北师大版中考数学复习资料大全集，精品系列，高分必备

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北师大版中考数学复习资料大全集，精品系列，高分必备 一次函数与反比例函数的综合运用 一次函数与反比例函数的综合运用，是中考出题的一个热点内容．利用数形 结合思想解决一次函数与反比例函数的综合问题是一种有效的策略和手段． 2011—2015 年北京中考知识点对比 题型 年份 2011 2012 2013 2014 2015 题型 一次函 数与反 比例函 数综合 一次函 数与 反比例 函数 综合 一元二 次方程 综合 一元二 次方 程综合 一次函 数与反 比例函 数综合 1．[2015·北京] 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝kx＋b(k≠0)与双曲线 y＝ 8 x 的一个交点为 P(2，m)，与 x轴、y轴分别交于点 A，B. (1)求 m 的值； (2)若 PA＝2AB，求 k的值． 2．[2012·北京] 如图 Z3－1，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ 4 x (x＞0) 的图象与一次函数 y＝kx－k 的图象的交点为点 A(m，2)． (1)求一次函数的解析式； (2)设一次函数 y＝kx－k 的图象与 y轴交于点 B，若 P是 x轴上一点，且满 足△PAB 的面积是 4，直接写出点 P的坐标． 图 Z3－1 3．[2011·北京] 如图 Z3－2，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝－ 2x 的图象与反比例函数 y＝ k x 的图象的一个交点为 A(－1，n). (1)求反比例函数 y＝ k x 的解析式； (2)若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA＝OA，直接写出点 P的坐标． 图 Z3－2 1．[2015·东城一模] 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A (－4，2)向 x轴作 垂线，垂足为 B，连接 AO.双曲线 y＝ k x 经过斜边 AO 的中点 C，与边 AB 交于 点 D. (1)求反比例函数的解析式； (2)连接 OD，求△BOD 的面积． 图 Z3－3 2．[2014·顺义一模] 如图 Z3－4，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y ＝ax＋b 的图象与反比例函数 y＝ k x 的图象交于第一、三象限的 A，B两点， 与 x轴交于点 C.已知 A(2，m)，B(n，－2)，tan∠BOC＝ 2 5 . (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△OBC 的面积． 图 Z3－4 3．[2014·大兴一模] 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l与直线 y＝－2x 关 于 y轴对称，直线 l与反比例函数 y＝ k x 的图象的一个交点为 A(2，m)． (1)试确定反比例函数的解析式； (2)若过点 A的直线与 x轴交于点 B，且∠ABO＝ 45°，直接写出点 B的坐标． 4．[2014·密云一模] 如图 Z3－5，在方格纸中(小正方形的边长为 1)，反 比例函数 y＝ k x 的图象与直线的交点 A，B均在格点上，根据所给的直角坐标 系(O 是坐标原点)，解答下列问题： (1)①分别写出点 A，B的坐标； ②把直线 AB 向右平移 5个单位，再向上平移 5个单位，求出平移后的直线 A′B′的函数解析式． (2)若点 C在函数 y＝ k x 的图象上，△ABC 是以 AB 为底的等腰三角形，请写出 点 C的坐标． 图 Z3－5 5．[2014·门头沟一模] 一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝ m x 的图象交于 A(1，4)，B(－2，n)两点． (1)求 m 的值； (2)求 k 和 b 的值； (3)结合图象直接写出不等式 m x －kx－b>0 的解集． 图 Z3－6 6．[2015·东城二模] 一次函数 y＝k1x＋b 的图象经过 A(0，－2)，B(1，0) 两点，与反比例函数 y＝ k2 x 的图象在第一象限内的交点为 M(m，4)． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)在 x 轴上是否存在点 P，使 AM⊥MP？若存在，求出点 P的坐标；若不存 在，说明理由． 7．[2015·朝阳二模] 如图 Z3－7，一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比 例函数 y＝ m x (m≠0)的图象交于 A(－3，1)，B(1，n)两点． (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)设直线 AB 与 y 轴交于点 C，若点 P在 x轴上，使 BP＝AC，请直接写出点 P的坐标． 图 Z3－7 8．[2014·海淀一模] 如图 Z3－8，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y ＝ax－a(a 为常数)的图象与 y轴相交于点 A，与函数 y＝ 2 x (x>0)的图象相交 于点 B(m，1)． (1)求点 B的坐标及一次函数的解析式； (2)若点 P在 y轴上，且△PAB 为直角三角形，请直接写出点 P的坐标． 图 Z3－8 9．[2014·西城一模] 平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝x＋n和反比例 函数 y＝－ 6 x 的图象都经过点 A(3，m)． (1)求 m 的值和一次函数的解析式； (2)点 B 在双曲线 y＝－ 6 x 上，且位于直线 y＝x＋n的下方，若点 B的横、纵 坐标都是整数，直接写出点 B的坐标． 10．[2014·朝阳一模] 如图 Z3－9，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AD＝6，A(1，0)，B(9，0)，直线 y＝kx＋b 经过 B，D两点． (1)求直线 y＝kx＋b 的解析式； (2)将直线 y＝kx＋b 平移，当它与矩形没有公共点时，直接写出 b的取值范 围． 图 Z3－9 11．[2014·昌平一模] 反比例函数 y＝ m＋1 x 在第二象限的图象如图 Z3－10 所示． (1)直接写出 m的取值范围； (2)若一次函数 y＝－ 1 2 x＋1 的图象与上述反比例函数图象交于点 A，与 x轴 交于点 B，△AOB 的面积为 3 2 ，求 m的值． 图 Z3－10 12．[2014·延庆一模] 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝3x 的图象 与反比例函数 y＝ k x 的图象的一个交点为 A(1，n)． (1)求反比例函数 y＝ k x 的解析式； (2)若 P 是坐标轴上一点(P 不与 O重合)，且满足 PA＝OA，直接写出点 P的 坐标． 参考答案 北京真题体验 1.解：(1)∵点 P(2，m)在双曲线 y＝ 8 x 上， ∴m＝ 8 2 ＝4. (2)∵P(2，4)在直线 y＝kx＋b 上， ∴4＝2k＋b， b＝4－2k. ∵直线 y＝kx＋b 与 x 轴，y轴交于 A，B两点， ∴A(2－ 4 k ，0)，B(0，4－2k)． ∵PA＝2AB，过点 P作 PD⊥x 轴于点 D. (i)若 PB＝AB，则 OD＝OA＝2， ∴ 4 k －2＝2， ∴k＝1. (ii)若 PA＝2AB，PD＝2OB＝4， ∴OB＝2，2k－4＝2， k＝3， ∴k＝1或 k＝3. 2．(1)y＝2x－2 (2)P 的坐标为(3，0)或(－1，0) 3．(1)y＝ －2 x (2)P 的坐标为(－2，0)或(0，4) 北京专题训练 解：(1)过点 C向 x轴作垂线，垂足为 E. ∵CE⊥x 轴，AB⊥x 轴，A(－4，2)， ∴CE∥AB，B(－4，0). ∴ OE OB ＝ OC OA ＝ CE AB ＝ 1 2 . ∵OB＝4，AB＝2， ∴OE＝2，CE＝1. ∴C(－2，1). ∵双曲线 y＝ k x 经过点 C，∴k＝－2. ∴反比例函数的解析式为 y＝－ 2 x . (2)∵点 D在 AB 上， ∴点 D的横坐标为－4. ∵点 D在双曲线 y＝－ 2 x 上， ∴点 D的纵坐标为 1 2 . ∴S△BOD＝ 1 2 ·OB·BD＝ 1 2 ×4× 1 2 ＝1. 2．解：(1)过点 B作 BD⊥x 轴于点 D， ∵B(n，－2)，tan∠BOC＝ 2 5 ， ∴BD＝2，OD＝5. ∴B(－5，－2)． 把 B(－5，－2)的坐标代入反比例函数 y＝ k x 中，得 k＝10. ∴反比例函数的解析式为 y＝ 10 x . ∴A(2，5)． 将 A(2，5)，B(－5，－2)的坐标代入一次函数 y＝ax＋b 中，得 2k＋b＝5， －5k＋b＝－2， 解得 k＝1， b＝3. ∴一次函数的解析式为 y＝x＋3. (2)令 y＝0，得 x＝－3. ∴一次函数 y＝x＋3的图象与 x轴交于点 C(－3，0)． ∴S△OBC＝ 1 2 OC·BD＝ 1 2 ×3×2＝3. 3．解：由题意，直线 l与直线 y＝－2x 关于 y轴对称， ∴直线 l的函数解析式为 y＝2x. ∵点 A(2，m)在直线 l上， ∴m＝2×2＝4. ∵点 A的坐标为(2，4)． 又∵点 A(2，4)在反比例函数 y＝ k x 的图象上， ∴4＝ k 2 ， ∴k＝8. ∴反比例函数的解析式为 y＝ 8 x . (2)点 B 的坐标为(6，0)或(－2，0)． 4．解：(1)①A(－1，－4)，B(－4，－1)， ②平移后的直线 A′B′的函数解析式为 y＝－x＋5. (2)C 点坐标为(－2，－2)或(2，2)． 5．