2019年湖南常德中考数学试题（解析版）

2019年湖南常德中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年湖南省常德市中考数学试卷 ‎{适用范围:3．九年级}‎ ‎{标题}2019年湖南省常德市中考数学试卷 考试时间：分钟满分：分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分．‎ ‎{题目}1．（2019年常德T1）点（－1，2）关于原点的对称点坐标是 A．（－1－2） B．（1，－2） C．（1,2） D．（2，－1）‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了中心对称，点关于坐标原点对称，横纵坐标变为相反数，即（－1，2）关于原点对称（1，－2），因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-2-3]关于原点对称的点的坐标}‎ ‎{考点:中心对称}‎ ‎{考点:坐标系内的旋转}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年常德T2）下列各数中比3大比4小的无理数是 A． B． C．3.1 D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了实数的估值，A选项：，B选项：，C、D选项是有理数，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-6-3]实数}‎ ‎{考点:无理数的估值}‎ ‎{考点:无理数}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年常德T3）下列运算正确的是 A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了二次根式运算和化简，A选项因为与不是同类二次根叔，故不能合并，错，B选项，错，C选项，错，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:最简二次根式}‎ ‎{考点:同类二次根式}‎ ‎{考点:二次根式的加减法}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．（2019年常德T4）某公司全体职工的月工资如下：‎ 月工资（元）‎ ‎18000‎ ‎12000‎ ‎8000‎ ‎6000‎ ‎4000‎ ‎2500‎ ‎2000‎ ‎1500‎ ‎1200‎ 人数 ‎1（总经理）‎ ‎2（副总经理）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎12‎ ‎6‎ 该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是 A．中位数和众数 B．平均数和众数 C．平均数和中位数 D．平均数和极差 ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了统计中几个统计量平均数、中位数、众数、极差，“平均数”、“众数”是反映数据集中程度的两个量， “极差”和“方差”才是反映数据波动大小的量.能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-2-1]方差}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{考点:极差}‎ ‎{考点:方差}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年常德T5）图1是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是 A． B． C． D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了三视图，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单组合体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6．（2019年常德T6）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜，甲说：“至少15元。"乙说：“至多12元。"丙说：“至多10元。”小明说：“你们三个人都说错了。”则这本书的价格x（元）所在的范围为 A． B． C． D．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了不等式解集，三人都错误，小于15，大于12，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:一元一次不等式组的应用}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7．（2019年常德T7）如图2，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是 A．20 B．22 C．24 D．26‎ 图 2‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了三角形面积比等于相似比的平方，△AMN∽△ADE，设△AMN的面积为S，则，解得：S＝9，∴S四边形DBCE＝42－9－7＝26，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{考点:相似三角形面积的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．（2019年常德T8）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 A．0 B．1 C．7 D．8‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了找规律，，个位数为1，个位数为8，个位数为7，个位数为0，四个一循环，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-2-1]整式}‎ ‎{考点:代数选择压轴}‎ ‎{考点:规律－数字变化类}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分．‎ ‎{题目}9．（2019年常德T9）数轴上表示-3的点到原点距离是 ．.‎ ‎{答案}3‎ ‎{解析}本题考查了绝对值的几何意义，，因此本题答案3．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:绝对值的意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}10．（2019年常德T10）不等式的解为 ．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了解一元一次不等式，，，解得： ‎ 因此本题答案．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-9-2]一元一次不等式}‎ ‎{考点:解一元一次不等式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}11．（2019年常德T11）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是，方差分别是，，，你认为选参加决赛的选手是. ．