最新人教版九年级数学上册知识点总结史上最全+九年级数学上期导学案+期中考试试题

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最新人教版九年级数学上册 知识点总结史上最全+九年级数学上期导学案+期中考试试题 人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 1 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx是 一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二 次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直 接开平方。一般地，对于形如 x 2 =a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得 x1= a ,x2= a . （2）直接开平方法适用于解形如 x 2 =p 或(mx+a) 2 =p(m≠0)形式的方程，如果 p≥0， 就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平 方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知 数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二 次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次， 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； ⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等 号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)，如果 b 2 -4ac≥0，那么方程的 两个根为 x= a acbb 2 4 2  ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求 根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解 方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： 1 方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0(a≠0)，一般 a化为正值 ②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； ③求出 b 2 -4ac 的值； ④若 b 2 -4ac≥0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求 解，若 b 2 -4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b 2 -4ac 叫做方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即 △=b 2 -4ac. △＞0，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数 根 一元二次方程 △=0，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式 △＜0，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)无实数根 21.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化 为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2）因式分解法的详细步骤： 1 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； 2 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全 平方公式； 3 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 4 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方 法 名 称 理论依据 适用范围 直接开平 方法 平方根的意 义 形如 x 2 =p 或（mx+n） 2 =p(p ≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解 法 当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解 成两个一次因式的积的一 元二次方程。 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 x 2 +px+q=0 的两个根为 x1,x2,则有 x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程 a 2 x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1+x2=， a b  ,x1x2= a c 22.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之 间的等量关系。 （2）设：是指设元，也就是设出未知数。 （3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个 相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的 等式，即方程。 （4）解：就是解方程，求出未知数的值。 （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6）答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是 100a+10b+c. （2） 增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降 低后的等量关系为 a（1 x ） 2 =b。 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润× 总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的 代数式表示出来，建立一元二次方程。 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果 cbacbxaxy ,,(2  是常数， )0a ，那么 y叫做 x的二次函数. 2.二次函数 2axy  的性质 （1）抛物线 2axy  的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴. （2）函数 2axy  的图像与 a的符号关系. ①当 0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当 0a 时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是 y轴的抛物线的解析式形式为 2axy  ）（ 0a . 3.二次函数 cbxaxy  2 的图像是对称轴平行于（包括重合） y轴的抛物线. 4. 二 次 函 数 cbxaxy  2 用 配 方 法 可 化 成 ：   khxay  2 的 形 式 ， 其 中 a back a bh 4 4 2 2  ， . 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2axy  ；② kaxy  2 ； ③  2hxay  ；④   khxay  2 ；⑤ cbxaxy  2 . 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a的符号决定抛物线的开口方向：当 0a 时，开口向上；当 0a 时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 y轴（或重合）的直线记作 hx  .特别地， y轴记作直线 0x . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物 线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： a bac a bxacbxaxy 4 4 2 22 2         ，∴顶点是 ），（ a bac a b 4 4 2 2  ，对称轴 是直线 a bx 2  . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为   khxay  2 的形式，得 到顶点为(h , k )，对称轴是直线 hx  . （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称 轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线 cbxaxy  2 中， cba ,, 的作用 （1） a决定开口方向及开口大小，这与 2axy  中的a完全一样. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 cbxaxy  2 的对称轴是直线 a bx 2  ，故：① 0b 时，对称轴为 y轴；② 0 a b （即 a、b同号）时，对称轴在 y轴左侧；③ 0 a b （即a、b异号）时，对称轴在 y轴右侧. （3） c的大小决定抛物线 cbxaxy  2 与 y轴交点的位置. 当 0x 时， cy  ，∴抛物线 cbxaxy  2 与 y轴有且只有一个交点（0， c）： ① 0c ，抛物线经过原点; ② 0c ,与 y轴交于正半轴；③ 0c ,与 y轴交于负 半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧， 则 0 a b . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy  当 0a 时 开口向上 当 0a 时 开口向下 0x （ y轴） （0,0） kaxy  2 0x （ y轴） (0, k )  2hxay  hx  ( h ,0)   khxay  2 hx  ( h , k ) cbxaxy  2 a bx 2  ( a bac a b 4 4 2 2  ， ) 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式： cbxaxy  2 .已知图像上三点或三对 x、 y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：   khxay  2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与 x轴的交点坐标 1x 、 2x ，通常选用交点式：   21 xxxxay  . 