2014年广东省珠海市中考数学试卷(含答案)

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2014年广东省珠海市中考数学试卷(含答案)

广东省珠海市 2014 年中考数学试卷   一、选择题(本大题 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)在毎小题列出的四个选项中,只有一 个是正确的,请把答题卡上对应題目所选的选项涂黑. 1.(3 分)(2014•珠海)﹣ 的相反数是(  )  A.2 B. C.﹣2 D.﹣ 考点:相反数. 专题:计算题. 分析:根据相反数的定义,只有符号不同的两个数是互为相反数,﹣ 的相反数为 . 解答:解:与﹣ 符号相反的数是 ,所以﹣ 的相反数是 ; 故选 B. 点评:本题主要相反数的意义,只有符号不同的两个数互为相反数,a 的相反数是﹣a.   2.(3 分)(2014•珠海)边长为 3cm 的菱形的周长是(  )  A.6cm B.9cm C.12cm D.15cm 考点:菱形的性质. 分析:利用菱形的各边长相等,进而求出周长即可. 解答:解:∵菱形的各边长相等, ∴边长为 3cm 的菱形的周长是:3×4=12(cm). 故选:C. 点评:此题主要考查了菱形的性质,利用菱形各边长相等得出是解题关键.   3.(3 分)(2014•珠海)下列计算中,正确的是(  )  A.2a+3b=5ab B.(3a3)2=6a6 C.a6+a2=a3 D.﹣3a+2a=﹣a 考点:合并同类项;幂的乘方与积的乘方. 分析:根据合并同类项,积的乘方,等于先把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;对 各选项分析判断后利用排除法求解. 解答:解:A、不是同类二次根式,不能加减,故本选项错误; B、(3a3)2=9a6≠6a6,故本选项错误; C、不是同类二次根式,不能加减,故本选项错误; D、﹣3a+2a=﹣a 正确 故选:D. 点评:本题主要考查了合并同类项,积的乘方,等于先把每一个因式分别乘方,再把所得的 幂相乘;熟记计算法则是关键.   4.(3 分)(2014•珠海)已知圆柱体的底面半径为 3cm,髙为 4cm,则圆柱体的侧面积为 (  )  A.24πcm2 B.36πcm2 C.12cm2 D.24cm2 考点:圆柱的计算. 分析:圆柱的侧面积=底面周长×高,把相应数值代入即可求解. 解答:解:圆柱的侧面积=2π×3×4=24π. 故选 A. 点评:本题考查了圆柱的计算,解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法.   5.(3 分)(2014•珠海)如图,线段 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 丄 AB,∠CAB=20°,则∠AOD 等于(  )  A.160° B.150° C.140° D.120° 考点:圆周角定理;垂径定理. 分析: 利用垂径定理得出 = ,进而求出∠BOD=40°,再利用邻补角的性质得出答案. 解答:解:∵线段 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 丄 AB, ∴ = , ∵∠CAB=20°, ∴∠BOD=40°, ∴∠AOD=140°. 故选:C. 点评:此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识,得出∠BOD 的度数是解题关键.   二、填空题(本大题 5 小题,毎小题 4 分,共 20 分)请将下列各题的正确答案填写在答题 卡相应的位置上. 6.(4 分)(2014•珠海)比较大小:﹣2 > ﹣3. 考点:有理数大小比较 分析:本题是基础题,考查了实数大小的比较.两负数比大小,绝对值大的反而小;或者直 接想象在数轴上比较,右边的数总比左边的数大. 解答:解:在两个负数中,绝对值大的反而小,可求出﹣2>﹣3. 点评:(1)在以向右方向为正方向的数轴上两点,右边的点表示的数比左边的点表示的数 大. (2)正数大于 0,负数小于 0,正数大于负数. (3)两个正数中绝对值大的数大. (4)两个负数中绝对值大的反而小.   7.(4 分)(2014•珠海)填空:x2﹣4x+3=(x﹣ 2 )2﹣1. 考点:配方法的应用. 专题:计算题. 分析:原式利用完全平方公式化简即可得到结果. 解答:解:x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1. 故答案为:2 点评:此题考查了配方法的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.   8.(4 分)(2014•珠海)桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的 6 个红球和 4 个白球,小 红不慎遗失了其中 2 个红球,现在从桶里随机摸出一个球,则摸到白球的概率为   . 考点:概率公式. 分析:由桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的 6 个红球和 4 个白球,小红不慎遗失了其 中 2 个红球,直接利用概率公式求解即可求得答案. 