大庆市2020年中考数学试题及答案
大庆市 2020 年中考数学试题及答案
1．－1，0， ， 3 这四个数中，最大的数是（ ）
A．－1 B．0 C． D． 3
2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km，数字 2 900 000 000 用科
学记数法表示为（ ）
A． 82.9 10 B． 92.9 10 C． 829 10 D． 100.29 10
3．若 2| 2 | ( 3) 0x y ，则 x y 的值为（ ）
A．－5 B．5 C．1 D．－1
4．函数 2y x 的自变量 x的取值范围是（ ）
A． 0x B． 0x C． 0x D．
1
2
x
5．已知正比例函数 1y k x 和反比例函数 2ky
x
，在同一直角坐标系下的图象如图所
示，其中符合 1 2 0k k 的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字 5
所在的面相对的面上标的数字为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，
9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有
改变的一个统计量是（ ）
A．平均分 B．方差 C．中位数 D．极差
8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为 1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
9．已知两个直角三角形的三边长分别为 3，4，m和 6，8，n，且这两个直角三角形不．
相似，则m n 的值为（ ）
A．10 7 或5 2 7 B．15 C．10 7
D．15 3 7
10．如图，在边长为 2 的正方形 EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个
三角形 ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点 A恒在直线MN上，当点 A运
动到线段MN的中点时，点 E， F 恰与 AB， AC两边的中点重合．设点 A到EF 的
距离为 x，三角形 ABC与正方形 EFGH 的公共部分的面积为 y，则当
5
2
y 时，x的
值为（ ）
A．
7
4
或
22
2
B． 10
2
或
22
2
C． 22
2
D．
7
4
或
10
2
11．点(2，3)关于 y 轴对称的点的坐标为_____．
12．分解因式： 3 4a a ______．
13．一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为
_________ cm．
14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若 108AOD ，则
COB _________．
15．两个人做游戏：每个人都从－1，0，1 这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两
人所写整数的绝对值相等的概率为_________．
16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则
第 20 个图需要黑色棋子的个数为_________．
17．已知关于 x的一元二次方程 2 2 0x x a ，有下列结论：
①当 1a 时，方程有两个不相等的实根；
②当 0a 时，方程不可能有两个异号的实根；
③当 1a 时，方程的两个实根不可能都小于 1；
④当 3a 时，方程的两个实根一个大于 3，另一个小于 3．
以上 4 个结论中，正确的个数为_________．
18．如图，等边 ABC 中， 3AB ，点D，点E分别是边 BC，CA上的动点，且BD CE ，
连接 AD、 BE 交于点F ，当点D从点 B运动到点C时，则点 F 的运动路径的长度为
_________．
19．计算：
1
0 15 (1 )
3
20．先化简，再求值： 2( 5)( 1) ( 2)x x x ，其中 3x ．
21．解方程：
2 41
1 1
x
x x
22．如图，AB，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建
筑物 AB的顶点 A测得M 点的俯角为 45°，从建筑物CD的顶点C测得M 点的俯角为
75°，测得建筑物 AB的顶点 A的俯角为 30°．若已知建筑物 AB的高度为 20 米，求两
建筑物顶点 A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据： 2 1 .414 ， 3 1.732 ）
23．为了了解某校某年级 1000 名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了 40 名学生的
一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过 150 次），整理后绘制成如下的频数
直方图，图中的 a，b满足关系式2 3a b ．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，
但已知缺失数据都大于 120．请结合所给条件，回答下列问题．
（1）求问题中的总体和样本容量;
（2）求 a，b的值（请写出必要的计算过程）；
（3）如果一分钟跳绳次数在 125 次以上（不含 125 次）为跳绳成绩优秀，那么估计该
校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共 1000 名学生）
24．如图，在矩形 ABCD中，O为对角线 AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边
AD， BC交于M ，N 两点，连接CM， AN．
（1）求证：四边形 ANCM 为平行四边形；
（2）若 4AD ， 2AB ，且MN AC ，求DM 的长
25．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场
