2018福建各地市数学5月质检卷及答案

2018福建各地市数学5月质检卷及答案

书书书 　　　　 １ ２０１８年福州学业水平考试·数学 （考试时间：１２０分钟　满分：１５０分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． １．－３的绝对值是 （　Ｄ　） Ａ．１ ３　　　　　　Ｂ．－１ ３　　　　　　Ｃ．－３　　　　　　Ｄ．３ ２．如图是五个大小相同的正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是 （　Ｄ　） 　　　 ３．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作．根据规划， “一带一路”地区覆盖总人口约为 ４４００００００００人，将 ４４００００００００用科学记数法 表示，其结果是 （　Ｂ　） Ａ．４４×１０８ Ｂ．４．４×１０９ Ｃ．４．４×１０８ Ｄ．４．４×１０１０ ４．如图，数轴上 Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ四点中，能表示槡３的点是 （　Ｃ　） 第 ４题图 Ａ．Ｍ Ｂ．Ｎ Ｃ．Ｐ Ｄ．Ｑ ５．下列计算正确的是 （　Ｂ　） Ａ．８ａ－ａ＝８ Ｂ．（－ａ）４＝ａ４ Ｃ．ａ３·ａ２＝ａ６ Ｄ．（ａ－ｂ）２＝ａ２－ｂ２ ６．下列几何图形不是中心对称图形的是 （　Ｃ　） Ａ．平行四边形　 Ｂ．正方形 Ｃ．正五边形 Ｄ．正六边形 ７．如图，ＡＤ是半圆 Ｏ的直径，ＡＤ＝１２，Ｂ，Ｃ是半圆 Ｏ上两点．若 ) ＡＢ＝ ) ＢＣ＝ ) ＣＤ，则 第 ７题图 图中阴影部分的面积是 （　Ａ　） Ａ．６π Ｂ．１２π Ｃ．１８π Ｄ．２４π ８．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为 １个单位长度，Ａ，Ｂ在格点上， 现将线段 ＡＢ向下平移 ｍ个单位长度，再向左平移 ｎ个单位长度，得到线段 第 ８题图 Ａ′Ｂ′，连接 ＡＡ′，ＢＢ′．若四边形 ＡＡ′Ｂ′Ｂ是正方形，则 ｍ＋ｎ的值是 （　Ａ　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ９．若数据 ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的众数为 ａ，方差为 ｂ，则数据 ｘ１ ＋２，ｘ２ ＋２，…，ｘｎ ＋２的众 数、方差分别是 （　Ｃ　） Ａ．ａ，ｂ Ｂ．ａ，ｂ＋２ Ｃ．ａ＋２，ｂ Ｄ．ａ＋２，ｂ＋２ １０．在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，Ａ（０，２），Ｂ（ｍ，ｍ－２），则 ＡＢ＋ＯＢ的最小值是 （　Ａ　） Ａ． 槡２ ５ Ｂ．４ Ｃ． 槡２ ３ Ｄ．２ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分． １１．２－１＝１ ２． １２．若∠α＝４０°，则∠α的补角是１４０°． １３．不等式 ２ｘ＋１≥３的解集是ｘ≥１． １４．一个不透明的袋子中有 ３个白球和 ２个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋 子中随机摸出 １个球，这个球是白球的概率是 ３ ５． １５．如图，矩形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是 ＢＣ上一点，将△ＡＢＥ沿 ＡＥ折叠，得到△ＡＦＥ．若 Ｆ 恰好是 ＣＤ的中点，则ＡＤ ＡＢ的值是槡３ ２． 第 １５题图 　　　 第 １６题图 １６．如图，直线 ｙ１ ＝－４ ３ｘ与双曲线 ｙ２ ＝ｋ ｘ交于 Ａ，Ｂ两点，点 Ｃ在 ｘ轴上，连接 ＡＣ，ＢＣ．若∠ＡＣＢ＝９０°，△ＡＢＣ的面积为 １０，则 ｋ的值是 －６． 三、解答题：本题共 ９小题，共 ８６分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７．（本小题满分 ８分）先化简，再求值：（１－ ２ ｘ＋１）÷ｘ２－２ｘ＋１ ｘ＋１ ，其中 ｘ 槡＝ ２＋１． 解：原式 ＝ｘ＋１－２ ｘ＋１ × ｘ＋１ （ｘ－１）２ ＝ｘ－１ ｘ＋１× ｘ＋１ （ｘ－１）２ ＝ １ ｘ－１， 当 ｘ 槡＝ ２＋１时，原式 ＝ １ 槡２＋１－１ ＝槡２ ２． １８．（本小题满分 ８分）如图，点 Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｅ在一条直线上，ＡＢ∥ＤＥ，ＡＣ∥ＤＦ且 ＡＣ ＝ＤＦ，求证：ＡＢ＝ＤＥ． 第 １８题图 证明：∵ＡＢ∥ＤＥ， ∴∠Ｂ＝∠Ｅ， ∵ＡＣ∥ＤＦ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ， 在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中， ∵ ∠Ｂ＝∠Ｅ ∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ ＡＣ＝{ ＤＦ ， ∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＡＳ）， ∴ＡＢ＝ＤＥ． １９．（本小题满分 ８分）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝５４°，ＡＤ是△ＡＢＣ的 角平分线．求作 ＡＢ的垂直平分线 ＭＮ交 ＡＤ于点 Ｅ，连接 ＢＥ；并证明 ＤＥ＝ＤＢ． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 第 １９题图 　　 第 １９题解图 解：作图如解图所示： ∵∠Ｂ＝５４°，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＣＡＢ＝３６°， ∵ＡＤ平分∠ＣＡＢ， ∴∠ＤＡＢ＝１８°， ∵ＭＮ垂直平分线段 ＡＢ， ∴ＥＡ＝ＥＢ， ∴∠ＥＢＡ＝∠ＥＡＢ＝１８°， ∴∠ＤＥＢ＝∠ＥＢＡ＋∠ＥＡＢ＝３６°， ∵∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＡ－∠ＥＢＡ＝５４°－１８°＝３６°， ∴∠ＤＥＢ＝∠ＤＢＥ， ∴ＤＥ＝ＤＢ． ２０．（本小题满分 ８分）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程 组是由算筹布置而成的．如图①，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未 知数 ｘ，ｙ的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的 方程组的形式表述出来，就是 ｘ＋４ｙ＝１０ ６ｘ＋１１ｙ{ ＝３４．请你根据图②所示的算筹图，列 出方程组，并求解． 第 ２０题图 解：根据题意，可得方程组 ２ｘ＋ｙ＝７　① ｘ＋３ｙ＝１１{ ② ， ② ×２－①，得 ５ｙ＝１５，解得 ｙ＝３，把 ｙ＝３代入①，解得 ｘ＝２， ∴方程组的解为 ｘ＝２ ｙ{ ＝３． ２１．（本小题满分 ８分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点 Ｃ在⊙Ｏ上，过点 Ｃ的直线与 ＡＢ延长线相交于点 Ｐ．若∠ＣＯＢ＝２∠ＰＣＢ，求证：ＰＣ是⊙Ｏ的切线． 第 ２１题图 　　　 第 ２１题解图 证明：如解图，连接 ＡＣ， ∵ＯＡ＝ＯＣ， ∴∠Ａ＝∠ＡＣＯ． ∴∠ＣＯＢ＝２∠                                                                                                                                                     ＡＣＯ． ０１ 又∵∠ＣＯＢ＝２∠ＰＣＢ， ∴∠ＡＣＯ＝∠ＰＣＢ． ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＯ＋∠ＯＣＢ＝９０°． ∴∠ＰＣＢ＋∠ＯＣＢ＝９０°，即 ＯＣ⊥ＣＰ． ∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径， ∴ＰＣ是⊙Ｏ的切线． ２２．（本小题满分 １０分）已知 ｙ是 ｘ的函数，自变量 ｘ的取值范围是 －３．５≤ｘ≤４， 下表是 ｙ与 ｘ的几组对应值： ｘ －３．５ －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ ４ ｙ ４ ２ １ ０．６７ ０．５ ２．０３ ３．１３ ３．７８ ４ 请你根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 ｙ与 ｘ之间的变化规律， 对该函数的图象与性质进行探究． （Ⅰ）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，描出了上表中各对对应值为坐标的点． 根据描出的点，画出该函数的图象； 第 ２２题图 （Ⅱ）根据画出的函数图象的特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化 规律： 序号 函数图象特征 函数变化规律 示例 １ 在 ｙ轴 右 侧，函 数 图 象 呈 上 升 状态 当 ０＜ｘ≤４时，ｙ随 ｘ的增 大而增大 示例 ２ 函数图象经过点（－２，１） 当 ｘ＝－２时，ｙ＝１ （ⅰ） 函数图象的最低点是（０，０．５） 当 ｘ＝０时，函数有最小值， 最小值为 ０．５ （ⅱ） 在 ｙ轴 左 侧，函 数 图 象 呈 下 降 状态 当 －３．５≤ｘ＜０，ｙ随 ｘ的增 大而减小 （Ⅲ）当 ａ＜ｘ≤ ４时，ｙ的 取 值 范 围 为 ０．５≤ ｙ≤ ４，则 ａ的 取 值 范 围 为 －３．５≤ａ≤０． 解：（Ⅰ）函数的图象如解图所示： 第 ２２题解图 ２３．（本小题满分 １０分）李先生从家到公司上班，可以乘坐 ２０路或 ６６路公交车． 他在乘坐这两路车时，对所需的时间分别做了 ２０次统计，并绘制如下统计图： 第 ２３题图 请根据以上信息，解答下列问题． （Ⅰ）完成表中（ⅰ），（ⅱ）的数据： 公交线路 ２０路 ６６路 乘车时间 统计量 平均数 ３４ （ⅰ） 中位数 （ⅱ） ３０ （Ⅱ）李先生从家到公司，除乘车时间外，另需 １０分钟（含等车，步行等）．该公 司规定每天 ８点上班，１６点下班． （ⅰ）某日李先生 ７点 ２０分从家里出发，乘坐哪路车合适？并说明理由； （ⅱ）公司出于人文关怀，允许每个员工每个月迟到两次．若李先生每天同一 时刻从家里出发，则每天最迟几点出发合适？并说明理由．（每月的上班天数 按 ２２天计） 解：（Ⅰ）（ⅰ）３４；（ⅱ）３５； （Ⅱ）（ⅰ）李先生乘 ６６路公交车比较合适． 理由如下：由（Ⅰ）可知，乘坐 ２０路和 ６６路公交车所需时间的平均数都为 ３４，乘坐 ２０路和 ６６路公交车所需时间的中位数分别为 ３５和 ３０，李先生要 想按时上班，乘车时间不能超过 ３０分钟，因此，选择 ６６路公交车比较适合． （ⅱ）李先生每天最迟 ７点 １０分出发，乘坐 ２０路公交车比较合适． 理由如下：李先生每天 ７点 １０分出发，还有 ４０分钟的乘车时间，由统计图 可估计乘坐 ２０路公交车不迟到的天数为 ２２×１９ ２０＝２０．９，乘坐 ６６路公交车 不迟到的天数为 ２２×１７ ２０＝１８．７，因为一月上班 ２２天，其中公司出于人文关 怀允许迟到两次，所以，不迟到的天数应不少于 ２０天，因此，李先生每天 ７ 点 １０分出发，乘坐 ２０路公交车比较适合． ２４．（本小题满分 １２分）已知菱形 ＡＢＣＤ，Ｅ是 ＢＣ边上一点，连接 ＡＥ交 ＢＤ于点 Ｆ． （Ⅰ）如图①，当 Ｅ是 ＢＣ中点时，求证：ＡＦ＝２ＥＦ； （Ⅱ）如图②，连接 ＣＦ，若 ＡＢ＝５，ＢＤ＝８，当△ＣＥＦ为直角三角形时，求 ＢＥ 的长； （Ⅲ）如图③，当∠ＡＢＣ＝９０°时，过点 Ｃ作 ＣＧ⊥ＡＥ交 ＡＥ的延长线于点 Ｇ，连 接 ＤＧ，若 ＢＥ＝ＢＦ，求 ｔａｎ∠ＢＤＧ的值． 第 ２４题图 解：（Ⅰ）∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ， ∴△ＡＦＤ∽△ＥＦＢ， ∴ＡＦ ＥＦ＝ＡＤ ＢＥ， ∵ＢＥ＝ＣＥ， ∴ＡＤ＝２ＢＥ， ∴ＡＦ ＥＦ＝ＡＤ ＢＥ＝２ＢＥ ＢＥ ＝２， ∴ＡＦ＝２ＥＦ； （Ⅱ）连接 ＡＣ，交 ＢＤ于点 Ｏ，则 ＯＢ＝１ ２ＢＤ，ＡＣ⊥ＢＤ， 第 ２４题解图① ①当∠ＦＥＣ＝９０°时，如解图①， ∵ＡＢ＝５，ＢＤ＝８， ∴ＯＢ＝４， 由勾股定理可得 ＯＡ＝３， ∴ＡＣ＝６， ∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ＢＣ·ＡＥ＝１ ２×６×８＝２４， ∴ＡＥ＝２４ ５， ∴ＢＥ＝ ＡＢ２－ＡＥ槡 ２＝ ５２－（２４ ５）槡 ２ ＝７ ５， ②当∠ＥＦＣ＝９０°时，如解图②： ∵ＢＤ垂直平分 ＡＣ， ∴ＡＦ＝ＣＦ， ∵∠ＣＦＥ＝９０° ∴∠ＡＦＣ＝９０°， ∴△ＡＦＣ是等腰直角三角形． ∴ＯＦ＝ＯＣ＝３， ∴ＢＦ＝ＯＢ－ＯＦ＝４－３＝１， ∵ＢＥ∥ＡＤ， ∴△ＡＦＤ∽△ＥＦＢ， ∴ＢＥ ＡＤ＝ＢＦ ＤＦ，即ＢＥ ５ ＝１ ７                                                                                                                                                     ， １１ ∴ＢＥ＝５ ７． 综上所述，当△ＣＥＦ为直角三角形时，ＢＥ长为 ７ ５或 ５ ７； 第 ２４题解图② （Ⅲ）如解图③，连接 ＡＣ交 ＢＤ于点 Ｏ，交 ＤＧ于点 Ｋ，过点 Ｋ作 ＫＨ⊥ＣＤ于 点 Ｈ，连接 ＣＦ． ∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＤＢＣ＝∠ＢＤＣ＝∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝４５°， ∵ＢＦ＝ＢＥ， ∴∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ＝６７．５°． ∴∠ＢＡＧ＝２２．５°， ∴∠ＣＡＧ＝２２．５°， ∵ＡＧ⊥ＣＧ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＣＧＥ＝９０°， ∵∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＧ， ∴∠ＢＣＧ＝∠ＢＡＥ＝２２．５°， ∵ＢＤ垂直平分 ＡＣ， ∴ＡＦ＝ＣＦ， ∴∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＦ＝∠ＢＣＧ＝２２．５°． ∴∠ＧＣＦ＝４５°， ∴∠ＧＦＣ＝４５°， ∴ＧＦ＝ＧＣ． ∵ＢＥ∥ＡＤ， ∴△ＡＦＤ∽△ＥＦＢ， ∴ＢＥ ＡＤ＝ＢＦ ＤＦ， ∵ＢＥ＝ＢＦ， ∴ＡＤ＝ＤＦ＝ＣＤ， ∴△ＤＦＧ≌△ＤＣＧ（ＳＳＳ）， ∴ＤＧ平分∠ＢＤＣ， 在△ＤＯＫ和△ＤＨＫ中， ＤＫ＝ＤＫ ∠ＫＯＤ＝∠ＫＨＤ ∠ＯＤＫ＝∠{ ＨＤＫ ， ∴△ＤＯＫ≌△ＤＨＫ（ＡＡＳ）． ∴ＫＯ＝ＫＨ＝ＣＨ． 设正方形的边长为 ２， 则 ＯＤ＝ＤＨ 槡＝ ２， 设 ＫＯ＝ＫＨ＝ＣＨ＝ｘ， ∴ＣＨ＋ＤＨ＝ＣＤ，即 ｘ 槡＋ ２＝２， ∴ｘ 槡＝２－ ２， ∴ｔａｎ∠ＢＤＧ＝ＯＫ ＯＤ＝ 槡２－ ２ 槡２ 槡＝ ２－１． 第 ２４题解图③ ２５．（本小题满分 １４分）如图，抛物线 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ（ａ＞０，ｂ＜０）交 ｘ轴于 Ｏ，Ａ两 点，顶点为 Ｂ． 