2019年四川省广元市中考数学试卷

2019年四川省广元市中考数学试卷

2019 年四川省广元市中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的． 1．（3 分）﹣8 的相反数是（　　） A．﹣ B．﹣8 C．8 D． 2．（3 分）下列运算中正确的是（　　） A．a5+a5＝a10 B．a7÷a＝a6 C．a3•a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6 3．（3 分）函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1 4．（3 分）如果一组数据 6，7，x，9，5 的平均数是 2x，那么这组数据的中位数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 5．（3 分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如 图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 6．（3 分）如图，AB，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，连接 BD，BC，且 AB ＝10，AC＝8，则 BD 的长为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4.8 7．（3 分）不等式组 的非负整数解的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（3 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的动点，它从点 A 出发沿 A→B→C→D 路径匀速 运动到点 D，设△PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致为（　　 ） A． B． C． D． 9．（3 分）如图，在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取一点 E．使得∠CDE＝15°，连接 BE 并延长 BE 到 F，使 CF＝CB，BF 与 CD 相交于点 H，若 AB＝1，有下列结论：①BE＝DE ；②CE+DE＝EF；③S△DEC＝ ﹣ ；④ ＝2 ﹣1．则其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 10．（3 分）如图，过点 A0（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l：y＝ x 于点 A1，过点 A1 作直 线 l 的垂线，交 y 轴于点 A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 A3，…，这样依次下去 ，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为 S1，S2，S3，…，则 S100 为（　　） A．（ ）100 B．（3 ）100 C．3 ×4199 D．3 ×2395 二、填空题（每小颕 3 分，共 15 分）把正确答案直接填写在答题卡对应题日的横线上. 11．（3 分）分解因式：a3﹣4a＝　 　． 12．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2﹣x﹣ ＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则 点 P（a+1，﹣a﹣3）在第　 　象限． 13．（3 分）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝2，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60 °得到△DEC，连接 BD，则 BD2 的值是　 　． 14．（3 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且 AB 是⊙O 的直径，点 P 为⊙O 上的动 点，且∠BPC＝60°，⊙O 的半径为 6，则点 P 到 AC 距离的最大值是　 　． 15．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第 一象限，设 M＝4a+2b+c，则 M 的取值范围是　 　． 三、解答题（共 75 分）要求写出必要的解答步骤或证明过程. 16．（6 分）计算：| ﹣2|+（π﹣2019）0﹣（﹣ ）﹣1+3tan30° 17．（6 分）先化简：（ ﹣x﹣1）• ，再从 1，2，3 中选取一个适当的数代入 求值． 18．（7 分）如图，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，延长 BA 到点 D，使 AD＝ AB， 点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点．求证：DF＝BE． 19．（8 分）如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开 销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四 种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如 下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题 （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学 每天用于饮品的人均花费是多少元？ 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的 5 名班委干部（其中有两位 班长记为 A，B，其余三位记为 C，D，E）中随机抽取 2 名班委干部作良好习惯监督员， 请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到 2 名班长的概率． 20．（8 分）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种 水果的进价每千克少 4 元，且用 800 元购进甲种水果的数量与用 1000 元购进乙种水果的 数量相同． （1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？ （2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共 200 千克，其中甲种 水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，购回后，水果商决 定甲种水果的销售价定为每千克 20 元，乙种水果的销售价定为每千克 25 元，则水果商 应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 21．（8 分）如图，某海监船以 60 海里/时的速度从 A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只 在 A 的西北方向的 C 处，海监船航行 1.5 小时到达 B 处时接到报警，需巡査此可疑船只， 此时可疑船只仍在 B 的北偏西 30°方向的 C 处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向 逃离， 海监船立刻加速以 90 海里/时的速度追击，在 D 处海监船追到可疑船只，D 在 B 的北偏西 60°方同．（以下结果保留根号） （1）求 B，C 两处之间的距离； （2）求海监船追到可疑船只所用的时间． 22．（10 分）如图，在平闻直角坐标系中，直线 AB 与 y 轴交于点 B（0，7），与反比例函 数 y＝ 在第二象限内的图象相交于点 A（﹣1，a）． （1）求直线 AB 的解析式； （2）将直线 AB 向下平移 9 个单位后与反比例函数的图象交于点 C 和点 E，与 y 轴交于 点 D，求△ACD 的面积； （3）设直线 CD 的解析式为 y＝mx+n，根据图象直接写出不等式 mx+n≤ 的解集． 23．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 是 BA 延长线上一点，过点 P 作⊙O 的切线 PC ，切点是 C，过点 C 作弦 CD⊥AB 于 E，连接 CO，CB． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若 AB＝10，tanB＝ ，求 PA 的长； （3）试探究线段 AB，OE，OP 之间的数量关系，并说明理由． 24．（12 分）如图，直线 y＝﹣x+4 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，过 A，B 两点的抛物 线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 BC，若点 E 是线段 AC 上的一个动点（不与 A，C 重合），过点 E 作 EF∥BC ，交 AB 于点 F，当△BEF 的面积是 时，求点 E 的坐标； （3）在（2）的结论下，将△BEF 绕点 F 旋转 180°得△B′E′F，试判断点 E′是否在 抛物线上，并说明理由． 2019 年四川省广元市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的． 1．（3 分）﹣8 的相反数是（　　） A．﹣ B．﹣8 C．8 D． 【考点】14：相反数．菁优网版权所有 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：﹣8 的相反数是 8， 故选：C． 【点评】主要考查相反数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相 反数，0 的相反数是 0． 2．（3 分）下列运算中正确的是（　　） A．a5+a5＝a10 B．a7÷a＝a6 C．a3•a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6 【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底 数幂的除法．菁优网版权所有 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方化 简即可判断． 【解答】解：A．a5+a5＝2a5，故选项 A 不合题意； B．a7÷a＝a6，故选项 B 符合题意； C．a3•a2＝a5，故选项 C 不合题意； D．（﹣a3）2＝a6，故选项 D 不合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了幂的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键． 3．（3 分）函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围是（　　）[来源:学科网 ZXXK] A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1 【考点】E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数． 【解答】解：根据题意得 x﹣1≥0， 解得 x≥1． 故选：D． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一 般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数． 4．（3 分）如果一组数据 6，7，x，9，5 的平均数是 2x，那么这组数据的中位数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 【考点】W1：算术平均数；W4：中位数．菁优网版权所 有 【分析】直接利用平均数的求法进而得出 x 的值，再利用中位数的定义求出答案． 【解答】解：∵一组数据 6，7，x，9，5 的平均数是 2x， ∴6+7+x+9+5＝2x×5， 解得：x＝3， 则从大到小排列为：3，5，6，7，9， 故这组数据的中位数为：6． 故选：B． 【点评】此题主要考查了中位数以及平均数，正确得出 x 的值是解题关键． 5．（3 分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如 图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】1O：数学常识；U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有 【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案． 【解答】解：该几何体的俯视图是： ． 故选：A． 【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图 形是解决本题的关键． 