购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本 15 个，乙种笔记本 20 个，共花费
250 元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费 5 元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔
记本共 35 个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减
价 2 元，乙种笔记本按上一次购买时售价的 8 折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种
笔记本的总费用不超过上一次总费用的 90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求
购买两种笔记本总费用的最大值．
26．如图，反比例函数
ky
x
与一次函数 ( 1)y x k 的图象在第二象限的交点为 A，
在第四象限的交点为C，直线 AO（O为坐标原点）与函数
ky
x
的图象交于另一点
B．过点 A作 y轴的平行线，过点 B作 x轴的平行线，两直线相交于点 E， AEB△ 的
面积为 6．
（1）求反比例函数
ky
x
上的表达式；
（2）求点 A，C的坐标和 AOC△ 的面积．
27．如图，在 ABC 中， AB AC ，以 AB为直径的 O 交 BC于点D，连接 AD，
过点D作DM AC ，垂足为M ， AB、MD的延长线交于点 N ．
（1）求证：MN是 O 的切线；
（2）求证： 2DN BN BN AC ；
（3）若 6BC ，
3cos
5
C ，求DN 的长．
28．如图，抛物线 2 12y ax bx 与 x轴交于 A， B两点（ B在 A的右侧），且经过
点 1 7C , 和点D 5,7 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接 AD，经过点 B的直线 l与线段 AD交于点E，与抛物线交于另一点 F ．连
接CA，CE，CD， CED 的面积与 CAD 的面积之比为 1：7．点 P为直线 l上方抛
物线上的一个动点，设点 P的横坐标为 t．当 t为何值时， PFB△ 的面积最大？并求出
最大值；
（3）在抛物线 2 12y ax bx 上，当m x n 时， y的取值范围是12 16y ，
求m n 的取值范围．（直接写出结果即可）
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用正数大于0, 0 大于负数，从而可得答案．
【详解】
解：由正数大于0, 0 大于负数，
1 ＜ 0 ＜ 3 ＜ ,
所以：最大的数是 .
故选 .C
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示计算即可；
【详解】
92 900 000 000=2.9 10 ，
故答案选 B．
【点睛】
本题主要考查了科学记数法的表示，准确书写是做题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
根据绝对值和平方的非负性可求出 x，y 的值，代入计算即可；
【详解】
∵ 2| 2 | ( 3) 0x y ，
∴ 2 0x ， 3 0y ，
∴ 2x ， 3y ，
∴ 2 3 5 x y ．
故答案选 A．
【点睛】
本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案．
【详解】
解：由题意得： 2 0,x
0,x
故选： .C
【点睛】
本题考查的是函数自变量的取值范围，同时考查二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解
题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
【详解】
解： 观察图像①可得 1 20, 0k k ，所以 1 2 0k k ，①符合题意；
观察图像②可得 1 20, 0k k ，所以 1 2 0k k ，②不符合题意；
观察图像③可得 1 20, 0k k ，所以 1 2 0k k ，③不符合题意；
观察图像④可得 1 20, 0k k ，所以 1 2 0k k ，④符合题意；
综上，其中符合 1 2 0k k 的是①④，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当 k＞0 时，正比例函数和反比例函数经过
一、三象限，当 k＜0 时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限．
6．B
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据
这一特点可得到答案．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以：1,6 是相对面，3,4是相对面，
所以：5,2是相对面．
故选 B．
【点睛】
本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答
问题．
7．C
【解析】
【分析】
根据中位数的定义即可得．
【详解】
将该歌手的分数按从小到大进行排序为9.0，9.3，9.4，9.5，9.6， 9.7 ，9.9
则去掉前其中位数为9.5分
去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为9.3，9.4，9.5，9.6，9.7
则去掉后其中位数为9.5分
因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数
故选：C．
【点睛】
本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．
8．D
【解析】
【分析】
根据
1 , ,
3
V S h V S h 圆锥 底面积 圆柱 底面积高 高 结合已知条件可得答案．
【详解】
解：设圆锥与圆柱的底面半径为 ,r 圆锥的高为 h，则圆柱的高为3h，
2 2 21 , 3 3 ,
3
V r h V r h r h 圆锥 圆柱
2
2
1
13 .