解答:解:∵桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的 6 个红球和 4 个白球,小红不慎遗失 了其中 2 个红球, ∴现在从桶里随机摸出一个球,则摸到白球的概率为: = . 故答案为: . 点评:此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.   9.(4 分)(2014•珠海)如图,对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于(1,0),(3,0)两 点,則它的对称轴为 直线 x=2 . 考点:二次函数的性质 分析:点(1,0),(3,0)的纵坐标相同,这两点一定关于对称轴对称,那么利用两点的横 坐标可求对称轴. 解答:解:∵点(1,0),(3,0)的纵坐标相同, ∴这两点一定关于对称轴对称, ∴对称轴是:x= =2. 故答案为:直线 x=2. 点评:本题主要考查了抛物线的对称性,图象上两点的纵坐标相同,则这两点一定关于对称 轴对称.   10.(4 分)(2014•珠海)如图,在等腰 Rt△OAA1 中,∠OAA1=90°,OA=1,以 OA1 为直角 边作等腰 Rt△OA1A2,以 OA2 为直角边作等腰 Rt△OA2A3,…则 OA4 的长度为 8 . 考点:等腰直角三角形 专题:规律型. 分析:利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长,进而得出答案. 解答:解:∵△OAA1 为等腰直角三角形,OA=1, ∴AA1=OA=1,OA1= OA= ; ∵△OA1A2 为等腰直角三角形, ∴A1A2=OA1= ,OA2= OA1=2; ∵△OA2A3 为等腰直角三角形, ∴A2A3=OA2=2,OA3= OA2=2 ; ∵△OA3A4 为等腰直角三角形, ∴A3A4=OA3=2 ,OA4= OA3=8. 故答案为:8. 点评:此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理,熟练应用勾股定理得出是解题 关键.   三、解答题(一)(本大题 5 小题,毎小题 6 分,共 30 分> 11.(6 分)(2014•珠海)计算:( )﹣1﹣( ﹣2)0﹣|﹣3|+ . 考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂. 分析:本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点.针对每个考点分别 进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答: 解:原式= ﹣1﹣3+2=2﹣1﹣3+2=0. 点评:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关 键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式化简等考点的运算.   12.(6 分)(2014•珠海)解不等式组: . 考点:解一元一次不等式组. 分析:分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解答: 解: ,由①得,x>﹣2,由②得,x≤﹣1, 故此不等式组的解集为:﹣2<x≤﹣1. 点评:本题解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小 找不到”的法则是解答此题的关键.   13.(6 分)(2014•珠海)化简:(a2+3a)÷ . 考点:分式的混合运算. 专题:计算题. 分析:原式第二项约分后,去括号合并即可得到结果. 解答:解:原式=a(a+3)÷ =a(a+3)× =a. 点评:此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.   14.(6 分)(2014•珠海)某市体育中考共设跳绳、立定跳远、仰卧起坐三个项目,要求毎 位学生必须且只需选考其中一项,该市东风中学初三(2)班学生选考三个项目的人数分布 的条形统计图和扇形统计图如图所示. (1)求该班的学生人数; (2)若该校初三年级有 1000 人,估计该年级选考立定供远的人数. 考点:条形统计图;扇形统计图 专题:计算题. 分析:(1)根据跳绳的人数除以占的百分比,得出学生总数即可; (2)求出立定跳远的人数占总人数的百分比,乘以 1000 即可得到结果. 解答:解:(1)根据题意得:30÷60%=50(人), 则该校学生人数为 50 人; (2)根据题意得:1000× =100(人), 则估计该年级选考立定供远的人数为 100 人. 点评:此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题意是解本题的关 键.   15.(6 分)(2014•珠海)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°. (1)用尺规在边 BC 上求作一点 P,使 PA=PB(不写作法,保留作图痕迹) (2)连结 AP,当∠B 为 30 度时,AP 平分∠CAB. 