解：(1)∵反比例函数 y＝ m x 的图象过点 A(1，4)， ∴m＝4. (2)∵点 B(－2，n)在反比例函数 y＝ 4 x 的图象上， ∴n＝－2. ∴点 B的坐标为(－2，－2)． ∵直线 y＝kx＋b 过点 A(1，4)，B(－2，－2)， ∴ k＋b＝4， －2k＋b＝－2， 解得 k＝2， b＝2. (3)如图，不等式的解集为 x<－2 或 00)的图象上， ∴m＝2. ∴B(2，1)． ∵B(2，1)在直线 y＝ax－a(a 为常数)上， ∴1＝2a－a， ∴a＝1. ∴一次函数的解析式为 y＝x－1. (2)P 点的坐标为(0，1)或(0，3)． 9．解：(1)一次函数 y＝x＋n和反比例函数 y＝－ 6 x 的图象都经过点 A(3，m)， ∴m＝－ 6 3 ＝－2. ∴点 A的坐标为(3，－2)， ∴－2＝3＋n. ∴n＝－5. ∴一次函数的解析式为 y＝x－5. (2)点 B 的坐标为(1，－6)或(6，－1)． 10．解：(1)∵A(1，0)，B(9，0)，AD＝6. ∴D(1，6)． 将 B，D两点的坐标代入 y＝kx＋b 中， 得 k＋b＝6， 9k＋b＝0， 解得 k＝－ 3 4 ， b＝ 27 4 ， ∴y＝－ 3 4 x＋ 27 4 . (2)b< 3 4 或 b> 51 4 . 11．解：(1)m<－1. (2)令 y＝0，则－ 1 2 x＋1＝0. ∴x＝2，即 B(2，0)． ∴OB＝2. ∵S△AOB＝ 3 2 ， ∴ 1 2 ×2×yA＝ 3 2 . ∴yA＝ 3 2 . ∵点 A在直线 y＝ 1 2 x＋1 上， ∴－ 1 2 x＋1＝ 3 2 . ∴x＝－1，∴A(－1， 3 2 )． ∴m＋1＝－1× 3 2 . ∴m＝－ 5 2 . 12．解：(1)∵点 A(1，n)在一次函数 y＝3x 的图象上， ∴n＝3. ∴点 A的坐标为(1，3)． ∵点 A在反比例函数 y＝ k x 的图象上， ∴k＝3. ∴反比例函数的解析式为 y＝ 3 x . (2)点 P 的坐标为(2，0)或(0，6)． 阅读理解型问题 阅读理解类题主要是对题目的理解、转化、运用等进行考查，内容丰富，形 式多样．要求学生能够在较短的时间里，分析、比较、综合概括，并用数学 语言阐述自己的思想、方法、观点． 2011－2015 年北京第 22 题考点对比 年份 2011 2012 2013 2014 2015 考点 阅读理解、 平移变换、 画图、面积 计算 阅读理解、 平移变换、 坐标变换计 算 阅读理解、 等积变换 阅读理解、 勾股定理、 构造直角三 角形 阅读理 解、运用 已学研 究函数 的方法 探究新 函数性质 1．[2015·北京] 有这样一个问题：探究函数 y＝ 1 2 x2 ＋ 1 x 的图象与性质．小 东根据学习函数的经验，对函数 y＝ 1 2 x2 ＋ 1 x 的图象与性质进行了探究．下面 是小东的探究过程，请补充完整： (1)函数 y＝ 1 2 x2 ＋ 1 x 的自变量 x的取值范围是________； (2)下表是 y与 x的几组对应值． x … －3 －2 －1 － 1 2 － 1 3 1 3 1 2 1 2 3 … y … 25 6 3 2 － 1 2 － 15 8 － 53 18 55 18 17 8 3 2 5 2 m … 求 m的值； (3)如图 Z7－1，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐 标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 图 Z7－1 (4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1， 3 2 )， 结合函数的图象，写出该函数的其他性质(一条即可)：____________． 2．[2013·北京] 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 Z7－2①，在边长为 a(a>2)的正方形 ABCD 各 边上分别截取 AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45° 时，求正方形 MNPQ 的面积． 图 Z7－2 小明发现：分别延长 QE，MF，NG，PH，交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R， S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE 四个全等的等腰直角三角形(如 图②)．请回答： (1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)， 则这个新的正方形的边长为________； (2)求正方形 MNPQ 的面积． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 Z7－3，在等边三角形 ABC 各边上分别截取 AD＝BE＝CF，再分别过点 D， E，F作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边三角形 RPQ.若 S△RPQ＝ 3 3 ，则 AD 的长 为________． 图 Z7－3 3．[2011·北京] 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图 Z7－4①，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于点 O.若梯形 ABCD 的面积为 1，试求以 AC，BD，AD＋BC 的长度 为三边长的三角形的面积． 图 Z7－4 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段， 构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方 法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点 D作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，得到的△BDE 即是以 AC，BD，AD＋BC 的长度为三边长的 三角形(如图②)． 请你回答：图②中△BDE 的面积等于________． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图 Z7－5，△ABC 的三条中线分别为 AD，BE，CF. 图 Z7－5 (1)在图中利用图形变换画出并指明以 AD，BE，CF 的长度为三边长的一个三 角形(保留画图痕迹)； (2)若△ABC 的面积为 1，则以 AD，BE，CF 的长度为三边长的三角形的面积 等于________． 1．[2015·西城一模] 阅读下面的材料： 小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且 tanα＝ 1 2 ，tanβ＝ 1 3 ，求α＋β的度数． 小敏是这样解决问题的：如图 Z7－6①，把α，β放在正方形网格中，使得 ∠ABD＝α，∠CBE＝β，且 BA，BC 在直线 BD 的两侧，连接 AC，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得α＋β＝∠ABC＝________°. 请参考小敏思考问题的方法解决问题： 如果α，β都为锐角，当 tanα＝4，tanβ＝ 3 5 时，在图②的正方形网格中， 利用已作出的锐角α，画出∠MON＝α－β，由此可得α－β＝________°. 图 Z7－6 2．[2015·海淀一模] 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 Z7－7①，在△ABC 中，DE∥BC 分别交 AB 于点 D，交 AC 于点 E.已知 CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，求 BC＋DE 的值． 小明发现，过点 E作 EF∥DC，交 BC 延长线于点 F，构造△BEF，经过推理和 计算能够使问题得到解决(如图②)． 图 Z7－7 请回答：BC＋DE 的值为________． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图③，已知▱ABCD 和矩形 ABEF，AC 与 DF 交于点 G，AC＝BF＝DF，求∠AGF 的度数． 3．[2015·门头沟一模] 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 Z7－8①，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A ＝60°，CD 平分∠ACB，试判断 BC 和 AC，AD 之间的数量关系． 小明发现，利用轴对称做一个变化，在 BC 上截取 CA′＝CA，连接 DA′，得 到一对全等的三角形，从而将问题解决(如图②)． 图 Z7－8 请回答：(1)在图②中，小明得到的全等三角形是△________≌△________； (2)BC 和 AC，AD 之间的数量关系是________． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 Z7－9，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝ 9.求 AB 的长． 图 Z7－9 4．[2015·东城二模] 阅读材料： 如图 Z7－10①，若 P是⊙O外的一点，线段 PO 交⊙O于点 A，则 PA 长是点 P 与⊙O上各点之间的最短距离． 图 Z7－10 证明：延长 PO 交⊙O于点 B，显然 PB>PA. 如图 Z7－10②，在⊙O上任取一点 C(与点 A，B不重合)，连接 PC，OC. ∵PO0)成立的x的个数． 小明发现，先将该等式转化为 kx＋2＝|x|，再通过研究函数 y＝kx＋2 的图 象与函数 y＝|x|的图象(如图 Z7－12①)的交点，使问题得到解决． 图 Z7－12 请回答： (1)当 k＝1 时，使得原等式成立的 x的个数为________； (2)当 0＜k＜1 时，使得原等式成立的 x的个数为________； (3)当 k＞1 时，使得原等式成立的 x的个数为________． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 关于 x的不等式 x2＋a－ 4 x <0(a＞0)只有一个整数解，求 a的取值范围． 参考答案 北京真题体验 1.解：(1)x≠0 (2)令 x＝3，y＝ 1 2 ×3 2 ＋ 1 3 ＝ 9 2 ＋ 1 3 ＝ 29 6 ， ∴m＝ 29 6 . (3)图略 (4)答案不唯一，如：①该函数没有最大值； ②该函数在 x＝0处断开； ③该函数没有最小值； ④该函数图象不经过第四象限． 2．解：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为 a，则斜边上的高为 1 2 a， 每个等腰直角三角形的面积为 1 2 a· 1 2 a＝ 1 4 a2 ， 则拼成的新正方形的面积为 4× 1 4 a2 ＝a2 ，即与原正方形 ABCD 的面积相等． ∴这个新正方形的边长为 a. 故答案为 a. (2)∵四个等腰直角三角形的面积和为 a2，正方形 ABCD 的面积为 a2， ∴S 正方形 MNPQ＝S△ARE＋S△DWH＋S△GCT＋S△SBF＝4S△ARE＝4× 1 2 ×1 2 ＝2. (3)如图所示，分别延长 RD，QF，PE 交 FA，EC，DB 的延长线于点 S，T，W. 由题意易得△RSF，△QET，△PDW 均为底角是 30°的等腰三角形，其底边长 均等于△ABC 的边长． 不妨设等边三角形 ABC 的边长为 a，则 SF＝AC＝a. 如图所示，过点 R作 RM⊥SF 于点 M，则 MF＝ 1 2 SF＝ 1 2 a. 在 Rt△RMF 中，RM＝MF·tan30°＝ 1 2 a× 3 3 ＝ 3 6 a， ∴S△RSF＝ 1 2 a· 3 6 a＝ 3 12 a2 . 如图所示，过点 A作 AN⊥SD 于点 N，设 AD＝AS＝x， 则 AN＝AD·sin30°＝ 1 2 x，SD＝2ND＝2AD·cos30°＝ 3x， ∴S△ADS＝ 1 2 SD·AN＝ 1 2 · 3x· 1 2 x＝ 3 4 x2 . ∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW 的面积和＝3S△RSF＝3× 3 12 a2 ＝ 3 4 a2 ， 正三角形 ABC 的面积为 3 4 a2 ，∴S△RPQ＝S△ADS＋S△CFT＋S△BEW＝3S△ADS， ∴ 3 3 ＝3× 3 4 x2 ，得 x2 ＝ 4 9 ， 解得 x＝ 2 3 或 x＝－ 2 3 (不合题意，舍去)， 即 AD 的长为 2 3 . 故答案为 2 3 . 3．解：△BDE 的面积等于 1. (1)如图，以 AD，BE，CF 的长度为三边长的一个三角形是△CFP. (2)以 AD，BE，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 3 4 . 北京专题训练 1.解：45. 解决问题：画图如图所示． 45. 2．解：BC＋DE 的值为 34. 解决问题： 如图，连接 AE，CE. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB 平行且等于 DC. ∵四边形 ABEF 是矩形， ∴AB 平行且等于 FE，BF＝AE， ∴DC 平行且等于 FE， ∴四边形 DCEF 是平行四边形， ∴CE 平行且等于 DF. ∵AC＝BF＝DF， ∴AC＝AE＝CE， ∴△ACE 是等边三角形， ∴∠ACE＝60°. ∵CE∥DF， ∴∠AGF＝∠ACE＝60°. 3．解：(1)ADC △A′DC (2)BC＝AC＋AD. 解决问题： 如图，在 AB 上截取 AE＝AD，连接 CE. ∵AC 平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠EAC. 又∵AC＝AC， ∴△ADC≌△AEC， ∴AE＝AD＝9，CE＝CD＝10＝BC. 过点 C作 CF⊥AB 于点 F， ∴EF＝BF. 设 EF＝BF＝x. 在 Rt△CFB 中，∠CFB＝90°，由勾股定理，得 CF2 ＝CB2 －BF2 ＝10 2 －x2 . 在 Rt△CFA 中，∠CFA＝90°，由勾股定理，得 CF2 ＝AC2 －AF2 ＝17 2 －(9＋x)2 . ∴10 2 －x2 ＝17 2 －(9＋x)2 ， 解得 x＝6. ∴AB＝AE＋EF＋FB＝9＋6＋6＝21. 故 AB 的长为 21. 4．解：(1) 5－1 (2)①∵△AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到△A′MN， ∴A′M＝AM＝1. ②由①知，点 A′在以点 M为圆心，1为半径的圆上． 如图，连接 CM 交⊙M于点 A′，此时 A′C的长度最小，过点 M向 CD 的延长 线作垂线，垂足为 H. 在 Rt△MHD 中， DH＝DM·cos∠HDM＝ 1 2 ， MH＝DM·sin∠HDM＝ 3 2 . 在 Rt△CHM 中， CM＝ MH2＋CH2＝ 3 2 2 ＋ 5 2 2 ＝ 7， ∴A′C＝ 7－1. 5．解：(1)当 k＝1 时，使得原等式成立的 x的个数为 1. (2)当 0＜k＜1 时，使得原等式成立的 x的个数为 2. (3)当 k＞1 时，使得原等式成立的 x的个数为 1. 解决问题： 将不等式 x2＋a－ 4 x <0(a＞0)转化为 x2＋a< 4 x (a＞0)． 研究函数 y＝x2＋a(a>0)与函数 y＝ 4 x 的图象的交点，如图． 函数 y＝ 4 x 的图象经过点 A(1，4)，B(2，2)， 函数 y＝x2 的图象经过点 C(1，1)，D(2，4)， 若函数 y＝x2 ＋a(a>0)经过点 A(1，4)，则 a＝3， 结合图象可知，当 00)只有一个整数解． 也就是当 00.7x+60 解得 x>600， ∴当 x=600 时，甲、乙商场购物花钱相等；当 x<600 时，在甲商场购物更省钱； 当 x>600 时，在乙商场购物更省钱. 22．（1）y= x（2）是矩形，． 解:∵函数 y=- x+2 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ∴A（6，0），B（0，2） ∴BO=2，AO=6 ∵OE，BE 是菱形的边 ∴BE=OE ∴∠ABO=∠BOE ∵∠AOB=90° ∴∠ABO+∠BAO=90°，∠BOE+∠AOE=90° ∴∠BAO=∠AOE ∴OE=AE ∴AE=BE 作 EM⊥AO，作 ED⊥BO ∴EM∥BO，DE∥AO ∴ ， ∴ME=1，DE=3 ∴E（3，1） ∵y=kx 的图象过 E 点 ∴1=3k ∴k= ∴解析式 y= x （2）是矩形． ∵BC⊥y 轴，AO⊥y 轴 ∴BC∥AO ∴ ∴OE=CE，且 AE=BE ∴ACBO 是平行四边形且∠AOB=90° ∴四边形 ACBO 是矩形． 专题 20 图形的变换、视图与投影 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题：（共 4个小题） 1．【2015 德阳】某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是（ ） A．200πcm3 B．500πcm3 C．1000πcm3 D．2000πcm3 【答案】B． 【解析】 【考点定位】由三视图判断几何体． 2．【2015 达州】如图，直径 AB 为 12 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 旋转到 点 B′，则图中阴影部分的面积是（ ） A．12π B．24π C．6π D．36π 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°，∴图中阴影部分的面积是：S=S 扇形 B′AB+S 半圆 O′ ﹣S 半圆O= 2 2 260 12 1 16 6 360 2 2        =24π．故选 B． 【考点定位】1．扇形面积的计算；2．旋转的性质． 3．【2015 自贡】如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是 AB 边的中点，F 是线段 BC 上 的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则 B′D 的最小值是（ ） A． 2102  B．6 C． 2132  D．4 【答案】A． 【解析】 【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．最值问题． 4．【2015 南宁】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点 M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧 MB 的中点，P是直径 AB 上的一动点．若 MN=1，则△PMN 周长的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B． 【解析】 【考点定位】1．轴对称-最短路线问题；2．圆周角定理；3．综合题． 二、填空题：（共 4 个小题） 5．【2015 牡丹江】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所 示，则搭成该几何体的小正方体最多是 个． 【答案】7． 【解析】 试题分析：根据题意得： ，则搭成该几何体的小正方体最多 是 1+1+1+2+2=7（个）．故答案为：7． 【考点定位】由三视图判断几何体． 6．【2015 乐山】如图，已知 A（ 2 3 ，2）、B（2 3 ，1），将△AOB 绕着点 O 逆时针旋转， 使点 A旋转到点 A′（﹣2， 2 3 ）的位置，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 3 4  ． 【解析】 【考点定位】1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化-旋转． 