第 ２５题图 （Ⅰ）直接写出 Ａ，Ｂ两点的坐标（用含 ａ，ｂ的代数式表 示）； （Ⅱ）直线 ｙ＝ｋｘ＋ｍ（ｋ＞０）过点 Ｂ，且与抛物线交于另一 点 Ｄ（点 Ｄ与点 Ａ不重合），交 ｙ轴于点 Ｃ．过点 Ｄ作 ＤＥ ⊥ｘ轴于点 Ｅ，连接 ＡＢ，ＣＥ，求证：ＣＥ∥ＡＢ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接 ＯＢ，当∠ＯＢＡ＝１２０°，槡３ ２≤ｋ ≤槡３时，求ＡＢ ＣＥ的取值范围． （Ⅰ）Ａ（－ｂ ａ，０），Ｂ（－ｂ ２ａ，－ｂ２ ４ａ）； 【解法提示】令 ｙ＝０，得 ｘ１＝０，ｘ２＝－ｂ ａ， ∴Ａ（－ｂ ａ，０）． ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＝ａ（ｘ＋ｂ ２ａ） ２ ＋－ｂ２ ４ａ， ∴Ｂ点的坐标为（－ｂ ２ａ，－ｂ２ ４ａ）． （Ⅱ）如解图，解方程组：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ ｙ＝ｋｘ＋{ ｍ ， 消去 ｙ，得：ａｘ２＋（ｂ－ｋ）ｘ－ｍ＝０， 设 Ｄ的横坐标为 ｘ，则得 ｘ＋（－ｂ ２ａ）＝－ｂ－ｋ ａ ， 可得：ｘ＝２ｋ－ｂ ２ａ ，∴ＯＥ＝２ｋ－ｂ ２ａ ， ∵直线 ｙ＝ｋｘ＋ｍ经过点 Ｂ（－ｂ ２ａ，－ｂ２ ４ａ）， ∴ －ｂ２ ４ａ ＝－ｂ ２ａｋ＋ｍ， ∴ｍ＝２ｂｋ－ｂ２ ４ａ ， ∴ＯＣ＝ｂ２－２ｂｋ ４ａ ， ∴ｔａｎ∠ＯＥＣ＝ ｂ２－２ｂｋ ４ａ ２ｋ－ｂ ２ａ ＝－ｂ ２， ∵ｔａｎ∠ＯＡＢ＝ ｂ２ ４ａ －ｂ ２ａ ＝－ｂ ２， ∴∠ＯＥＣ＝∠ＯＡＢ， ∴ＣＥ∥ＡＢ； 第 ２５题解图 （Ⅲ）由（Ⅱ）得 ＢＦ⊥ＯＡ，ＦＯ＝ＦＡ， ∴ＢＯ＝ＢＡ， ∵∠ＯＢＡ＝１２０°， ∴∠ＢＡＦ＝３０°， ∴ｔａｎ∠ＢＡＦ＝ＢＦ ＡＦ＝－ｂ ２＝槡３ ３， ∴ｂ＝－ 槡２ ３ ３ ， ∵∠ＣＯＥ＝∠ＢＦＡ＝９０°，∠ＢＡＦ＝∠ＣＥＯ， ∴△ＣＯＥ∽△ＢＦＡ， 由（Ⅱ）得 ＢＦ＝ｂ２ ４ａ，ＯＣ＝－２ｋｂ－ｂ２ ４ａ ， ∴ＡＢ ＣＥ＝ＢＦ ＯＣ＝－ ｂ ２ｋ－ｂ＝ １ 槡３ｋ＋１ ， ∵槡３ ２≤ｋ≤槡３， ∴ ５ ２≤槡３ｋ＋１≤４， ∵１＞０， ∴当 ５ ２≤槡３ｋ＋１≤４时， 令ＡＢ ＣＥ随槡３ｋ＋１的增大而减小，槡３ｋ＋１＝５ ２时，ＡＢ ＣＥ取最大，最大值为 ２ ５；槡３ｋ＋ １＝４时，ＡＢ ＣＥ取最小，最小值为 １ ４， ∴ １ ４≤ＡＢ ＣＥ≤ ２ ５                                                                                                                                                     ． ２１ 　　　　 １ ２０１８年厦门市初中总复习教学质量检测 考试·数学 （试卷满分：１５０分 考试时间：１２０分钟） 一、选择题（本大题有 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．每小题都有四个选项，其中 有且只有一个选项正确） １．计算 －１＋２，结果正确的是 （　Ａ　） Ａ．１　　　　 Ｂ．－１　　　　 Ｃ．－２　　　　 Ｄ．－３ ２．抛物线 ｙ＝ａｘ２＋２ｘ＋ｃ的对称轴是 （　Ａ　） Ａ．ｘ＝－１ ａ Ｂ．ｘ＝－２ ａ Ｃ．ｘ＝１ ａ Ｄ．ｘ＝２ ａ ３．如图，已知四边形 ＡＢＣＤ，延长 ＢＣ到点 Ｅ，则∠ＤＣＥ的同位角是 （　Ｂ　） 第 ３题图 Ａ．∠Ａ Ｂ．∠Ｂ Ｃ．∠ＤＣＢ Ｄ．∠Ｄ ４．某初中校学生会为了解 ２０１７年本校学生人均课外阅读 量，计划开展抽样调查．下列抽样调查方案中最合适的是 （　Ｄ　） Ａ．到学校图书馆调查学生借阅量 Ｂ．对全校学生暑假课外阅读量进行调查 Ｃ．对初三年级学生的课外阅读量进行调查 Ｄ．在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查 ５．若 ９６７×８５＝ｐ，则 ９６７×８４的值可表示为 （　Ｃ　） Ａ．ｐ－１ Ｂ．ｐ－８５ Ｃ．ｐ－９６７ Ｄ．８５ ８４ｐ ６．如图，在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３７°，ＡＣ＝４，则 ＢＣ的长约为（ｓｉｎ３７°≈ ０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５） （　Ｂ　） 　第 ６题图 Ａ．２．４ Ｂ．３．０ Ｃ．３．２ Ｄ．５．０ ７．在同一条直线上依次有 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个点，若 ＣＤ－ＢＣ＝ＡＢ， 则下列结论正确的是 （　Ｄ　） Ａ．Ｂ是线段 ＡＣ的中点 Ｂ．Ｂ是线段 ＡＤ的中点 Ｃ．Ｃ是线段 ＢＤ的中点 Ｄ．Ｃ是线段 ＡＤ的中点 ８．把一些书分给几名同学，若　　　　；若每人分 １１本，则不够．依题意，设有 ｘ 名同学，可列不等式 ９ｘ＋７＜１１ｘ，则横线上的信息可以是 （　Ｃ　） Ａ．每人分 ７本，则可多分 ９个人 Ｂ．每人分 ７本，则剩余 ９本 Ｃ．每人分 ９本，则剩余 ７本 Ｄ．其中一个人分 ７本，则其他同学每人可分 ９本 ９．已知 ａ，ｂ，ｃ都是实数，则关于三个不等式：ａ＞ｂ，ａ＞ｂ＋ｃ，ｃ＜０的逻辑关系的表 述，下列正确的是 （　Ｄ　） Ａ．因为 ａ＞ｂ＋ｃ，所以 ａ＞ｂ，ｃ＜０ Ｂ．因为 ａ＞ｂ＋ｃ，ｃ＜０，所以 ａ＞ｂ Ｃ．因为 ａ＞ｂ，ａ＞ｂ＋ｃ，所以 ｃ＜０ Ｄ．因为 ａ＞ｂ，ｃ＜０，所以 ａ＞ｂ＋ｃ １０．据资料，我国古代数学家刘徽发展了测量不可到达的物体的高度的“重差 术”，如：通过下列步骤可测量山的高度 ＰＱ（如图）： （１）测量者在水平线上的 Ａ处竖立一根竹竿，沿射线 ＱＡ方向走到 Ｍ处，测得 山顶 Ｐ、竹竿顶点 Ｂ及 Ｍ在一条直线上； （２）将该竹竿竖立在射线 ＱＡ上的 Ｃ处，沿原方向继续走到 Ｎ处，测得山顶 Ｐ，竹竿顶点 Ｄ及 Ｎ在一条直线上； 第 １０题图 （３）设竹竿与 ＡＭ，ＣＮ的长分别为 ｌ，ａ１，ａ２， 可得公式：ＰＱ＝ ｄ·ｌ ａ２－ａ１ ＋ｌ．则上述公式中， ｄ表示的是 （　Ｂ　） Ａ．ＱＡ的长 Ｂ．ＡＣ的长 Ｃ．ＭＮ的长 Ｄ．ＱＣ的长 二、填空题（本大题有 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分） １１．分解因式：ｍ２－２ｍ＝ｍ（ｍ－２）． １２．投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是 １ ２． 第 １３题图 １３．如图，已知 ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是圆上两点，∠ＣＤＢ＝ ４５°，ＡＣ＝１，则 ＡＢ的长为槡２． １４．Ａ，Ｂ两种机器人都被用来搬运化工原料，Ａ型机器人比 Ｂ 型机器人每小时多搬运 ３０ｋｇ，Ａ型机器人搬运 ９００ｋｇ所用 时间与 Ｂ型机器人搬运 ６００ｋｇ所用时间相等．设 Ｂ型机器 人每小时搬运 ｘｋｇ化工原料，根据题意，可列方程 ９００ ｘ＋３０＝６００ ｘ． １５．已知 ａ＋１＝２０００２＋２００１２，计算： ２ａ槡 ＋１＝４００１． １６．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ．将△ＡＢＣ沿∠Ｂ的平分线折叠，使点 Ａ落在 ＢＣ边上的 点 Ｄ处，设折痕交 ＡＣ边于点 Ｅ，继续沿直线 ＤＥ折叠，若折叠后，ＢＥ与线段 ＤＣ相 交，且 交 点 不 与 点 Ｃ 重 合，则 ∠ ＢＡＣ 的 度 数 应 满 足 的 条 件 是１００°＜∠ＢＡＣ＜１８０°． 三、解答题（本大题有 ９小题，共 ８６分） １７．（本题满分 ８分）解方程：２（ｘ－１）＋１＝ｘ． 解：２ｘ－２＋１＝ｘ， （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２ｘ－ｘ＝２－１， （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ｘ＝１． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 １８题图 １８．（本题满分 ８分）如图，直线 ＥＦ分别与 ＡＢ，ＣＤ交于点 Ａ， Ｃ，若 ＡＢ∥ＣＤ，ＣＢ平分∠ＡＣＤ，∠ＥＡＢ＝７２°，求∠ＡＢＣ的 度数． 解：∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ． （３分）!!!!!!!!!!!! ∵ＣＢ平分∠ＡＣＤ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＤ， （５分）!!!!!!!!!!!! ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ． ∵∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝∠ＥＡＢ， ∴∠ＡＢＣ＝１ ２∠ＥＡＢ＝３６°． （８分）!!!!!!!!! １９．（本题满分 ８分）如图，平面直角坐标系中，直线 ｌ经过第一、二、四象限，点 Ａ（０，ｍ）在 ｌ上． （１）在图中标出点 Ａ； （２）若 ｍ＝２，且 ｌ过点（－３，４），求直线 ｌ的表达式． 第 １９题图 （１）解：如解图； （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 １９题解图 （２）解：设直线 ｌ的表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， （４分）!!!!!!!!! 由 ｍ＝２得点 Ａ（０，２）， 把（０，２），（－３，４）分别代入表达式，得 ｂ＝２， －３ｋ＋ｂ＝４{ ． 解得 ｂ＝２ ｋ＝－{ ２ ３ ， （７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴直线 ｌ的表达式为 ｙ＝－２ ３ｘ＋２． （８分）!!!!!!!!!!!!! ２０．（本题满分 ８分）如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ是 ＢＣ延长线上的一点，且 ＤＥ＝ＡＢ， 连接 ＡＥ，ＢＤ，证明 ＡＥ＝ＢＤ． 第 ２０题图 证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ∥ＤＣ，ＡＢ＝ＤＣ． （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＤＥ＝ＡＢ， ∴ＤＥ＝ＤＣ， ∴∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＥ＝∠ＡＢＣ． （６分）!!!!!!!!!!!!!!!! 在△ＡＢＥ和△ＤＥＢ中 ∵ＡＢ＝ＤＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ，ＢＥ＝ＥＢ， ∴△ＡＢＥ≌△ＤＥＢ， （７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＥ＝ＢＤ． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１．（本题满分 ８分）某市的居民交通消费可分为交通工具、交通工具使用燃料、 交通工具维修、市内公共交通、城市间交通等五项．该市统计局根据当年各项 的权重及各项价格的涨幅计算当年居民交通消费价格的平均涨幅．２０１７年该 市的有关数据如下表所示． 项目 交通工具 交通工具 使用燃料 交通工 具维修 市内公 共交通 城市间 交通 占交通消 费的比例 ２２％ １３％ ５％ ｐ ２６                                                                                                                                                     ％ ３１ ： ０ 相对上一年的 价格的涨幅 １．５％ ｍ％ ２％ ０．５％ １％ （１）求 ｐ的值； （２）若 ２０１７年该市的居民交通消费相对上一年价格的平均涨幅为 １．２５％，求 ｍ的值． （１）解：ｐ＝１－（２２％ ＋１３％ ＋５％ ＋２６％） （２分）!!!!!!!!!! ＝３４％； （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）解：由题意得 （２２％ ×１．５％ ＋１３％ ×ｍ％ ＋５％ ×２％ ＋３４％ ×０．５％ ＋２６％ ×１％）÷ （２２％ ＋１３％ ＋５％ ＋３４％ ＋２６％）＝１．２５％， （７分）!!!!!!!!! 解得 ｍ＝３． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 ２２题图 ２２．（本题满分 １０分）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ． （１）ＡＢ＝２，ＡＯ 槡＝ ５，求 ＢＣ的长； （２）∠ＤＢＣ＝３０°，ＣＥ＝ＣＤ，∠ＤＣＥ＜９０°，若 ＯＥ＝槡２ ２ＢＤ， 求∠ＤＣＥ的度数． （１）解：∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＣ＝２ＡＯ 槡＝２ ５． （２分）!!!!!!!!!!!!!! ∴在 Ｒｔ△ＡＣＢ中， ＢＣ＝ ＡＣ２－ＡＢ槡 ２＝４； （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）解：∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠ＤＣＢ＝９０°，ＢＤ＝２ＯＤ，ＡＣ＝２ＯＣ，ＡＣ＝ＢＤ， ∴ＯＤ＝ＯＣ＝１ ２ＢＤ． ∵∠ＤＢＣ＝３０°， ∴在 Ｒｔ△ＢＣＤ中，∠ＢＤＣ＝９０°－３０°＝６０°， ＣＤ＝１ ２ＢＤ． ∵ＣＥ＝ＣＤ， ∴ＣＥ＝１ ２ＢＤ， （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＯＥ＝槡２ ２ＢＤ， ∴在△ＯＣＥ中，ＯＥ２＝１ ２ＢＤ２． 又∵ＯＣ２＋ＣＥ２＝１ ４ＢＤ２＋１ ４ＢＤ２＝１ ２ＢＤ２， ∴ＯＣ２＋ＣＥ２＝ＯＥ２， ∴∠ＯＣＥ＝９０°． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＯＤ＝ＯＣ， ∴∠ＯＣＤ＝∠ＯＤＣ＝６０°， （９分）!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠ＤＣＥ＝∠ＯＣＥ－∠ＯＣＤ＝３０°． （１０分）!!!!!!!!!!!!! ２３．（本题满分 １１分）已知点 Ａ，Ｂ在反比例函数 ｙ＝６ ｘ（ｘ＞０）的图象上，且横坐标 分别为 ｍ，ｎ，过点 Ａ，Ｂ分别向 ｙ轴、ｘ轴作垂线段，两条垂线段交于点 Ｃ，过点 Ａ，Ｂ分别作 ＡＤ⊥ｘ轴于 Ｄ，作 ＢＥ⊥ｙ轴于 Ｅ． （１）若 ｍ＝６，ｎ＝１，求点 Ｃ的坐标； （２）若 ｍ（ｎ－２）＝３，当点 Ｃ在直线 ＤＥ上时，求 ｎ的值． 第 ２３题解图 解：（１）∵当 ｍ＝６时，ｙ＝６ ６＝１， 又∵ｎ＝１，∴Ｃ（１，１）； （２）如解图，∵点 Ａ，Ｂ的横坐标分别为 ｍ，ｎ， ∴Ａ（ｍ，６ ｍ），Ｂ（ｎ，６ ｎ）（ｍ＞０，ｎ＞０）， ∴Ｄ（ｍ，０），Ｅ（０，６ ｎ）， Ｃ（ｎ，６ ｍ）． 设直线 ＤＥ的表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， 把 Ｄ（ｍ，０），Ｅ（０，６ ｎ）分别代入表达式，可得 ｙ＝－６ ｍｎｘ＋６ ｎ． ∵点 Ｃ在直线 ＤＥ上， ∴把 Ｃ（ｎ，６ ｍ）代入 ｙ＝－６ ｍｎｘ＋６ ｎ，化简得 ｍ＝２ｎ． 