12.直线与抛物线的交点 （1） y轴与抛物线 cbxaxy  2 得交点为(0, c). （ 2）与 y 轴平行的直线 hx  与抛物线 cbxaxy  2 有且只有一个交点 ( h , cbhah 2 ). （3）抛物线与 x轴的交点 二次函数 cbxaxy  2 的图像与 x轴的两个交点的横坐标 1x 、 2x ，是对应一元 二次方程 02  cbxax 的两个实数根.抛物线与 x轴的交点情况可以由对应的 一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与 x轴相交； ②有一个交点（顶点在 x轴上） 0 抛物线与 x轴相切； ③没有交点 0 抛物线与 x轴相离. （4）平行于 x轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1个交点、2个交点.当有 2 个交点时，两交点 的纵坐标相等，设纵坐标为 k，则横坐标是 kcbxax 2 的两个实数根. （5）一次函数  0 knkxy 的图像 l与二次函数  02  acbxaxy 的图像G的交 点，由方程组 cbxaxy nkxy   2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时  l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时 l与G只有一个交点；③方程 组无解时 l与G没有交点. （6）抛物线与 x轴两交点之间的距离：若抛物线 cbxaxy  2 与 x轴两交点为    00 21 ，，， xBxA ，由于 1x 、 2x 是方程 02  cbxax 的两个根，故 a cxx a bxx  2121 ,     aa acb a c a bxxxxxxxxAB          444 22 21 2 21 2 2121 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点 O转动一个角度，就叫做图形的旋转， 点 O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二 旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段 的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中 心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发 生改变，只改变了图形的位置。 知识点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中 心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； ④ 接：即连接到所连接的各点。 23.2 中心对称 知识点一 中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那 么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转 180°两 个图形能够完全重合。 知识点二 作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于 对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对 称图形。 知识点三 中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中 心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 知识点四 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那 么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 知识点五 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点 p（x,y） 关于原点对称点为（-x,-y）。 第二十四章 圆 24.1 圆 24.1.1 圆 知识点一 圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一 个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA叫作半径。第二种： 圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合 的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二 圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点 把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆 中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二 垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直 径为 CD，AB 是弦，且 CD⊥AB， AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条 C M A B D 弧 如上图所示，直径 CD与非直径弦 AB相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必 须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点 弦、弧、圆心角的关系 （1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角 相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同， 但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4 圆周角 知识点一 圆周角定理 （1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半。 （2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对 弦是直径。 （3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等 弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周 角有两类。 知识点二 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆 内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。 （2）用数量关系表示：若设⊙O 的半径是 r，点 P到圆的距离 OP=d，则有： 点 P在圆外 d＞r；点 p在圆上 d=r；点 p 在圆内 d＜r。 知识点二 过已知点作圆 （1）经过一个点的圆（如点 A） 以点 A外的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可 以作无数个。 ·O1 A ·O2 ·O3 （2）经过两点的圆（如点 A、B） 以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA（或 OB）为半径作圆 即可，如图，这样的圆可以作无数个。 A B （3）经过三点的圆 1 经过在同一条直线上的三个点不能作圆 2 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以 作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点 A、B、C作圆，作法： 连接 AB、BC（或 AB、AC 或 BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相 交于点 O，以点 O 为圆心，以 OA（或 OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样 的圆只能作一个。 3 A B O C 知识点三 三角形的外接圆与外心 （1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 （2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 知识点四 反证法 （1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不 正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。 （2）反证法的一般步骤： 1 假设命题的结论不成立； 2 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等 相矛盾的结论； 3 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。 24.2.2 直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 （2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设⊙O 的半径是 r，直线 l与圆心 0的距离为 d，则有： 直线 l和⊙O 相交 d ＜ r； 直线 l 和⊙O相切 d = r； 直线 l和 ⊙O相离 d ＞ r。 知识点二 切线的判定和性质 （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3）切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经 过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆 心。 知识点三 切线长定理 （1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和 圆心的连线平分两条切线的夹角。 （3）注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能 度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另 一个是切点。 知识点四 三角形的内切圆和内心 (1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个 三角形叫做圆的外切三角形。 (2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。 (3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已 知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。 