3 9
r hV
V r h
圆锥
圆柱
＝
故选 D．
【点睛】
本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
判断未知边 m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出 m、n的值，最
后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】
解：在第一个直接三角形中，若 m是直角边，则 2 24 3 7m ，
若 m是斜边，则 2 24 3 5m ；
在第二个直接三角形中，若 n是直角边，则 2 28 6 28 2 7n ，
若 n是斜边，则 2 28 6 10n ；
又因为两个直角三角形不相似，故 m=5 和 n=10 不能同时取，
即当 m=5， 2 7n ， 5 2 7m n ，
当 7m ，n=10， 10 7m n ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜
边进行不同情况的讨论是解题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
本题应该分类讨论，从以下三个情况进行讨论，分别是：①当 x<1 时，重叠部分为直角三角
形的面积，将其三角形面积用 x 表示，但是求出
10x=
2
，与 x<1 相违背，要舍去；②当
1
2 时，重叠部分为一个多边形，可以从剩余部分
IHK JGLPQFE
3S S S =
2
△ △矩形 的角度进行求解，分别将矩形 PQFE、 IHK△ 、 JGL△ 的面
积用 x 表示，求出 x 即可，将 x 求出后，应该与前提条件假设的 x 的范围进行比较，判断 x
的值．
【详解】
解：∵在边长为 2 的正方形 EFGH 中，如图所示，当 A 运动到 MN 的中点时，点 E、F 恰
好与 AB、AC 的中点重合，即 AM=EM=FM=1，且 MN EF，
∴AME 和AMF 均为等腰直角三角形，可得：ABC 也是等腰直角三角形，其中
AB=AC= 2 2 ，BC=4，
设 A 到 EF 的距离 AM=x，
①当 x<1 时，此时图形的位置如下图所示，AB 与 EF 交于 P 点，AC 与 EF 交于 Q 点，
∵AM=x，且△APQ 为等腰直角三角形，
∴
2
APQ
1 5S = 2x x=x =
2 2
△ ，解得：
10x=
2
，但是与前提条件 x<1 相违背，故不存在该情
况；
②当 12 时，此时图形的位置如下图所示，AB 与 EH 交于 K 点，AB 与 HG 交于 I 点，AC
与 FG 交于 L 点，AC 与 HG 交于 J 点，BC 与 EH 交于 P 点，BC 与 GF 交于 Q 点，
∵公共部分面积为
5
2
，∴ IJLQPK
5S =
2多边形 ， IHK JGLPQFE
3S S S =
2
△ △矩形
且
2 2
IHK JGLPQFE
1 1 3S S S =2 (x-2)+ (3-x) (3-x)
2 2 2
△ △矩形 ，解得：
2x=2
2
或
2x=2-
2
（舍），
所以，满足条件的 AM 的值为
7x=
4
或
2x=2
2
，
故选：A．
【点睛】
本题考察了移动图形间的重叠问题，需要进行分类讨论，必须要把 x 的移动范围进行分类，
根据不同的 x 取值，画出不同重叠的图形，并将重叠部分的面积用 x 进行表示，解题的关键
在于利用剩余部分的面积进行倒推求解．
11．(﹣2，3)
【解析】
【分析】
平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于 y 轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴
的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【详解】
点（2，3）关于 y 轴对称的点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于 y 轴对称
的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反
数．
12． 2 2a a a
【解析】
【分析】
提出公因式 a后，括号内的两项都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公
式展开．
【详解】
解： 3 24 ( 4) ( 2)( 2)a a a a a a a ．
【点睛】
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
13．8
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理、三角形的周长公式即可得．
【详解】
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的
一半
则三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于这个三角形周长的一半，即
1 16 8( )
2
cm
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理等知识点，熟记三角形中位线定理是解题关键．
14．72 .