6．（3 分）如图，AB，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，连接 BD，BC，且 AB ＝10，AC＝8，则 BD 的长为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4.8 【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有 【分析】先根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则利用勾股定理计算出 BC＝3，再根据垂 径定理得到 CD＝AD＝ AC＝4，然后利用勾股定理计算 BD 的长． 【解答】解：∵AB 为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝ ＝ ＝3， ∵OD⊥AC， ∴CD＝AD＝ AC＝4， 在 Rt△CBD 中，BD＝ ＝2 ． 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的 圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 7．（3 分）不等式组 的非负整数解的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有 【分析】先求出不等式组的解集，在取值范围内可以找到整数解． 【解答】解： ， 解①得：x＞﹣2， 解②得 x≤3， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤3． 故非负整数解为 0，1，2，3 共 4 个 故选：B． 【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，解不等式组应遵循 以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了． 8．（3 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的动点，它从点 A 出发沿 A→B→C→D 路径匀速 运动到点 D，设△PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致为 （　　） A． B． C． D． 【考点】E7：动点问题的函数图象．菁优网版权所有 【分析】设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P 在 AB 上，在 BC 上和在 CD 上三种 情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【解答】解：分三种情况： ①当 P 在 AB 边上时，如图 1， 设菱形的高为 h， y＝ AP•h， ∵AP 随 x 的增大而增大，h 不变， ∴y 随 x 的增大而增大， 故选项 C 和 D 不正确； ②当 P 在边 BC 上时，如图 2， y＝ AD•h， AD 和 h 都不变， ∴在这个过程中，y 不变， 故选项 B 不正确； ③当 P 在边 CD 上时，如图 3， y＝ PD•h， ∵PD 随 x 的增大而减小，h 不变， ∴y 随 x 的增大而减小， ∵P 点从点 A 出发沿在 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D， ∴P 在三条线段上运动的时间相同， 故选项 A 正确； 故选：A． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P 的位置的不同，分三 段求出△PAD 的面积的表达式是解题的关键． 9．（3 分）如图，在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取一点 E．使得∠CDE＝15°，连接 BE 并延长 BE 到 F，使 CF＝CB，BF 与 CD 相交于点 H，若 AB＝1，有下列结论：①BE＝DE ；②CE+DE＝EF；③S△DEC＝ ﹣ ；④ ＝2 ﹣1．则其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②③④ C ．①②④ D．①③④ 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KO：含 30 度角的直角三角形；LE：正方形的 性质．菁优网版权所有 【分析】①由正方形的性质可以得出 AB＝AD，∠BA C＝∠DAC＝45°，通过证明△ABE ≌△ADE，就可以得出 BE＝DE； ②在 EF 上取一点 G，使 EG＝EC，连结 CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC 就可以得 出 CE+DE＝EF； ③过 B 作 BM⊥AC 交于 M，根据勾股定理求出 AC，根据三角形的面积公式即可求出高 DM，根据三角形的面积公式即可求得 S△DEC＝ ﹣ ；[来源:学+科+网] ④解直角三角形求得 DE，根据等边三角形性质得到 CG＝CE，然后通过证得△DEH∽△ CGH，求得 ＝ ＝ +1． 【解答】证明：①∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°． 在△ABE 和△ADE 中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE，故①正确； ②在 EF 上取一点 G，使 EG＝EC，连结 CG， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． ∴∠CBE＝∠CDE， ∵BC＝CF， ∴∠CBE＝∠F， ∴∠CBE＝∠CDE＝∠F． ∵∠CDE＝15°， ∴∠CBE＝15°， ∴∠CEG＝60°． ∵CE＝GE， ∴△CEG 是等边三角形． ∴∠CGE＝60°，CE＝GC， ∴∠GCF＝45°， ∴∠ECD＝GCF． 在△DEC 和△FGC 中， ， ∴△DEC≌△FGC（SAS）， ∴DE＝GF． ∵EF＝EG+GF， ∴EF＝CE+ED，故②正确； ③过 D 作 DM⊥AC 交于 M， 根据勾股定理求出 AC＝ ， 由面积公式得： AD×DC＝ AC×DM， ∴DM＝ ， ∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°， ∴CM＝ ，EM＝ ， ∴CE＝CM﹣EM＝ ﹣ ∴S△DEC＝ CE×DM＝ ﹣ ，故③正确； ④在 Rt△DEM 中，DE＝2ME＝ ， ∵△ECG 是等边三角形， ∴CG＝CE＝ ﹣ ， ∵∠DEF＝∠EGC＝60°， ∴DE∥CG， ∴△DEH∽△CGH， ∴ ＝ ＝ ＝ +1，故④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾 股定理，含 30 度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行 证明是解此题的关键． 