2020年贵州省贵阳市中考数学试卷【含答案】

2020年贵州省贵阳市中考数学试卷【含答案】

1 / 12 2020 年贵州省贵阳市中考数学试卷 一、选择题：以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B 铅笔在答题卡相应位置作答，每小题 3 分，共 30 分． 1. 计算(−3) × 2的结果是（ ） A.−6 B.−1 C.1 D.6 2. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红 球可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 3. 2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性 进行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63， 75，79，68，85，82，69，70．获得这组数据的方法是（ ） A.直接观察 B.实验 C.调查 D.测量 4. 如图，直线푎，푏相交于点푂，如果∠1 + ∠2＝60∘，那么∠3是（ ） A.150∘ B.120∘ C.60∘ D.30∘ 5. 当푥＝1时，下列分式没有意义的是（ ） A.푥+1 푥 B. 푥 푥−1 C.푥−1 푥 D. 푥 푥+1 6. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ） A. B. C. D. 7. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A.5 B.20 C.24 D.32 8. 已知푎 < 푏，下列式子不一定成立的是（ ） A.푎 − 1 < 푏 − 1 B.−2푎 > −2푏 C.1 2 푎 + 1 < 1 2 푏 + 1 D.푚푎 > 푚푏 9. 如图，푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐶＝90∘，利用尺规在퐵퐶，퐵퐴上分别截取퐵퐸，퐵퐷，使퐵퐸 ＝퐵퐷；分别以퐷，퐸为圆心、以大于1 2 퐷퐸的长为半径作弧，两弧在∠퐶퐵퐴内交于点퐹； 作射线퐵퐹交퐴퐶于点퐺．若퐶퐺＝1，푃为퐴퐵上一动点，则퐺푃的最小值为（ ） A.无法确定 B.1 2 C.1 D.2 10. 已知二次函数푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐的图象经过(−3,  0)与(1,  0)两点，关于푥的方程 푎푥2 + 푏푥 + 푐 + 푚＝0(푚 > 0)有两个根，其中一个根是3．则关于푥的方程푎푥2 + 푏푥 + 푐 + 푛＝0 (0 < 푛 < 푚)有两个整数根，这两个整数根是（ ） A.−2或0 B.−4或2 C.−5或3 D.−6或4 2 / 12 二、填空题：每小题 4 分，共 20 分． 11. 化简푥(푥 − 1) + 푥的结果是________． 12. 如图，点퐴是反比例函数푦 = 3 푥 图象上任意一点，过点퐴分别作푥轴，푦轴的垂线， 垂足为퐵，퐶，则四边形푂퐵퐴퐶的面积为________． 13. 在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字 “1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变 化趋势接近的值是________． 14. 如图，△ 퐴퐵퐶是⊙ 푂的内接正三角形，点푂是圆心，点퐷，퐸分别在边퐴퐶，퐴퐵上， 若퐷퐴＝퐸퐵，则∠퐷푂퐸的度数是________度． 15. 如图，△ 퐴퐵퐶中，点퐸在边퐴퐶上，퐸퐵＝퐸퐴，∠퐴＝2∠퐶퐵퐸，퐶퐷垂直于퐵퐸的延长 线于点퐷，퐵퐷＝8，퐴퐶＝11，则边퐵퐶的长为________． 三、解答题：本大题 10 小题，共 100 分． 16. 