【解析】
【分析】
由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出
∠BOC．
【详解】
解： ∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，
∠BOC=90°-18°=72°．
故答案为：72．
【点睛】
本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
15．
5
9
【解析】
【分析】
画出树状图进行求解即可；
【详解】
由题可得到树状图如下图所示：
∴
5
9
P ．
故答案为
5
9
．
【点睛】
本题主要考查了利用树状图求概率，准确画图是解题的关键．
16．440
【解析】
【分析】
先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：
（1）正多边形的各顶点均需要 1 个黑色棋子
（2）从第 1 个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是0,1, 2,3,
即第 1 个图需要黑色棋子的个数为3 3 0
第 2 个图需要黑色棋子的个数为 4 4 1
第 3 个图需要黑色棋子的个数为5 5 2
第 4 个图需要黑色棋子的个数为6 6 3
归纳类推得：第 n 个图需要黑色棋子的个数为 ( 2) ( 2)( 1) ( 2)n n n n n ，其中 n 为
正整数
则第 20 个图需要黑色棋子的个数为 20 (20 2) 440
故答案为：440．
【点睛】
本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
17．①③
【解析】
【分析】
由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，∵一元二次方程 2 2 0x x a ，
∴ 2( 2) 4 1 ( ) 4 4a a ；
∴当 4 4 0a ，即 1a 时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当
1 2
4 4 0
• 0
a
x x a
，解得： 1 0a 吗，方程有两个同号的实数根，则当 0a 时，方
程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：
2 1
2
x
，则当 1a 时，方程的两个实根不可能都小于 1；故③
正确；
由 3a ，则 2 2 3a x x ，解得： 3x 或 1x ；故④错误；
∴正确的结论有①③；
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌
握所学的知识进行解题．
18． 2 3
3
【解析】
【分析】
如图，作过 A、B、F 作⊙O,AFB为点 F 的轨迹，然后计算出,AFB的长度即可．
【详解】
解：如图：作过 A、B、F 作⊙O,过 O 作 OG⊥AB
∵等边 ABC
∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°
∵BD CE
∴△BCE≌△ABC
∴∠BAD=∠CBE
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°
∴∠ABE+∠BAD=60°
∴∠AFB=120°
∵∠AFB 是弦 AB 同侧的圆周角
∴∠AOB=120°
∵OG⊥AB,OA=OB
∴∠BOG=∠AOG=
1
2
∠AOB=60°,BG=
1
2
AB=
3
2
∴∠OBG=30°
设 OB=x，则 OG=
1
2
x
∴
2 2
2 3
2 2
xx
，解得 x= 3 或 x=- 3 （舍）
∴AFB的长度为
120 2 3 2 3
360 3
．
故答案为：
2 3
3
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、含 30 度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根
据题意确定点 F 的轨迹是解答本题的关键．
19．7．
【解析】
【分析】
先计算绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂，再计算有理数的加减法即可得．
【详解】
原式 5 1 3
4 3
7 ．
【点睛】
本题考查了绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点， 熟记各运算法则是解题关键．
20． 22 1x ，5．
【解析】
【分析】
先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将 x 的值代入求值即
可．
【详解】
原式 2 25 5 4 4x x x x x
22 1x
将 3x 代入得：原式 22 ( 3) 1 2 3 1 5 ．
【点睛】
本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题
关键．
21．3
【解析】
【分析】
去分母化成整式方程，求出 x 后需要验证，才能得出结果；
【详解】
2 41
1 1
x
x x
，
去分母得：2 1 4x x ，
解得： 3x ．
检验：把 3x 代入 1x 中，得 1 3 1 2 0x ，
∴ 3x 是分式方程的根．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．
22．两建筑物顶点 A、C之间的距离为 35 米．
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据俯角的定义得出 45AMB EAM ， 75FCM ，
30CAE ， // //CF AE BD，再根据平行线的性质、角的和差可得 60AMN ，
45ACN ，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得 20 2AM ，又在 Rt AMN△
中，解直角三角形可得 10 6AN ，最后根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】
如图，过点 A 作 AN CM 于点 N
由题意得： 45AMB EAM ， 75FCM ， 30CAE ， // //CF AE BD
180 105BMC FCM ， 60AMN BMC AMB
30ACF CAE ， 45ACN FCM ACF
90 , 45B AMB Q ， 20AB 米
Rt ABM 是等腰直角三角形
2 20 2AM AB （米）
在Rt AMN△ 中， sin ANAMN
AM
，即
3sin 60
220 2
AN
解得 10 6AN （米）
在 Rt ACN 中， 45ACN