把 ｍ＝２ｎ代入 ｍ（ｎ－２）＝３，得 ２ｎ（ｎ－２）＝３， 解得 ｎ＝ 槡２± １０ ２ ． ∵ｎ＞０，∴ｎ＝ 槡２＋ １０ ２ ． ２４．（本题满分 １１分）已知 ＡＢ＝８，直线 ｌ与 ＡＢ平行，且距离为 ４，Ｐ是 ｌ上的动点， 过点 Ｐ作 ＰＣ⊥ＡＢ交线段 ＡＢ于点 Ｃ，点 Ｃ不与 Ａ，Ｂ重合，过 Ａ，Ｃ，Ｐ三点的圆 与直线 ＰＢ交于点 Ｄ． （１）如图①，当 Ｄ为 ＰＢ的中点时，求 ＡＰ的长； （２）如图②，圆的一条直径垂直 ＡＢ于点 Ｅ，且与 ＡＤ交于点 Ｍ．当 ＭＥ的长度最 大时，判断直线 ＰＢ是否与该圆相切？并说明理由． 图① 　　 图② 第 ２４题图 第 ２４题解图 解：（１）∵ＰＣ⊥ＡＢ， ∴∠ＡＣＰ＝９０°， ∴ＡＰ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＰ＝９０°， 即 ＡＤ⊥ＰＢ， 又∵Ｄ为 ＰＢ的中点， ∴ＡＰ＝ＡＢ＝８； （２）当 ＭＥ的长度最大时，直线 ＰＢ与该圆相切． 理由如下： 如解图，设圆心为 Ｏ，连接 ＯＣ，ＯＤ，连接 ＡＰ． ∵ ) ＣＤ＝ ) ＣＤ， ∴∠ＣＡＤ＝１ ２∠ＣＯＤ，∠ＣＰＤ＝１ ２∠ＣＯＤ， ∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＰＤ． 又∵ ＰＣ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＢ， ∴∠ＰＣＢ＝∠ＭＥＡ＝９０°， ∴△ＭＥＡ∽△ＢＣＰ， ∴ＭＥ ＢＣ＝ＡＥ ＰＣ． ∵ＯＥ⊥ＡＢ，ＯＡ＝ＯＣ， ∴ＡＥ＝ＥＣ． 设 ＡＥ＝ｘ，则 ＢＣ＝８－２ｘ． 由ＭＥ ＢＣ＝ＡＥ ＰＣ，可得 ＭＥ＝－１ ２（ｘ－２）２＋２． ∵ｘ＞０，８－２ｘ＞０， ∴０＜ｘ＜４， 又∵ －１ ２＜０， ∴当 ｘ＝２时，ＭＥ的长度最大为 ２． ∵∠ＰＣＡ＝９０°， ∴ＡＰ为⊙Ｏ的直径． ∵ＡＯ＝ＯＰ，ＡＥ＝ＥＣ， ∴ＯＥ为△ＡＣＰ的中位线， ∴ＯＥ＝１ ２ＰＣ． ∵ｌ∥ＡＢ，ＰＣ⊥ＡＢ， ∴ＰＣ＝４， ∴ＯＥ＝２， ∴当 ＭＥ＝２时，点 Ｍ与圆心 Ｏ重合， 即 ＡＤ为⊙Ｏ直径， 也即点 Ｄ与点 Ｐ重合，圆与直线 ＰＢ有唯一交点． ∴此时直线 ＰＢ与该圆相切． ２５．（本题满分 １４分）已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｔ－１，ｔ＜０． （１）当 ｔ＝－２时， ① 若函数图象经过点（１，－４），（－１，０），求 ａ，ｂ的值； ② 若 ２ａ－ｂ＝１，对于任意不为零的实数 ａ，是否存在一条直线 ｙ＝ｋｘ＋ｐ（ｋ≠ ０），始终与函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存 在，请说明理由； （２）若点 Ａ（－１，ｔ），Ｂ（ｍ，ｔ－ｎ）（ｍ＞０，ｎ＞０）是函数图象上的两点，且 Ｓ△ＡＯＢ ＝１ ２ｎ－２ｔ，当 －１≤ｘ≤ｍ时，点 Ａ是该函数图象的最高点，求 ａ的取值范围． （１）①解：当 ｔ＝－２时，二次函数为 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３． 把（１，－４），（－１，０）分别代入 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３，得 ａ＋ｂ－３＝－４， ａ－ｂ{ －３＝０ 解得 ａ＝１ ｂ{ ＝－２， ∴ａ＝１，ｂ＝－２； ②解法一：∵２ａ－ｂ＝１， ∴二次函数为 ｙ＝ａｘ２＋（２ａ－１）ｘ－３， ∴当 ｘ＝－２时，ｙ＝－１；当 ｘ＝０时，ｙ＝－３， ∴二次函数图象一定经过（－２，－１），（０，－３）． 设经过这两点的直线的表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｐ（ｋ≠０）， 把（－２，－１），（０，－３）分别代入，可求得该直线表达式为 ｙ＝－ｘ－３， 即直线 ｙ＝－ｘ－３始终与二次函数图象交于（－２，－１），（０，－３）两点                                                                                                                                                     ； ４１ 解法二：当直线与二次函数图象相交时，有 ｋｘ＋ｐ＝ａｘ２＋（２ａ－１）ｘ－３， 整理可得 ａｘ２＋（２ａ－ｋ－１）ｘ－３－ｐ＝０， 可得 Δ＝（２ａ－ｋ－１）２＋４ａ（３＋ｐ）． 若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则 Δ＞０， 化简可得 ４ａ２－４ａ（ｋ－ｐ－２）＋（１＋ｋ）２＞０． ∵ａ取任意不为零的实数，总有 ４ａ２＞０，（１＋ｋ）２≥０ ∴当 ｋ－ｐ－２＝０时，总有 Δ＞０， 可取 ｐ＝１，ｋ＝３． 则对于任意不为零的实数 ａ，存在直线 ｙ＝３ｘ＋１始终与函数图象交于不同 的两点，即存在一条直线，当满足 ｋ－ｐ－２＝０时，始终与函数图象交于不同 两点，如直线 ｙ＝３ｘ＋１； （２）解：把 Ａ（－１，ｔ）代入 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｔ－１， 可得 ｂ＝ａ－１． ∵Ａ（－１，ｔ），Ｂ（ｍ，ｔ－ｎ）（ｍ＞０，ｎ＞０）， 又∵Ｓ△ＡＯＢ ＝１ ２ｎ－２ｔ， ∴ １ ２［（－ｔ）＋（ｎ－ｔ）］（ｍ＋１）－１ ２×１×（－ｔ）－１ ２×（ｎ－ｔ）ｍ＝１ ２ｎ－２ｔ， 解得 ｍ＝３． ∴Ａ（－１，ｔ），Ｂ（３，ｔ－ｎ）， ∵ｎ＞０，∴ｔ＞ｔ－ｎ． 当 ａ＞０时，【二次函数图象的顶点为最低点，当 －１≤ｘ≤３时，若点 Ａ为该 函数图象最高点，则 ｙＡ≥ｙＢ】，分别把 Ａ（－１，ｔ），Ｂ（３，ｔ－ｎ）代入 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｔ－１，得 ｔ＝ａ－ｂ＋ｔ－１，ｔ－ｎ＝９ａ＋３ｂ＋ｔ－１． 因为 ｔ＞ｔ－ｎ， 所以 ａ－ｂ＋ｔ－１＞９ａ＋３ｂ＋ｔ－１． 可得 ２ａ＋ｂ＜０． 即 ２ａ＋（ａ－１）＜０． 解得 ａ＜１ ３． 所以 ０＜ａ＜１ ３． 当 ａ＜０时， 由 ｔ＞ｔ－ｎ，可知： 【若 Ａ，Ｂ在对称轴的异侧，当 －１≤ｘ≤３时，图象的最高点是抛物线的顶点 而不是点 Ａ； 若 Ａ，Ｂ在对称轴的左侧，因为当 ｘ≤ －ｂ ２ａ时，ｙ随 ｘ的增大而增大，所以当 － １≤ｘ≤３时，点 Ａ为该函数图象最低点； 若 Ａ，Ｂ在对称轴的右侧，因为当 ｘ≥ －ｂ ２ａ时，ｙ随 ｘ的增大而减小，所以当 － １≤ｘ≤３时，若点 Ａ为该函数图象最高点，则】 －ｂ ２ａ≤ －１． 即 －ａ－１ ２ａ≤ －１． 解得 ａ≥ －１． 所以 －１≤ａ＜０． 综上，０＜ａ＜１ ３或 －１≤ａ＜０                                                                                                       ． ５１ 　　　　 ３ ２０１８年泉州市初中学业质量检查 考试·数学 （试卷满分：１５０分钟；考试时间：１２０分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求，在答题卡的相应位置内作答． １．化简｜－３｜的结果是 （　Ａ　） Ａ．３　　　　　 Ｂ．－３　　　　　 Ｃ．±３　　　　　 Ｄ．１ ３ ２．如图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，则其主视图是 （　Ｃ　） 第 ２题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ３．从泉州市电子商务中心获悉，近年来电子商务产业蓬勃发展，截止到 ２０１８年 ３ 月，我市电商从业人员已达 ８７３０００人，数字 ８７３０００可用科学记数法表示为 （　Ｃ　） Ａ．８．７３×１０３ Ｂ．８７．３×１０４ Ｃ．８．７３×１０５ Ｄ．０．８７３×１０６ ４．下列各式的计算结果为 ａ５的是 （　Ｄ　） Ａ．ａ７－ａ２ Ｂ．ａ１０÷ａ２ Ｃ．（ａ２）３ Ｄ．（－ａ）２·ａ３ ５．不等式组 ｘ－１＞０ －３ｘ＋６≥{ ０的解集在数轴上表示为 （　Ｃ　） ６．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 （　Ａ　） ７．去年某市 ７月 １日到 ７日的每一天最高气温变化如折线图所示，则关于这组数 据的描述正确的是 （　Ｄ　） 第 ７题图 Ａ．最低温度是 ３２℃ Ｂ．众数是 ３５℃ Ｃ．中位数是 ３４℃ Ｄ．平均数是 ３３℃ ８．在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三； 人出七，不足四，问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出 ８ 元，还盈余 ３元；每人出 ７元，则还差 ４元，问人数是多少？若设人数为 ｘ，则下 列关于 ｘ的方程符合题意的是 （　Ａ　） Ａ．８ｘ－３＝７ｘ＋４ Ｂ．８（ｘ－３）＝７（ｘ＋４） Ｃ．８ｘ＋４＝７ｘ－３ Ｄ．１ ７ｘ－３＝１ ８ｘ＋４ ９．如图，在 ３×３的网格中，Ａ，Ｂ均为格点，以点 Ａ为圆心，以 ＡＢ的长为半径作弧， 图中的点 Ｃ是该弧与格线的交点，则 ｓｉｎ∠ＢＡＣ的值是 （　Ｂ　） Ａ．１ ２ Ｂ．２ ３ Ｃ．槡５ ３ Ｄ．槡５ ５ 第 ９题图 　　　 第 １０题图 １０．如图，反比例函数 ｙ＝ｋ ｘ的图象经过正方形 ＡＢＣＤ的顶点 Ａ和中心 Ｅ，若点 Ｄ 的坐标为（－１，０），则 ｋ的值为 （　Ｂ　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．１ ２ Ｄ．－１ ２ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分，把答案填在答题卡的相应位置． １１．已知 ａ＝（１ ２）０，ｂ＝２－１，则 ａ＞ｂ（填“＞”，“＜”或“＝”）． １２．正八边形的每一个内角的度数为１３５°． １３．一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的 ｍ个红球，６个黄球，３个白球，现 将球搅匀后，任意摸出 １个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发 现，摸到黄球的频率稳定在 ３０％附近，由此可以估算 ｍ的值是１１． 第 １４题图 １４．如图，将△ＡＢＣ绕点 Ａ顺时针旋转 １２０°，得到△ＡＤＥ， 这时点 Ｄ，Ｅ，Ｂ恰好在同一直线上，则∠ＡＢＣ的度数 为３０°． １５．已知关于 ｘ的一元二次方程（ｍ－１）ｘ２－（２ｍ－２）ｘ－ １＝０有两个相等的实数根，则 ｍ的值为０． １６．在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＡＤ＝３，点 Ｅ为 ＢＣ中点，连接 ＡＥ，将△ＡＢＥ沿 ＡＥ折叠到△ＡＢ′Ｅ的位置，若∠ＢＡＥ＝４５°，则点 Ｂ′到直线 ＢＣ的距离为 槡２ ２ ３． 三、解答题：本题共 ９小题，共 ８６分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 在答题卡的相应位置内作答． １７．（本小题满分 ８分）解方程：ｘ－３ ２ －２ｘ＋１ ３ ＝１． 解：去分母，得 ３（ｘ－３）－２（２ｘ＋１）＝６， （３分）!!!!!!!!!!! ３ｘ－９－４ｘ－２＝６， （５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３ｘ－４ｘ＝６＋９＋２， （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! －ｘ＝１７， （７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ｘ＝－１７． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８．（本小题满分 ８分）先化简，再求值：（ ａ２ ａ－３－ ９ ａ－３）÷ａ２＋３ａ ａ３ ，其中 ａ＝槡２ ２． 解：原式 ＝ａ２－９ ａ－３· ａ３ ａ（ａ＋３） ＝（ａ＋３）（ａ－３） ａ－３ · ａ３ ａ（ａ＋３） ＝ａ２， （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 当 ａ＝槡２ ２时，原式 ＝（槡２ ２）２＝１ ２． （８分）!!!!!!!!!!!!!!! 第 １９题图 １９．（本小题满分 ８分）如图，在锐角△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２ｃｍ，ＡＣ ＝３ｃｍ． Ⅰ．尺规作图：作 ＢＣ边的垂直平分线分别交 ＡＣ，ＢＣ于点 Ｄ，Ｅ（保留作图痕迹，不要求写作法）； Ⅱ．在（Ⅰ）的条件下，连接 ＢＤ，求△ＡＢＤ的周长． 解：（Ⅰ）如解图，直线 ＤＥ为所求作的； 第 １９题解图 （Ⅱ）∵ＤＥ垂直平分 ＢＣ， ∴ＢＤ＝ＣＤ． （５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! △ＡＢＤ的周长 ＝ＡＢ＋ＡＤ＋ＢＤ＝ＡＢ＋ＡＤ＋ＣＤ＝ＡＢ＋ＡＣ＝３＋２＝５ｃｍ． （８分） ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２０．（本小题满分 ８分）为进一步弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展以下四项 活动：Ａ经典古诗文朗诵；Ｂ书画作品鉴赏；Ｃ民族乐器表演；Ｄ围棋赛．学校 要求学生全员参与，且每人限报一项，九年级（１）班班长根据本班报名结果， 绘制出了如下两个尚不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： 第 ２０题图 （１）直接填空：九年级（１）班的学生人数是５０，在扇形统计图中，Ｂ项目所对应 的扇形的圆心角度数是１４４°； （２）将条形统计图补充完整； （３）用列表或画树状图的方法，求该班学生小聪和小明参加相同项目活动的 概率． 解：（１）５０，１４４°； （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 【解法提示】１５÷３０％ ＝５０（人），３６０×２０ ５０＝１４４°． （２）补全条形统计图如解图①所示； 第 ２０题解图①                                                                                                                                                     ６１ （３）解法一：列表如下： 　　　　小聪 结果　 小明　　　　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ ＡＡ ＢＡ ＣＡ ＤＡ Ｂ ＡＢ ＢＢ ＣＢ ＤＢ Ｃ ＡＣ ＢＣ ＣＣ ＤＣ Ｄ ＡＤ ＢＤ ＣＤ ＤＤ （７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由列表可知，共有 １６种等可能的结果，其中他们参加的项目相同的有 ４种， ∴Ｐ（项目相同）＝４ １６＝１ ４． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!! 解法二：画树状图如下： 第 ２０题解图② 由树状图可知，共有 １６种等可能的结果，其中他们参加的项目相同的有 ４种， ∴Ｐ（项目相同）＝４ １６＝１ ４． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１．