如图，在4 × 4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按 下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 3 / 12 17. 2020年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔 课”．为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学 生．根据调查结果，绘制出了如图统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列 问题： 部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表 时间/ℎ 1.5 2 2.5 3 3.5 4 人数/人 2 6 6 10 푚 4 （1）本次共调查的学生人数为________，在表格中，푚＝________； （2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是________，众数是 ________； （3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法． 18. 如图，四边形퐴퐵퐶퐷是矩形，퐸是퐵퐶边上一点，点퐹在퐵퐶的延长线上，且퐶퐹＝퐵퐸． （1）求证：四边形퐴퐸퐹퐷是平行四边形； （2）连接퐸퐷，若∠퐴퐸퐷＝90∘，퐴퐵＝4，퐵퐸＝2，求四边形퐴퐸퐹퐷的面积． 4 / 12 19. 如图，一次函数푦＝푥 + 1的图象与反比例函数푦 = 푘 푥 的图象相交，其中一个交点的 横坐标是2． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数푦＝푥 + 1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数 푦 = 푘 푥 图象的交点坐标； （3）直接写出一个一次函数，使其过点(0,  5)，且与反比例函数푦 = 푘 푥 的图象没有公共 点． 20. “2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动，规则是：准 备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手 册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领 取卡片上相应的书籍． （1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽 出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率； （2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后， 任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为5 7 ，那么应添加多少张《消 防知识手册》卡片？请说明理由． 5 / 12 21. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋， 如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高퐴퐵所在的直线， 为了测量房屋的高度，在地面上퐶点测得屋顶퐴的仰角为35∘，此时地面上퐶点、屋檐上 퐸点、屋顶上퐴点三点恰好共线，继续向房屋方向走8푚到达点퐷时，又测得屋檐퐸点的 仰角为60∘，房屋的顶层横梁퐸퐹＝12푚，퐸퐹 // 퐶퐵，퐴퐵交퐸퐹于点퐺（点퐶，퐷，퐵在同 一水平线上）．（参考数据：sin35∘ ≈ 0.6，cos35∘ ≈ 0.8，tan35∘ ≈ 0.7，√3 ≈ 1.7） （1）求屋顶到横梁的距离퐴퐺； （2）求房屋的高퐴퐵（结果精确到1푚）． 22. 