‎ ‎{答案}乙 ‎{解析}本题考查了统计中的方差，当平均数相同时，方差越小的数据越稳定＜＜，因此本题选乙．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-2-1]方差}‎ ‎{考点:方差}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题} ‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}12．（2019年常德T12）国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知，将7纳米用科学记数法表示为米 ．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了科学记数法，将绝对值很小的数用科学记数法表示7纳米＝，因此本题答案．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单} ‎ ‎{题目}13．（2019年常德T13）二元一次方程组的解为 ．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查二元一次方程方程组的解法，代入法或加减消元法解二元一次方程组，②－①，得：x＝1，从而y＝5，因此本题答案．‎ ‎{分值,3‎ ‎{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}‎ ‎{考点:代入消元法}‎ ‎{考点:加减消元法}‎ ‎{考点:选择合适的方法解二元一次方程组}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．（2019年常德T14）如图3，已知是等腰三角形，，点D在AC边上，将绕点A逆时针旋转45°得到，且点、D、B三点在同一直线上，则∠ABD的度数是 ．‎ 图 3‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了几何变换——旋转，三角形内角和、外角和，由旋转可知：AD＝AD′，∠DAD′＝45°，∴∠ADD′＝67.5，故∠ABD＝67.5°－45＝22.5°，因此本题答案．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-1]图形的旋转}‎ ‎{考点:等边对等角}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}15．（2019年常德T15）已知，则的值为 ．‎ ‎{答案}4‎ ‎{解析}本题考查恒等变形与代数式的值，整体代入思想，，因此本题答案4．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:代数式求值}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度} ‎ ‎{题目}16．（2019年常德T16）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组对边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两邻边相等的四边形是广义菱形；④若点M、N的坐标分别为、，点P是二次函数图像上在第一象限内任意一点，PQ垂直直线于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形.其中正确的是 .(填序号)‎ ‎{答案}①②‎ ‎{解析}本题考查了新定义，①菱形与正方形满足一组对边平行，一组对边相等；故①正确；②平行四边形满足一组对边平行，一组对边相等；故②正确；③对角线互相垂直不能保证对边平行，例如：筝形，故③错误，④四边形PMNQ，根据计算发现：PM＝PQ，MN∥PQ，满足定义，故④正确，因此本题答案①②④．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:新定义}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:常考题}{类别:新定义}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、（本大题2个小题，每题5分，满分10分）‎ ‎{题目}17．（2019年常德T17）计算：‎ ‎{解析}本题考查了实数混合运算，绝对值，特殊角三角函数值，负整数指数，零指数幂，sin45°＝，，，，因此本题答案．‎ ‎{答案}原式=‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{考点:绝对值的性质}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{考点:负指数参与的运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}18．（2019年常德T18）解方程：‎ ‎{解析}本题考查解二元一次方程，利用求根公式．‎ ‎{答案}，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-21-2-2]公式法}‎ ‎{考点:配方法解一元二次方程}‎ ‎{考点:公式法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题型:4-解答题}四、（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）‎ ‎{题目}19．（2019年常德T19）先化简，再选一个合适的数代入求值 ‎{解析}本题考查了分式混合运算．先算括号，再乘除，通分，分解因式、约分。取适当的数要保证（1）分式有意义；（2）除数≠0‎ ‎{答案}解：原式=‎ 当时，原式=‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:两个分式的乘除}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}20．（2019年常德T20）如图4，一次函数的图像与反比例函数在第一象限图像交于和B两点，与x轴交于点C．‎ ‎⑴求反比例函数表达式；‎ ‎⑵若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标.‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数与一次函数．点在一次函数的图像上，代入得a的值；从而求得反比函数解析式；（2）已知面积和高，可求得底的长，根据长度写坐标注意分类讨论；‎ ‎{答案}解：⑴依题意得，‎ ‎∴‎ ‎∴反比例函数表达式为；‎ ‎⑵当时，则，解得，∴，‎ 由⑴得，‎ ‎∴,‎ ‎∴或.‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数的解析式}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:4-解答题}五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）‎ ‎{题目}21．（2019年常德T21）某生态园推出甲、乙两种消费卡，设入园次数x时所需费用为y元，选择这两种消费卡时，y与x的函数关系如图5所示，解答下列问题：‎ ‎⑴分别求出两种卡消费时，y与x的函数表达式；‎ ‎⑵请根据入园次数确定旋转哪种消费卡比较合算.‎ ‎{解析}本题考查了一次函数与图像，（1）甲：正比例函数y＝mx，将点（5,100）代入求得m；乙，一次函数，将点（0,100），（20,300）代入；（2）找到甲、乙收费相等的点的坐标，在分类讨论．