（本小题满分 ８分）求证：矩形的对角线相等．（要求：画出图形，写出已知、求 证和证明过程）． 已知：如解图，四边形 ＡＢＣＤ是矩形，ＡＣ，ＢＤ是对角线． （２分）!!!!! 求证：ＡＣ＝ＢＤ． （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 ２１题解图 证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ＝９０°． （６分）!!!!!!!!!!!!!! 在△ＡＢＣ与△ＤＣＢ中， ＡＢ＝ＤＣ ∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ ＢＣ＝{ ＣＢ ， （７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ（ＳＡＳ）， ∴ＡＣ＝ＢＤ． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 ２２题图 ２２．（本小题满分 １０分）如图，菱形 ＡＢＣＤ中，ＢＣ 槡＝ ６，∠Ｃ ＝１３５°，以点 Ａ为圆心的⊙Ａ与 ＢＣ相切于点 Ｅ． （１）求证：ＣＤ是⊙Ａ的切线； （２）求图中阴影部分的面积． （１）证明：如解图，设⊙Ａ与 ＡＢ，ＡＤ分别交于点 Ｍ，Ｎ，连 接 ＡＥ，过点 Ａ作 ＡＦ⊥ＣＤ，垂足为 Ｆ， ∴∠ＡＦＤ＝９０°， （１分）!!!!!!!!!!!!! ∵四边形 ＡＢＣＤ为菱形， ∴ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ， （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＢＣ与⊙Ａ相切于点 Ｅ， ∴ＡＥ⊥ＢＣ， （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°， ∵在△ＡＥＢ和△ＡＦＤ中， ∠Ｂ＝∠Ｄ ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ ＡＢ＝{ ＡＤ ， ∴△ＡＥＢ≌△ＡＦＤ（ＡＡＳ）， （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＥ＝ＡＦ， ∴ＣＤ是⊙Ａ的切线； （５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 ２２题解图 （２）解：在菱形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ 槡＝ ６，ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°， ∵∠Ｃ＝１３５°， ∴∠Ｂ＝１８０°－１３５°＝４５°， （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!! 在 Ｒｔ△ＡＥＢ中，∠ＡＥＢ＝９０°， ∴ＡＥ＝ＡＢ·ｓｉｎＢ 槡＝ ６×槡２ ２ 槡＝ ３， （７分）!!!!!!!!!!!!!!! ∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ＢＣ·ＡＥ 槡＝３ ２， （８分）!!!!!!!!!!!!!!!! 在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝∠Ｃ＝１３５°，ＡＥ 槡＝ ３， ∴Ｓ扇形ＭＡＮ ＝１３５ ３６０×π×（槡３）２＝９ ８π， （９分）!!!!!!!!!!!!! ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ菱形ＡＢＣＤ －Ｓ扇形ＭＡＮ 槡＝３ ２－９ ８π． （１０分）!!!!!!!!!!! ２３．（本小题满分 １０分）某公交公司决定更换节能环保的新型公交车，购买的数量 和所需费用如下表所示： Ａ型数量（辆） Ｂ型数量（辆） 所需费用（万元） ３ １ ４５０ ２ ３ ６５０ （１）求 Ａ型和 Ｂ型公交车的单价； （２）该公司计划购买 Ａ型和 Ｂ型两种公交车共 １０辆，已知每辆 Ａ型公交车平 均载客量为 ６０万人次，每辆 Ｂ型公交车年均载客量为 １００万人次，若要确保 这 １０辆公交车年均载客量总和不少于 ６７０万人次，则 Ａ型公交车最多可以购 买多少辆？ 解：（１）设 Ａ型和 Ｂ型公交车的单价分别为 ｘ万元，ｙ万元． （１分）!!! 由题意得 ３ｘ＋ｙ＝４５０ ２ｘ＋３ｙ{ ＝６５０， （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解得 ｘ＝１００ ｙ{ ＝１５０． 答：Ａ型和 Ｂ型公交车的单价分别为 １００万元，１５０万元； （５分）!!!! （２）设购买 Ａ型公交车 ａ辆，则购买 Ｂ型公交车（１０－ａ）辆， 由题意得 ６０ａ＋１００（１０－ａ）≥６７０， （７分）!!!!!!!!!!!!! 解得 ａ≤８１ ４， （９分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又∵ａ＞０，且 １０－ａ＞０，∴０＜ａ≤８１ ４， ∴ａ的最大整数解为 ８． 答：Ａ型公交车最多可以购买 ８辆． （１０分）!!!!!!!!!!!!! ２４．（本小题满分 １３分）如图①，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ 槡＝ ３，ＡＤ＝３，点 Ｅ从点 Ｂ出 发，沿 ＢＣ边运动到点 Ｃ，连接 ＤＥ，过点 Ｅ作 ＤＥ的垂线交 ＡＢ于点 Ｆ． （１）求证：∠ＢＦＥ＝∠ＡＤＥ； （２）求 ＢＦ的最大值； （３）如图②，在点 Ｅ的运动过程中，以 ＥＦ为边，在 ＥＦ上方作等边△ＥＦＧ，求边 ＥＧ的中点 Ｈ所经过的路径长． 第 ２４题图① 　　　 第 ２４题图② （１）证明：如解图①，在矩形 ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝９０°， ∴∠１＋∠２＝９０°． （１分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＤＥ⊥ＥＦ， ∴∠３＝９０°， ∴∠２＋∠４＝１８０°－∠３＝９０°， ∴∠１＝∠４． （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠４＝∠５， ∴∠１＝∠５． 即∠ＢＦＥ＝∠ＡＤＥ； （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 ２４题解图① （２）解：如解图①，由（１）得∠１＝∠４，∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°， ∴△ＢＦＥ∽△ＣＥＤ， ∴ＢＦ ＣＥ＝ＢＥ ＣＤ． （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 在矩形 ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝ＡＤ＝３，ＡＢ＝ＣＤ 槡＝ ３． 设 ＢＥ＝ｘ（其中 ０≤ｘ≤３），则 ＣＥ＝３－ｘ． ∴ＢＦ＝ＢＥ·ＣＥ ＣＤ ＝ｘ（３－ｘ） 槡３ ＝－槡３ ３ｘ２ 槡＋ ３ｘ． （６分）!!!!!!!!!! ＝－槡３ ３（ｘ－３ ２）２＋ 槡３ ３ ４ ． （７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ －槡３ ３＜０，且 ０≤ｘ≤３， ∴当 ｘ＝３ ２时，ＢＦ存在最大值 槡３ ３ ４ ． （８分）                                                                                                                                                   !!!!!!!!!!!!! ７１ （３）如解图②，连接 ＦＨ，取 ＥＦ中点 Ｍ，连接 ＢＭ，ＨＭ． 在等边△ＥＦＧ中，ＥＦ＝ＦＧ，点 Ｈ是 ＥＧ中点， ∴∠ＦＨＥ＝９０°，∠１＝１ ２∠ＥＦＧ＝３０°． （９分）!!!!!!!!!!!! 又∵点 Ｍ是 ＥＦ中点， ∴ＦＭ＝ＨＭ＝ＥＭ． 在 Ｒｔ△ＦＢＥ中，∠ＦＢＥ＝９０°，点 Ｍ是 ＥＦ中点， ∴ＢＭ＝ＥＭ＝ＦＭ． ∴ＢＭ＝ＥＭ＝ＨＭ＝ＦＭ， ∴点 Ｂ，Ｅ，Ｈ，Ｆ四点共圆， 连接 ＢＨ，则∠ＨＢＥ＝∠１＝３０°． （１０分）!!!!!!!!!!!!!! ∴点 Ｈ在以点 Ｂ为端点，ＢＣ上方且与射线 ＢＣ夹角为 ３０°的射线上， （１１分） !! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 过点 Ｃ作 ＣＨ′⊥ＢＨ于点 Ｈ′， ∵点 Ｅ从点 Ｂ沿 ＢＣ运动到点 Ｃ， ∴点 Ｈ从点 Ｂ沿 ＢＨ运动到点 Ｈ′， （１２分）!!!!!!!!!!!!! 在 Ｒｔ△ＢＨ′Ｃ中，∠ＢＨ′Ｃ＝９０°， ∴ＢＨ′＝ＢＣ·ｃｏｓ∠ＣＢＨ′＝３ｃｏｓ３０°＝３×槡３ ２＝ 槡３ ３ ２ ， ∴点 Ｈ所经过的路径长是 槡３ ３ ２ ． （１３分）!!!!!!!!!!!!!! 第 ２４题解图② ２５．（本小题满分 １３分）已知：二次函数 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象与 ｘ轴交于 点 Ａ，Ｂ（－３，０），顶点为 Ｃ（－１，－２）． 第 ２５题图 （１）求该二次函数的解析式； （２）如图，过 Ａ，Ｃ两点作直线，并将线段 ＡＣ沿该直线向上 平移，记点 Ａ，Ｃ分别平移到点 Ｄ，Ｅ处，若点 Ｆ在这个二次 函数的图象上，且△ＤＥＦ是以 ＥＦ为斜边的等腰直角三角 形，求点 Ｆ的坐标； （３）试确定实数 ｐ，ｑ的值，使得当 ｐ≤ｘ≤ｑ时，ｐ≤ｙ≤ ５ ２． 解：（１）∵二次函数的顶点为 Ｃ（－１，－２）， ∴设二次函数的解析式为 ｙ＝ａ（ｘ＋１）２－２， （１分）!!!!!!!!!! 把 Ｂ（－３，０）代入得 ａ（－３＋１）２－２＝０， （２分）!!!!!!!!!!! 解得 ａ＝１ ２． （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴二次函数的解析式为 ｙ＝１ ２（ｘ＋１）２－２； （４分）!!!!!!!!!! （２）由 １ ２（ｘ＋１）２－２＝０得 ｘ１＝－３，ｘ２＝１， ∴点 Ａ（１，０）． 如解图，过点 Ｃ作 ＣＨ⊥ｘ轴于点 Ｈ， ∵点 Ｃ（－１，－２）， 第 ２５题解图 ∴ＣＨ＝２，ＯＨ＝１， 又∵ＡＯ＝１， ∴ＡＨ＝２＝ＣＨ， ∴∠１＝４５°，ＡＣ＝ ＡＨ２＋ＣＨ槡 ２ 槡＝２ ２． （５分）!!!!!!!!!!!! 在等腰 Ｒｔ△ＤＥＦ中，ＤＥ＝ＤＦ＝ＡＣ 槡＝２ ２，∠ＦＤＥ＝９０°， ∴∠２＝４５°，ＥＦ＝ ＤＥ２＋ＤＦ槡 ２＝４， ∴∠１＝∠２， ∴ＥＦ∥ＣＨ∥ｙ轴． （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由 Ａ（１，０），Ｃ（－１，－２）可求得直线 ＡＣ的解析式为 ｙ＝ｘ－１． 由题意设点 Ｆ（ｍ，１ ２ｍ２＋ｍ－３ ２）（其中 ｍ＞１），则点 Ｅ（ｍ，ｍ－１）， ∴ＥＦ＝（１ ２ｍ２＋ｍ－３ ２）－（ｍ－１）＝１ ２ｍ２－１ ２＝４， （７分）!!!!!! ∴ｍ１＝３，ｍ２＝－３（不合题意，舍去） ∴点 Ｆ的坐标为（３，６）； （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!! （３）当 ｙ＝５ ２时，１ ２（ｘ＋１）２－２＝５ ２， 解得 ｘ１＝－４，ｘ２＝２． 抛物线 ｙ＝１ ２（ｘ＋１）２－２，根据抛物线的性质可知， 当 ｘ＜－１时，ｙ随 ｘ的增大而减小，当 ｘ＞－１时，ｙ随 ｘ的增大而增大， 当 ｘ＝－１时，ｙ的最小值为 －２． （９分）!!!!!!!!!!!!!!! ∵ｐ≤ｘ≤ｑ，ｐ≤ｙ≤ ５ ２， ∴可分三种情况讨论． ①当 ｐ≤ｑ≤ －１时，由增减性得： 当 ｘ＝ｐ＝－４时，ｙ最大 ＝５ ２，当 ｘ＝ｑ时，ｙ最小 ＝ｐ＝－４＜－２，不合题意，舍去； （１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ②当 ｐ＜－１≤ｑ时， （ⅰ）若（－１）－ｐ＞ｑ－（－１），由增减性得： 当 ｘ＝ｐ＝－４时，ｙ最大 ＝５ ２，当 ｘ＝－１时，ｙ最小 ＝－２≠ｐ，不合题意，舍去； （１１分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ⅱ）若（－１）－ｐ≤ｑ－（－１），由增减性得： 当 ｘ＝ｑ＝２时，ｙ最大 ＝５ ２，当 ｘ＝－１时，ｙ最小 ＝ｐ＝－２，符合题意， ∴ｐ＝－２，ｑ＝２． （１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ③当 －１≤ｐ＜ｑ时，由增减性得： 当 ｘ＝ｑ＝２时，ｙ最大 ＝５ ２，当 ｘ＝ｐ时，ｙ最小 ＝ｐ， 把 ｘ＝ｐ，ｙ＝ｐ代入 ｙ＝１ ２（ｘ＋１）２－２，得 ｐ＝１ ２（ｐ＋１）２－２， 解得 ｐ１ 槡＝ ３，ｐ２ 槡＝－ ３＜－１（不合题意，舍去）． ∴ｐ 槡＝ ３，ｑ＝２． 综上，ｐ＝－２ ｑ{ ＝２ ，或 ｐ 槡＝ ３ ｑ{ ＝２ ． （１３分）                                                                                                                                           !!!!!!!!!!!!!!!!! ８１ 　　　　 １ ２０１８年漳州市初中毕业班质量检测 考试·数学 （考试时间：１５０分钟　满分：１２０分） 一、选择题（本大题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂） １．如图，数轴上点 Ｍ所表示的数的绝对值是 （　Ａ　） 第 １题图 Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．±３ Ｄ．－１ ３ ２．“中国天眼”ＦＡＳＴ射电望远镜的反射面总面积约 ２５００００ｍ２，数据 ２５００００用科 学记数法表示为 （　Ｂ　） Ａ．２５×１０４ Ｂ．２．５×１０５ Ｃ．２．５×１０６ Ｄ．０．２５×１０６ ３．如图是某几何体的左视图，则该几何体不可能是 （　Ｄ　） 　　 ４．下列计算，结果等于 ｘ５的是 （　Ｂ　） Ａ．ｘ２＋ｘ３ Ｂ．ｘ２·ｘ３ Ｃ．ｘ１０÷ｘ２ Ｄ．（ｘ２）３ ５．如图，在右框解分式方程的 ４个步骤中，根据等式基本性质的是 （　Ｃ　） Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．③④ 解分式方程： ｘ ｘ－２－３－ｘ ｘ－２＝１， 解：ｘ－（３－ｘ）＝ｘ－２，……① ｘ－３＋ｘ＝ｘ－２，……② ｘ＋ｘ－ｘ＝－２＋３，……③ ｘ＝１．……④ 经检验，ｘ＝１是原方程的解． 　　　　　第 ５题图 　 第 ６题图 　　 第 ７题图 ６．如图，ＯＰ平分∠ＡＯＢ，ＰＣ⊥ＯＡ于 Ｃ，点 Ｄ是 ＯＢ上的动点，若 ＰＣ＝６ｃｍ，则 ＰＤ 的长可以是 （　Ｄ　） Ａ．３ｃｍ Ｂ．４ｃｍ Ｃ．５ｃｍ Ｄ．７ｃｍ ７．如图，点 Ａ，Ｂ在方格纸的格点上，将线段 ＡＢ先向右平移 ３格，再向下平移 ２格， 得线段 ＤＣ，点 Ａ的对应点为 Ｄ，连接 ＡＤ，ＢＣ，则关于四边形 ＡＢＣＤ的对称性，下 列说法正确的是 （　Ａ　） Ａ．既是轴对称图形，又是中心对称图形 Ｂ．是中心对称图形，但不是轴对称图形 Ｃ．是轴对称图形，但不是中心对称图形 Ｄ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 ８．甲、乙两地今年 ２月份前 ５天的日平均气温如图所示，则下列描述错误的是 （　Ｂ　） Ａ．