华师版九年级上册数学同步课件-第24章-24解直角三角形及其简单应用

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华师版九年级上册数学同步课件-第24章-24解直角三角形及其简单应用

第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形及其简单应用 B A C c b a (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____; (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=_____; (3)边角之间的关系:sinA=_____,cosA=_____, tanA=_____. 在Rt△ABC中,共有六个元素(三条边,三个角),其中 ∠C=90°,那么其余五个元素之间有怎样的关系呢? c2 90° a c b c a b 探究:比萨铁塔倾斜问题,设塔顶中心点为B,塔身中心线 与垂直中心线的夹角为∠A,过B点向垂直中心线引垂线,垂 足为点C(如图),在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m, AB=54.5m. 0954.0 5.54 2.5sin  AB BCA 所以∠A≈5°28′ 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直 中心线的夹角.你愿意试着计算一下吗? A BC A BC 已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用1 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与 地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子, 问: (1)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角a等于多 少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子? (2)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)? 例1 对于问题(1),当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地 面所成的角a的问题,可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC =2.4,斜边AB=6,求锐角a的度数 由于 4.0 6 4.2cos  AB ACa 利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时,梯子 与地面所成的角大约是66°. 由50°<66°<75°可知, 这时使用这个梯子是安全的. A B C α 在图中的Rt△ABC中, (1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角 形的其他元素吗? sin sin 6 sin 75BCA BC AB A AB       cos cos 6 cos 75ACA AC AB A AB       90 90 90 75 15 .        A B B A     A B C α 6 =75° 已知一边和一锐角解直角三角形2 例2 在图中的Rt△ABC中, (2)根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角 形的其他元素吗? 2 2 2 2 2 2 26 2.4 5.5AB AC BC BC AB AC        2.4cos cos 0.4 66 6 ACA A A AB        90 90 90 66 24        A B B A     A B C α 6 2.4 由 , 得 问题(2)可以归结为:在Rt △ABC中,已知∠A=75°, 斜边AB=6,求∠A的对边BC的长. 问题(2)当梯子与地面所成的角a为75°时,梯子顶端 与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度. 因此使用这个梯子能够安全攀到 墙面的最大高度约是5.8 m. AB BCA sin 75sin6sin  AABBC 所以 BC≈6×0.97≈5.8(m). 由计算器求得 sin 75°≈0.97. A B C . 事实上,在直角三角形的六个元素中, 除直角外,如果再知道两个元素(其 中至少有一个是边),这个三角形就 可以确定下来,这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素. A Ba b c C 解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素 的过程. 1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ,解 这个直角三角形. 6,2  BCAC 解: 3 2 6tan  AC BCA 60 A  30609090  AB 222  ACAB A BC 2 6 , , , . 2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6, ∠BAC的平分 线 ,解这个直角三角形.4 3AD  D A BC 6 4 3 解: 6 3cos 24 3 ACCAD AD     30CAD   因为AD平分∠BAC 60 , 30CAB B      12, 6 3AB BC   3.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (1)a = 30 , b = 20 ; 解:根据勾股定理,得 2 2 2 230 20 10 13    c a b 30 3tan 1.5 20 2 aA b     56.3A   90 90 56.3 33.7B A         A B Cb=20 a=30 c , , , . 在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (2) ∠B=72°,c = 14. A B C b a c=14 解: sin bB c  sin 14 sin 72 13.3b c B    90 72 18A      cos aB c  cos 14 cos 72 4.33   a c B  , , , , . 4. 如下图,某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾 斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险, 那么梯子的长至少为多少米? 解:如图所示,依题意可知,当∠B=60°时, 即梯子的长至少3.5米. C A B (2)两锐角之间的关系: ∠A+∠B=90°. (3)边角之间的关系: c aAA    斜边 的对边sin c bBB    斜边 的对边sin c bAA    斜边 的邻边cos c aBB    斜边 的邻边cos b a A AA     的邻边 的对边tan a b B BB     的邻边 的对边tan (1)三边之间的关系: 222 cba  (勾股定理). A Ba b c C ★在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系: 1.数形结合思想. ★方法:把数学问题转化成解直角三角形问题,如果 示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,构造 出直角三角形. 2.方程思想. 3.转化(化归)思想. ★解题思想与方法小结
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