10．（3 分）如图，过点 A0（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l：y＝ x 于点 A1，过点 A1 作直 线 l 的垂线，交 y 轴于点 A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 A3，…，这样依次下去 ，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为 S1，S2，S3，…，则 S100 为（　　） A．（ ）100 B．（3 ）100 C．3 ×4199 D．3 ×2395 【考点】D2：规律型：点的坐标；F8：一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】本题需先求出 OA1 和 OA2 的长，再根据题意得出 OAn＝2n，把纵坐标代入解析 式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得 S100． 【解答】解：∵点 A0 的坐标是（0，1）， ∴OA0＝1， ∵点 A1 在直线 y＝ x 上， ∴OA1＝2，A0A1＝ ， ∴OA2＝4， ∴OA3＝8， ∴OA4＝16， 得出 OAn＝2n， ∴AnAn+1＝2n• ， ∴OA198＝2198，A19 8A199＝2198• ， ∵S1＝ （4﹣1）• ＝ ， ∵A2A1∥A200A199， ∴△A0A1A2∽△A198A199A200， ∴ ＝（ ）2， ∴S＝2396• ＝3 ×2395 故选：D． 【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如 何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用． 二、填空题（每小颕 3 分，共 15 分）把正确答案直接填写在答题卡对应 题日的横线上. 11．（3 分）分解因式：a3﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝a（a2﹣4） ＝a（a+2）（a﹣2）． 故答案为：a（a+2）（a﹣2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键． 12．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2﹣x﹣ ＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则 点 P（a+1，﹣a﹣3）在第　四　象限． 【考点】AA：根的判别式；D1：点的坐标．菁优网版权所有 【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于 a 的一元一次不等式组， 解之即可得出 a 的取值范围，由 a 的取值范围可得出 a+1＞0，﹣a﹣3＜0，进而可得出 点 P 在第四象限，此题得解． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 ax2﹣x﹣ ＝0（a≠0）有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：a＞﹣1 且 a≠0． ∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0， ∴点 P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限． 故答案为：四． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数 非零及根的判别式△＞0，找出关于 a 的一元一次不等式组是解题的关键． 13．（3 分）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝2，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60 °得到△DEC，连接 BD，则 BD2 的值是　8+4 　． 【考点】KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质．菁优网版权所有 【分析】连接 AD，由旋转的性质可得 CA＝CD，∠ACD＝60°，得到△ACD 为等边三角 形，由 AB＝BC，CD＝AD，得出 BD 垂直平分 AC，于是求出 BO＝ AC＝ ，OD＝CD •sin60°＝ ，可得 BD＝BO+OD，即可求解． 【解答】解：如图，连接 AD，设 AC 与 BD 交于点 O， 解：如图，连接 AM， 由题意得：CA＝CD，∠ACD＝60° ∴△ACD 为等边三角形， ∴AD＝CD，∠DAC＝∠DCA＝∠ADC＝60°； ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝CD＝2 ， ∵AB＝BC，CD＝AD， ∴BD 垂直平分 AC， ∴BO＝ AC＝ ，OD＝CD•sin60°＝ ， ∴BD＝ + ∴BD2＝（ + ）2＝8+4 ， 故答案为 8+4 【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和 性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键． 14．（3 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且 AB 是⊙O 的直径，点 P 为⊙O 上的动 点，且∠BPC＝60°，⊙O 的半径为 6，则点 P 到 AC 距离的最大值是　6+3 　． 【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有 【分析】过 O 作 OM⊥AC 于 M，延长 MO 交⊙O 于 P，则此时，点 P 到 AC 距离的最大， 且点 P 到 AC 距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过 O 作 OM⊥AC 于 M，延长 MO 交⊙O 于 P， 则此时，点 P 到 AC 距离的最大，且点 P 到 AC 距离的最大值＝PM， ∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O 的半径为 6， ∴OP＝OA＝6， ∴OM＝ OA＝ ×6＝3 ， ∴PM＝OP+OM＝6+3 ， ∴则点 P 到 AC 距离的最大值是 6+3 ， 故答案为：6+3 ． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出 辅助线是解题的关键． 15．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第 一象限，设 M＝4a+2b+c，则 M 的取值范围是　﹣6＜M＜6　． 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】将（﹣1，0）与（0，2）代入 y＝ax2+bx+c，可知 b＝a+2，利用对称轴可知：a ＞﹣2，从而可知 M 的取值范围． 【解答】解：将（﹣1，0）与（0，2）代入 y＝ax2+bx+c， ∴0＝a﹣b+c，2＝c， ∴b＝a+2， ∵ ＞0，a＜0， ∴b＞0， ∴a＞﹣2， ∴﹣2＜a＜0， ∴M＝4a+2（a+2）+2 ＝6a+6 ＝6（a+1） ∴﹣6＜M＜6， 故答案为：﹣6＜M＜6； 【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于 中等题型． 三、解答题（共 75 分）要求写出必要的解答步骤或证明过程. 16．（6 分）计算：| ﹣2|+（π﹣2019）0﹣（﹣ ）﹣1+3tan30° 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数 值．菁优网版权所有 【分析】直接利用绝对值的性质、零指数幂、负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值 分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝2﹣ +1﹣（﹣3）+3× ＝2﹣ +1+3+ ＝6． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 17．（6 分）先化简：（ ﹣x﹣1）• ，再从 1，2，3 中选取一个适当的数代入 求值． 【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有 【分析】直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝[ ﹣ ﹣ ]• ＝ • ＝ ， 当 x＝1，2 时分式无意义， 将 x＝3，代入原式得： 则原式＝ ＝﹣5． 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 18．（7 分）如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长 BA 到点 D，使 AD＝ AB， 点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点．求证：DF＝BE． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理．菁优网版权所有 【分析】证出 FE 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出 FE＝ AB，FE∥AB， 得出∠EFC＝∠BAC＝90°，得出∠DAF＝∠EFC，AD＝FE，证明△ADF≌△FEC 得出 DF ＝EC，即可得出结论． 【解答】证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠DAF＝90°， ∵点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点， ∴AF＝FC，BE＝EC，FE 是△ABC 的中位线， ∴FE＝ AB，FE∥AB， ∴∠EFC＝∠BAC＝90°， ∴∠DAF＝∠EFC， ∵AD＝ AB， ∴AD＝FE， 在△ADF 和△FEC 中， ， ∴△ADF≌△FEC（SAS）， ∴DF＝EC， ∴DF＝BE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质；熟 练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 19．（8 分）如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开 销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四 种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如 下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题 （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学 每天用于饮品的人均花费是多少元？ 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的 5 名班委干部（其中有两位 班长记为 A，B，其余三位记为 C，D，E）中随机抽取 2 名班委干部作良好习惯监督员， 请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到 2 名班长的概率． 【考点】VA：统计表；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法． 菁优网版权所有 【分析】（1）由 B 饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等 于总人数求出 C 的人数即可补全图形； （2）根据加权平均数的定义计算可得； （3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可 得． 【解答】解：（1）这个班级的学生人数为 15÷30%＝50（人）， 选择 C 饮品的人数为 50﹣（10+15+5）＝20（人）， 补全图形如下： （2） ＝2.2（元）， 答：该班同学每天用于饮品的人均花费是 2.2 元； （3）画树状图如下： 由树状图知共有 20 种等可能结果，其中恰好抽到 2 名班长的有 2 种结果， 所以恰好抽到 2 名班长的概率为 ＝ ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解 题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总 情况数之比．