7．【2015 中江县九下第一学月联考】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ ABC=30°，直角∠MON 的顶点 O在 AB 上， OM、ON 分别交 CA、CB 于点 P、Q， ∠MON 绕点 O任意旋转．当 2 1  OB OA 时， OQ OP 的值为 ；当 nOB OA 1  时， 为 ．（用含 n的式子表示） 【答案】 3 2 ， 3 n ． 【解析】 【考点定位】1．相似三角形的判定与性质；2．旋转的性质． 8．【2015 玉林防城港】如图，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P， Q 分别是边 BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边 形 AEPQ 的面积是 ． 【答案】 9 2 ． 【解析】 试题分析：如图 1 所示，作 E 关于 BC 的对称点 E′，点 A 关于 DC 的对称点 A′，连接 A′ E′，四边形 AEPQ 的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥ AE′，D 是 AA′的中点，∴DQ 是△AA′E′的中位线，∴DQ= 1 2 AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1， ∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴ ' ' ' BP BE AA AE  ，即 1 6 4 BP  ，BP= 3 2 ，CP=BC﹣ BP= 33 2  = 3 2 ，S 四边形 AEPQ=S 正方形 ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣ 1 2 AD•DQ﹣ 1 2 CQ•CP﹣ 1 2 BE•BP=9 ﹣ 1 2 ×3×2﹣ 1 2 ×1× 3 2 ﹣ 1 2 ×1× 3 2 = 9 2 ，故答案为： 9 2 ． 【考点定位】1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质． 三、解答题：（共 2 个小题） 9．【2015 巴中】如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三 角形 ABC（项点是网格线的交点）． （1）先将△ABC 竖直向上平移 6 个单位，再水平向右平移 3 个单位得到△A1B1C1，请画出 △A1B1C1； （2）将△A1B1C1绕 B1点顺时针旋转 90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2； （3）线段 B1C1变换到 B1C2的过程中扫过区域的面积为 ． 【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3） 9 4  ． 【解析】 试题解析：（1）如图； （2）如图； （3）∵BC=3，∴线段 B1C1变换到 B1C2的过程中扫过区域的面积为： 290 3 360   = 9 4  ．故 答案为： 9 4  ． 【考点定位】1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换． 10．【2015 自贡】在△ABC 中，AB=AC=5，cos∠ABC= 5 3 ，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转，得 到△A1B1C． （1）如图①，当点 B1在线段 BA 延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C 的面积； （2）如图②，点 E 是 BC 边的中点，点 F 为线段 AB 上的动点，在△ABC 绕点 C 顺时针旋 转过程中，点 F的对应点是 F1，求线段 EF1长度的最大值与最小值的差． 【答案】（1）①证明见试题解析；② 132 25 ；（2） 36 5 ． 【解析】 ②过 A作 AF⊥BC 于 F，过 C 作 CE⊥AB 于 E，如图①： ∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∵cos∠ABC＝ 5 3 ，AB＝5，∴BF＝3，∴BC＝6， ∴B1C＝BC＝6，∵CE⊥AB，∴BE＝B1E＝ 5 186 5 3  ，∴BB1＝ 5 36 ，CE＝ 5 246 5 4  ， ∴AB1＝ 5 115 5 36  ，∴△AB1C 的面积为： 25 132 5 24 5 11 2 1  ； （2）如图 2，过 C作 CF⊥AB 于 F，以 C为圆心 CF 为半径画圆交 BC 于 F1，EF1有最小值， 此时在 Rt△BFC 中，CF＝ 5 24 ，∴CF1＝ 5 24 ，∴EF1的最小值为 5 93 5 24  ；如图，以 C 为圆心 BC 为半径画圆交 BC 的延长线于 F1，EF1有最大值．此时 EF1＝EC＋CF1＝3＋6＝9， ∴线段 EF1的最大值与最小值的差为 5 36 5 99  ． 【考点定位】1．几何变换综合题；2．最值问题；3．旋转的性质；4．和差倍分；5．压 轴题． 完全平方公式提升练习题 一、完全平方公式 （1）（－ 2 1 ab2－ 3 2 c）2； （2）（x－3y－2）（x＋3y－2）； （3）（x －2y）（x2－4y2）（x＋2y）； （4）（2a＋3）2＋（3a－2）2 （5）（a－2b＋3c－1） （a＋2b－3c－1）； （6）（s－2t）（－s－2t）－（s－2t）2； （7）（t－3）2（t＋3） 2（t 2＋9）2． 二、完全平方式 1、若 kxx  22 是完全平方式，则 k = 2、.若 x2－7xy+M 是一个完全平方式， 那么 M 是 3、如果 4a2－N·ab＋81b2是一个完全平方式，则 N= 4、如果 22 4925 ykxyx  是一个完全平方式，那么 k = 三、公式的逆用 1．（2x－______）2＝____－4xy＋y2． 2．（3m2＋_______）2＝_______ ＋12m2n＋________． 3．x2－xy＋________＝（x－______）2． 4．49a2－________＋81b2＝ （________＋9b）2． 5．代数式 xy－x2－ 4 1 y2等于（ ）2 四、配方思想 1、若 a2+b2－2a+2b+2=0,则 a2004+b2005=_____.2、已知 0136422  yxyx ， 求 yx =_______. 3、已知 2 2 2 4 5 0x y x y     ，求 21 ( 1) 2 x xy  =_______. 4、已知 x、y 满足 x2十 y2十 4 5 ＝2x 十 y，求代数式 yx xy  =_______. 5．已知 014642222  zyxzyx ，则 zyx  = ． 6、已知三角形 ABC 的三边长分别为 a,b,c 且 a,b,c满足等式 2 2 2 23( ) ( )a b c a b c     ，请说明该三角形是什么三角形？ 五、完全平方公式的变形技巧 1、已知 2( ) 16, 4,a b ab   求 2 2 3 a b 与 2( )a b 的值。2、已知 2a－b＝5，ab＝ 2 3 ， 求 4a2＋b2－1 的值． 3、已知 1 6x x   ，求 2 2 1x x  ， 4 4 1 x x  4、 0132  xx ，求（1） 2 2 1 x x  （2） 4 4 1 x x  六、利用乘法公式进行计算 （1）972； （2）20022； （3）992－98×100； （4）49×51－2499． （5） ) 2000 11)( 1999 11() 3 11)( 2 11( 2222   七、“整体思想”在整式运算中的运用 1、当代数式 532  xx 的值为 7 时,求代数式 293 2  xx =________. （2）已知 20 8 3  xa ， 18 8 3  xb ， 16 8 3  xc ，求：代数式 bcacabcba  222 的值。 3、已知 a=1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式 a2+b2+c2一 ab—bc-ac 的值为( )． A．0 B．1 C．2 D．3 4、已知 2x 时，代数式 10835  cxbxax ，当 2x 时，代数式 835  cxbxax 的值 5、若 123456786123456789M ， 123456787123456788N 试比较 M与 N 的大小 练习： 1.若 x,y 互为不等于 0的相反数，n为正整数,你认为正确的是 A.xn、yn一定是互为相反数 B.( x 1 )n、( y 1 )n一定是互为相反数 C.x2n、y2n一定是互为相反数 D.x2n－1、－y2n－1一定相等 2、已知两个连续奇数的平方差为 2000，则这两个连续奇数可以是 ． 3、若 x 是不为 0 的有理数，已知 )12)(12( 22  xxxxM ， )1)(1( 22  xxxxN ，则 M与 N 的大小是（ ） A．M>N B． Mb)，把余下 的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了 一个等式，则这个等式是( )． A． ))((22 bababa  B． 222 2)( bababa  C． 222 2)( bababa  D． 22 2))(2( babababa  7．(1)若 x+y＝10，x3+y3=100，则 x2+y2＝ (2)若 a-b=3，则 a3-b3-9ab＝ ． 8.已知 x2－5x+1=0,则 x2+ 2 1 x =________. 数学填空题题型结构 9题：考查数与式的基本概念和基本运算，通常是几个点结合起来考查． 基本概念：有理数比较大小、绝对值、相反数、倒数、平方根、立方根、算术平 方根、有理数的乘方、零指数幂、负数平方、科学记数法；式子是否有意义（主 要考查 4种形式： 1na a a ， ， ，除数）． 