第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁 毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活 委员对话如下： （1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了； （2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本 的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多 少元？ 6 / 12 23. 如图，퐴퐵为⊙ 푂的直径，四边形퐴퐵퐶퐷内接于⊙ 푂，对角线퐴퐶，퐵퐷交于点퐸，⊙ 푂的切线퐴퐹交퐵퐷的延长线于点퐹，切点为퐴，且∠퐶퐴퐷＝∠퐴퐵퐷． （1）求证：퐴퐷＝퐶퐷； （2）若퐴퐵＝4，퐵퐹＝5，求sin∠퐵퐷퐶的值． 24. 2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解 学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累 计人数푦（人）与时间푥（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9 ∼ 15表示9 < 푥 ≤ 15） 时间푥（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 ∼ 15 人数푦（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 （1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函 数知识求出푦与푥之间的函数关系式； （2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测 20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需 要多少时间？ （3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应 该至少增加几个检测点？ 7 / 12 25. 如图，四边形퐴퐵퐶퐷是正方形，点푂为对角线퐴퐶的中点． （1）问题解决：如图①，连接퐵푂，分别取퐶퐵，퐵푂的中点푃，푄，连接푃푄，则푃푄与 퐵푂的数量关系是________，位置关系是________； （2）问题探究：如图②，△ 퐴푂′퐸是将图①中的△ 퐴푂퐵绕点퐴按顺时针方向旋转45∘得 到的三角形，连接퐶퐸，点푃，푄分别为퐶퐸，퐵푂′的中点，连接푃푄，푃퐵．判断△ 푃푄퐵的 形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△ 퐴푂′퐸是将图①中的△ 퐴푂퐵绕点퐴按逆时针方向旋转45∘得 到的三角形，连接퐵푂′，点푃，푄分别为퐶퐸，퐵푂′的中点，连接푃푄，푃퐵．若正方形 퐴퐵퐶퐷的边长为1，求△ 푃푄퐵的面积． 8 / 12 参考答案与试题解析 2020 年贵州省贵阳市中考数学试卷 一、选择题：以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B 铅笔在答题卡相应位置作答，每小题 3 分，共 30 分． 1.A 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.C 10.B 二、填空题：每小题 4 分，共 20 分． 11.푥2 12.3 13.1 6 14.120 15.4√5 三、解答题：本大题 10 小题，共 100 分． 16.如图①中，△ 퐴퐵퐶即为所求． 如图②中，△ 퐴퐵퐶即为所求． △ 퐴퐵퐶即为所求． 17.50,22 3.5ℎ,3.5ℎ 就疫情期间如何学习的问题，我的看法是：认真听课，独立思考（答案不唯一）． 18.