2014年福建省福州市中考数学试题(含答案)

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2014年福建省福州市中考数学试题(含答案)

二O一四年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 ‎(全卷共4页,三大题,22小题,满分150分;考试时间120分钟)‎ 友情提示:所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上,答在本试卷上一律无效。[来源:学科网]‎ 毕业学校 姓名 考生号 ‎ 一、选择题(共10小题,每题4分,满分40分;每小题只有一个正确的选项,请在答题卡的相应位置填涂)‎ ‎1.-5的相反数是 ‎ A.-5 B.5 C. D.- ‎ ‎【答案】B ‎2.地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时,将110000用科学记者数法表示为 ‎ A.11´104 B.1.1´105 C.1.1´104 D.0.11´106‎ ‎【答案】B ‎3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是 ‎ A.三棱柱 B.长方体 C.圆柱 D.圆锥 ‎【答案】D ‎4.下列计算正确的是 ‎ A.x4·x4=x16 B.(a3)2=a5 C.(ab2)3=ab6 D.a+2a=3a ‎【答案】D ‎5.若7名学生的体重(单位:kg)分别是:40,42,43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是 ‎ A.44 B.45 C.46 D.47‎ ‎【答案】C ‎6.下列命题中,假命题是 ‎ A.对顶角相等 B.三角形两边的和小于第三边 C.菱形的四条边都相等 D.多边形的外角和等于360° ‎【答案】B ‎7.若(m-1)2+ =0,则m+n的值是 ‎ A.-1 B.0 C.1 D.2 ‎ ‎【答案】A ‎8.某工厂现在平均每天比原计算多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面所列方程正确的是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎9.如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为 ‎ A.45° B.55° C.60° D.75° ‎【答案】C ‎10.如图,已知直线y=-x+2分别与x轴, y轴交于A,B两点,与双曲线y=交于E,F两点,若AB=2EF,则k的值是 ‎ ‎ A.-1 B.1 C. D. ‎ ‎【答案】D 二、填空题(共5小题,每题4分,满分20分;请将正确答案填在答题卡相应位置)‎ ‎11.分解因式:ma+mb= .‎ ‎【答案】m(a+b)‎ ‎12.若5件外观相同的产品中有1件不合格,现从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎13.计算:(+1)(-1)= .‎ ‎【答案】1‎ ‎14.如图,在□ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则□ABCD的周长是 .‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】20‎ ‎15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=BC .若AB=10,则EF的长是 .‎ ‎【答案】5‎ 三、解答题(满分90分;请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完,再用黑色签字笔描黑)‎ ‎16.(每小题7分,共14分)‎ ‎(1)计算:+0 +|-1|.‎ ‎【答案】解:原式=3+1+1=5.‎ ‎(2)先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x=. ‎ ‎【答案】解:原式=x2+4x+4+2x-x2‎ ‎ =6x+4.‎ ‎ 当x=时,‎ ‎ 原式=6´+4=6.‎ ‎17.(每小题7分,共14分)‎ ‎(1)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.‎ ‎【答案】证明:∵BE=CF,‎ ‎ ∴BE+EF=CF+EF ‎ 即BF=CE.‎ ‎ 又∵AB=DC,∠B=∠C,‎ ‎ ∴△ABF≌△DCE.‎ ‎∴∠A=∠E.‎ ‎(2)如图,在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上.‎ ‎ ①sinB的值是 ;‎ ‎ ②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(A与A1,B与B1,C与C1相对应).