基本运算：整式运算、实数运算、估算；解方程（组）、不等式（组）；函数背 景下的运算：求坐标、待定系数法求解析式、求取值范围． 10题：考查角度的计算． 考查点： ①借助平行线、角平分线、三角形内角和、外角、补角、余角来求角度，常和三 角形摆放、尺规作图结合起来进行考查； ②圆中求角度，借助切线、圆周角定理来求角． 11~12题：考查基本方法，其中会融入多个知识点． 考查点： 概率计算（树状图、列表法）；圆中求弦长（借助垂径定理、勾股定理）；圆锥、 扇形求面积；三视图等． 13~15题：常与平移、旋转、折叠（轴对称）等操作结合起来进行考查，综合性 较高．15题往往有多种情况，需要分类讨论． 考查点： 几何综合、函数综合、求不规则图形面积、规律探究． 中考数学填空题答题标准动作 1．就近演草，几何题铅笔标注． ①帮助梳理思路，同时方便检查．如下图： ②复杂问题在演草纸上演草．如下图： 2．全部做完之后，再统一将答案抄到答题卡上． 专注做题、统一誊写． 3．抄写到答题卡时，答案靠左书写． 留有修改余地．如下图： 4．抄写到答题卡时，不要轻易修改答案． 如果觉得答案有问题，可以换一种思路和方法来验证．修改时，直接将错误 答案整体划掉，重新写上完整的正确答案即可． 中考数学填空题注意事项 1．注意结果是否规范． ①化简要彻底．常见错误： 3 42 ， 14 49 ， 12 2 ， 147 ． ②书写形式要规范．正确示范：方程（组）的解的书写形式为 x=3， 1 2 x y    ； 抛物线的对称轴是直线 x=2；阴影部分的面积为 293π 3 cm 4      ． ③“或、且”的正确使用．正确示范：满足条件的 t值为 1，3 或 4；取值范 围是 x＞2 且 x≠3． 2．注意是否要分类讨论． 分类讨论问题常出现在填空题最后两题的位置，答案要不重不漏．需要分类 讨论的情形： （1）图形变化导致的分类讨论 ①图形形状不确定． 特征：图形残缺（无图）． 比如：无图以及图形残缺的几何题，题干中常伴随“直线（射线）、高（中 垂 线）、弦”等词语 ②图形位置不确定． 特征：点动、图形动导致图形变化，常伴随图形形状不确定． 比如：动点问题，图形运动产生的面积问题，存在性问题等 （2）数学关系不明确导致的分类讨论 ①概念、性质本身分类．比如：圆与圆相切，a的绝对值等． ②指代不明确．比如：面积比为 9:10，点 G 或点 F落在 y 轴上，矩形一边长 为 3cm，等腰三角形腰与一边，直角三角形一边等． ③对应关系不明确．比如：相似（全等）三角形的存在性问题． （3）含参类 参数的取值不同会使得问题情形变得复杂．一般需要对参数的取值范围进行 分类． 3．注意是否需要根据题意验证取舍． 解出多个值时，需根据题目背景以及题目要求范围进行取舍．比如：线段长 不能为负，点坐标不能超出范围等． 4．注意是否有单位． 在求面积、求角度、和实际生活相关的问题中，需要注意单位． 二、填空题（每小题 3分，共 21 分） 9. 计算： 0 3( 2) 27    _______． 10. 如图，直线 m∥n，Rt△ABC 的顶点 A 在直线 n上，∠C=90°，若∠1=25°，∠ 2=70°，则∠B=______． 第 10题图 第 11题图 11. 如图，以边长为 6的等边三角形 ABC 的顶点 A 为圆心，作与 BC 相切的 DE ︵ ， 分别交 AB，AC 于点 D，E．若用图中阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底 面半径是_______． 12. 一只不透明的箱子中放了 3副黑色手套和 1副白色手套，假设手套不分左右， 小明从这只箱子中任意取出 2只手套，恰好配成两只颜色相同的一副手套的 概率是_______． 13. 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm．沿对角线 AC 剪开，将△ABC 向右平移至△A1B1C1的位置，如图 2，若重叠部分的面积为 3cm2，则平移的 距离 AA1=______． 14. 如图，A，B两点均在反比例函数 6y x   （x<0）的图象上，且它们的横坐标 分别为-1，-3，直线 AB与 x轴交于点 C，则△AOC的面积为______． 第 14题图 第 15题图 15. 将三角形纸片 ABC 按如图所示的方式折叠，使点 B 落在 AC 边上的点 B′处， 折痕为 EF．已知 AB=AC=3，BC=4，若以 B，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF 的长是________． 二、填空题（每小题 3分，共 21 分） 9. 方程组 3 2 10 2 6 x y x y      的解是___________． 10. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD平分∠ACB，交 AB 于点 D，AE∥CD，交 BC 的延长线于点 E．若∠E=36°，则∠B=_______． 第 10题图 第 13题图 11. 有 4张背面相同的扑克牌，正面数字分别为 2，3，4，5．若将这 4 张扑克牌 背面向上洗匀后，从中任意抽取一张，放回后洗匀，再从中任意抽取一张， 则抽取的这两张扑克牌正面数字之和是 3的倍数的概率为______． 12. 为参加毕业晚会，小敏用圆心角为 120°，半径为 20cm的扇形纸片围成一顶 圆锥形的帽子，若小敏的头围约 60cm，则她戴这顶帽子大小合适吗？ _______．（填“合适”或“不合适”） 13. 如图，已知双曲线 1 1y x  （x>0）， 2 4y x  （x>0），P为双曲线 2 4y x  上的一 点，且 PA⊥x轴于点 A，PB⊥y轴于点 B，PA，PB 分别交双曲线 1 1y x  于点 C，D，则△PCD的面积为______． 14. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，M， N分别是 BC，CD 上的两个动点，且 始终保持 AM⊥MN．当 BM=______时，四边形 ABCN的面积最大． 15. 甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报 1，乙报 2，丙报 3， 再甲报 4，乙报 5，丙报 6，……，依次循环反复下去，当报出的数为 2 015 时游戏结束；若报出的数是偶数，则该同学得 1分．当报数结束时甲同学的 得分是_________分． 二、填空题（每小题 3分，共 21 分） 9. 因式分解： 3 2a ab =________________． 10. 如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为 G．若∠1=50°，则∠E=_______． 第 10题图 第 11题图 第 12 题图 11. 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积（即 表面积）为_______．（结果保留π） 12. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=8cm，BD=6cm，在菱形内部（包括边界） 任取一点 P，得到△ACP，则△ACP 的面积大于 6cm2的概率为___________． 13. 身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解 “燃眉之急”．如图，已知矩形纸片 ABCD（矩形纸片要足够长），我们按 如下步骤操作可以得到一个特定的角： （1）以点 A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点 B 落在 AD边上，折痕与 BC 交于点 E； （2）将纸片展平后，以点 E 所在直线为折痕，再一次折叠纸片，使点 A 落 在 BC 边上，折痕与 AD 交于点 F，则∠AFE=____________． 14. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边 AB上的中线，BC= 2 3 ， 将△ACM沿直线 CM 折叠并压平，点 A 落在点 D 处，若 CD恰好与 AB 垂直， 垂足为点 E，则 DE的长为_______． 第 14题图 第 15题图 15. 反比例函数 9y x  （x>0）的图象如图所示，点 C 的坐标为(0，2)，若点 A 是 函数图象上一点，点 B是 x 轴正半轴上一点，当△ABC 是等腰直角三角形时， 点 B的坐标为___________． 二、填空题（每小题 3分，共 21 分） 9. 当 x=_______时，分式 3 3 x x   | | 无意义． 10. 用等腰直角三角板画∠AOB=45°，将三角板沿 OB 方向平移到如图所示的虚线 处后，再绕点 M逆时针旋转 22°，则三角板的斜边与射线 OA 的夹角α的度数 为_______． 第 10题图 第 11题图 第 12 题图 11. 如图所示，A，B 是边长为 1 的小正方形组成的 5×5 网格上的两个格点，在 格点上任意放置点 C，得到△ABC，则使△ABC 的面积为 1 的概率是______． 12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以 AC 为直径的半 圆 O交 AB 于点 D，E 是 AB 的中点，CE 交半圆 O 于点 F，则图中阴影部分的 面积为________． 13. 如图，在 Rt△OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点 C 在 x轴的正半轴上，反比例函数 ky x  （k≠0）在第一 象限的图象经过 OA 的中点 B，交 AC 于点 D，连接 OD．若△OCD∽△ACO，则直线 OA 的解析式为 ________． 14. 如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 为边作等边 三角形 ABD，C，D在 AB 的同侧，连接 CD，以 CD 为边作等边三角形 CDE， B，E 在 CD 的同侧．若 AB= 2 ，则 BE=_______． 第 14题图 第 15题图 15. 