24.2.3 圆和圆的位置关系 知识点一 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的位置关系有五种： 1 如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种； 2 如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种； 3 如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。 （2）圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示： 若设两圆圆心之间的距离为 d，两圆的半径分别是 r1 r2,且 r1 ＜ r2，则有 两圆外离 d＞r1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 r2-r1＜d＜r1+r2 两 圆内切 d=r2-r1 两圆内含 d＜r2-r1 24.3 正多边形和圆 知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，顺次连接 各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二 正多边形的性质 （1）正 n边形的半径和边心距把正多边形分成 2n个全等的直角三角形。 （2）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正 n 边形共有 n条对称轴，每条对称轴 都经过正 n边形的中心；当正 n边形的边数为偶数时，这个正 n 边形也是中心 对称图形，正 n 边形的中心就是对称中心。 （3）正 n边形的每一个内角等于 n n  180)2( ，中心角和外角相等，等于 n 360 。 24.4 弧长和扇形面积 知识点一 弧长公式 l= 180 Rn 在半径为 R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长 C=2πR，所以 n°的圆 心角所对的弧长的计算公式 l= 360 n ×2πR= 180 Rn 。 知识点二 扇形面积公式 在半径为 R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积 S=πR 2 ，所以圆心 角为 n°的扇形的面积为 S 扇形= 360 2Rn 。 比较扇形的弧长公式和面积公式发现： S 扇形= lRlRRRnRn s 2 1, 2 1 2 1 180360 2  扇形 所以  知识点三 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧 面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半 径为 l，扇形的弧长为 2πr，因此圆锥的侧面积 rllrs   2 2 1 圆锥侧 。圆锥的全面积 为 2rrlsss   底圆锥侧圆锥全 。 25.1 随机事件与概率 25.1.1 随机事件 知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事 件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不 会发生的事件称为随机事件。 必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性 事件。 知识点二 事件发生的可能性的大小 必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有 小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 25.1.2 概率 知识点 概率 一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机 事件 A发生的概率，记作 P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等， 事件 A包含其中的 m种结果，那么事件 A发生的概率 P（A）= n m 。由 m 和 n 的含义可 知 0≤m≤n，因此 0≤ n m ≤1，因此 0≤P（A）≤1. 当 A为必然事件时，P（A）=1；当 A 为不可能事件时，P（A）=0. 25.2 用列举法求概率 知识点一 用列举法求概率 一般地，如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等， 事件 A包含其中的 m种结果，那么事件 A发生的概率 P（A）= n m 。 知识点二 用列表发求概率 当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所 有可能的结果，通常用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件 发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 知识点三 用树形图求概率 当一次试验要涉及 3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不 漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出 现的次数和方式，并求出概率的方法。 （1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。 （2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能 性务必相同。 25.3 用频率估计概率 知识点 在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循， 但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试 验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 n m 稳定于某一个常数 P，那 么事件 A 发生的频率 P（A）=p 。 九年级第一学期数学期中测试题 一、选择题（每题 3分，共 30 分） 1．下列图形绕某点旋转 180°后，不能与原来图形重合的是( ) 2.下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ）http:/// A. 02  cbxax B. 211 2  xx C. 12 22  xxx D. )1(2)1(3 2  xx 3.下列函数中，不是二次函数的是( ) A．y＝1－ 2x 2 B．y＝2(x－1) 2 ＋4 C. 1 2 (x－1)(x＋4) D．y＝(x－2) 2 －x 2 4.方程 5)3)(1(  xx 的解是 ( ) A. 3,1 21  xx B. 2,4 21  xx C. 3,1 21  xx D. 2,4 21  xx 5．把二次函数 y＝－ 1 4 x2－x＋3用配方法化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式( ) A．y＝－ 1 4 (x－2)2＋2 B．y＝ 1 4 (x－2)2＋4 C．y＝－ 1 4 (x＋2)2＋4 D．y＝ 1 2 x－ 1 2 2＋3 6.一元二次方程 0624)2( 2  mmxxm 有两个相等的实数根，则m等于( ) A. 6 或 1 B. 1 C. 6 D. 2 7.对抛物线 y＝－x2＋2x－3 而言，下列结论正确的是( ) A．与 x轴有两个交点 B．开口向上 C．与 y轴的交点坐标是(0,3) D．顶点坐标是(1，－2) 8．若点 A(n,2)与点 B(－3，m)关于原点对称，则 n－m＝( ) A．－1 B．－5 C．1 D．5 9．如下图的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的 有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．在同一平面直角坐标系内，一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax 2 ＋8x＋b 的图象 可能是 二、填空题（11——16 每题 3分，第 17 题 6 分，共 24 分） 11.方程 xx 312 2  的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 12．若函数 y＝(m－3) 2 2 13m mx ＋ － 是二次函数，则 m＝______. 13．已知二次函数的图象过(1,0)，(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2 ＋x＋2 B．y＝x2 ＋3x＋2 C．y＝x2 －2x＋3 D．y＝x2 －3x＋2 14．如图，将等边△ABD 沿 BD 中点旋转 180°得到△BDC.现给出下列命题：①四边形 ABCD 是菱形；②四边形 ABCD 是中心对称图形；③四边形 ABCD 是轴对称图形；④AC＝BD.其中正确的 是________(写上正确的序 号)． 15．抛物线 y＝2x 2 －bx＋3的对称轴是直线 x＝1，则 b 的值为________． 16.如果一元二方程 043)2 22  mxxm（ 有一个根为 0，则 m= . 17.认真观察图 J2333 中的四个图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征： 特征 1：____________________；特征 2：____________________________. (2)请你在下图中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 三、解答题（共 66 分） 18、解方程（每题 4 分，共 8 分） （1） 0822  xx （用因式分解法） （2） (x－2）（x－5）=－2 19.（8 分）已知等腰三角形底边长为 8，腰长是方程 02092  xx 的一个根， 求这个等腰三角形的腰长。 20．（8分）用长为 20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为 xcm，面积为 ycm2。 (1)求出 y 与 x 的函数关系式。（2）当边长 x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？http:/// K21.（8 分）一商店 1 月份的利润是 2500 元，3 月份的利润达到 3025 元，这两个月的利润月增长的百分率相同， 求这个百分率。 22、（10 分）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点O， 13, 24AB BD  ，在菱形 ABCD的外 部以 AB为边作等边三角形 ABE。点 F 是对角线 BD上一动点（点F 不与点 B、D 重合），将线段 AF 绕点 A顺 时针方向旋转60得到线段 AM ，连接 FM 。 （1）求 AO的长； （2）如图 2，当点 F 在线段 BO上，且点 , ,M F C三点在同一条直线上时， 求证: 300 ACM （3）连接 EM ，若 AEM 的面积为 40，请画出图形，并直接写出 AFM 的周长。 