两地气温的平均数相同 Ｂ．甲地气温的众数是 ４℃ Ｃ．乙地气温的中位数是 ６℃ Ｄ．甲地气温相对比较稳定 第 ８题图 　　　 第 ９题图 ９．如图，正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的中心与坐标原点 Ｏ重合，其中 Ａ（－２，０）．将六边形 ＡＢＣＤＥＦ绕原点 Ｏ按顺时针方向旋转 ２０１８次，每次旋转 ６０°，则旋转后点 Ａ的 对应点 Ａ′的坐标是 （　Ａ　） Ａ．（１，槡３） Ｂ．（槡３，１） Ｃ．（１， 槡－ ３） Ｄ．（－１，槡３） １０．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，点 Ａ在 ｘ轴上，点 Ｂ的坐标为（１，０），且 Ｃ，Ｄ两点在函 数 ｙ＝ ｘ＋１（ｘ≥０） －１ ２ｘ＋１（ｘ＜０{ ） 的图象上，若在矩形 ＡＢＣＤ内随机取一点，则此点取 自阴影部分的概率是 （　Ｃ　） Ａ．１ ２ Ｂ．３ ８ Ｃ．１ ４ Ｄ．１ ６ 第 １０题图 　　　 第 １３题图 二、填空题（本大题共 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分．请将答案填入答题卡的相应 位置） １１．因式分解：ａｘ２－ａ＝ａ（ｘ＋１）（ｘ－１）． １２．一个不透明的袋子中装有 ４个红球、２个黑球，它们除颜色外其余都相同，从 中任意摸出 ３个球，则事件“摸出的球至少有 １个红球”是必然事件（填“必 然”、“随机”或“不可能”）． １３．如图，ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，若△ＡＤＥ的面积为 ３，则△ＡＢＣ的面积为１２． １４．“若实数 ａ，ｂ，ｃ满足 ａ＜ｂ＜ｃ，则 ａ＋ｂ＜ｃ”，能够说明该命题是假命题的一组 数 ａ，ｂ，ｃ的值依次为１，２，３（答案不唯一）． １５．如图，在ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＤ，ＢＣ上，ＥＦ＝２，∠ＤＥＦ＝６０°，将四边 形 ＥＦＣＤ沿 ＥＦ翻折，得到四边形 ＥＦＣ′Ｄ′，ＥＤ′交 ＢＣ于点 Ｇ，则△ＧＥＦ的周长 为６． 第 １５题图 　　　　　　　 第 １６题图 １６．如图，双曲线 ｙ＝ｋ ｘ（ｘ＞０）经过 Ａ，Ｂ两点，若点 Ａ的横坐标为 １，∠ＯＡＢ＝９０°， 且 ＯＡ＝ＡＢ，则 ｋ的值为 槡１＋ ５ ２ ． 三、解答题（本大题共 ９小题，共 ８６分．请在答题卡的相应位置解答） １７．（本小题满分 ８分）计算：３－１＋π０－槡 １ ９． 解：原式 ＝１ ３＋１－１ ３ ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ＝１． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 １８题图 １８．（本小题满分 ８分）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝８０°，∠Ｂ ＝４０°． （１）求作线段 ＢＣ的垂直平分线 ＤＥ，垂足为 Ｅ，交 ＡＢ于 点 Ｄ； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （２）在（１）的条件下，连接 ＣＤ，求证：ＡＣ＝ＣＤ． 解：（１）如解图，直线 ＤＥ为所求作的垂直平分线，点 Ｄ，Ｅ就是所求作的点； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 １８题解图 （２）∵ＤＥ垂直平分 ＡＢ， ∴ＢＤ＝ＣＤ， ∴∠１＝∠Ｂ＝４０°． ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠２＝∠Ｂ＋∠１＝８０°． ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵∠Ａ＝８０°， ∴∠２＝∠Ａ． ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＣ＝ＣＤ． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １９．（本小题满分 ８分）求证：对角线相等的平行四边形是矩形．（要求：画出图形， 写出已知和求证，并给予证明） 已知：如解图，在ＡＢＣＤ中，ＡＣ＝ＢＤ．（画图 ２分，已知 １分） ３分!!! 求证：平行四边形 ＡＢＣＤ是矩形． ４分!!!!!!!!!!!!!!!! 第 １９题解图 证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ． ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＡＣ＝ＢＤ，ＢＣ＝ＢＣ， ∴△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ． ∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ． ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１８０                                                                                                                                                     °． ９１ ∴∠ＡＢＣ＝１ ２×１８０°＝９０°． ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴平行四边形 ＡＢＣＤ是矩形． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!! ２０．（本小题满分 ８分）为响应市政府关于“垃圾不落地·市区更美丽”的主题宣 传活动，某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况，调查选项分为 “Ａ：非常了解，Ｂ：比较了解，Ｃ：了解较少，Ｄ：不了解”四种，并将调查结果绘制 成以下两幅不完整的统计图． 第 ２０题图 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （１）把两幅统计图补充完整； （２）若该校学生数 １０００名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了 解”的学生共有５００名； （３）已知“非常了解”的 ３名男生和 １名女生，从中随机抽取 ２名向全校做垃 圾分类的知识交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到 １男 １女的 概率． 解：（１）补全统计图，如解图①，解图②，（补充 ２个或 ３个正确，得 １分）； ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）５００； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （３）画树状图如解图③所示： 第 ２０题解图③ ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由树状图可知，共有 １２种等可能结果，其中满足条件的有 ６种， ∴Ｐ（恰好抽到 １男 １女）＝１ ２． ８分!!!!!!!!!!!!!!!! 第 ２１题图 ２１．（本小题满分 ８分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ是弦，Ｄ 是 ) ＢＣ的中点，过点 Ｄ作 ＥＦ垂直于直线 ＡＣ，垂足为 Ｆ， 交 ＡＢ的延长线于点 Ｅ． （１）求证：ＥＦ是⊙Ｏ的切线； （２）若 ｔａｎＡ＝４ ３，ＡＦ＝６，求⊙Ｏ的半径． （１）证明：如解图，连接 ＯＤ． 第 ２１题解图 ∵ＥＦ⊥ＡＦ， ∴∠Ｆ＝９０°， ∵Ｄ是 ) ＢＣ的中点， ∴ ) ＢＤ＝ ) ＤＣ， ∴∠１＝∠２＝１ ２∠ＢＯＣ， １分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵∠Ａ＝１ ２∠ＢＯＣ， ∴∠Ａ＝∠１． ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＯＤ∥ＡＦ， ∴∠ＥＤＯ＝∠Ｆ＝９０°， ∴ＯＤ⊥ＥＦ． ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＯＤ为⊙Ｏ的半径， ∴ＥＦ是⊙Ｏ的切线； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）解：设⊙Ｏ半径为 ｒ，则 ＯＡ＝ＯＤ＝ＯＢ＝ｒ， 在 Ｒｔ△ＡＦＥ中，ｔａｎＡ＝４ ３，ＡＦ＝６， ∴ＥＦ＝ＡＦ·ｔａｎＡ＝８， ∴ＡＥ＝ ＡＦ２＋ＥＦ槡 ２＝１０， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＯＥ＝１０－ｒ， ∵ｃｏｓＡ＝ＡＦ ＡＥ＝３ ５， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ｃｏｓ∠１＝ｃｏｓＡ＝ＯＤ ＯＥ＝ ｒ １０－ｒ＝３ ５， ７分!!!!!!!!!!!!!!! ∴ｒ＝１５ ４，即⊙Ｏ的半径为１５ ４． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!! ２２．（本小题满分 １０分）某景区售票处规定：非节假日的票价打 ａ折售票；节假日 第 ２２题图 根据团队人数 ｘ（人）实行分段售票：若 ｘ≤１０，则按原票 价购买；若 ｘ＞１０，则其中 １０人按原票价购买，超过部分 的按原票价打 ｂ折购买．某旅行社带团到该景区游览， 设在非节假日的购票款为 ｙ１元，在节假日的购票款为 ｙ２ 元，ｙ１，ｙ２与 ｘ之间的函数图象如图所示． （１）观察图象可知：ａ＝６，ｂ＝８； （２）当 ｘ＞１０时，求 ｙ２与 ｘ之间的函数表达式； （３）该旅行社在今年 ５月 １日带甲团与 ５月 １０日（非节假日）带乙团到该景区 游览，两团合计 ５０人，共付门票款 ３１２０元．已知甲团人数超过 １０人，求甲团 人数与乙团人数． 解：（１）６，８； ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）当 ｘ＞１０时，设 ｙ２＝ｋｘ＋ｂ， ∵图象过点（１０，８００），（２０，１４４０）， ３分!!!!!!!!!!!!!! ∴ １０ｋ＋ｂ＝８００ ２０ｋ＋ｂ{ ＝１４４０ ， ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解得 ｋ＝６４ ｂ{ ＝１６０ ， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ｙ２＝６４ｘ＋１６０（ｘ＞１０）； ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （３）设甲团有 ｍ人，乙团有 ｎ人． 由图象得 ｙ１＝４８ｘ， ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 当 ｍ＞１０时， 依题意，得 ６４ｍ＋１６０＋４８ｎ＝３１２０ ｍ＋ｎ{ ＝５０ ， ８分!!!!!!!!!!!!!! 解得 ｍ＝３５ ｎ{ ＝１５ ， ９分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 答：甲团有 ３５人，乙团有 １５人． １０分!!!!!!!!!!!!!!! ２３．（本小题满分 １０分）阅读：所谓勾股数就是满足方程 ｘ２ ＋ｙ２ ＝ｚ２ 的正整数解， 即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》 一书，在世界上第一次给出该方程的解为：ｘ＝１ ２（ｍ２ －ｎ２），ｙ＝ｍｎ，ｚ＝１ ２（ｍ２ ＋ｎ２），其中 ｍ＞ｎ＞０，ｍ，ｎ是互质的奇数． 应用：当 ｎ＝５时，求一边长为 １２的直角三角形另两边的长． 解：∵ｎ＝５，直角三角形一边长为 １２， ∴有三种情况： ①当 ｘ＝１２时， １ ２（ｍ２－５２）＝１２． １分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解得 ｍ１＝７，ｍ２＝－７（舍去）． ２分!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ｙ＝ｍｎ＝３５， ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ｚ＝１ ２（ｍ２＋ｎ２）＝１ ２×（７２＋５２）＝３７， ４分!!!!!!!!!!!! ∴该情况符合题意； ② 当 ｙ＝１２时， ５ｍ＝１２， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ｍ＝１２ ５， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ｍ为奇数， ∴舍去； ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ③当 ｚ＝１２时， １ ２（ｍ２＋５２）＝１２， ８分                                                                                                                                                   !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ０２ ｍ２＝－１， ９分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 此方程无实数解， １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 综上所述：当 ｎ＝５时，一边长为 １２的直角三角形另两边的长分别为 ３５， ３７． ２４．（本小题满分 １０分）已知抛物线 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０）的对称 轴为直线 ｘ＝－２． （１）ｂ＝４ａ；（用含 ａ的代数式表示） （２）当 ａ＝－１时，若关于 ｘ的方程 ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝０在 －３＜ｘ＜１的范围内有 解，求 ｃ的取值范围； （３）若抛物线过点（－２，－２），当 －１≤ｘ≤０时，抛物线上的点到 ｘ轴距离的最 大值为 ４，求 ａ的值． 