连接AA1,BB1,并计算梯形AA1B1B的面积.‎ ‎ 【答案】①;‎ ‎ ②如图所示.‎ ‎ 由轴对称的性质可得,AA1=2,BB1=8,高是4.‎ ‎ ∴ =(AA1+BB1)´4=20.‎ ‎18.(满分12分)设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分.规定:85≤x≤100为A级,75≤x<85为B级,60≤x<75为C级,x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:‎ ‎ (1)在这次调查中,一共抽取了 名学生,a= %;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ ‎(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为 度;‎ ‎(4)若该校共有2000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?‎ ‎【答案】解:(1)50,24;‎ ‎(2)如图所示;‎ ‎(3)72;‎ ‎(4)该校D级学生有:2000´=160人. ‎ ‎19.(满分12分)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品共用了160元.‎ ‎(1)求A,B两种商品每件多少元?‎ ‎(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过350元,且不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?‎ ‎【答案】解:(1)设A商品每件x元,B商品每件y元.‎ 依题意,得 ‎ 解得 答:A商口每件20元,B商品每件50元.‎ ‎(2)设小亮准备购买A商品a件,则购买B商品(10-a)件.‎ 依题意,得 [来源:学科网]‎ 解得5≤a≤6.‎ 根据题意,a的值应为整数,所以a=5或a=6.‎ 方案一:当a=5时,购买费用为20´5+50´(10-5)=350元;‎ 方案二:当a=6时,购买费用为20´6+50´(10-6)=320元.‎ ‎∵350>320,‎ ‎∴购买A商品6件,B商品4件的费用最低.‎ 答:有两种购买方案,方案一:购买A商品5件,B商品5件;方案二:购买A商品6件,B商品4件.其中方案二费用最低. ‎ ‎20.(满分11分)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=3,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,⊙O为△ACD的外接圆.‎ ‎(1)求BC的长;‎ ‎(2)求⊙O的半径. ‎ ‎【答案】解:(1)过点A作AE⊥BC,垂足为E.‎ ‎∴∠AEB=∠AEC=90°.‎ 在Rt△ABE中,∵sinB=,‎ ‎∴AB=AB·sinB=3·sin45°= 3·=3.‎ ‎∵∠B=45°,‎ ‎∴∠BAE=45°.‎ ‎∴BE=AE=3.‎ 在Rt△ACE中,∵tan∠ACB=,‎ ‎∴EC=.‎ ‎∴BC=BE+EC=3+.‎ ‎(2)由(1)得,在Rt△ACE中,∵∠EAC=30°,EC=,‎ ‎∴AC=2.‎ 解法一:连接AO并延长交⊙O于M,连接CM.‎ ‎∵AM为直径,‎ ‎∴∠ACM=90°.‎ 在Rt△ACM中,∵∠M=∠D=∠ACB=60°,sinM=,‎ ‎∴AM===4.‎ ‎∴⊙O的半径为2.‎ 解法二:连接OA,OC,过点O作OF⊥AC,垂足为F,‎ 则AF=AC=.‎ ‎∵∠D=∠ACB=60°,‎ ‎∴∠AOC=120°.‎ ‎∴∠AOF=∠AOC=60°.‎ 在Rt△OAF中,sin∠AOF=,‎ ‎∴AO==2,即⊙O的半径为2. ‎ ‎21.(满分13分)如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.‎ ‎(1)当t=秒时,则OP= ,S△ABP= ;‎ ‎(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;‎ ‎(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求证:AQ·BP=3. ‎ ‎【答案】解:(1)1,;‎ ‎(2)①∵∠A<∠BOC=60°,‎ ‎∴∠A不可能是直角.‎ ‎②当∠ABP=90°时,‎ ‎∵∠BOC=60°,‎ ‎∴∠OPB=30°.‎ ‎∴OP=2OB,即2t=2.‎ ‎∴t=1.‎ ‎③当∠APB=90°时,作PD⊥AB,垂足为D,则∠ADP=∠PDB=90°.‎ ‎∵OP=2t,‎ ‎∴OD=t,PD=t,AD=2+t,BD=1-t(△BOP是锐角三角形).‎ 解法一:∴BP2=(1-t)2 +3t2,AP2=(2+t)2+3t2.