考点:作图—基本作图;线段垂直平分线的性质 分析:(1)运用基本作图方法,中垂线的作法作图, (2)求出∠PAB=∠PAC=∠B,运用直角三角形解出∠B. 解答:解:(1)如图, (2)如图, ∵PA=PB, ∴∠PAB=∠B, 如果 AP 是角平分线,则∠PAB=∠PAC, ∴∠PAB=∠PAC=∠B, ∵∠ACB=90°, ∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°, ∴∠B=30°时,AP 平分∠CAB. 故答案为:30. 点评:本题主要考查了基本作图,角平分线的知识,解题的关键是熟记作图的方法及等边对 等角的知识.   四、解答题(二)(本大题 4 小题,毎小题 7 分,共 28 分> 16.(7 分)(2014•珠海)为庆祝商都正式营业,商都推出了两种购物方案.方案一:非会 员购物所有商品价格可获九五折优惠,方案二:如交纳 300 元会费成为该商都会员,则所有 商品价格可获九折优惠. (1)以 x(元)表示商品价格,y(元)表示支出金额,分别写出两种购物方案中 y 关于 x 的函数解析式; (2)若某人计划在商都购买价格为 5880 元的电视机一台,请分析选择哪种方案更省钱? 考点:一次函数的应用 分析:(1)根据两种购物方案让利方式分别列式整理即可; (2)分别把 x=5880,代入(1)中的函数求得数值,比较得出答案即可. 解答:解:(1)方案一:y=0.95x; 方案二:y=0.9x+300; (2)当 x=5880 时, 方案一:y=0.95x=5586, 方案二:y=0.9x+300=5592, 5586<5592 所以选择方案一更省钱. 点评:此题考查一次函数的运用,根据数量关系列出函数解析式,进一步利用函数解析式解 决问题.   17.(7 分)(2014•珠海)如图,一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45°方向、距离小岛 180 海 里的 A 处,渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后,到达位于小岛南偏东 60°方向的 B 处. (1)求渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离(结果用根号表示); (2)若渔船以 20 海里/小时的速度从 B 沿 BM 方向行驶,求渔船从 B 到达小岛 M 的航行 时间(结果精确到 0.1 小时).(参考数据: ≈1.41, ≈1.73, ≈2.45) 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 分析:(1)过点 M 作 MD⊥AB 于点 D,根据∠AME 的度数求出∠AMD=∠MAD=45°,再根 据 AM 的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案; (2)在 Rt△DMB 中,根据∠BMF=60°,得出∠DMB=30°,再根据 MD 的值求出 MB 的值,最后根据路程÷速度=时间,即可得出答案. 解答:解:(1)过点 M 作 MD⊥AB 于点 D, ∵∠AME=45°, ∴∠AMD=∠MAD=45°, ∵AM=180 海里, ∴MD=AM•cos45°=90 (海里), 答:渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离是 90 海里; (2)在 Rt△DMB 中, ∵∠BMF=60°, ∴∠DMB=30°, ∵MD=90 海里, ∴MB= =60 , ∴60 ÷20=3 =3×2.45=7.35≈7.4(小时), 答:渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间约为 7.4 小时. 点评:本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用 锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键.   18.(7 分)(2014•珠海)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,线段 AB 为半 圆 O 的直径,将 Rt△ABC 沿射线 AB 方向平移,使斜边与半圆 O 相切于点 G,得△DEF,DF 与 BC 交于点 H. (1)求 BE 的长; (2)求 Rt△ABC 与△DEF 重叠(阴影)部分的面积. 考点:切线的性质;扇形面积的计算;平移的性质 专题:计算题. 分析:(1)连结 OG,先根据勾股定理计算出 BC=5,再根据平移的性质得 AD=BE, DF=AC=3,EF=BC=5,∠EDF=∠BAC=90°,由于 EF 与半圆 O 相切于点 G,根据切线 的性质得 OG⊥EF,然后证明 Rt△EOG∽Rt△EFD,利用相似比可计算出 OE= ,所以 BE=OE﹣OB= ; (2)求出 BD 的长度,然后利用相似比例式求出 DH 的长度,从而求出△BDH,即阴 影部分的面积. 