解：（１）４ａ； ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）当 ａ＝－１时，ｂ＝－４，∵关于 ｘ的方程在 －３＜ｘ＜１的范围内有解，即关 于 ｘ的方程 ｘ２＋４ｘ－ｃ＝０在 －３＜ｘ＜１的范围内有解， ∴ｂ２－４ａｃ＝１６＋４ｃ≥０，即 ｃ≥ －４， ３分!!!!!!!!!!!!!!! ∴抛物线 ｙ＝ｘ２＋４ｘ＝（ｘ＋２）２－４与直线 ｙ＝ｃ在 －３＜ｘ＜１的范围内有交 点， ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 当 ｘ＝－２时，ｙ＝－４，当 ｘ＝１时，ｙ＝５， ５分!!!!!!!!!!!!! ∴ｃ的取值范围为 －４≤ｃ＜５； ７分!!!!!!!!!!!!!!!!! （３）∵抛物线 ｙ＝ａｘ２＋４ａｘ＋ｃ过点（－２，－２）， ∴ｃ＝４ａ－２． ∴抛物线解析式为：ｙ＝ａｘ２＋４ａｘ＋４ａ－２＝ａ（ｘ＋２）２－２． ８分!!!!! ①当 ａ＞０时，抛物线开口向上， ∵抛物线对称轴为 ｘ＝－２， ∴当 －１≤ｘ≤０时，ｙ随 ｘ增大而增大， ∵抛物线上的点到 ｘ轴距离的最大值为 ４， ∴４ａ－２＝４， ９分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ａ＝３ ２； １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ② 当 ａ＜０时，抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为 ｘ＝－２， ∴当 －１≤ｘ≤０时，ｙ随 ｘ增大而减小， ∵抛物线上的点到 ｘ轴距离的最大值为 ４， ∴４ａ－２＝－４， １１分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ａ＝－１ ２； １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 综上所述：ａ＝３ ２或 ａ＝－１ ２． 第 ２５题图 ２５．（本小题满分 １０分）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ， ＢＤ相交于点 Ｏ，Ｅ为 ＯＣ上动点（与点 Ｏ不重合），作 ＡＦ ⊥ＢＥ，垂足为 Ｇ，交 ＢＣ于 Ｆ，交 ＢＯ于 Ｈ，连接 ＯＧ，ＣＧ． （１）求证：ＡＨ＝ＢＥ； （２）试探究：∠ＡＧＯ的度数是否为定值？请说明理由； （３）若 ＯＧ⊥ＣＧ，ＢＧ 槡＝ ５，求△ＯＧＣ的面积． （１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＥ＝９０°， １分!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＡＦ⊥ＢＥ， ∴∠ＧＡＥ＋∠ＡＥＧ＝∠ＯＢＥ＋∠ＡＥＧ＝９０°， ∴∠ＧＡＥ＝∠ＯＢＥ， ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 在△ＡＯＨ和△ＢＯＥ中 ∠ＧＡＥ＝∠ＯＢＥ ＡＯ＝ＯＢ ∠ＡＯＢ＝∠{ ＢＯＥ ， ∴△ＡＯＨ≌△ＢＯＥ， ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＨ＝ＢＥ； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解：（２）∵∠ＡＯＨ＝∠ＢＧＨ＝９０°，∠ＡＨＯ＝∠ＢＨＧ， ∴△ＡＯＨ∽△ＢＧＨ， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＯＨ ＧＨ＝ＡＨ ＢＨ， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＯＨ ＡＨ＝ＧＨ ＢＨ， ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵∠ＯＨＧ＝∠ＡＨＢ， ∴△ＯＨＧ∽△ＡＨＢ， ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠ＡＧＯ＝∠ＡＢＯ＝４５°，即∠ＡＧＯ的度数为定值； ９分!!!!!!!! （３）∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＦ⊥ＢＥ， ∴∠ＢＡＧ＝∠ＦＢＧ，∠ＡＧＢ＝∠ＢＧＦ＝９０°， ∴△ＡＢＧ∽△ＢＦＧ， １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＧ ＢＧ＝ＢＧ ＧＦ， ∴ＡＧ·ＧＦ＝ＢＧ２＝５， １１分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵△ＡＨＢ∽△ＯＨＧ， ∴∠ＢＡＨ＝∠ＧＯＨ＝∠ＧＢＦ， ∵∠ＡＯＢ＝∠ＢＧＦ＝９０°， ∴∠ＡＯＧ＝∠ＧＦＣ， １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵∠ＡＧＯ＝４５°，ＣＧ⊥ＧＯ， ∴∠ＡＧＯ＝∠ＦＧＣ＝４５°， ∴△ＡＧＯ∽△ＣＧＦ， １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＧＯ ＧＦ＝ＡＧ ＣＧ， ∴ＧＯ·ＣＧ＝ＡＧ·ＧＦ＝５， ∴Ｓ△ＯＧＣ ＝１ ２ＣＧ·ＧＯ＝５ ２． １４分                                                                                                                                                 !!!!!!!!!!!!!!!!!! １２ 　　　　 １ ２０１８年莆田市初中毕业班质量检查试卷 考试·数学 （满分：１５０分　考试时间：１２０分钟） 一、选择题（本大题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．在每小题给出的四个选项中只有 一个选项是正确的，答对的得 ４分；答错、不答或答案超过一个的一律得 ０分） １．２０１８的相反数为 （　Ｃ　） Ａ．２０１８　　　 Ｂ． １ ２０１８　　　 Ｃ．－２０１８　　　 Ｄ．－ １ ２０１８ ２．下列式子中运算结果为 ２ａ的是 （　Ｃ　） Ａ．ａ·ａ Ｂ．２＋ａ Ｃ．ａ＋ａ Ｄ．ａ３÷ａ ３．若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是半径相等的圆，则这个几何体是 （　Ｂ　） Ａ．圆柱 Ｂ．球 Ｃ．正方体 Ｄ．圆锥 ４．下列说法中，正确的是 （　Ｄ　） Ａ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 Ｂ．对角线相等的四边形是矩形 Ｃ．对角线相互垂直的四边形是菱形 Ｄ．有一组邻边相等的矩形是正方形 ５．若 ｘ＝１是关于 ｘ的方程 ｘ２－２ｘ＋ｃ＝０的一个根，则 ｃ的值为 （　Ｃ　） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ ６．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的切线，Ａ为切点，连接 ＯＢ交⊙Ｏ于点 Ｃ．若 ＯＡ＝３，ｔａｎ∠ＡＯＢ 第 ６题图 ＝４ ３，则 ＢＣ的长为 （　Ａ　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ７．一组数据：２，３，３，４，若添加一个数据 ３，则发生变化的统计量是 （　Ｄ　） Ａ．平均数 Ｂ．中位数 Ｃ．众数 Ｄ．方差 ８．已知一次函数 ｙ＝ｋｘ＋１的图象经过点 Ａ，且函数值 ｙ随 ｘ的增大而减小，则点 Ａ 的坐标可能是 （　Ｂ　） Ａ．（２，４） Ｂ．（－１，２） Ｃ．（－１，－４） Ｄ．（５，１） ９．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝１２０°，∠Ｃ＝８０°．将△ＢＭＮ沿着 ＭＮ翻折，得到 △ＦＭＮ．若 ＭＦ∥ＡＤ，ＦＮ∥ＤＣ，则∠Ｆ的度数为 （　Ｂ　） Ａ．７０° Ｂ．８０° Ｃ．９０° Ｄ．１００° 第 ９题图 　　　　 第 １０题图 １０．如图，点 Ａ，Ｂ分别在反比例函数 ｙ＝１ ｘ（ｘ＞０），ｙ＝ａ ｘ（ｘ＜０）的图象上，若 ＯＡ ⊥ＯＢ，ＯＢ ＯＡ＝２，则 ａ的值为 （　Ａ　） Ａ．－４ Ｂ．４ Ｃ．－２ Ｄ．２ 二、填空题（本大题共 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分．把答案填在答题卡上的相应 位置） １１．计算：３ 槡８＝２． １２．我国五年来（２０１３年 ～２０１８年）经济实力跃上新台阶，国内主产总值增加到 ８２７０００亿元．数据 ８２７０００亿元用科学记数法表示为８．２７×１０５亿元． １３．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ＡＢＣＤ，中间阴影部分是一个 小正方形 ＥＦＧＨ，这样就组成一个“赵爽弦图”，若 ＡＢ＝５，ＡＥ＝４，则正方形 ＥＦＧＨ的面积为１． 第 １３题图 　　　 第 １４题图 １４．如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ 槡＝３ ５，ＡＣ 槡＝４ ５，点 Ｆ在 ＡＣ上，ＡＥ平分∠ＢＡＣ，ＡＥ⊥ＢＦ 于点 Ｅ．若点 Ｄ为 ＢＣ中点，则 ＤＥ的长为槡５ ２． １５．小峰抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“至少出现一次正面朝上”的概率 为 ３ ４． １６．２０１０年 ８月 １９日第 ２６届国际数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次 颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖．根据蔡勒 公式可以得出 ２０１０年 ８月 １９日是星期四． （注：蔡勒（德国数学家）公式：Ｗ＝［ｃ ４］－２ｃ＋ｙ＋［ｙ ４］＋［２６（ｍ＋１） １０ ］＋ｄ－１ 其中：Ｗ———所求的日期的星期数（如大于 ７，就需减去 ７的整数倍），ｃ———所 求年份的前两位，ｙ———所求年份的后两位，ｍ———月份数（若是 １月或 ２月， 应视为上一年的 １３月或 １４月，即 ３≤ｍ≤１４），ｄ—日期数，［ａ］———表示取数 ａ的整数部分．） 三、解答题（本大题共 ９小题，共 ８６分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正 确作图或演算步骤） １７．（本小题满分 ８分）先化简，再求值： ａ ａ２＋２ａ＋１÷（１－ １ ａ＋１），其中 ａ 槡＝ ３－１． 解：原式 ＝ ａ （ａ＋１）２÷ａ＋１－１ ａ＋１ ２分!!!!!!!!!!!!!!!!! ＝ ａ （ａ＋１）２×ａ＋１ ａ ， ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!! ＝ １ ａ＋１， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ａ 槡＝ ３－１． ∴原式 ＝ １ 槡３－１＋１ ＝１ 槡３ ＝槡３ ３． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!! １８．（本小题满分 ８分）如图，等边△ＡＢＣ． （Ⅰ）求作一点 Ｄ，连接 ＡＤ，ＣＤ，使得四边形 ＡＢＣＤ为菱形； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （Ⅱ）连接 ＢＤ交 ＡＣ于点 Ｏ，若 ＯＡ＝１，求菱形 ＡＢＣＤ的面积． 第 １８题图 　　 第 １８题解图 解：（Ⅰ）如解图所示，点 Ｄ就是所求作的点； ４分!!!!!!!!!!! （Ⅱ）在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＣ＝６０°，ＯＢ⊥ＯＡ， ５分!!!!!!!!!! ∴在 Ｒｔ△ＯＡＢ中，ｔａｎ∠ＯＡＢ＝ｔａｎ６０°＝ＯＢ ＯＡ． ∵ＯＡ＝１， ∴ＢＯ 槡＝ ３，ＢＤ 槡＝２ ３． ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又∵ＡＣ＝２ＯＡ＝２， ∴菱形 ＡＢＣＤ的面积 Ｓ＝１ ２ＢＤ·ＡＣ 槡＝２ ３． ８分!!!!!!!!!!! １９．（本小题满分 ８分）保险公司车保险种的基本保费为 ａ（单位：元），继续购买该 险种的投保险人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关 联如下表： 上年度出险次数 ０ １ ２ ３ ４ ≥５ 保费 ０．８５ａ ａ １．２５ａ １．５ａ １．７５ａ ２ａ 该公司随机调查了该险种的 ３００名续保人在一年内的出险情况，得到如下统 计图： 第 １９题图 （Ⅰ）样本中，保费高于基本保费的人数为１２０名； （Ⅱ）已知该险种的基本保费 ａ为 ６０００元，估计一名续保人本年度的平均保费． 解：（Ⅰ）１２０； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）平均保费为 １ ３００×６０００×（１００×０．８５＋８０×１＋４０×１．２５＋４０× １．５＋３０×１．７５＋１０×２）＝６９５０（元）． ８分!!!!!!!!!!!!! 第 ２０题图 ２０．（本小题满分 ８分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝ ９０°，分别以 ＡＢ，ＡＣ为边在 ＡＢ同侧作等边△ＡＢＤ和等边 △ＡＣＥ，连接 ＤＥ． （Ⅰ）判断△ＡＤＥ的形状，并加以证明； （Ⅱ）过图中两点画一条直线，使其垂直平分图中的某条线 段，并说明理由． 解：（Ⅰ）△ＡＤＥ是等腰直角三角形． １分!!!!!!!!!!!!!! 证明：在等边△ＡＢＤ和等边△ＡＣＥ中， ∵ＢＡ＝ＤＡ，ＣＡ＝ＥＡ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ＝６０°， ∴∠ＢＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＣＡＥ－∠ＣＡＤ． 即∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ． ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ． ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ ∵ ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°， ∴ＡＤ＝ＤＥ，∠ＡＤＥ＝９０° 即△ＡＤＥ是等腰直角三角形； ４分                                                                                                                                                     !!!!!!!!!!!!!!!!! ２２ （Ⅱ）连接 ＣＤ，则直线 ＣＤ垂直平分线段 ＡＥ． （或连接 ＢＥ，则直线 ＢＥ垂直平分线段 ＡＣ） ６分!!!!!!!!!!! 理由：由（Ⅰ）得 ＤＡ＝ＤＥ． 又∵ＣＡ＝ＣＥ， ∴直线 ＣＤ垂直平分线段 ＡＥ． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１．（本小题满分 ８分）水果店在销售某种水果，该种水果的进价为 １０元／ｋｇ，根据 以往的销售经验可知：日销量 ｙ（单位：ｋｇ）随售价 ｘ（单元：元／ｋｇ）的变化规律 符合某种函数关系．该水果店以往的销售记录如下表：（售价不低于进价） 售价 ｘ（单位：元／ｋｇ） １０ １５ ２０ ２５ ３０ 日销量 ｙ（单位：ｋｇ） ３０ ２０ １５ １２ １０ 若 ｙ与 ｘ之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． （Ⅰ）判断 ｙ与 ｘ之间的函数关系，并写出其解析式； （Ⅱ）水果店销售该种水果的日利润能否达到 ２００元？说明理由． 解：（Ⅰ）观察可知，售价 ｘ与日销量 ｙ的乘积为定值 ３００． ∴ｙ与 ｘ之间的关系为反比例函数． ２分!!!!!!!!!!!!!! 设函数解析式为 ｙ＝ｋ ｘ（ｋ≠０）． 当 ｘ＝１０，ｙ＝３０时，ｋ＝３００ ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴函数解析式为 ｙ＝３００ ｘ； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）能达到 ２００元． 