23．（10 分）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要向前方滑行一段距离才 能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号的汽车的刹车性能(车速 不超过 140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 60 /km·h 刹车距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8 (1)以车速为 x 轴，以刹车距离为 y轴，建立平面直角坐标系，根据上表对应值作出 函数的大致图象； (2)观察图象估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式； (3)该型号汽车在国道发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为 46.5 m，推测刹车 时的车速是多少？请问事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ 24．（14 分）已知，如图抛物线 y＝ax 2 ＋3ax＋c(a>0)与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，点 A在点 B 左侧．点 B 的坐标为(1,0)，OC＝3OB. (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是 否存在以 A，C，E，P 为顶点且以 AC 为一 边的平行四边形？若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由．W 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿＿＿ 课题 一元二次方程（1） 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 1课时 学习 目标 1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、 分析的能力。 2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一 元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数 和常数项。 学习重点 由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。 学习 难点 由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及 一次项和系数还有常数项。 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 一元一次方程的相关知识 课 前 导案 自学 自学课本 P27－29 页，完成下列要求： 1、理解并背诵一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式； 2、准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。 自学 完成 1、自学课本导图，走进一元二次方程 分析：现设雕像下部高 x米，则度可列方程 去括号得 ① 你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过 什么方程，它的特点是什么？ 2、探究新知 自学课本 25 页问题 1、问题 2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列 各题： 问题 1可列方程 整理得 ② 问题 2可列方程 整理得 ③ 观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定 义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。 一元二次方程的是： 1）、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ， 这样的 方程，叫做一元二次方程。 2）、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。 3、展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。 其中为一元二次方 程的是： 。 小结 1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？ 3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？ 反 馈 练 习 1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系 数、一次项系数和常数项： （1）5x 2 －1=4x； （2）81=4x 2 ; （3）4x (x+2) =25 （4） (3x－2)(x＋1)= 8x－3 2、列出关于 x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： 1、一个正方形的面积的 2倍等于 50，这个正方形的边长是多少？ 2、一个数比另一个数大 3，且这两个数之积为这个数，求这个数。 3、一块面积是 150cm 2 长方形铁片，它的长比宽多 5cm,则铁片的长是多少？ 课 后 课后 反思 达标测评 1、判断下列方程是否是一元二次方程; （1） 0 2 3 3 12 2  xx （ ）（2） 052 2  yx ( ) (3) 02  cbxax （ ） (4) 0714 2  x x ( ) 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数 项： （1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3x. 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿＿＿ 课题 一元二次方程（2） 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 2课时 学习 目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及 利用它们解决一些具体问题． 学习重点 判定一个数是否是方程的根； 学习 难点 由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际 问题的根． 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 一元一次方程的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P27－29 页，完成下列要求： 3、理解并背诵一元二次方程的根的定义。 4、注意一元二次方程的根如何找。 5、理解一元二次方程的根的定义。 自 学 完 成 1、前面有关排球邀请赛的问题中，我们列出方程 x2-x=56 当 x=1 时， x2-x=0；当 x=2 时， x2-x=2；……我们可以得出下表的值 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …. x2-x 0 2 … 从中发现当 x=8 时， x2-x=＿＿＿＿＿；所以 x=8 是方程＿＿＿＿＿； 一元二次方程的＿＿＿＿＿也是一元二次方程的根。 2、归纳一元二次方程的根的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿。 先独立思考，完成下列各题 1．下面哪些数是方程 x2-x-6=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-36=0 （2）4x2-9=0 （3）x2-3x=0 小 结 你今天学会了解怎样找的一元二次方程的根？步骤是什么？ 反 馈 练 习 1．下面哪些数是方程 x2+x-12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 2．写出下列方程的根 （1）9x2=1 （2）25x2-4=0 （3）4x2=2 3.你能想出下列方程的根吗？ （1）（x-2）2=1 （2）x2+2x+1=4 （3）x2-6x+9=0 课后 课 后 反 思 自查自省 选择题 1．方程 x（x-1）=2 的两根为（ ）． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程 2x（x-3）+（3-x）=0 的根是（ ）． A．x1=3，x2=2 B．x1=3，x2= 2 1 C．x1=2，x2= 2 1 D．x1=4，x2=9 填空题 1．如果 x2-81=0，那么 x2-81=0 的两个根分别是 x1=________，x2=__________． 2．已知方程 5x2+mx-6=0的一个根是 x=3，则 m 的值为________． 3．方程（x+1）2+ 2 x（x+1）=0，那么方程的根 x1=______；x2=________． 综合提高题 1．如果 x=1是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求 a+b 的值． 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿ 课题 22.2 配方法（一） 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 1课时 1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如 学习目标 2x =p(p≥0)或（mx+n） 2 =p(p≥ 0)的方程 2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两 者之间相互比较和转化的思想方法； 3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。 学习重点 掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。 学习难点 理解并应用直接开平方法 解特殊的一元二次方程。 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 完全平方公式、平方根的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P30－31 页，完成下列要求： 1理解并掌握一元二次方程的解法。 2注意开平方时有两个根。 小 组 合 作 交流课前学习内容，互帮互助，提高学习思想，掌握多变的学习方法； 自 学 完 成 1、用公式法分解因式: （1）x2+6x+9=＿＿＿＿＿＿＿＿ （3）36x2-12x+1=＿＿＿＿＿＿＿＿ 2、一桶某种油漆可刷的面积为 1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同 样的正方体状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 列方程完成，并写出它的根。 