‎ ‎{答案}解：⑴设， ‎ 由题意可得，解得，∴；‎ ‎，解得，∴；‎ ‎⑵根据题意得，‎ 解得 结合图像可知，‎ 当次数少于10次时，选择甲中消费卡比较合算，‎ 等于10次是甲、乙均可，‎ 当次数大于20次时，选择乙种消费卡，比较合算 ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{考点:分段函数的应用}‎ ‎{考点:方案比较}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}22（2019年常德T22）如图6，于的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，，CE是的直径.‎ ‎⑴求证：AB是的切线；‎ ‎⑵若，，求AC的长．‎ ‎{解析}本题考查了圆与线的位置关系，切线的证明．（1）要证AD是⊙O的切线，只需证明OD⊥AD，只需证明△ADO≌△ACO；（2）根据勾股定理可以求得BO的长，在根据三角函数或相似求得AC的长 ‎{答案}解：连结CD交AO于点H AO与的交点F，连结EF.连结OD.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，则，‎ 又，，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵于的AC边相切于点C，‎ ‎∴则，‎ ‎∴AB是的切线；‎ ‎⑵‎ 由⑴可知，在中，由勾股定理得，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:4-解答题}六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎{题目}23．（2019年常德T23）为了扎实推进精准扶贫，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管、异地搬迁等六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现在把享受2种，3种，4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户.为了检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：‎ 请根据根据图中信息回答下列问题：‎ ‎⑴本次抽样调查了多少户贫困户？‎ ‎⑵抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图.‎ ‎⑶若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约多少户？‎ ‎⑷为了更好地进行精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选出两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率.‎ ‎{解析}本题考查了统计与概率，（1）根据D总数为80，百分比为16%，可求得总体调查人数500人；（2）B＝500－260－80－40＝120户．（3）得到至少4-5种帮扶的占总体：16%＋24%＝40%，从而13000×40%＝5200；（4）列表法或树状图求概率；‎ ‎{答案}解：⑴（户），‎ 本次抽样调查了500户贫困户；‎ ‎⑵（户），‎ 本次抽查了120户C类贫困户；‎ ‎⑶（户），‎ 估计至少得到4项帮扶措施的大约5200户；‎ ‎⑷‎ 甲 乙 丙 丁 甲 ‎√‎ 乙 丙 丁 ‎√‎ 恰好选中甲和丁的概率.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}24．（2019年常德T24）图9是一种淋浴喷头，图10是图9的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长，AB与墙壁的夹角为，喷出的水流BC与AB形成的夹角，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流刚好喷洒在人体的C处，且使，.问安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？‎ ‎（参考数据：，，，，，，，，）‎ ‎{解析}本题考查了三角函数与解三角形，作垂足为F，，垂足为M，交BF于G，垂足为N，分别分别解Rt△ABN和Rt△BCG．‎ ‎{案}解：作垂足为F，，垂足为M，交BF于G，垂足为N.‎ ‎∵，‎ ‎∴,‎ ‎∴，∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}‎ ‎{类别:高度原创}{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）‎ ‎{题目}25．（2019年常德T25）如图11，已知二次函数图像的顶点坐标（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且点B的坐标（-1，0）‎ ‎⑴求二次函数解析式；‎ ‎⑵在二次函数图像位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H，当四边形MN为矩形时，求矩形周长的最大值；‎ ‎⑶当矩形周长的最大值时，能否在二次函数图像上找到一点P，使得是矩形MNHG面积的，‎ 若存在，求出该店的横坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎{解析}本题考查了二次函数，代几综合，（1）知顶点（1,4）和B（－1,0），顶点式求二次函数解析式；（2）用m表示出矩形的长和宽，建立m和周长的函数关系式，再求最值；（3）由⑵可知，点N与点D重合，，求得，设P电子坐标，建立关于P点坐标的方程．‎ 解：⑴设二次函数解析式为，‎ 依题意得，，解得，‎ ‎∴二次函数解析式为 ‎⑵设 二次函数对称轴为直线，则 ‎∴，‎ ‎∴=‎ 当，矩形周长的最大值为10；‎ ‎⑶由⑵可知，点N与点D重合，，，则，‎ ‎∴‎ 由题意可得直线CD的解析式为 过点P作x轴垂线交一次函数另一点Q，‎ 设，则 ‎∴，‎ ‎∴或 解得或 即点P的横坐标为，或，或.‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的三种形式}‎ ‎{考点:二次函数与平行四边形综合}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}26．（2019年常德T26）在等腰中，，作交AB于点M，作交AC于点N.‎ ‎⑴在如图1中，求证：；‎ ‎⑵在如图2中的线段CB上取点P，过点P作交CM于点E，作交BN于点F，‎ 求证：；‎ ‎⑶在如图3中，动点P在CB的延长线上，类似⑵过P作交CM延长线于点E，作交NB延长线于点F，求证：‎ ‎{解析}本题考查了全等三角形与相似三角形，（1）根据，又，∴，BC＝BC，得到；（2）根据面积法算两次可证或者截长补短；（3） 在两个直角三角形中分别求tan∠ABN的值，再利用，将式子进行变形．‎ 解：⑴∵，，‎ ‎∴‎ 又，∴‎ 在和中，‎ ‎∴‎ ‎⑵连结MN，PM，PN.‎ 由⑴得，，，‎ ‎∴，∴，∴‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎⑶连结MN，PM，PN.‎ 由⑴得，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:正切}‎ ‎{类别:高度原创}{类别:发现探究}‎ ‎{难度:5-高难度}‎