[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 20．（8 分）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种 水果的进价每千克少 4 元，且用 800 元购进甲种水果的数量与用 1000 元购进乙种水果的 数量相同． （1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？ （2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共 200 千克，其中甲种 水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，购回后，水果商决 定甲种水果的销售价定为每千克 20 元，乙种水果的销售价定为每千克 25 元，则水果商 应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用． 菁优网版权所有 【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多 少元； （2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不 超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，可以求得甲种水果数量的取值范 围，最后根据一次函数的性质即可解答本题． 【解答】解：（1）设甲种水果的单价是 x 元，则乙种水果的单价是（x+4）元， ， 解得，x＝16， 经检验，x＝16 是原分式方程的解， ∴x+4＝20， 答：甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元； （2）设购进甲种水果 a 千克，则购进乙种水果（200﹣a）千克，利润为 w 元， w＝（20﹣16）a+（25﹣20）（200﹣a）＝﹣a+1000， ∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元， ∴ ， 解得，145≤a≤150， ∴当 a＝145 时，w 取得最大值，此时 w＝855，200﹣a＝55， 答：水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元．[来源:学科网 ZXXK] 【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题 的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 21．（8 分）如图，某海监船以 60 海里/时的速度从 A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只 在 A 的西北方向的 C 处，海监船航行 1.5 小时到达 B 处时接到报警，需巡査此可疑船只， 此时可疑船只仍在 B 的北偏西 30°方向的 C 处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向 逃离，海监船立刻加速以 90 海里/时的速度追击，在 D 处海监船追到可疑船只，D 在 B 的北偏西 60°方同．（以下结果保留根号） （1）求 B，C 两处之间的距离； （2）求海监船追到可疑船只所用的时间． 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有 【分析】（1）作 CE⊥AB 于 E，则∠CEA＝90°，由题意得：AB＝60×1.5＝90，∠CAB ＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°，得出△ACE 是等腰直角三角形，∠CBE＝60°， 得出 CE＝AE，∠BCE＝30°，由直角三角形的性质得出 CE＝ BE，BC＝2BE，设 BE ＝x，则 CE＝ x，AE＝BE+AB＝x+90，得出方程 x＝x+90，解得：x＝45 +45，得 出 BC＝2x＝90 +90 即可； （2）作 DF⊥AB 于 F，则 DF＝CE＝ x＝135+45 ，∠DBF＝30°，由直角三角形的 性质得出 BD＝2DF＝270+90 ，即可得出结果． 【解答】解：（1）作 CE⊥AB 于 E，如图 1 所示： 则∠CEA＝90°， 由题意得：AB＝60×1.5＝90（海里），∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°， ∴△ACE 是等腰直角三角形，∠CBE＝60°， ∴CE＝AE，∠BCE＝30°， ∴CE＝ BE，BC＝2BE， 设 BE＝x，则 CE＝ x，AE＝BE+AB＝x+90， ∴ x＝x+90， 解得：x＝45 +45， ∴BC＝2x＝90 +90； 答：B，C 两处之间的距离为（90 +90）海里； （2）作 DF⊥AB 于 F，如图 2 所示： 则 DF＝CE＝ x＝135+45 ，∠DBF＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝2DF＝270+90 ， ∴海监船追到可疑船只所用的时间为 ＝3+ （小时）； 答：海监船追到可疑船只所用的时间为（3+ ）小时． [来源:学科网 ZXXK] 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助 线是解题的关键． 22．（10 分）如图，在平闻直角坐标系中，直线 AB 与 y 轴交于点 B（0，7），与反比例函 数 y＝ 在第二象限内的图象相交于点 A（﹣1，a）． （1）求直线 AB 的解析式； （2）将直线 AB 向下平移 9 个单位后与反比例函数的图象交于点 C 和点 E，与 y 轴交于 点 D，求△ACD 的面积； （3）设直线 CD 的解析式为 y＝mx+n，根据图象直接写出不等式 mx+n≤ 的解集． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【分析】（1）将点 A（﹣1，a）代入反比例函数 y＝ 求出 a 的值，确定出 A 的坐标， 再根据待定系数法确定出一次函数的解析式； （2）根据直线的平移规律得出直线 CD 的解析式为 y＝﹣x﹣2，从而求得 D 的坐标，联 立方程求得交点 C、E 的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB 的面积，然后由同底等 高的两三角形面积相等可得△ACD 与△CDB 面积相等； （3）根据图象即可求得． 