理由：依题意：（ｘ－１０）·３００ ｘ ＝２００． 解得：ｘ＝３０． ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 经检验，ｘ＝３０是原方程的解，并且符合题意． ７分!!!!!!!!!! 答：当售价为 ３０元／ｋｇ时，水果店销售该种水果的日利润为 ２００元． ８分 !!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 ２２题图 ２２．（本小题满分 １０分）如图，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ是⊙Ｏ的 弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为 Ｎ，连接 ＡＣ． （Ⅰ）若 ＯＮ＝１，ＢＮ 槡＝ ３，求 ) ＢＣ长度； （Ⅱ）若点 Ｅ在 ＡＢ上，且 ＡＣ２ ＝ＡＥ·ＡＢ．求证：∠ＣＥＢ＝ ２∠ＣＡＢ． （Ⅰ）解：∵ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为 Ｎ， ∴∠ＢＮＯ＝９０°， 在 Ｒｔ△ＯＮＢ中，∵ＯＮ＝１，ＢＮ 槡＝ ３， ∴ＢＯ＝ ＢＮ２＋ＯＮ槡 ２＝２，ｔａｎ∠ＢＯＮ＝ＢＮ ＯＮ 槡＝ ３， ３分!!!!!!!!!! ∴∠ＢＯＮ＝６０°， ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ｌ) ＢＣ ＝ｎπｒ １８０＝２π ３； ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）证明：如解图，连接 ＢＣ， ∵ＣＤ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ⊥ＣＤ， ∴ ) ＡＣ＝ ) ＢＣ． ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠１＝∠ＣＡＢ， ∵ＡＣ２＝ＡＥ·ＡＢ，且∠Ａ＝∠Ａ， ∴△ＡＣＥ∽△ＡＢＣ， ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠１＝∠２， ∴∠ＣＡＢ＝∠２， ∴∠ＣＥＢ＝∠ＣＡＢ＋∠２＝２∠ＣＡＢ． １０分!!!!!!!!!!!!!! 第 ２２题解图 第 ２３题图 ２３．（本小题满分 １０分）规定：在平面直角坐标系内， 某直线 ｌ１绕原点 Ｏ顺时针旋转 ９０°，得到的直线 ｌ２ 称为 ｌ１的“旋转垂线”． （Ⅰ）求出直线 ｙ＝ －ｘ＋２的 “旋转垂线”的解 析式； （Ⅱ）若直线 ｙ＝ｋ１ｘ＋１（ｋ１≠０）的“旋转垂线”为直 线 ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ．求证：ｋ１·ｋ２＝－１． （Ⅰ）解：直线 ｙ＝－ｘ＋２经过点（２，０）与（０，２）， 则这两点绕原点 Ｏ顺时针旋转 ９０°的对应点为（０，－２）与（２，０）， ２分!! 设直线 ｙ＝－ｘ＋２的“旋转垂线”的解析式为 ｙ＝ｋｘ＋ｍ（ｋ≠０）， ３分!! 把（０，－２）与（２，０）代入 ｙ＝ｋｘ＋ｍ， 得：ｍ＝－２ ２ｋ＋ｍ{ ＝０．解得 ｋ＝１ ｍ{ ＝－２． 即直线 ｙ＝－ｘ＋２的“旋转垂线”为 ｙ＝ｘ－２； ５分!!!!!!!!!! （Ⅱ）证明：直线 ｙ＝ｋ１ｘ＋１（ｋ１≠０）经过点（－１ ｋ１ ，０）与（０，１）， ６分!!! 则这两点绕原点 Ｏ顺时针旋转 ９０°的对应点为（０，１ ｋ１ ）与（１，０）， ８分!! 把（０，１ ｋ１ ）与（１，０）代入 ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ，得 ｂ＝１ ｋ１ ｋ２＋ｂ{ ＝０ ， ∴ｋ２＋１ ｋ１ ＝０， ∴ｋ１·ｋ２＝－１． １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２４．（本小题满分 １２分）如图，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＢＤ⊥ＡＤ，垂足为点 Ｄ，点 Ｐ是 ＡＤ上 一点，ＰＱ⊥ＡＣ于点 Ｑ，连接 ＢＰ，ＤＱ． 第 ２４题图 （Ⅰ）求证：ＡＱ ＡＰ＝ＡＤ ＡＢ； （Ⅱ）求证：∠ＤＢＰ＝∠ＤＱＰ； （Ⅲ）若 ＢＤ＝１，点 Ｐ在线段 ＡＤ上运动（不与 Ａ，Ｄ 重合），设 ＤＰ＝ｔ，点 Ｐ到 ＡＢ的距离为 ｄ１，点 Ｐ到 ＤＱ的距离为 ｄ２．记 Ｓ＝ｄ１ ｄ２ ，求 Ｓ与 ｔ之间的函数关 系式． （Ⅰ）证明：∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＰＡＱ＝∠ＢＡＤ， ∵ＰＱ⊥ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＤ， ∴∠ＰＱＡ＝∠ＢＤＡ＝９０°， ∴△ＰＱＡ∽△ＢＤＡ， ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＱ ＡＰ＝ＡＤ ＡＢ； ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）证法一：由（Ⅰ）得ＡＱ ＡＰ＝ＡＤ ＡＢ， 又∵∠ＰＡＢ＝∠ＱＡＤ， ∴△ＰＡＢ∽△ＱＡＤ， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＤ， ∵∠ＡＰＢ＝∠ＰＤＢ＋∠ＤＢＰ， ∠ＡＱＤ＝∠ＡＱＰ＋∠ＤＱＰ，∠ＰＤＢ＝∠ＡＱＰ＝９０°， ∴∠ＤＢＰ＝∠ＤＱＰ； ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 证法二：如解图①，延长 ＡＣ，交 ＢＤ的延长线于点 Ｅ，连接 ＰＥ，取 ＰＥ的中点 Ｏ，连接 ＯＤ，ＯＱ． ∵∠ＰＤＥ＝∠ＰＱＥ＝９０°， 在 Ｒｔ△ＰＤＥ与 Ｒｔ△ＰＱＥ中， ∵Ｏ是 ＰＥ的中点， ∴ＤＯ＝１ ２ＰＥ，ＱＯ＝１ ２ＰＥ 即 ＤＯ＝ＱＯ＝ＥＯ＝ＰＯ ∴Ｐ，Ｄ，Ｅ，Ｑ四点都在以 Ｏ为圆心，ＯＰ为半径的⊙Ｏ上， ５分!!!!! ∴∠１＝∠ＤＱＰ， ∵ＡＤ垂直平分 ＢＥ， ∴ＰＢ＝ＰＥ， ∴∠１＝∠ＤＢＰ， ∴∠ＤＢＰ＝∠ＤＱＰ； ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 ２４题解图① （Ⅲ）解：如解图②，过点 Ｐ分别作 ＰＧ⊥ＡＢ于点 Ｇ，ＰＨ⊥ＤＱ于点 Ｈ． 则 ＰＧ＝ｄ１，ＰＨ＝ｄ２． ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＰＱ⊥ＡＣ， ∴ｄ１＝ＰＧ＝ＰＱ． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴Ｓ＝ｄ１ ｄ２ ＝ＰＱ ＰＨ． 由（Ⅱ）得∠ＤＢＰ＝∠ＤＱＰ， ∵∠ＢＤＰ＝∠ＱＨＰ＝９０°， ∴△ＤＢＰ∽△ＨＱＰ； １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＰＱ ＰＨ＝ＰＢ ＰＤ． 在 Ｒｔ△ＢＤＰ中，ＢＤ＝１，ＤＰ＝ｔ． ∴ＰＢ＝ ｔ２槡 ＋１． ∴Ｓ＝ ｔ２槡 ＋１ ｔ ． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 ２４题解图②                                                                                                                                                     ３２ ２５．（本小题满分 １４分）已知二次函数 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点，顶点为 Ｃ，且△ＡＢＣ为等腰直角三角形． （Ⅰ）当 Ａ（－１，０），Ｂ（３，０）时，求 ａ的值； （Ⅱ）当 ｂ＝－２ａ，ａ＜０时． （ⅰ）求该二次函数的解析式（用只含 ａ的式子表示）； （ⅱ）在 －１≤ｘ≤３范围内任取三个自变量 ｘ１，ｘ２，ｘ３，所对应的三个函数值分别 为 ｙ１，ｙ２，ｙ３，若以 ｙ１，ｙ２，ｙ３为长度的三条线段能围成三角形，求 ａ的取值范围． （Ⅰ）解：∵Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），∴该二次函数图象的对称轴为直线 ｘ＝１，且 ＡＢ＝４． 过点 Ｃ作 ＣＨ⊥ＡＢ于点 Ｈ． ∵△ＡＢＣ为等腰直角三角形，∴ＣＨ＝１ ２ＡＢ＝２． １分!!!!!!!!! ∴Ｃ（１，－２）或 Ｃ（１，２）． ①如解图①，当 Ｃ（１，－２）时，可设 ｙ＝ａ（ｘ－１）２－２． 把点 Ｂ（３，０）代入可得：ａ＝１ ２． ３分!!!!!!!!!!!!!!!! 图① 　 图② 第 ２５题解图 ②如解图②，当 Ｃ（１，２）时，可设 ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋２． 把点 Ｂ（３，０）代入可得：ａ＝－１ ２． 综上所述，ａ＝１ ２或 －１ ２； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）解：（ⅰ）当 ｂ＝－２ａ时，ｙ＝ａｘ２－２ａｘ＋ｃ＝ａ（ｘ－１）２＋ｃ－ａ． ５分!! ∴Ｃ（１，ｃ－ａ） ∴Ｂ（１＋ｃ－ａ，０）． ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ａ（ｃ－ａ）２＋ｃ－ａ＝０． ∴（ｃ－ａ）（ａｃ－ａ２＋１）＝０． ∵ｃ－ａ≠０， ∴ｃ＝ａ－１ ａ． ∴ｙ＝ａ（ｘ－１）２－１ ａ； ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ⅱ）法一：∵ －１≤ｘ≤３，ａ＜０， ∴当 ｘ＝－１或 ３时，ｙ取得最小值 ４ａ－１ ａ， １０分!!!!!!!!!!! 当 ｘ＝１时，ｙ取得最大值 －１ ａ． １１分!!!!!!!!!!!!!!!! 若以 ｙ１，ｙ２，ｙ３为长度的三条线段能围成三角形． 则 ２（４ａ－１ ａ）＞－１ ａ． １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 整理得：８ａ２－１＜０． ∴ －槡２ ４＜ａ＜０． １４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 法二：依题意得：ｙ１＝ａ（ｘ１－１）２－１ ａ，ｙ２ ＝ａ（ｘ２ －１）２ －１ ａ，ｙ３ ＝ａ（ｘ３ －１）２ － １ ａ． ９分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 以 ｙ１，ｙ２，ｙ３为长度的三条线段能围成三角形．不妨设 ｙ１≤ｙ２≤ｙ３． 则 ｙ１＋ｙ２＞ｙ３在 －１≤ｘ≤３范围内恒成立． ∴ａ（ｘ１－１）２－１ ａ＋ａ（ｘ２－１）２－１ ａ＞ａ（ｘ３－１）２－１ ａ 整理得：（ｘ１－１）２＋（ｘ２－１）２－（ｘ３－１）２＜１ ａ２． １０分!!!!!!!!! 等价于（ｘ１－１）２＋（ｘ２－１）２－（ｘ３－１）２最大值小于 １ ａ２． 当 ｘ１＝ｘ２＝－１时，（ｘ１－１）２＋（ｘ２－１）２取最大值为 ８； 当 ｘ３＝１时，（ｘ３－１）２取最小值为 ０． 此时（ｘ１－１）２＋（ｘ２－１）２－（ｘ３－１）２取最大值为 ８． ∴８＜１ ａ２． １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 整理得：８ａ２－１＜０． ∵ａ＜０， ∴ －槡２ ４＜ａ＜０． １４分                                                                                                               !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４２ 　　　　 １ ２０１８年宁德市初中毕业班质量检测 考试·数学 （满分：１５０分　考试时间：１２０分钟） 一、选择题：本题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． １．｜－２０１８｜的值是 （　Ｂ　） Ａ． １ ２０１８　　　　 Ｂ．２０１８　　　　 Ｃ．－ １ ２０１８　　　　 Ｄ．－２０１８ ２．如图，若 ａ∥ｂ，∠１＝５８°，则∠２的度数是 （　Ｃ　） 第 ２题图 Ａ．５８° Ｂ．１１２° Ｃ．１２２° Ｄ．１４２° ３．下列事件是必然事件的是 （　Ｃ　） Ａ．２０１８年 ５月 １５日宁德市的天气是晴天 Ｂ．从一副扑克中任意抽出一张是黑桃 Ｃ．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 Ｄ．打开电视，正在播广告 ４．由 ６个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是 （　Ａ　） 第 ４题图 Ａ．主视图的面积最大 Ｂ．左视图的面积最大 Ｃ．俯视图的面积最大 Ｄ．三种视图的面积相等 ５．不等式组 ｘ－１≤０ ｘ{ ＋１＞０，的解集在数轴上表示正确的是 （　Ｄ　） ６．在平面直角坐标系中，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｍ，Ｎ的位置如图所示，若点 Ｍ的坐标为（－２，０），Ｎ 的坐标为（２，０），则在第二象限内的点是 （　Ａ　） 第 ６题图 Ａ．Ａ点 Ｂ．Ｂ点 Ｃ．Ｃ点 Ｄ．Ｄ点 ７．在“创文明城，迎省运会”合唱比赛中，１０位评委给某队的 评分如下表所示，则下列说法正确的是 （　Ｂ　） 成绩（分） ９．２ ９．３ ９．４ ９．５ ９．６ 人数 ３ ２ ３ １ １ Ａ．中位数是 ９．４分 Ｂ．中位数是 ９．３５分 Ｃ．众数是 ３和 １ Ｄ．众数是 ９．４分 ８．如图，将△ＯＡＢ绕 Ｏ点逆时针旋转 ６０°得到△ＯＣＤ，若 ＯＡ ＝４，∠ＡＯＢ＝３５°，则 下列结论错误的是 （　Ｄ　） 第 ８题图 Ａ．∠ＢＤＯ＝６０° Ｂ．∠ＢＯＣ＝２５° Ｃ．ＯＣ＝４ Ｄ．ＢＤ＝４ ９．某校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批篮球和足 球．已知购买足球数量是篮球的 ２倍，购买足球用了 ４０００元，购买篮球用了 ２８００元，篮球单价比足球贵 １６元，若可列方程４０００ ２ｘ ＝２８００ ｘ －１６表示题中的等 量关系，则方程中 ｘ表示的是 （　Ｄ　） Ａ．足球的单价 Ｂ．篮球的单价 Ｃ．足球的数量 Ｄ．篮球的数量 １０．如图，已知等腰△ＡＢＣ，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ是 ＡＣ上一点，线段 ＢＥ与 ＢＡ关于直线 ＢＤ 对称，射线 ＣＥ交射线 ＢＤ于点 Ｆ，连接 ＡＥ，ＡＦ．则下列关系正确的是 （　Ｂ　） 第 １０题图 Ａ．∠ＡＦＥ＋∠ＡＢＥ＝１８０° Ｂ．∠ＡＥＦ＝１ ２∠ＡＢＣ Ｃ．∠ＡＥＣ＋∠ＡＢＣ＝１８０° Ｄ．∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＢ 二、填空题：本题共 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分． １１．２０１７年 １０月 １８日，中国共产党第十九次全国代表大会在北京隆重召开．从全 国近 ８９４０００００党员中产生的 ２３００名代表参加了此次盛会．将数据 ８９４０００００ 用科学记数法表示为８．９４×１０７． １２．因式分解：２ａ２－２＝２（ａ＋１）（ａ－１）． １３．小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到 的总和是 ８００°，则少算了这个内角的度数为１００°． １４．