证明：∵ ∠四边形퐴퐵퐶퐷是矩形， ∴ 퐴퐷 // 퐵퐶，퐴퐷＝퐵퐶， ∵ 퐵퐸＝퐶퐹， ∴ 퐵퐸 + 퐸퐶＝퐸퐶 + 퐸퐹，即퐵퐶＝퐸퐹， ∴ 퐴퐷＝퐸퐹， ∴ 四边形퐴퐸퐹퐷是平行四边形； 连接퐷퐸，如图， ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是矩形， ∴ ∠퐵＝90∘， 在푅푡 △ 퐴퐵퐸中，퐴퐸 = √42 + 22 = 2√5， ∵ 퐴퐷 // 퐵퐶， ∴ ∠퐴퐸퐵＝∠퐸퐴퐷， ∵ ∠퐵＝∠퐴퐸퐷＝90∘， ∴ △ 퐴퐵퐸 ∽△ 퐷퐸퐴， ∴ 퐴퐸: 퐴퐷＝퐵퐸: 퐴퐸， ∴ 퐴퐷 = 2√5×2√5 2 = 10， 9 / 12 ∴ 四边形퐴퐸퐹퐷的面积＝퐴퐵 × 퐴퐷＝2 × 10＝20． 19.将푥＝2代入푦＝푥 + 1＝3，故其中交点的坐标为(2,  3)， 将(2,  3)代入反比例函数表达式并解得：푘＝2 × 3＝6， 故反比例函数表达式为：푦 = 6 푥 ①； 一次函数푦＝푥 + 1的图象向下平移2个单位得到푦＝푥 − 1②， 联立①②并解得：{푥 = −2 푦 = −3 {푥 = 3 푦 = 2 ， 故交点坐标为(−2, −3)或(3,  2)； 设一次函数的表达式为：푦＝푘푥 + 5③， 联立①③并整理得：푘푥2 + 5푥 − 6 − 0， ∵ 两个函数没有公共点，故△＝25 + 24푘 < 0，解得：푘 < − 25 24 ， 故可以取푘＝−2（答案不唯一）， 故一次函数表达式为：푦＝−2푥 + 5（答案不唯一）． 20.把《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别即为퐴、퐵、퐶， 画树状图如图： 共有6个等可能的结果，恰好抽到2张卡片都是《辞海》的结果有2个， ∴ 恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率为2 6 = 1 3 ； 设应添加푥张《消防知识手册》卡片， 由题意得：1+푥 3+푥 = 5 7 ， 解得：푥＝4， 经检验，푥＝4是原方程的解； 答：应添加4张《消防知识手册》卡片． 21.屋顶到横梁的距离퐴퐺为4.2米； 房屋的高퐴퐵为14米． 22.设单价为6元的钢笔买了푥支，则单价为10元的钢笔买了(100 − 푥)支，根据题意， 得： 6푥 + 10(100 − 푥)＝1300 − 378， 解得푥＝19.5， 因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了； 设笔记本的单价为푎元，根据题意，得： 6푥 + 10(100 − 푥) + 푎＝1300 − 378， 整理，得：푥 = 1 4 푎 + 39 2 ， 因为0 < 푎 < 10，푥随푎的增大而增大，所以19.5 < 푥 < 22， ∵ 푥取整数， ∴ 푥＝20，21． 当푥＝20时，푎＝4 × 20 − 78＝2； 当푥＝21时，푎＝4 × 21 − 78＝6， 所以笔记本的单价可能是2元或6元． 23.证明：∵ ∠퐶퐴퐷＝∠퐴퐵퐷， 10 / 12 又∵ ∠퐴퐵퐷＝∠퐴퐶퐷， ∴ ∠퐴퐶퐷＝∠퐶퐴퐷， ∴ 퐴퐷＝퐶퐷； ∵ 퐴퐹是⊙ 푂的切线， ∴ ∠퐹퐴퐵＝90∘， ∵ 퐴퐵是⊙ 푂的直径， ∴ ∠퐴퐶퐵＝∠퐴퐷퐵＝∠퐴퐷퐹＝90∘， ∴ ∠퐴퐵퐷 + ∠퐵퐴퐷＝∠퐵퐴퐷 + ∠퐹퐴퐷＝90∘， ∴ ∠퐴퐵퐷＝∠퐹퐴퐷， ∵ ∠퐴퐵퐷＝∠퐶퐴퐷， ∴ ∠퐹퐴퐷＝∠퐸퐴퐷， ∵ 퐴퐷＝퐴퐷， ∴ △ 퐴퐷퐹 ≅△ 퐴퐷퐸(퐴푆퐴)， ∴ 퐴퐹＝퐴퐸，퐷퐹＝퐷퐸， ∵ 퐴퐵＝4，퐵퐹＝5， ∴ 퐴퐹 = √퐵퐹2 − 퐴퐵2 = 3， ∴ 퐴퐸＝퐴퐹＝3， ∵ 푆△퐴퐵퐹 = 1 2 퐴퐵 ⋅ 퐴퐹 = 1 2 퐵퐹 ⋅ 퐴퐷， ∴ 퐴퐷 = 퐴퐵⋅퐴퐹 퐵퐹 = 4×3 5 = 12 5 ， ∴ 퐷퐸 = √퐴퐸2 − 퐴퐷2 = √32 − (24 5 )2 = 9 5 ， ∴ 퐵퐸＝퐵퐹 − 2퐷퐸 = 7 5 ， ∵ ∠퐴퐸퐷＝∠퐵퐸퐶，∠퐴퐷퐸＝∠퐵퐶퐸＝90∘， ∴ △ 퐵퐸퐶 ∽△ 퐴퐸퐷， ∴ 퐵퐸 퐴퐸 = 퐵퐶 퐴퐷 ， ∴ 퐵퐶 = 퐵퐸⋅퐴퐷 퐴퐸 = 28 25 ， ∴ sin∠퐵퐴퐶 = 퐵퐶 퐴퐵 = 7 25 ， ∵ ∠퐵퐷퐶＝∠퐵퐴퐶， ∴ sin∠퐵퐷퐶 = 7 25 ． 