解：设正方体的棱长为 xdm，则一个正方体的表面积为＿＿＿＿dm2， 列方程; ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 根据平方根的意义，得：＿＿＿＿＿＿＿＿ 即：x1=＿＿＿＿＿，x2=＿＿＿＿＿ 所以，正方体的棱长为＿＿＿＿＿dm 2、思考：求根时用到什么知识？ 3对照上面解法，你能解下列方程吗？ （1）（2x-1）2=5 （2）x2+6x+9=2 小 结 引导学生归纳：如果方程能化为 x2 ＝p 或（mx＋n） 2 ＝p 的形式，那么可得 x=＿＿＿＿＿＿＿＿或 X=＿＿＿＿＿＿＿＿. 1、解方程 （1）2x2-8=0 （2）9x2-5=3 反 馈 练 习 （3）（x＋6）2－9＝0； （4）3（x-1）2－6＝0. （5）x2-4x+4=5 （10）9x2+6x+1=4 课后 课 后 反 思 达标测评 1、解下列方程： （1）x 2 ＝169； （2）45－x 2 ＝0； （3）36x2-1=0 （2）4x2=81 （5）（x＋5） 2 ＝25 （6）x2+2x+1=4 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿ 课题 22.2 配方法（二） 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单 元 课时 第 2课时 学习目标 1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。 学习重点 用配方法解数字系数的一元二次方程 学习难点 配方的过程 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 完全平方公式的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P31－34 页，完成下列要求： 1理解并掌握一元二次方程的解法。 2注意配方时配什么。 自 学 完 成 1、填空; （1）x2+10x+____=（x+____）2 （2）x2-12x+____=（x-____）2 （3）x2+5x+____=（x+____）2 （4）x2＋ 2 3 x＋_____＝（x＋ ）2； 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 2、要使一块长方形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16 m2，场地的长和宽 应各是多少？ 解：设场地的宽为 xm,则长为＿＿＿＿m;列方程＿＿＿＿＿＿＿＿ 思考如何解这个方程？ 用配方法解下列方程： （1）x2 －6x－7＝0； （2）x2 ＋3x＋1＝0. 解（1）移项，得 x2 －6x＝____. 方程左边配方，得 x2 －2·x·3＋__ 2 ＝7＋___， 即 （______）2 ＝____. 所以 x－3＝____. 原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____. （2）移项，得 x2 ＋3x＝－1. 方程左边配方，得 x2 ＋3x＋（ ） 2 ＝－1＋____， 即 _____________________ 所以 ___________________ 原方程的解是： x1＝______________x2＝___________ 总结规律 用配方法解二次项系数是 1的一元二次方程？有哪些步骤？ 巩固提高：完成 P34 页练习第二题 拓展提高 已知代数式 x2-5x+7,先用配方法说明，不论 x取何值，这个代数式的值 总是正数；再求出当 x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 小 结 你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？ 反 馈 练 习 解方程 （1）x2+16x+4=0 （10）x2-x- 2 3 =0 （5）3x2+6x-5=0 （10）42-x-9=4 课后 课 后 反 思 达标测评 用配方法解方程： 1、x2＋8x－2＝0 2、2x²+12x+10=0 3、2x2-x=6 4、x²+4x-9=2x-11 5、x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿＿＿ 课题 公式法 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 3课时 学习 目标 1、经历推导求根公式过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力； 2、会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。 学习重点 用公式法解简单系数的一元二次方程； 学习难点 推导求根公式的过程。 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 完全平方公式的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P334－37 页，完成下列要求： 1、理解并掌握用公式法解一元二次方程的方法。 2、用公式法解一元二次方程注意什么。 自 学 完 成 一、复习提问： 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 2、用配方法解方程 3x2-6x-8=0; 3、你能用配方法解下列方程吗？ ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 推导公式 用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 因为 a≠0，方程两边都除以 a，得 _____________________＝0. 移项，得 x2 ＋ a b x＝________， 配方，得 x2 ＋ a b x＋______＝______－ a c , 即 (____________) 2＝___________ 因为 a≠0，所以 4 a2＞0，当 b2－4 ac≥0 时，直接开平方，得 _____________________________. 所以 x＝_______________________ 即 x＝_________________________ 由以上研究的结果，得到了一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0 的求根公式： x＝ a acbb 2 42  ( b2－4 ac≥0) 精讲点拨 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数 a、b、c的值，直接求 得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. 合作交流 b2－4 ac 为什么一定要强调它不小于 0呢？如果它小于 0会出现什么情 况呢？ 展示反馈 学生在合作交流后展示小组学习成果。 1 当 b2－4ac＞0 时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相 等或不相等） 2 当 b2－4ac＝0 时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根 x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿ 3 当 b2－4ac＜0 时，方程＿＿＿＿＿＿实数根. 二、例题： 用公式法解下列方程: (1) x2-4x－7＝0； (2) x2+17＝8x 解: (1)a=___,b=____,c=_____ (2) a=___,b=____,c=_____ b2-4ac=___________________ b2-4ac=__________________ x=______________________ x=____________________ 即 x1=__________，x2=__________ 即 x1=__________，x2=__________ 三巩固练习 1、做一做： (1)方程 2x 2 -3x+1=0 中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ） (2)方程(2x-1) 2 =-4 中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）. (3)方程 3x 2 -2x+4=0 中， acb 42  =（）,则该一元二次方程（ ）实数根。 (4)不解方程，判断方程 x 2 -4x+4=0 的根的情况。 2、应用公式法解下列方程: (1) x2＋x－6＝0； (2) 4x2-6x＝0； (3) 3x2－6x－2＝0； (4) x2＋4x＋8＝11+4x. 小 结 1、一元二次方程的求根公式是什么？ 2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 课 后 练 习 1、应用公式法解下列方程: (1) x 2 ＋x－12＝0； (2) x 2 ＋2x＝0 (3) x 2 +4x+8＝2x+11； (4) x(x－4) ＝＝2－8x. 2、方程 x 2 -4x＋4＝0 的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根； C.有一个实数根； D.没有实数根. 3、下列关于 x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A．x 2 ＋1＝0 B. x 2 +x-1＝0 C. x 2 +2x＋3＝0 D. 4x 2 -4x＋1＝0 课后 课 后 反 思 达标测评 1、应用公式法解方程： (1) x 2 －6x＋1＝0； (2)2x 2 －x＝6； (3)4x 2 －3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1） 2 ＝2（x＋1）. 2、已知关于 x 的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当 m 取何值时： （1）它没有实数根。 （2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。 （3）它有两个不相等的实数根。 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿ 课题 因式分解法 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 4课时 学习目标 1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一 元二次方程。 2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问 题方法的多样性。 