如图，P是抛物线 22 8 8y x x   对称轴上的一个动点，直线 x=t 平行于 y 轴， 分别与直线 y=x，抛物线交于点 A，B．若△ABP是以点 A 或点 B 为直角顶点 的等腰直角三角形，则满足条件的 t值为______________________． （一） 9．-4 10．45° 11． 3 2 12． 4 7 13．2 cm 14．12 15．12 7 或 2 （二） 9． 2 2 x y    10．72° 11． 5 16 12．不合适 13． 9 8 14．2 15．336 （三）9． ( )( )a a b a b  10．40° 11．68π 12． 1 4 13．67.5° 14．3 15． 5( 0) (4 0) ( 10 1 0) 2 ， ， ， ， ， （四） 9．3 10．22° 11． 4 15 12． 29 3(3 )cm 4  14. y=2x 14．1 15．1，3， 5 5 2  或 5 5 2  专题 12 二次函数应用 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题：（共 4个小题） 1．【2015 渠县联考二】平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看做抛物线， 如图建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为 2 3 3 1 6 1 2  xxy ，绳子甩到最高处时 刚好通过站在点（2，0）处的小明的头顶，则小明的身高为（ ） A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m 【答案】A． 【解析】 试题分析：当 x=2 时，y=－ 1 6 ×4+ 1 32 3 2 ´ + =1.5m． 【考点定位】二次函数的性质． 2．【2015 铜仁】河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直 角坐标系，其函数的关系式为 21 25 y x  ，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4m 时，这时水 面宽度 AB 为（ ） A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m 【答案】C． 【解析】 试题分析：根据题意 B的纵坐标为﹣4，把 y=﹣4代入 21 25 y x  ，得 x=±10，∴A（﹣ 10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB=20m．即水面宽度 AB 为 20m．故选 C． 【考点定位】二次函数的应用． 3．【2015 金华】图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为 原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线 16)80( 400 1 2  xy ，桥拱与桥墩 AC 的交点 C恰好在水面，有 AC⊥x 轴，若 OA=10 米，则桥面离水面的高度 AC 为（ ） A． 40 916 米 B． 4 17 米 C． 40 716 米 D． 4 15 米 【答案】B． 【解析】 【考点定位】二次函数的应用． 4．【2015 潍坊】如图，有一块边长为 6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一 个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面 积的最大值是（ ） A． 3 cm2 B． 3 3 2 cm2 C． 9 3 2 cm2 D． 27 3 2 cm2 【答案】C． 【解析】 【考点定位】1．二次函数的应用；2．展开图折叠成几何体；3．等边三角形的性质；4．最 值问题；5．二次函数的最值；6．综合题． 二、填空题：（共 4个小题） 5．【2015 莆田】用一根长为 32cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm2． 【答案】64． 【解析】 试题分析：设矩形的一边长是 xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm．则矩形的面积 S=x（16 ﹣x），即 S= 2 216 ( 8) 64x x x      ，∴S 有最大值是：64．故答案为：64． 【考点定位】1．二次函数的最值；2．最值问题． 6．【2015 朝阳】一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h（m）与足球被踢出后经 过的时间 t（s）之间具有函数关系 2 19.6h at t  ，已知足球被踢出后经过 4s 落地，则 足球距地面的最大高度是 m． 【答案】19.6． 【解析】 试题分析：由题意得：t=4 时，h=0，因此 0=16a+19.6×4，解得：a=﹣4.9，∴函数关系 为 24.9 19.6h t t   = 24.9( 2) 19.6t   ，所以足球距地面的最大高度是：19.6（m）， 故答案为：19.6． 【考点定位】1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题． 7．【2015 营口】某服装店购进单价为 15 元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价 为 25 元时平均每天能售出 8 件，而当销售价每降低 2 元，平均每天能多售出 4 件，当每 件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 【答案】22． 【解析】 【考点定位】1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题． 8．【2015 中江县九下第一学月联考】如图，平行于 x轴的直线 AC 分别交抛 物线 2 1y x （ 0x  ）与 2 2 3 xy  （x≥0）于 B、C两点，过点 C 作 y轴的平行线 交 1y 于点 D，直线 DE∥AC，交 2y 于点 E，则 DE BC  ． 【答案】 3 ． 【解析】 试题分析：设 A点坐标为（0，a），（a＞0），则 2x a ，解得 x= a，∴点B （ a，a）， 2 3 x a ，则 x= 3a ，∴点 C（ 3a ，a），∴BC= 3a a ．∵ CD∥y 轴，∴点 D的横坐标与点 C的横坐标相同，为 3a ，∴ 2 1 ( 3 )y a =3a， ∴点 D的坐标为（ 3a ，3a）．∵DE∥AC，∴点 E的纵坐标为 3a，∴ 2 3 3 x a ， ∴x=3 a ，∴点 E的坐标为（3 a，3a），∴DE=3 a - 3a ，∴ 3 3 3 3 DE a a BC a a     ．故答案为： 3 ． 【考点定位】1．二次函数综合题；2．压轴题． 三、解答题：（共 2个小题） 9．【2015 茂名】某公司生产的某种产品每件成本为 40 元，经市场调查整理出如下信息： ①该产品 90 天内日销售量（m 件）与时间（第 x 天）满足一次函数关系，部分数据如下 表： ②该产品 90 天内每天的销售价格与时间（第 x 天）的关系如下表： （1）求 m 关于 x 的一次函数表达式； （2）设销售该产品每天利润为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数表达式，并求出在 90 天内 该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每 件销售价格﹣每件成本）】 （3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于 5400 元，请直接写出结果． 【答案】（1）m=﹣2x+200；（2） 22 160 4000 (1 50) 120 12000 (50 90) x x x y x x            ，第 40 天的销 售利润最大，最大利润是 7200 元；（3）46． 【解析】 （3）直接写出在该产品销售的过程中，共有 46 天销售利润不低于 5400 元． （ 2 ） 设 销 售 该 产 品 每 天 利 润 为 y 元 ， y 关 于 x 的 函 数 表 达 式 为 ： 22 160 4000 (1 50) 120 12000 (50 90) x x x y x x            ， 当 1≤x＜50 时， 22 160 4000y x x    = 22( 40) 7200x   ，∵﹣2＜0，∴当 x=40 时，y有最大值，最大值是 7200； 当 50≤x≤90 时， 120 12000y x   ，∵﹣120＜0，∴y 随 x 增大而减小，即当 x=50 时，y的值最大，最大值是 6000； 综上所述，当 x=40 时，y的值最大，最大值是 7200，即在 90 天内该产品第 40 天的销售 利润最大，最大利润是 7200 元； （3）在该产品销售的过程中，共有 46 天销售利润不低于 5400 元． 【考点定位】1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．分段函数；5．综 合题；6．压轴题． 10．【2015 乐山】如图 1，二次函数 cbxaxy  2 的图象与 x轴分别交于 A、 B两点，与 y轴交于点 C．若 tan∠ABC=3，一元二次方程 02  cbxax 的两 根为－8、2． （1）求二次函数的解析式； （2）直线 l绕点 A以 AB 为起始位置顺时针旋转到 AC 位置停止， l与线段 BC 交于点 D，P是 AD 的中点． ①求点 P的运动路程； ②如图 2，过点 D作 DE 垂直 x轴于点 E，作 DF⊥AC 所在直线于点 F，连结 PE、 PF，在 l运动过程中，∠EPF 的大小是否改变？请说明理由； （3）在（2）的条件下，连结 EF，求△PEF 周长的最小值． 【答案】（1） 23 9 6 8 4 y x x   ；（2）① 10 ；②不变，理由见试题解析；（3） 24 10 5 ． 