‎ ‎∵BP2+AP2=AB2,‎ ‎∴(1-t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9,‎ 即4t2+t-2=0.‎ 解得t1=,t2= (舍去).‎ 解法二:∵∠APD+∠BPD=90°,∠B+∠BPD=90°,‎ ‎∴∠APD=∠B.‎ ‎∴△APD∽△PBD.‎ ‎∴ ‎ ‎∴PD2=AD·BD.‎ 于是(t)2=(2+t)(1-t),即 4t2+t-2=0.‎ 解得t1=,t2= (舍去).‎ 综上,当△ABP为直角三角形时,t=1或.‎ ‎(3)解法一:∵AP=AB,‎ ‎∴∠APB=∠B.‎ 作OE∥AP,交BP于点E,‎ ‎∴∠OEB=∠APB=∠B.‎ ‎∵AQ∥BP,‎ ‎∴∠QAB+∠B=180°.‎ 又∵∠3+∠OEB=180°,‎ ‎∴∠3=∠QAB.‎ 又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,‎ 已知∠B=∠QOP,‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∴△QAO∽△OEP.‎ ‎∴,即AQ·EP=EO·AO.‎ ‎∵OE∥AP,‎ ‎∴△OBE∽△ABP.‎ ‎∴.‎ ‎∴OE=AP=1,BP=EP.‎ ‎∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=´2´1=3.‎ 解法二:连接PQ,设AP与OQ相交于点F.‎ ‎∵AQ∥BP,‎ ‎∴∠QAP=∠APB.‎ ‎∵AP=AB,‎ ‎∴∠APB=∠B.‎ ‎∴∠QAP=∠B.‎ 又∵∠QOP=∠B,‎ ‎∴∠QAP=∠QOP.‎ ‎∵∠QFA=∠PFO,‎ ‎∴△QFA∽△PFO.‎ ‎∴,即.‎ 又∵∠PFQ=∠OFA,‎ ‎∴△PFQ∽△OFA.‎ ‎∴∠3=∠1.‎ ‎∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,‎ 已知∠B=∠QOP,‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∴∠2=∠3.‎ ‎∴△APQ∽△BPO.‎ ‎∴.‎ ‎∴AQ·BP=AP·BO=3´1=3. ‎ ‎22.(满分14分)如图,抛物线y=(x-3)2-1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D了.‎ ‎(1)求点A,B,D的坐标;‎ ‎(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD.求证:∠AEO=∠ADC;[来源:学科网]‎ ‎(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标. ‎ ‎【答案】(1)顶点D的坐标为(3,-1).‎ 令y=0,得(x-3)2-1=0,‎ 解得x1=3+,x2=3-.‎ ‎∵点A在点B的左侧,‎ ‎∴A点坐标(3-,0),B点坐标(3+,0).‎ ‎(2)过D作DG⊥y轴,垂足为G.‎ 则G(0,-1),GD=3.‎ 令x=0,则y=,∴C点坐标为(0,).‎ ‎∴GC=-(-1)=.‎ 设对称轴交x轴于点M.‎ ‎∵OE⊥CD,‎ ‎∴∠GCD+∠COH=90°.‎ ‎∵∠MOE+∠COH=90°,‎ ‎∴∠MOE=∠GCD.‎ 又∵∠CGD=∠OMN=90°,‎ ‎∴△DCG∽△EOM.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴.‎ ‎∴EM=2,即点E坐标为(3,2),ED=3.‎ 由勾股定理,得AE2=6,AD2=3,‎ ‎∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.‎ ‎∴△AED是直角三角形,即∠DAE=90°.‎ 设AE交CD于点F.‎ ‎∴∠ADC+∠AFD=90°.‎ 又∵∠AEO+∠HFE=90°,‎ ‎∴∠AFD=∠HFE,‎ ‎∴∠AEO=∠ADC.‎ ‎(3)由⊙E的半径为1,根据勾股定理,得PQ2=EP2-1.‎ 要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.‎ 设P坐标为(x,y),由勾股定理,得EP2=(x-3)2+(y-2)2.‎ ‎∵y=(x-3)2-1,‎ ‎∴(x-3)2=2y+2.‎ ‎∴EP2=2y+2+y2-4y+4‎ ‎ =(y-1)2+5.‎ 当y=1时,EP2最小值为5.‎ 把y=1代入y=(x-3)2-1,得(x-3)2-1=1,‎ 解得x1=1,x2=5.‎ 又∵点P在对称轴右侧的抛物线上,‎ ‎∴x1=1舍去.‎ ‎∴点P坐标为(5,1).‎ 此时Q点坐标为(3,1)或(). ‎
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