24.由表格中数据的变化趋势可知， ①当0 ≤ 푥 ≤ 9时，푦是푥的二次函数， ∵ 当푥＝0时，푦＝0， ∴ 二次函数的关系式可设为：푦＝푎푥2 + 푏푥， 由题意可得：{ 170 = 푎 + 푏 450 = 9푎 + 3푏 ， 解得：{푎 = −10 푏 = 180 ， ∴ 二次函数关系式为：푦＝−10푥2 + 180푥， ②当9 < 푥 ≤ 15时，푦＝810， ∴ 푦与푥之间的函数关系式为：푦 = {−10푥2 + 180푥(0 ≤ 푥 ≤ 9) 810(9 < 푥 ≤ 15) ； 设第푥分钟时的排队人数为푤人， 由题意可得：푤＝푦 − 40푥 = {−10푥2 + 140푥(0 ≤ 푥 ≤ 9) 810 − 40푥(9 < 푥 ≤ 15) ， ①当0 ≤ 푥 ≤ 9时，푤＝−10푥2 + 140푥＝−10(푥 − 7)2 + 490， ∴ 当푥＝7时，푤的最大值＝490， ②当9 < 푥 ≤ 15时，푤＝810 − 40푥，푤随푥的增大而减小， ∴ 210 ≤ 푤 < 450， 11 / 12 ∴ 排队人数最多时是490人， 要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810 − 40푥＝0， 解得：푥＝20.25， 答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟； 设从一开始就应该增加푚个检测点，由题意得：12 × 20(푚 + 2) ≥ 810， 解得푚 ≥ 11 8 ， ∵ 푚是整数， ∴ 푚 ≥ 11 8 的最小整数是2， ∴ 一开始就应该至少增加2个检测点． 25.푃푄 = 1 2 퐵푂,푃푄 ⊥ 퐵푂 △ 푃푄퐵的形状是等腰直角三角形．理由如下： 连接푂′푃并延长交퐵퐶于点퐹， ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是正方形， ∴ 퐴퐵＝퐵퐶，∠퐴퐵퐶＝90∘， ∵ 将△ 퐴푂퐵绕点퐴按顺时针方向旋转45∘得到△ 퐴푂′퐸， ∴ △ 퐴푂′퐸是等腰直角三角形，푂′퐸 // 퐵퐶，푂′퐸＝푂′퐴， ∴ ∠푂′퐸푃＝∠퐹퐶푃，∠푃푂′퐸＝∠푃퐹퐶， 又∵ 点푃是퐶퐸的中点， ∴ 퐶푃＝퐸푃， ∴ △ 푂′푃퐸 ≅△ 퐹푃퐶(퐴퐴푆)， ∴ 푂′퐸＝퐹퐶＝푂′퐴，푂′푃＝퐹푃， ∴ 퐴퐵 − 푂′퐴＝퐶퐵 − 퐹퐶， ∴ 퐵푂′＝퐵퐹， ∴ △ 푂′퐵퐹为等腰直角三角形． ∴ 퐵푃 ⊥ 푂′퐹，푂′푃＝퐵푃， ∴ △ 퐵푃푂′也为等腰直角三角形． 又∵ 点푄为푂′퐵的中点， ∴ 푃푄 ⊥ 푂′퐵，且푃푄＝퐵푄， ∴ △ 푃푄퐵的形状是等腰直角三角形； 延长푂′퐸交퐵퐶边于点퐺，连接푃퐺，푂′푃． ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是正方形，퐴퐶是对角线， ∴ ∠퐸퐶퐺＝45∘， 由旋转得，四边形푂′퐴퐵퐺是矩形， ∴ 푂′퐺＝퐴퐵＝퐵퐶，∠퐸퐺퐶＝90∘， ∴ △ 퐸퐺퐶为等腰直角三角形． ∵ 点푃是퐶퐸的中点， ∴ 푃퐶＝푃퐺＝푃퐸，∠퐶푃퐺＝90∘，∠퐸퐺푃＝45∘， ∴ △ 푂′퐺푃 ≅△ 퐵퐶푃(푆퐴푆)， ∴ ∠푂′푃퐺＝∠퐵푃퐶，푂′푃＝퐵푃， 12 / 12 ∴ ∠푂′푃퐺 − ∠퐺푃퐵＝∠퐵푃퐶 − ∠퐺푃퐵＝90∘， ∴ ∠푂′푃퐵＝90∘， ∴ △ 푂′푃퐵为等腰直角三角形， ∵ 点푄是푂′퐵的中点， ∴ 푃푄 = 1 2 푂′퐵＝퐵푄，푃푄 ⊥ 푂′퐵， ∵ 퐴퐵＝1， ∴ 푂′퐴 = √2 2 ， ∴ 푂′퐵 = √푂′퐴2 + 퐴퐵2 = √(√2 2 )2 + 12 = √6 2 ， ∴ 퐵푄 = √6 4 ． ∴ 푆△푃푄퐵 = 1 2 퐵푄 ⋅ 푃푄 = 1 2 × √6 4 × √6 4 = 3 16 ．