【解析】 ②∠EPF 的大小不会改变．由于，P为 Rt△AED 斜边 AD 的中点，故 PE= 1 2 AD=PA， 从而∠PAE=∠PEA= 1 2 ∠EPD，同理有∠PAF=∠PFA= 1 2 ∠DPF，即可得到∠EPF=2 ∠EAF，故∠EPF 的大小不会改变； （3）设△PEF 的周长为 C，则 PEFC△ =PE+PF+EF=AD+EF，在等腰三角形 PEF 中， 过 P作 PG⊥EF 于点 G，得到∠EPG= 1 2 ∠EPF=∠BAC，由于 tan∠BAC= 3 4 OC AO  ， 故 tan∠EPG= 3 4 EG PG  ，得到 EG= 3 5 PE，EF= 6 5 PE= 3 5 AD，从而有 PEFC△ =AD+EF= 3(1 ) 5  AD= 8 5 AD，又当 AD⊥BC 时，AD 最小，此时 PEFC△ 最小，由 ABCS =30，得到 AD=3 10 ，从而得到 PEFC△ 最小值． 试题解析：（1）∵函数 cbxaxy  2 的图象与 x轴分别交于 A、B两点，且 一元二次方程 02  cbxax 的两根为－8、2，∴A（－8，0）、B（2，0）， 即 OB=2，又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即 C（0，－6），将 A（－8，0）、B（2， 0）代入 2 6y ax bx   中，解得： 3 8 a  ， 9 4 b  ，∴二次函数解析式为： 23 9 6 8 4 y x x   ； ②∠EPF 的大小不会改变．理由如下：∵DE⊥AB，∴在 Rt△AED 中，P为斜边 AD 的中点，∴PE= 1 2 AD=PA，∴∠PAE=∠PEA= 1 2 ∠EPD，同理可得：∠PAF=∠ PFA= 1 2 ∠DPF，∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即∠EPF=2∠EAF， 又∵∠EAF 大小不变，∴∠EPF 的大小不会改变； （3）设△PEF 的周长为 C，则 PEFC△ =PE+PF+EF，∵PE= 1 2 AD，PF= 1 2 AD，∴ PEFC△ =AD+EF，在等腰三角形 PEF 中，过 P作 PG⊥EF 于点 G，∴∠EPG= 1 2 ∠EPF= ∠BAC，∵tan∠BAC= 3 4 OC AO  ，∴tan∠EPG= 3 4 EG PG  ，∴EG= 3 5 PE，EF= 6 5 PE= 3 5 AD， ∴ PEFC△ =AD+EF= 3(1 ) 5  AD= 8 5 AD，又当 AD⊥BC 时，AD 最小，此时 PEFC△ 最小， ∵ ABCS =30，∴ 1 2 BC·AD=30，∴AD=3 10 ，∴ PEFC△ 最小值为： 8 5 AD= 24 10 5 ． 【考点定位】1．二次函数综合题；2．压轴题；3．综合题；4．最值问题；5．定 值问题． 分析对应关系 回归本质 如图，已知抛物线过点 A(0， 6)， B(2，0)，C(7， 5 2 )． （1）求抛物线的解析式． （2）若 D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线 AC 的交点，F 与 E 关于 D对称．求证：∠CFE=∠AFE． （3）在 y 轴上是否存在这样的点 P，使△AFP 与△FDC相似？若存在，请求出所有符合条 件的点 P 的坐标； 若不存 在，请说 明理由． 1. 如图 1，已知抛物线 2 0（ ）y ax bx a   经过 A(3，0)，B(4，4)两点． （1）求抛物线的解析式． （2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个 公共点 D，求 m 的值及点 D 的坐标． （3）如图 2，若点 N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下， 求出所有满足△POD∽△NOB 的点 P 的坐标． 北师大版九年级（下）中考题同步试卷：4.1 50 年的变化（23） 一、选择题（共 22 小题） 1．某品牌鞋店在一个月内销售某款女鞋，各种尺码鞋的销量如下表所示： 尺码/厘 米 22.5 23 23.5 24 24.5 销售量/ 双 35 40 30 17 8 通过分析上述数据，对鞋店业主的进货最有意义的是（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 2．在端午节到来之前，儿童福利院对全体小朋友爱吃哪几种粽子作调查，以决 定最终买哪种粽子．下面的调查数据中最值得关注的是（ ） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 3．下列选项中，能够反映一组数据离散程度的统计量是（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．体育课上，某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练，要判断哪一名同学的成 绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的（ ） A．平均数 B．方差 C．頻数分布 D．中位数 5．某校有 21 名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前 11 名参加决赛， 小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这 21 名同学成绩的（ ） A．最高分 B．中位数 C．极差 D．平均数 6．在端午节到来之前，学校食堂推荐了 A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生 爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下面的统计量中最值 得关注的是（ ） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 7．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 8．两名同学进行了 10 次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比 较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对 9．体育课上，某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练，要判断哪一位同学的成 绩比较稳定，通常要比较两名同学成绩的（ ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 10．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如下表 所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ） 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/ 双 4 6 6 10 2 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 11．描述一组数据离散程度的统计量是（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 12．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．频率 13．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有 9 名学生参加比赛，他们决赛的最终 成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前 5 名，不仅要了解 自己的成绩，还要了解这 9 名学生成绩的（ ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 14．李东同学参加校团委组织的演讲赛，共 21 名选手参赛，预赛成绩各不相同， 按成绩取前 10 名的选手参加复赛，李东在知道自己成绩的情况下，要判断自 己能否进入复赛，还需要知道这 21 名选手成绩的（ ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 15．一家鞋店试销一种新款男鞋，一周内各种型号的鞋卖出的数量统计如下： 型号 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27 数量（双） 3 5 10 15 8 4 2 对这个鞋店的老板来说，他更关注的是这组数据的（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 16．期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说： “我们组成绩是 86 分的同学最多”，小英说：“我们组的 7 位同学成绩排在 最中间的恰好也是 86 分”，上面两位同学的话能反映出的统计量是（ ） A．众数和平均数 B．平均数和中位数 C．众数和方差 D．众数和中位数 17．有 19 位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前 10 位同学进入 决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这 19 位同学的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 18．体育课上，两名同学分别进行了 5 次立定跳远测试，要判断这 5 次测试中谁 的成绩比较稳定，通常需要比较这两名同学成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 19．