学习重点 用分解因式法解一元二次方程 学习难点 灵活用各种分解因式的方法解一元二次方程 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 分解因式方法的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P38－40 页，完成下列要求： 1理解并掌握用分解因式法解一元二次方程。 2注意灵活分解因式方法。 自 学 完 成 1：知识准备 将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a 2 -b 2 = ; a 2 ±2ab+b 2 = 因式分解的方法： 解下列方程． （1）2x 2 +x=0（用配方法） （2）3x 2 +6x=0（用公式法） 2：探究 仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？ 3、归纳： （1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的 形 式 ， 再 使 _________________________ ， 从 而 实 现 _____ ____________，这种解法叫做__________________。 （2）如果 0a b  ，那么 0a  或 0b  ，这是因式分解法的根据。如：如 果 ( 1)( 1) 0x x   ，那么 1 0x   或_______，即 1x   或________。 练习 1、说出下列方程的根： （1） ( 8) 0x x   （2） (3 1)(2 5) 0x x   练习 2、用因式分解法解下列方程： (1) x 2 -4x=0 (2) 4x 2 -49=0 (3) 5x 2 -10x+20=0 例 1、用因式分解法解下列方程 （1）x(x-2)+ x－2 =0 （2） 2 21 35 2 2 4 4 x x x x     小 结 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1） 将方程右边化为 （2） 将方程左边分解成两个一次因式的 （3） 令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程 （4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 反 馈 练 习 随堂训练 1、用因式分解法解下列方程 （1）x2+x=0 （2）x2-2 3 x=0 （3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0 （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2 2、把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求 小圆形场地的半径。 课后 课 后 反 思 达标测评 1．方程 ( 3) 0x x   的根是 2．方程 22( 1) 1x x   的根是________________ 3．方程 2x（x-2）=3（x-2）的解是_________ 4．方程（x-1）（x-2）=0 的两根为 x1、x2，且 x1>x2，则 x1-2x2的值等于___ 5．若（2x+3y）2+2（2x+3y）+4=0，则 2x+3y 的值为_________． 6．已知 y=x2-6x+9，当 x=______时，y的值为 0；当 x=_____时，y的值等于 9． 7．方程 x（x+1）（x-2）=0 的根是（ ） A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2 8．若关于 x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0 9．方程（x+4）（x-5）=1 的根为（ ） A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对 10、用因式分解法解下列方程： (1) (4 1)(5 7) 0x x   (2) 2 5x x (3) 3 ( 1) 2(1 )x x x   (4) 2( 1) 25 0x    (5) 22( 3) 9x x   (6) 2 216( 2) 9( 3)x x   11、一个直角三角形的两条直角边相差 5 厘米，面积是 7平方厘米，求斜边的长 12、用公式法和因式分解法解方程： x2-6x+9=(5-2x)2 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿ 课题 一元二次方程根的判 课型 新授课 别式（选学） 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 5课时 学习目标 1、了解什么是一元二次方程根的判别式； 2、 知道一元二次方程根的判别式的应用。 学习重点 如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况； 学习难点 根的判别式的变式应用 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 分解因式方法的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P40－42 页，完成下列要求： 1理解并掌握用分解因式法解一元二次方程。 2注意灵活分解因式方法。 自 学 完 成 复习引入 一元二次方程 ax 2 ＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数 a、b、c 满足条件 b 2 －4ac___0 时才有实数根 观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： 1 当 b 2 －4ac＞0 时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或 不相等） ②当 b 2 －4ac＝0 时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根 x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿ ③当 b 2 －4ac＜0 时，方程＿＿＿＿＿＿实数根. 精讲点拨 这里的 b 2 －4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示， 用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程 x 2 －x＋1＝0， 可由 b2 －4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根； 合作交流 方程根的判别式应用 1、不解方程，判断方程根的情况。 （1）x2 ＋2x－8＝0； （2）3x2 ＝4x－1； （3）x（3x－2）－6x2＝0； （4）x2＋( 3＋1)x＝0； （5）x（x＋8）＝16； （6）（x＋2）（x－5）＝1； 2．说明不论 m取何值，关于 x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等 的实数根. 解：把化为一般形式得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 拓展提高 应用判别式来确定方程中的待定系数。 （1）m取什么值时，关于 x的方程 x2-2x＋m－2＝0 有两个相等的实数根？ 求出这时方程的根. （2）m取什么值时，关于 x的方程 x2-(2m＋2)x＋m2-2m－2＝0 没有实数根？ 小 结 1、一使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？ 列举一元二次方程根的判别式的用途 反 馈 练 习 1、解下列方程： （3）x2 ＋( 3＋1)x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）； （5）（x＋1）（x－1）＝ x22 ； （6）x（x＋8）＝16； 2、讨论方程 2x 2 -4x＋7＝0 的根的情况 课后 课 后 反 思 达标测评 （A）1、方程 x 2 -4x＋4＝0 的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根； C.有一个实数根； D.没有实数根. 2、下列关于 x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A．x 2 ＋1＝0 B. x 2 +x-1＝0 C. x 2 +2x＋3＝0 D. 4x 2 -4x＋1＝0 3、若关于 x的方程 x 2 -x＋k＝0 没有实数根，则（ ） A.k＜ 4 1 B.k ＞ 4 1 C. k≤ 4 1 D. k≥ 4 1 4、关于 x的一元二次方程 x 2 -2x＋2k＝0 有实数根，则 k得范围是（ ） A.k＜ 2 1 B.k ＞ 2 1 C. k≤ 2 1 D. k≥ 2 1 5、ｋ取什么值时，关于 x的方程 4x 2 -(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0 有两个相等的实数根？求出这时方程的根. 6、说明不论ｋ取何值，关于 x的方程 x 2 ＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根. 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿ 课题 习题课 课型 复习课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 6课时 学习目标 能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题 的能力。 学习重点 选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。 学习难点 理解四种解法的区别与联系。 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 解方程的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P30－42 页，完成下列要求： 1理解并掌握解一元二次方程的方法。 2注意灵活各种方法。 自 学 完 成 复习提问 （1） 我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？ （2） 请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？ 练习一：分别用三种方法来解以下方程 （1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0 用因式分解法： 用配方法： 用公式法： 用因式分解法： 用配方法： 用公式法： 练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。 （1）12y2－25＝0； （你用_____________法） （2）x2－2x＝0； （你用_____________法） （3）x（x＋1）－5x＝0； （你用_____________法） （4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法） （5）3x2＝4x－1； （你用_____________法） （6） 3x2＝4x. （你用_____________法） 小 结 精讲点拨 观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开 平方法 因式分解法 公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公 式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直 接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。 课 堂 练 习 1、解下列方程 （1）（2x－1） 2 －1＝0； （2） 2 1 （x＋3） 2 ＝2； （3）x 2 ＋2x－8＝0； （4）3x 2 ＝4x－1； （5）x（3x－2）－6x 2 ＝0； （6）（2x－3） 2 ＝x 2 . 2、当 x 取何值时，能满足下列要求？ （1）3x2 －6 的值等于 21；（2）3x2 －6的值与 x－2的值相等. 3、用适当的方法解下列方程： （1）3x2 －4x＝2x； （2） 3 1 （x＋3） 2 ＝1； （3）x2 ＋( 3＋1)x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）； （5）（x＋1）（x－1）＝ x22 ； （6）x（x＋8）＝16； .4、已知 y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当 x 取何值时 y1＝y2？ 课后 课 后 反 思 拓展提高 1、已知(x 2 +y 2 )(x 2 +y 2 -1)-6=0，则 x 2 +y 2 的值是（ ） （A）3或-2 （B） -3 或 2 （C） 3 （D）-2 2、试求出下列方程的解： （1）(x 2 -x) 2 -5(x 2 -x)+6=0 （2） 1 1 21 2 2 2     x x x x 3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本 3000 元，售价每套 30 元．服装厂向 24 名家庭贫困学生免费 提供．经核算，这 24 套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？ 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿ 课题 实际问题与一元二次方程 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 1课时 学习目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．通过复习二元一次方 程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并 利用它解决实际问题． 学习重点 用“倍数关系”建立数学模型 学习难点 用“倍数关系”建立数学模型 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 解方程的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P31－34 页，完成下列要求： 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问 题． 自 学 完 成 一、复习引入 问题 1：列一元一次方程解应用题的步骤？ 1 _____________②_____________. ③_____________ ④______ ⑤_____________ ⑥_____________ 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模 型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学 模型解应用题呢？请同学们完成下面问题． （学生活动）探究 1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有 121 人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了 几个人? 分析: 1 第一轮传染 第二轮传染后 解 :设 每轮 传 染中 平 均一 个 人传 染 了 x 个 人 ,则 第一 轮 后共 有 __________ 人患了流感,第二轮后共有_____________ 人患了流感. 列方程得 _____________ 化简，得 _____________ 解方程,得 _____________ 根据问题的实际意义,x=_____________ 答:每轮传染中平均一个人传染了_____________个人. 思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗? 小 结 本节课应掌握： 1. 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它． 2. 列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5） 验——检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。（6）答 课 堂 练 习 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干 和小分支的总数是 91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出 x 个小分支, 2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛 2 场,计划安排 90 场比赛,应邀请多少个球队 参加比赛? 课后 课 后 反 思 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿ 课题 实际问题与一元二次方程 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 1课时 学习目标 如何解决增长率与降低率问题。 学习重点 如何解决增长率与降低率问题。 学习难点 解决增长率与降低率问题的公式a(1±x) n =b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n 为增长（或降低）的次数,b 为增长（或降低）后的量。 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 解方程的相关知识 课前 导 自学课本 P31－34 页，完成下列要求： 案 自 学 由“增长率与降低率”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决 实际问题． 自 学 完 成 探究 2 两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元,生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是 3000 元,生产 1 吨乙种 药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 _____________ 乙种药品成本的年平均下降额为 _____________ 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降 率 解:设甲种药品成本的年平均下降率为 x,则一年后甲种药品成本为_____________ 元,两年后甲种药品成本为 _____________元,依题意得 _____________ 解方程,得 _____________ 答:甲种药品成本的年平均下降率约为_____________ 算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率。 思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定 也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况? （经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的 价格.） 小 结 类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式 若平均增长(或降低)百分率为 x,增长(或降低)前的是 a,增长(或降低)n 次后的量 是 b,则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－) 课 堂 练 习 1 某林场现有木材 a 立方米，预计在今后两年内年平均增长 p%，那么两年后该林场有木 材多少立方米? 2 某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第 一季度共生产化工原料 60 万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 x，可列 出方程为__________． 3 公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的 营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有 256 个细菌，每轮繁殖中平均一个 细菌繁殖了多少个细菌？ 课后 课 后 反 思 课后检测 一、选择题 1．2005 年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100 家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共 250 家，设二、 三月份平均每月禽流感的感染率为 x，依题意列出的方程是（ ）． A．100（1+x） 2 =250 B．100（1+x）+100（1+x） 2 =250 C．100（1-x） 2 =250 D．100（1+x） 2 2．一台电视机成本价为 a元，销售价比成本价增加 25%，因库存积压，所以就按销售价的 70%出售，那么每台 售价为（ ）． A．（1+25%）（1+70%）a 元 B．70%（1+25%）a 元 C．（1+25%）（1-70%）a 元 D．（1+25%+70%）a 元 二、填空题 1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为 x，第一年的产量为 6 万 kg，第二年的产量为_______kg，第三年 的产量为_______，三年总产量为_______． 2． 我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在 1999 年涨价 30%后，2001 年降价 70%至 a元，则这种药品在 1999年涨价前价格是__________． 