Rt ACN V 是等腰直角三角形
2 2 10 6 20 3 20 1.732 34.64 35AC AN （米）
答：两建筑物顶点 A、C之间的距离为 35 米．
【点睛】
本题考查了俯角的定义、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的实
际应用等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
23．（1）总体是某校某年级 1000 名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是 40；（2）a=12，b=8；
（3）该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是 200 人．
【解析】
【分析】
（1）根据总体和样本容量的定义即可求解；
（2）根据题意可得一分钟跳绳次数在 100 次以上的人数有 20 人，再根据 2 3a b 可求得 a
和 b 的值；
（3）先计算出 40 名学生中一分钟跳绳次数在 125 次以上（不含 125 次）的人所占的比例，
再乘以 1000 即可求解．
【详解】
解：（1）总体是某校某年级 1000 名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是 40
（2）设 2 3a b m ，则 ,
2 3
m ma b ，
根据题意可得一分钟跳绳次数在 100 次以上的人数有 20 人，
即 a+b=20，
20
2 3
m m
，解得 24m ，
∴a=12，b=8；
（3）
8 1000 200
40
（人），
答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是 200 人．
【点睛】
本题考查抽样调查、读频数分布直方图的能力、利用统计图获取信息的能力和由样本估计整
体；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解
决问题．
24．（1）证明见解析；（2）
3
2
【解析】
【分析】
（1）通过证明△AOM和△CON全等，可以得到 =AM NC，又因为 //AM NC，所以可以证
明四边形 ANCM 为平行四边形；
（2）根据MN AC ，从而可以证明平行四边形 ANCM 是菱形，得到 AM AN NC ，
再使用勾股定理计算出 BN的长度，从而可以得到 DM的长度．
【详解】
（1）证明：∵四边形 ABCD是矩形
∴ //AD BC， //AM NC
∴ AMN MNC MAC ACN ，
在△AOM和△CON中
AMN MNC
MAC ACN
AO CO
∴△AOM≌△CON
∴ =AM NC
又∵ //AM NC
∴四边形 ANCM 为平行四边形．
（2）∵四边形 ANCM 为平行四边形
∵MN AC
∴平行四边形 ANCM 是菱形
∴ AM AN NC
∵ 4AD BC
设 BN的长度为 x
在 Rt△ABN中， 2AB ， 4AN x
2 2 2AB BN AN
2 2 22 (4 )x x
3
2
x
5
2
AN AM
∴
3
2
DM
【点睛】
（1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形是解题的关键；（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知晓对角线互相垂
直的平行四边形是菱形是解题的关键．
25．（1）购买一个甲种笔记本 10 元，一个乙种笔记本 5 元；（2）至多需要购买 21 个甲种笔
记本，购买两种笔记本总费用的最大值为 224 元．
【解析】
【分析】
（1）设购买一个甲种笔记本 x 元，一个乙种笔记本 y 元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设需要购买 a 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为 w，先求出调价之后
甲、乙两种笔记本的单价，再列出不等式求解，再列出函数关系式表示出购买两种笔记本总
费用的最大值，代入 a 的值求解即可．
【详解】
解：（1）设购买一个甲种笔记本 x 元，一个乙种笔记本 y 元，
由题意得：
5
15 20 250
x y
x y
，
解得：
10
5
x
y
，
答：购买一个甲种笔记本 10 元，一个乙种笔记本 5 元．
（2）设需要购买 a 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为 w，
调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），
乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），
8a+4（35-a）≤250×90%，
解得：
85
4
a ，
至多需要购买 21 个甲种笔记本，
8 4 35 4 140w a a a ，
当 a=21 时，w=224，
答：购买两种笔记本总费用的最大值为 224 元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程组
或不等式，求解即可．
26．（1）
3y
x
；（2） 1,3 , 3, 1 ,A C AOC△ 的面积为 4.
【解析】
【分析】
（1）联立
ky
x
与 ( 1)y x k 求解 ,A C的坐标，利用
ky
x
得到 ,A B关于原点成中
心对称，求解 B的坐标，结合已知得到 E的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）得到 k的值，得到 ,A C的坐标，AC的解析式，记 AC与 y轴的交点为 ,D 求
解D的坐标，利用 AOC AOD DOCS S S 可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得：
1
ky
x
y x k
1 ,k x k
x
2 1 0,x k x k
1 0,x k x
1 2, 1,x k x
当 1 1, 1,x k y
当 2 21, ,x y k
经检验：符合题意．
k ＜0,
1, , , 1 ,A k C k
,A B为OA与
ky
x
的交点，
1, ,B k
/ /AE y 轴， / /BE x轴，
1, ,E k
2 , 1 1 2,AE k k k BE
AEB 的面积为 6．
1 6,
2
AE BE
1 2 2 6,
2
k
3,k
反比例函数为：
3 .y
x
（2） 1, , , 1 ,A k C k 3,k
1,3 , 3, 1 ,A C 直线 AC为 2y x ，
记 AC与 x轴的交点为D，
令 0,y 则 2 0,x
2,x
2,0 ,D
AOC AOD DOCS S S
1 12 3 2 1 4.