解答:解:(1)连结 OG,如图, ∵∠BAC=90°,AB=4,AC=3, ∴BC= =5, ∵Rt△ABC 沿射线 AB 方向平移,使斜边与半圆 O 相切于点 G,得△DEF, ∴AD=BE,DF=AC=3,EF=BC=5,∠EDF=∠BAC=90°, ∵EF 与半圆 O 相切于点 G, ∴OG⊥EF, ∵AB=4,线段 AB 为半圆 O 的直径, ∴OB=OG=2, ∵∠GEO=∠DEF, ∴Rt△EOG∽Rt△EFD, ∴ = ,即 = ,解得 OE= , ∴BE=OE﹣OB= ﹣2= ; (2)BD=DE﹣BE=4﹣ = . ∵DF∥AC, ∴ ,即 , 解得:DH=2. ∴S 阴影=S△BDH= BD•DH= × ×2= , 即 Rt△ABC 与△DEF 重叠(阴影)部分的面积为 . 点评:本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了平移的性质、勾 股定理和相似三角形的判定与性质.   19.(7 分)(2014•珠海)如图,在平面直角坐标系中,边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴 对称,边在 AD 在 x 轴上,点 B 在第四象限,直线 BD 与反比例函数 y= 的图象交于点 B、 E. (1)求反比例函数及直线 BD 的解析式; (2)求点 E 的坐标. 考点:反比例函数与一次函数的交点问题. 分析:(1)根据正方形的边长,正方形关于 y 轴对称,可得点 A、B、D 的坐标,根据待定 系数法,可得函数解析式; (2)根据两个函数解析式,可的方程组,根据解方程组,可得答案. 解答:解:(1)边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称,边在 AD 在 x 轴上,点 B 在第四 象限, ∴A(1,0),D(﹣1,0),B(1,﹣2). ∵反比例函数 y= 的图象过点 B, ∴ ,m=﹣2, ∴反比例函数解析式为 y=﹣ , 设一次函数解析式为 y=kx+b, ∵y=kx+b 的图象过 B、D 点, ∴ ,解得 . 直线 BD 的解析式 y=﹣x﹣1; (2)∵直线 BD 与反比例函数 y= 的图象交于点 E, ∴ ,解得 ∵B(1,﹣2), ∴E(﹣2,1). 点评:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用待定系数法求解析式,利用方程 组求交点坐标.   五、解答题(三)(本大题 3 小题,毎小题 9 分,共 27 分) 20.(9 分)(2014•珠海)阅读下列材料: 解答“已知 x﹣y=2,且 x>1,y<0,试确定 x+y 的取值范围”有如下解法: 解∵x﹣y=2,∴x=y+2 又∵x>1,∵y+2>1.∴y>﹣1. 又∵y<0,∴﹣1<y<0. …① 同理得:1<x<2. …② 由①+②得﹣1+1<y+x<0+2 ∴x+y 的取值范围是 0<x+y<2 请按照上述方法,完成下列问题: (1)已知 x﹣y=3,且 x>2,y<1,则 x+y 的取值范围是 1<x+y<5 . (2)已知 y>1,x<﹣1,若 x﹣y=a 成立,求 x+y 的取值范围(结果用含 a 的式子表 示). 考点:一元一次不等式组的应用. 专题:阅读型. 分析:(1)根据阅读材料所给的解题过程,直接套用解答即可; (2)理解解题过程,按照解题思路求解. 解答:解:(1)∵x﹣y=3, ∴x=y+3, 又∵x>2, ∴y+3>2, ∴y>﹣1. 又∵y<1, ∴﹣1<y<1,…① 同理得:2<x<4,…② 由①+②得﹣1+2<y+x<1+4 ∴x+y 的取值范围是 1<x+y<5; (2)∵x﹣y=a, ∴x=y+a, 又∵x<﹣1, ∴y+a<﹣1, ∴y<﹣a﹣1, 又∵y>1, ∴1<y<﹣a﹣1,…① 同理得:a+1<x<﹣1,…② 由①+②得 1+a+1<y+x<﹣a﹣1+(﹣1), ∴x+y 的取值范围是 a+2<x+y<﹣a﹣2. 点评:本题考查了一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是仔细阅读材料,理解解题过 程,难度一般.   21.(9 分)(2014•珠海)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,点 F 在边 BC 的延 长线上,连结 EF 与边 CD 相交于点 G,连结 BE 与对角线 AC 相交于点 H,AE=CF, BE=EG. (1)求证:EF∥AC; (2)求∠BEF 大小; (3)求证: = . 考点:四边形综合题 分析:(1)根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定. (2)先确定三角形 GCF 是等腰直角三角形,得出 CG=AE,然后通过△BAE≌△BCG, 得出 BE=BG=EG,即可求得. (3)因为三角形 BEG 是等边三角形,∠ABC=90°,∠ABE=∠CBG,从而求得 ∠ABE=15°,然后通过求得△AHB∽△FGB,即可求得. 