.5m2的理由？‎ 练习：教材P27　T1、2‎ 三、 小结 本课时主要让学生学会如何探究一些数学的实际问题，为今后学习二次函数打下基础；列方程解应用题实质是把实际问题转化为数学问题（列一元二次方程）求解。‎ 四、 作业 教材P27　T3　P28　T3‎ 15‎ 教学后记： ‎ 课 题 小结与复习（－）第12 课时 课型 复习课 教学目标 ‎1、理清本章的知识结构，培养学生归纳能力。‎ ‎2、掌握本章的有关概念，一元二次方程的四种解法――直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。‎ ‎3、掌握本章的主要数学思想和方法。‎ 教学重点 一元二次方程的解法。‎ 教学难点 选择适当的方法解一元二次方程。‎ 15‎ 教学方法 合作交流 教 学 内 容 及 过 程 备注 一元二次方程 是否可以用直接开平方法、因式分解法求解 解两个一元一次方程 写成一般形式 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）‎ 计算b2－4ac b2－4ac≥0‎ 用求根公式 无实数根 一、 复习引入 知识结构：‎ 二、 例题讲解 例1　选择题：‎ ‎1、mx2－3x＋x2＋2＝0是x的一元二次方程的条件是（　　）‎ A、m＝1　B、m≠－1　C、m≠0　　D、m为任意实数 ‎2、用配方法解方程4x2＋4x－15＝0时将方程配方的结果是（　　）‎ A、（x＋2）2＝19　　　　B、（2x＋1）2＝16‎ C、（x＋1/2）2＝4　　　D、（x＋1）2＝4‎ 例2 选择适当的方法解下列方程 ‎（1）（x－1）2＋2x（x－1）＝0　‎ ‎（2）9（x－3）2－4（x－2）2＝0‎ ‎（3）－2y2＋3＝ y /2‎ ‎（4）x2＋2x－4＝0‎ 三、 巩固练习 ‎1、填空：‎ ‎（1）（k－1）x2－kx＋1＝0是关于x的一元二次方程的条件是＿。‎ ‎（2）填写：‎ 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ‎3x2－5＝2x ‎（x＋1）2＝4‎ πx2＝0‎ ‎①由学生自己设计知识结构图，然后全班进行交流，互相补充，逐一完善。‎ ‎②在知识结构图的教学过程中，既注重复习知识、方法，又注意培养学生的归纳总结能力。‎ ‎③先将方程化成一般形式，然后由二次项系数不等于0求解。‎ ‎④本文法在解一元二次方程时很少用，但它是一种重要的数学方法，不可忽视。‎ ‎⑤解一元二次方程一般先看　否可用直接开平方法或因式分解法求解，如不能再考虑用公式法（通法）。学生先做，后教师点评。‎ 15‎ x(x＋3)＝0‎ ‎2、教材P29　A　T5　B　T1、2‎ 一、 小结 ‎1、一元二次方程的一般形式是什么？‎ ‎2、解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么？‎ ‎3、怎么选择适当的方法解一元二次方程？‎ 二、 作业 教材P29　T1、6‎ 教学后记： ‎ 课 题 小结与复习（二）第13课时 课型 复习课 教学目标 ‎1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；‎ ‎2.掌握韦达定理及其简单的应用；‎ ‎3.会应用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系分析解决一些简单的综合性问题。‎ 15‎ 教学重点 一元二次方程根的判别式、韦达定理及其逆定理的应用。‎ 教学难点 一元二次方程根的判别式、韦达定理及其逆定理的应用。‎ 教学方法 自主学习 教 学 内 容 及 过 程 备注 一、内容分析 ‎1.一元二次方程的根的判别式 ‎ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac ‎ 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；‎ ‎ 当△＝0时，方程有两个相等的实数根，‎ ‎ 当△＜0时，方程没有实数根．‎ ‎ 2.一元二次方程的根与系数的关系 ‎(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么，‎ ‎　　（2）如果一元二次方程x2＋px＋q=0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2 ＝－p，x1x2＝q。‎ ‎(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0．‎ 二、考查重点与常见题型 ‎1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）‎ ‎（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 ‎ （C）没有实数根 （D）不能确定 ‎2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：‎ 设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ）‎ ‎（A）15 （B）12 （C）6 （D）3‎ ‎3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近几年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。如：‎ 已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值 三、考查题型 ‎1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）‎ ‎（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 ‎ （C）没有实数根 （D）不能确定 ‎2．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ）‎ ‎（A）15 （B）12 （C）6 （D）3‎ ‎3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）‎ （A） ‎2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2－x+2=0（D）3x2－2x+1=0‎ 4、 方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值 ‎5．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝ ‎ 15‎ ‎6．如果关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ‎ ‎7．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，（x1－x2）2＝ ‎ ‎8．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝＿ ‎ 四、学生练习与作业：‎ 1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；‎ ‎(1)2t2+3t－4=0, ;(2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)－7u=0, ;‎ 2、 若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是 ;‎ 3、 一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+和2－，则p= ,q= ;‎ 4、 已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ;‎ 5、 若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是 ;‎ 6、 m,n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式mn= 。‎ 7、 已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;‎ ‎8、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ;‎ ‎9、如果关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m的值为 　　　 ;‎ ‎10、已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k= ;‎ ‎11、若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ;‎ ‎12、方程4x2－2(a-b)x－ab=0的根的判别式的值是 ;‎ ‎13、若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;‎ ‎14、已知p<0,q<0，则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是 ;‎ ‎15、以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;‎ ‎16、设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：‎ ‎(1)x12x2+x1x22 (2) － ‎17．m取什么值时，方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0‎ （1） 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；‎ 教学后记： ‎ 15‎