2 2
【点睛】
本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，
反比例函数与一次函数的性质，考查了方程组与一元二次方程的解法，图形与坐标，图形面
积问题，掌握以上知识是解题的关键．
27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
60
7
DN
【解析】
【分析】
（1）连接 OD，根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得 OD 为△ABC 的中位线，即可
求证；
（2）根据题中条件证明△BND∽△DNA，再根据 AB=AC，进行等量代换即可证明；
（3）先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出 AB、BD、AD 的长度，再
利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）如图，连接 OD，
∵AB 为 O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，点 D 为 BC 的中点，
又∵AO=BO，
∴OD 为△ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
∵DM AC ，
∴OD⊥MN，
故MN是 O 的切线．
（2）∵∠ADB=90°，
∠1+∠3=90°，
∵DM AC ，
∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠5，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠4=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∵∠N=∠N，
∴△BND∽△DNA，
∴
BN DN
DN AN
，
∵AB=AC，
∴
BN DN DN
DN BN AB BN AC
，
∴ 2DN BN BN AC
（3）∵ 6BC ，
∴BD=CD=3，
∵
3cos
5
C ，
∴AC= 5
cos
CD
C
，
∴AB=5，
由勾股定理可得 AD=4，,
由（2）可得，△BND∽△DNA，
∴
3
4
BN DN BD
DN AN AD
∴
3
4
BD DN ，
∵
3
4
DN
AN
，
∴
3
4
DN
AB BN
，即
3
3 45
4
DN
DN
，
解得：
60
7
DN ．
【点睛】
本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌
握相关性质和判定并灵活应用．
28．（1） 2 4 12y x x ；（2）所以：当
7
2
t 时， PFB△ 的最大面积
125
8
；（3）
4 2m n ．
【解析】
【分析】
（1）把 1 7C , 和点D 5,7 代入： 2 12y ax bx ，从而可得答案；
（2）过D作DQ x 轴于 ,Q 过 E作EH x 于H ，则 / / ,DQ EH 利用 CED 的面积与
CAD 的面积之比为 1：7，求解E的坐标，再求解 BE 的解析式及F 的坐标，设
2, 4 12 ,P t t t 过 P作PG x 轴于G，交 BF 于 ,M 建立 PFB△ 的面积与 t的函数
关系式，利用函数的性质求最大面积，从而可得答案；
（3）记抛物线与 y轴的交点为 ,N 过 N 作 / /NK x轴交抛物线于K，先求解 ,N K 的坐标，
可得当12 16y 时，有0 4,x 结合已知条件可得答案．
【详解】
解：（1）把 1 7C , 和点 5,7 代入： 2 12y ax bx ，
12 7
25 5 12 7
a b
a b
解得：
1
,
4
a
b
所以：抛物线为： 2 4 12y x x ，
（2） 2 4 12y x x ,
令 0,y 则 2 4 12 0,x x
解得： 1 22, 6,x x
2,0 , 6,0 ,A B
过D作DQ x 轴于 ,Q 过 E作EH x 于H ，则 / / ,DQ EH
5,7 ,D
7,QA QD 45 ,DAQ
CED 的面积与 CAD 的面积之比为 1：7，
1 ,
7
DE
DA
/ / ,DQ EH
1 ,
7
DE HQ
DA AQ
1, 6,HQ AH
4,OH
45 ,DAQ
6,EH AH
4,6 ,E
设 BE 为： ,y kx b
4 6
6 0
k b
k b
解得：
3
,
18
k
b
BE 为： 3 18,y x
2
3 18
,
4 12
y x
y x x
解得：
1 2
1 2
1 6
, ,
15 0
x x
y y
1,15 ,F
过 P作 PG x 轴于G，交 BF 于 ,M
设 2, 4 12 ,P t t t
则 , 3 18 ,M t t
2 24 12 3 18 7 6,PM t t t t t
1 5 ,
2 2BPF B FS PM x x PM
当PM最大，则 PFB△ 的面积最大，
所以：当
7 7
2 2 1 2
bt
a
时，
49 49 256 ,
4 2 4
PM 最大
所以 PFB△ 的最大面积＝
5 25 125 .
2 4 8
（3） 2 4 12,y x x
令 0, 12,x y
记抛物线与 y轴的交点为 ,N 过 N 作 / /NK x轴交抛物线于K，
0,12 ,N
令 12,y 则 2 4 12 12,x x
解得： 1 20, 4,x x
4,12 ,K
22 4 12 2 16,y x x x
抛物线的顶点 2,16 ,
当12 16y 时，
0 4,x
当m x n 时， y的取值范围是12 16y ，
0 2, 2 4,m n
4 2,m n
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，考查了平行线分
线段成比例，等腰直角三角形的性质，同时考查了二次函数的增减性，函数交点坐标的求解，
是典型的压轴题，掌握以上相关的知识是解题的关键．