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿ 课题 实际问题与一元二次方程 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 3课时 学习目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 学习重点 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题． 学习难点 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P31－34 页，完成下列要求： 由“增长率与降低率”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决 实际问题． 自 学 完 成 例 1．某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m 2 ，上口宽 比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m 3 ，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 例 2．如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个 封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？ 九 年 级练 数 学习 同 步 思考： (1)本体中有哪些数量关系？ （2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ （）你有几种解法？ 解法一：设上下边衬宽均为 9xcm,左右边衬宽均为 7xcm,则有： 解法二:设正中央的矩形两边分别为 9xcm，7xcm。 小 结 课 堂 练 习 （一）、选择题 1．直角三角形两条直角边的和为 7，面积为 6，则斜边为（ ）． A． 37 B．5 C． 38 D．7 2．有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长比第一块的长少 2m，宽是第一块宽 的 3 倍，已知第二块木板的面积比第一块大 108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）． A．第一块木板长 18m，宽 9m，第二块木板长 16m，宽 27m; B．第一块木板长 12m，宽 6m，第二块木板长 10m，宽 18m; C．第一块木板长 9m，宽 4.5m，第二块木板长 7m，宽 13.5m; D．以上都不对 3．从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，则原来的正方形铁 片的面积是（ ）． A．8cm B．64cm C．8cm 2 D．64cm 2 图 22-10 （二）、综合提高题 1．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总 长为 35m，所围的面积为 150m 2 ，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？． 2．在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m 2 的长方形花 台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 3．谁能量出道路的宽度: 如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块 地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的 绳子一条，如何量出道路的宽度? 课后 课 后 反 思 课后检测 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿ 课题 实际问题与一元二次方程 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 4课时 学习目标 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法． 学习重点 如何全面地比较几个对象的变化状况 学习难点 某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P31－34 页，完成下列要求： 由“增长率与降低率”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决 实际问题． 自 学 完 成 复习引入 问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现， 如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张，商场要想 平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元? 老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价 x 元，则每件平 均利润应是 元，总件数应是 解：设每张贺年卡应降价 x 元 二、自主探究： 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为 2500 元，市场调研表明： 当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就 能多售出 4 台．乙种冰箱每台进货价为 2000 元，市场调研表明：当销售价为 2500 元时， 平均每天能售出 8台；而当销售价每降低 45 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场 要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，求这个小组共有多少人． 2．上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商场七月份利率 为 200 万元，九月份的利润为 288 万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 3．某果园有 100 棵桃树，一棵桃树平均结 1000 个桃子，现准备多种一些桃树以提高 产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个，如果要使产 量增加 15.2%，那么应多种多少棵桃树? 小 结 课 堂 练 习 1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，求这个小组共有多少人． 2．上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商场七月份利率 为 200 万元，九月份的利润为 288 万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 3．某果园有 100 棵桃树，一棵桃树平均结 1000 个桃子，现准备多种一些桃树以提高 产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个，如果要使产 量增加 15.2%，那么应多种多少棵桃树? 课后 课 后 反 思 课后检测 新人教版九年级数学上期导学案 班级＿＿＿＿＿ 学习小组＿＿＿＿＿ 学生姓名＿＿＿＿＿ 课题 实际问题与一元二次方程 课型 新授课 年级 九年级 单元 第 22 单元 课时 第 4课时 学习目标 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法． 学习重点 能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 学习难点 1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。 2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式的相关知识 课前 导 案 自 学 自学课本 P31－34 页，完成下列要求： 由“增长率与降低率”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决 实际问题． 自 学 完 成 复习引入 问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现， 如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张，商场要想 平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元? 老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价 x 元，则每件平 均利润应是 元，总件数应是 解：设每张贺年卡应降价 x 元 二、自主探究： 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为 2500 元，市场调研表明： 当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就 能多售出 4 台．乙种冰箱每台进货价为 2000 元，市场调研表明：当销售价为 2500 元时， 平均每天能售出 8台；而当销售价每降低 45 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场 要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，求这个小组共有多少人． 2．上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商场七月份利率 为 200 万元，九月份的利润为 288 万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 3．某果园有 100 棵桃树，一棵桃树平均结 1000 个桃子，现准备多种一些桃树以提高 产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个，如果要使产 量增加 15.2%，那么应多种多少棵桃树? 小 结 课 堂 练 习 1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，求这个小组共有多少人． 2．上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商场七月份利率 为 200 万元，九月份的利润为 288 万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 3．某果园有 100 棵桃树，一棵桃树平均结 1000 个桃子，现准备多种一些桃树以提高 产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个，如果要使产 量增加 15.2%，那么应多种多少棵桃树? 课后 课 后 反 思 课后检测