某商场对上月笔袋销售的情况进行统计如下表所示： 颜色 白色 黄色 蓝色 紫色 红色 数量 （个） 56 128 520 210 160 经理决定本月进笔袋时多进一些蓝色的，经理的这一决定应用了哪个统计知 识（ ） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 20．在 2014 年 5 月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有 11 名学 生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想知道自己能否进 入前 6 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 11 名学生成绩的（ ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 21．已知 A样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B样本的数据 恰好是 A样本数据每个都加 2，则 A，B两个样本的下列统计量对应相同的是 （ ） A．平均数 B．标准差 C．中位数 D．众数 22．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定 7 名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩， 但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的（ ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 二、填空题（共 2 小题） 23．某校举办“成语听写大赛”，15 名学生进入决赛，他们所得分数互不相同， 比赛共设 8 个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖， 他应该关注的统计量是 （填“平均数”或“中位数”） 24．为筹备班级里的新年晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查， 最终买什么水果，该由调查数据的 决定（在横线上填写：平均数或 中位数或众数）． 北师大版九年级（下）中考题同步试卷：4.1 50 年的变化 （23） 参考答案 一、选择题（共 22 小题） 1．B； 2．D； 3．D； 4．B； 5．B； 6．D； 7．D； 8．C； 9．B； 10．C； 11．D； 12．C； 13．D； 14．D； 15．B； 16．D； 17．B； 18．D； 19．D； 20．B； 21．B； 22．C； 二、填空题（共 2 小题） 23．中位数； 24．众数； 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/3/16 10:56:34 ；用户： qgjyuser10416 ；邮箱：qgjyuser10416.219 57750；学号： 21985423北师大版八年级（上）中考题同步试卷：6.3 一次函数的图 象（02） 一、选择题（共 26 小题） 1．如图，一次函数 y＝（m﹣2）x﹣1 的图象经过二、三、四象限，则 m的取值 范围是（ ） A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2 2．一条直线 y＝kx+b，其中 k+b＝﹣5，kb＝6，那么该直线经过（ ） A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限 3．若反比例函数 y＝ 的图象过点（﹣2，1），则一次函数 y＝kx﹣k的图象过 （ ） A．第一、二、四象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限 4．若实数 a，b，c满足 a+b+c＝0，且 a＜b＜c，则函数 y＝cx+a的图象可能是 （ ） A． B． C． D． 5．一次函数 y＝﹣ x+1 的图象不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．一次函数 y＝kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则 k和 b 的取值范围是（ ） A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0 7．一次函数 y＝﹣2x+1 的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．关于一次函数 y＝2x﹣l的图象，下列说法正确的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象经过第二、三、四象限 9．一次函数 y＝x+2 的图象不经过的象限是（ ） A．一 B．二 C．三 D．四 10．一次函数 y＝﹣2x+1 的图象不经过下列哪个象限（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．若一次函数 y＝（m﹣3）x+5 的函数值 y随 x的增大而增大，则（ ） A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3 12．直线 y＝﹣x+1 经过的象限是（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 13．如图为一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（ ） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 14．已知一次函数 y＝kx﹣1，若 y随 x的增大而增大，则它的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 15．如图，直线 l经过第二、三、四象限，l的解析式是 y＝（m﹣2）x+n，则 m 的取值范围在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 16．当 kb＜0 时，一次函数 y＝kx+b的图象一定经过（ ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 17．若实数 a，b满足 ab＜0，且 a＜b，则函数 y＝ax+b的图象可能是（ ） A． B． C． D． 18．对于一次函数 y＝kx+k﹣1（k≠0），下列叙述正确的是（ ） A．当 0＜k＜1 时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当 k＞0 时，y随 x的增大而减小 C．当 k＜1 时，函数图象一定交于 y轴的负半轴 D．函数图象一定经过点（﹣1，﹣2） 19．若式子 +（k﹣1）0有意义，则一次函数 y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能 是（ ） A． B． C． D． 20．已知 k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）＝0 的两个根，且 k＞b，则函 数 y＝kx+b的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．已知 k＞0，b＜0，则一次函数 y＝kx﹣b的大致图象为（ ） A． B． C． D． 22．已知直线 y＝kx+b，若 k+b＝﹣5，kb＝5，那该直线不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．已知直线 y＝mx+n，其中 m，n是常数且满足：m+n＝6，mn＝8，那么该直 线经过（ ） A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 24．已知直线 y＝kx+b，若 k+b＝﹣5，kb＝6，那么该直线不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．直线 y＝kx+b不经过第四象限，则（ ） A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k≥0，b≥0 D．k＜0，b≥0 26．已知过点（2，﹣3）的直线 y＝ax+b（a≠0）不经过第一象限，设 s＝a+2b， 则 s的取值范围是（ ） A．﹣5≤s≤﹣ B．﹣6＜s≤﹣ C．﹣6≤s≤﹣ D．﹣7＜s≤﹣ 二、填空题（共 4 小题） 27．直线 y＝﹣3x+5 不经过的象限为 ． 28．从 3，0，﹣1，﹣2，﹣3 这五个数中抽取一个数，作为函数 y＝（5﹣m2）x 和关于 x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1＝0 中 m的值．若恰好使函数的图 象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的 m的值是 ． 29．一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象经过 A（1，0）和 B（0，2）两点，则它 的图象不经过第 象限． 30．已知直线 y＝kx+b，若 k+b＝﹣5，kb＝6，那么该直线不经过第 象限． 北师大版八年级（上）中考题同步试卷：6.3 一次函数的 图象（02） 参考答案 一、选择题（共 26 小题） 1．D； 2．D； 3．A； 4．C； 5．C； 6．C； 7．C； 8．B； 9．D； 10．C； 11．C； 12．B； 13．C； 14．C； 15．C； 16．B； 17．A； 18．C； 19．A； 20．B； 21．A； 22．A； 23．B； 24．A； 25．C； 26．B； 二、填空题（共 4 小题） 27．第三象限； 28．﹣2； 29．三； 30．一；明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布