【解答】解：（1））∵点 A（﹣1，a）在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴a＝ ＝8， ∴A（﹣1，8）， ∵点 B（0，7）， ∴设直线 AB 的解析式为 y＝kx+7， ∵直线 AB 过点 A（﹣1，8）， ∴8＝﹣k+7，解得 k＝﹣1， ∴直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+7； （2）∵将直线 AB 向下平移 9 个单位后得到直线 CD 的解析式为 y＝﹣x﹣2， ∴D（0，﹣2）， ∴BD＝7+2＝9， 联立 ，解得 或 ， ∴C（﹣4，2），E（2，﹣4）， 连接 AC，则△CBD 的面积＝ ×9×4＝18， 由平行线间的距离处处相等可得△ACD 与△CDB 面积相等， ∴△ACD 的面积为 18． （3）∵C（﹣4，2），E（2，﹣4）， ∴不等式 mx+n≤ 的解集是：﹣4＜x＜0 或 x＞2． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三 角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 是 BA 延长 线上一点，过点 P 作⊙O 的切线 PC ，切点是 C，过点 C 作弦 CD⊥AB 于 E，连接 CO，CB． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若 AB＝10，tanB＝ ，求 PA 的长； （3）试探究线段 AB，OE，OP 之间的数量关系，并说明理由． 【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）连接 OD，证明∠ODP＝90°即可； （2）由 tanB＝ ，可得 ，可求出 AC，BC；再求出 CE，OE，由△OCE∽△OPC ，可求出 OP，PA； （3）由△OCE∽△OPC 或由 ＝cos∠COP＝ 得 OC2＝OE•OP，再将 OC＝ AB 代 入即可． 【解答】解：（1）证明：连接 OD， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°， ∵OA⊥CD ∴CE＝DE ∴PC＝PD ∴∠PDC＝∠PCD ∵OC＝OD ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°， ∴PD 是⊙O 的切线． （2）如图 2，连接 AC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴tanB＝ ＝ 设 AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝ ， AC＝2 ，BC＝4 ， ∵CE×AB＝AC×BC，即 10CE＝2 ×4 ， ∴CE＝4，BE＝8，AE＝2 在 Rt△OCE 中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5， ∴CE＝ ＝ ＝4， ∵ ∴OP×OE＝OC×OC，即 3OP＝5×5， ∴OP＝ ，PA＝OP﹣OA＝ ﹣5＝ ． （3）AB2＝4OE•OP 如图 2，∵PC 切⊙O 于 C， ∴∠OCP＝∠OEC＝90°， ∴△OCE∽△OPC ∴ ，即 OC2＝OE•OP ∵OC＝ AB ∴ 即 AB2＝4OE•OP． 【点评】本题是一道圆的综合题，考查了圆的性质﹣垂径定理，圆的切线判定和性质， 勾股定理，相似三角形性质，三角函数值等，要求学生能熟练运用所学知识解答本题， 形成数学解题能力． 24．（12 分）如图，直线 y＝﹣x+4 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，过 A，B 两点的抛物 线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 BC，若点 E 是线段 AC 上的一个动点（不与 A，C 重合），过点 E 作 EF∥BC ，交 AB 于点 F，当△BEF 的面积是 时，求点 E 的坐标； （3）在（2）的结论下，将△BEF 绕点 F 旋转 180°得△B′E′F，试判断点 E′是否在 抛物线 上，并说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）求出点 A、B 的坐标分别为（4，0）、（0，4），即可求解； （2）利用 S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝ ×4×4﹣ ×4m﹣（4﹣m）× ＝ ，即可求解； （3）△BEF 绕点 F 旋转 180°得△B′E′F，则点 E′（ ，4），将该点坐标代入二次 函数表达式即可检验． 【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①， 令 x＝0，y＝4，令 y＝0，则 x＝4， 故点 A、B 的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②； （2）设点 E（m，0）， 直线 BC 表达式中的 k 值为 4，EF∥BC， 则直线 EF 的表达式为：y＝4x+n， 将点 E 坐标代入上式并解得： 直线 EF 的表达式为：y＝4x﹣4m…③， 联立①③并解得：x＝ （m+1）， 则点 F（ ， ）， S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝ ×4×4﹣ ×4m﹣ （4﹣m）× ＝ ， 解得：m＝ ， 故点 E（ ，0）、点 F（2，2）； （3）△BEF 绕点 F 旋转 180°得△B′E′F，则点 E′（ ，4）， 当 x＝ 时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（ ）2+3× +4≠4， 故点 E′不在抛物线上． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用题，涉及到一次函数、面积的计算等知识点， 其中（2），S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF，是本题解题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/8/5 10:44:43；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509