解答:解:(1)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD∥BF, ∵AE=CF, ∴四边形 ACFE 是平行四边形, ∴EF∥AC, (2)连接 BG, ∵EF∥AC, ∴∠F=∠ACB=45°, ∵∠GCF=90°, ∴∠CGF=∠F=45°, ∴CG=CF, ∵AE=CF, ∴AE=CG, 在△BAE 与△BCG 中, , ∴△BAE≌△BCG(SAS) ∴BE=BG, ∵BE=EG, ∴△BEG 是等边三角形, ∴∠BEF=60°, (3)∵△BAE≌△BCG, ∴∠ABE=∠CBG, ∵∠BAC=∠F=45°, ∴△AHB∽△FGB, ∴ = = = = = = , ∵∠EBG=60°∠ABE=∠CBG,∠ABC=90°, ∴∠ABE=15°, ∴ = . 点评:本题考查了平行四边形的判定及性质,求得三角形的判定及 性质,正方形的性质, 相似三角形的判定及性质,连接 BG 是本题的关键.   22.(9 分)(2014•珠海)如图,矩形 OABC 的顶点 A(2,0)、C(0,2 ).将矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30°.得矩形 OEFG,线段 GE、FO 相交于点 H,平行于 y 轴的直线 MN 分别交线段 GF、GH、GO 和 x 轴于点 M、P、N、D,连结 MH. (1)若抛物线 l:y=ax2+bx+c 经过 G、O、E 三点,则它的解析式为: y= x2﹣ x ; (2)如果四边形 OHMN 为平行四边形,求点 D 的坐标; (3)在(1)(2)的条件下,直线 MN 与抛物线 l 交于点 R,动点 Q 在抛物线 l 上且在 R、 E 两点之间(不含点 R、E)运动,设△PQH 的面积为 s,当 时,确定点 Q 的 横坐标的取值范围. 考点:二次函数综合题 分析:(1)求解析式一般采用待定系数法,通过函数上的点满足方程求出. (2)平行四边形对边平行且相等,恰得 MN 为 OF,即为中位线,进而横坐标易得, D 为 x 轴上的点,所以纵坐标为 0. (3)已知 S 范围求横坐标的范围,那么表示 S 是关键.由 PH 不为平行于 x 轴或 y 轴的线段,所以考虑利用过动点的平行于 y 轴的直线切三角形为 2 个三角形的常规方 法来解题,此法底为两点纵坐标得差,高为横坐标的差,进而可表示出 S,但要注意, 当 Q 在 O 点右边时,所求三角形为两三角形的差.得关系式再代入 , 求解不等式即可.另要注意求解出结果后要考虑 Q 本身在 R、E 之间的限制. 解答:解:(1)如图 1,过 G 作 GI⊥CO 于 I,过 E 作 EJ⊥CO 于 J, ∵A(2,0)、C(0,2 ), ∴OE=OA=2,OG=OC=2 , ∵∠GOI=30°,∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°, ∴GI=sin30°•GO= = , IO=cos30°•GO= =3, JO=cos30°•OE= = , JE=sin30°•OE= =1, ∴G(﹣ ,3),E( ,1), 设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c, ∵经过 G、O、E 三点, ∴ , 解得 , ∴y= x2﹣ x. (2)∵四边形 OHMN 为平行四边形, ∴MN∥OH,MN=OH, ∵OH= OF, ∴MN 为△OGF 的中位线, ∴xD=xN= •xG=﹣ , ∴D(﹣ ,0). (3)设直线 GE 的解析式为 y=kx+b, ∵G(﹣ ,3),E( ,1), ∴ , 解得 , ∴y=﹣ x+2. ∵Q 在抛物线 y= x2﹣ x 上, ∴设 Q 的坐标为(x, x2﹣ x), ∵Q 在 R、E 两点之间运动, ∴﹣ <x< . ①当﹣ <x<0 时, 如图 2,连接 PQ,HQ,过点 Q 作 QK∥y 轴,交 GE 于 K,则 K(x,﹣ x+2), ∵S△PKQ= •(yK﹣yQ)•(xQ﹣xP), S△HKQ= •(yK﹣yQ)•(xH﹣xQ), ∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ= •(yK﹣yQ)•(xQ﹣xP)+ •(yK﹣yQ)•(xH﹣xQ) = •(yK﹣yQ)•(xH﹣xP)= •[﹣ x+2﹣( x2﹣ x)]•[0﹣(﹣ )]=﹣ x2+ . ②当 0≤x< 时, 如图 2,连接 PQ,HQ,过点 Q 作 QK∥y 轴,交 GE 于 K,则 K(x,﹣ x+2), 同理 S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ= •(yK﹣yQ)•(xQ﹣xP)﹣ •(yK﹣yQ)•(xQ﹣xH) = •(yK﹣yQ)•(xH﹣xP)=﹣ x2+ . 综上所述,S△PQH=﹣ x2+ . ∵ , ∴ <﹣ x2+ ≤ , 解得﹣ <x< , ∵﹣ <x< , ∴﹣ <x< . 点评:本题考查了一次函数、二次函数性质与图象,直角三角形及坐标系中三角形面积的表 示等知识点.注意其中“利用过动点的平行于 y 轴的直线切三角形为 2 个三角形的常 规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点,需要加强理解运用.
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