已知一次函数 ｙ＝ｋｘ＋２ｋ＋３（ｋ≠０），不论 ｋ为何值，该函数的图象都经过点 Ａ，则点 Ａ的坐标为（－２，３）． １５．小丽计算数据方差时，使用公式 ｓ２＝１ ５［（５－ｘ）２ ＋（８－ｘ）２ ＋（１３－ｘ）２ ＋（１４ －ｘ）２＋（１５－ｘ）２］，则公式中 ｘ＝１１． 第 １６题图 １６．如图，点 Ａ，Ｄ在反比例函数 ｙ＝ｍ ｘ（ｍ＜０）的图象上，点 Ｂ，Ｃ 在反比例函数 ｙ＝ｎ ｘ（ｎ＞０）的图象上．若 ＡＢ∥ＣＤ∥ｘ轴， ＡＣ∥ｙ轴，且 ＡＢ＝４，ＡＣ＝３，ＣＤ＝２，则 ｎ＝８ ３． 三、解答题：本题共 ９小题，共 ８６分． １７．（本题满分 ８分）计算：４ｃｏｓ３０°＋２－１ 槡－ １２． 解：原式 ＝４×槡３ ２＋１ ２ 槡－２ ３ （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!! ＝１ ２． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８．（本题满分 ８分）如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分线 ＡＢ，ＡＣ的中点，△ＡＢＣ的角平分 线 ＡＧ交 ＤＥ于点 Ｆ，若∠ＡＢＣ＝７０°，∠ＢＡＣ＝５４°，求∠ＡＦＤ的度数． 第 １８题图 证明：∵∠ＢＡＣ＝５４°，ＡＧ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＧ＝１ ２∠ＢＡＣ＝２７°， （２分）!!!!!!!!! ∵∠ＡＢＣ＝７０°， ∴∠ＢＧＡ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠ ＢＡＧ＝８３°， （４分）!! 又∵点 Ｄ，Ｅ分别是 ＡＢ，ＡＣ的中点， ∴ＤＥ∥ＢＣ， （６分）!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠ＡＦＤ＝∠ＢＧＡ＝８３°． （８分）!!!!!!!!!! １９．（本题满分 ８分）首届数字中国建设峰会于 ４月 ２２日至 ２４日在福州海峡国际 会展中心如期举行，某校组织 １１５位师生去会展中心参观，决定租用 Ａ，Ｂ两种 型号的旅游车．已知一辆 Ａ型车可坐 ２０人，一辆 Ｂ型车可坐 ２８人，经测算学 校需要租用这两种型号的旅游车共 ５辆．学校至少要租用 Ｂ型车多少辆？ 解：设租用 Ｂ型车 ｘ辆，则租用 Ａ型车（５－ｘ）辆， 根据题意，得 ２８ｘ＋２０（５－ｘ）≥１１５． （５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解得 ｘ≥１５ ８． （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ｘ为整数，∴ｘ的最小值是 ２． （７分）!!!!!!!!!!!!!!! 答：学校至少要租用 Ｂ型车 ２辆． （８分）!!!!!!!!!!!!!! ２０．（本题满分 ８分）某中学为推动“时刻听党话　永远跟党走”校园主题教育活 动，计划开展四项活动：Ａ：党史演讲比赛，Ｂ：党史手抄报比赛，Ｃ：党史知识竞 赛，Ｄ：红色歌咏比赛，校团委对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了 部分学生，并将调查结果绘制成图①，图②两幅不完整的统计图．请结合图中 信息解答下列问题： 第 ２０题图 （１）本次共调查了４０名学生； （２）将图①的统计图补充完整； （３）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的 ４个学生中只有 １名女 生，现从这 ４名学生中任意抽取 ２名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列 表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 解：（１）４０； （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 【解法提示】４÷１０％ ＝４０（名）． （２）补全统计图如解图： 第 ２０题解图 （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 【解法提示】喜欢 Ｂ项活动的学生人数为：４０－（６＋４＋１４）＝１６（名）． （３）列表如下： 男 １ 男 ２ 男 ３ 女 男 １ （男 １，男 ２） （男 １，男 ３） （男 １，女） 男 ２ （男 ２，男 １） （男 ２，男 ３） （男 ２，女） 男 ３ （男 ３，男 １） （男 ３，男 ２） （男 ３，女） 女 （女，男 １） （女，男 ２） （女，男 ３） （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由列表可知，共有 １２种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生一名女生的 结果有 ６种， ∴Ｐ（抽到一名男生一名女生）＝６ １２＝１ ２． （８分）                                                                                                                                                     !!!!!!!!!!! ５２ ２１．（本题满分 ８分）如图，已知矩形 ＡＢＣＤ，Ｅ是 ＡＢ上一点． （１）如图①，若 Ｆ是 ＢＣ上一点，在 ＡＤ，ＣＤ上分别截取 ＤＨ＝ＢＦ，ＤＧ＝ＢＥ． 求证：四边形 ＥＦＧＨ是平行四边形； （２）如图②，利用尺规分别在 ＢＣ，ＣＤ，ＡＤ上确定点 Ｆ，Ｇ，Ｈ，使得四边形 ＥＦＧＨ 是特殊的平行四边形．（提示：①保留作图痕迹，不写作法；②只需作出一种情 况即可） 第 ２１题图 （１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°， ∵ＤＧ＝ＢＥ，ＤＨ＝ＢＦ， ∴△ＧＤＨ≌△ＥＢＦ（ＳＡＳ）， ∴ＧＨ＝ＥＦ， （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，ＤＨ＝ＢＦ，ＤＧ＝ＢＥ， ∴ＡＤ－ＤＨ＝ＢＣ－ＢＦ，ＡＢ－ＢＥ＝ＣＤ－ＤＧ． 即 ＡＨ＝ＣＦ，ＡＥ＝ＣＧ． ∴△ＡＥＨ≌△ＣＧＦ（ＳＡＳ）． ∴ＥＨ＝ＧＦ． （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴四边形 ＥＦＧＨ是平行四边形； （５分）!!!!!!!!!!!!!!! （２）解：作法一：作菱形 ＥＦＧＨ如解图①； （７分）!!!!!!!!!!! 第 ２１题解图① ∴四边形 ＥＦＧＨ就是所求作的特殊平行四边形． （８分）!!!!!!!! 作法二：作矩形 ＥＦＧＨ如解图②，图③． （７分）!!!!!!!!!!!! 第 ２１题解图 ∴四边形 ＥＦＧＨ就是所求作的特殊平行四边形． （８分）!!!!!!!! ２２．（本题满分 １０分）若正整数 ａ，ｂ，ｃ满足 １ ａ＋１ ｂ＝１ ｃ，则称正整数 ａ，ｂ，ｃ为一组 和谐整数． （１）判断 ２，３，６是否是一组和谐整数，并说明理由； （２）已知 ｘ，ｙ，ｚ（其中 ｘ＜ｙ≤ｚ）是一组和谐整数，且 ｘ＝ｍ＋１，ｙ＝ｍ＋３，用含 ｍ 的代数式表示 ｚ，并求当 ｚ＝２４时 ｍ的值． 解：（１）是． （１分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 理由如下： ∵ １ ３＋１ ６＝１ ２，满足和谐整数的定义， ∴２，３，６是一组和谐整数； （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）∵ｘ＜ｙ≤ｚ， 依题意，得 １ ｙ＋１ ｚ＝１ ｘ． ∵ｘ＝ｍ＋１，ｙ＝ｍ＋３， ∴ １ ｚ＝１ ｘ－１ ｙ＝ １ ｍ＋１－ １ ｍ＋３＝ ２ （ｍ＋１）（ｍ＋３）． ∴ｚ＝（ｍ＋１）（ｍ＋３） ２ ． （７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ｚ＝２４， ∴（ｍ＋１）（ｍ＋３） ２ ＝２４． 解得 ｍ＝５或 ｍ＝－９． （９分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ｘ是正整数， ∴ｍ＝５． （１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２３．（本题满分 １０分）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｏ是 ＡＢ上一点，以 ＯＡ为半 径的⊙Ｏ与 ＢＣ相切于点 Ｄ，与 ＡＢ交于点 Ｅ，连接 ＥＤ并延长交 ＡＣ的延长线 于点 Ｆ． （１）求证：ＡＥ＝ＡＦ； （２）若 ＤＥ＝３，ｓｉｎ∠ＢＤＥ＝１ ３，求 ＡＣ的长． 第 ２３题图 　　　 第 ２３题解图 （１）证明：如解图，连接 ＯＤ． ∵ＯＤ＝ＯＥ， ∴∠ＯＤＥ＝∠ＯＥＤ． （１分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵直线 ＢＣ为⊙Ｏ的切线， ∴ＯＤ⊥ＢＣ． ∴∠ＯＤＢ＝９０°． （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵∠ＡＣＢ＝９０°， ∴ＯＤ∥ＡＣ． （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠ＯＤＥ＝∠Ｆ． ∴∠ＯＥＤ＝∠Ｆ． （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＥ＝ＡＦ； （５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）解：如解图，连接 ＡＤ． ∵ＡＥ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＥ＝９０°． （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＡＥ＝ＡＦ， ∴ＤＦ＝ＤＥ＝３． ∵∠ＡＣＢ＝９０°． ∴∠ＤＡＦ＋∠Ｆ＝９０°，∠ＣＤＦ＋∠Ｆ＝９０°， ∴∠ＤＡＦ＝∠ＣＤＦ＝∠ＢＤＥ． （７分）!!!!!!!!!!!!!!!! 在 Ｒｔ△ＡＤＦ中， ＤＦ ＡＦ＝ｓｉｎ∠ＤＡＦ＝ｓｉｎ∠ＢＤＥ＝１ ３， ∴ＡＦ＝３ＤＦ＝９． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 在 Ｒｔ△ＣＤＦ中， ＣＦ ＤＦ＝ｓｉｎ∠ＣＤＦ＝ｓｉｎ∠ＢＤＥ＝１ ３， ∴ＣＦ＝１ ３ＤＦ＝１， （９分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＣ＝ＡＦ－ＣＦ＝８． （１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２４．（本题满分 １３分）如图①，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝４，Ｄ是 ＢＣ上 一个动点，连接 ＡＤ，以 ＡＤ为边向右侧作等腰直角△ＡＤＥ，其中∠ＡＤＥ＝９０°． （１）如图②，Ｇ，Ｈ分别是边 ＡＢ，ＢＣ的中点，连接 ＤＧ，ＡＨ，ＥＨ． 求证：△ＡＧＤ∽△ＡＨＥ； （２）如图③，连接 ＢＥ，直接写出当 ＢＤ为何值时，△ＡＢＥ是等腰三角形； （３）在点 Ｄ从点 Ｂ向点 Ｃ运动过程中，求△ＡＢＥ周长的最小值． 第 ２４题图 （１）证明：∵△ＡＢＣ和△ＡＤＥ是等腰直角三角形， ∴∠Ｂ＝∠ＤＡＥ＝４５°． ∵Ｇ为 ＡＢ中点，Ｈ为 ＢＣ中点， ∴ＡＨ⊥ＢＣ． ∴∠ＢＡＨ＝４５°＝∠ＤＡＥ． ∴∠ＧＡＤ＝∠ＨＡＥ． （１分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 在等腰直角△ＢＡＨ和等腰直角△ＤＡＥ中， ＡＨ＝槡２ ２ＡＢ 槡＝ ２ＡＧ，ＡＥ 槡＝ ２ＡＤ． ∴ＡＨ ＡＧ＝ＡＥ ＡＤ． （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴△ＡＧＤ∽△ＡＨＥ； （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）解：当 ＢＤ＝０或槡２或 槡２ ２时，△ＡＢＥ是等腰三角形． （８分）!!!! （注：给出 ０和 槡２ ２各得 １分，给出槡２得 ２分） （３）解：解法一： 当点 Ｄ与点 Ｂ重合时，点 Ｅ的位置记为点 Ｍ． 此时，∠ＡＢＭ＝∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＭＢ＝∠ＢＡＭ＝４５°，ＢＭ＝ＡＢ＝ＡＣ． ∴四边形 ＡＢＭＣ是正方形． ∴∠ＢＭＣ＝９０°， ∴∠ＡＭＣ＝∠ＢＭＣ－∠ＡＭＢ＝４５°， （９分）!!!!!!!!!!!!! ∵∠ＢＡＭ＝∠ＤＡＥ＝４５°， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＭＡＥ， 在等腰直角△ＢＡＭ和等腰直角△ＤＡＥ中， ＡＭ 槡＝ ２ＡＢ，ＡＥ 槡＝ ２ＡＤ． ∴ＡＭ ＡＢ＝ＡＥ ＡＤ． ∴△ＡＢＤ∽△ＡＭＥ． ∴∠ＡＭＥ＝∠ＡＢＤ＝４５                                                                                                                                                     °． ６２ ∴点 Ｅ在射线 ＭＣ上． （１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!! 如解图①，作点 Ｂ关于直线 ＭＣ的对称点 Ｎ，连接 ＡＮ交 ＭＣ于点 Ｅ′， ∵ＢＥ＋ＡＥ＝ＮＥ＋ＡＥ≥ＡＮ＝ＮＥ′＋ＡＥ′＝ＢＥ′＋ＡＥ′， ∴△ＡＢＥ′就是所求周长最小的△ＡＢＥ． 在 Ｒｔ△ＡＢＮ中， ∵ＡＢ＝４，ＢＮ＝２ＢＭ＝２ＡＢ＝８， ∴ＡＮ＝ ＡＢ２＋ＢＮ槡 ２ 槡＝４ ５． ∴△ＡＢＥ周长最小值为 ＡＢ＋ＡＮ 槡＝４＋４ ５． （１３分）!!!!!!!!! 第 ２４题解图① 解法二：取 ＢＣ的中点 Ｈ，连接 ＡＨ， 同解法一证△ＡＣＥ∽△ＡＨＤ． ∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＨＤ＝９０°． ∴点 Ｅ在过点 Ｃ且垂直于 ＡＣ的直线上，记为直线 ｌ． （１０分）!!!!! 点 Ａ关于直线 ｌ的对称点 Ｍ，连接 ＢＭ交直线 ｌ于点 Ｅ′， 同解法一，△ＡＢＥ′就是所求周长最小的△ＡＢＥ． ∴△ＡＢＥ周长最小值为 ＡＢ＋ＢＭ 槡＝４＋４ ５． （１３分）!!!!!!!!! 第 ２４题解图② ２５．（本题满分 １３分）已知抛物线 ｙ＝ａｘ２－２ａｘ＋ｃ（ａ＜０）的图象过点 Ａ（３，ｍ）． （１）当 ａ＝－１，ｍ＝０时，求抛物线的顶点坐标； （２）若 Ｐ（ｔ，ｎ）为该抛物线上一点，且 ｎ＜ｍ，求 ｔ的取值范围； （３）如图，直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｃ（ｋ＜０）交抛物线于 Ｂ，Ｃ两点，点 Ｑ（ｘ，ｙ）是抛物线 上点 Ｂ，Ｃ之间的一个动点，作 ＱＤ⊥ｘ轴交直线 ｌ于点 Ｄ，作 ＱＥ⊥ｙ轴于点 Ｅ， 连接 ＤＥ．设∠ＱＥＤ＝β，当 ２≤ｘ≤４时，β恰好满足 ３０°≤β≤６０°，求 ａ的值． 第 ２５题图 解：（１）当 ａ＝－１，ｍ＝０时， ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋ｃ，Ａ点的坐标为（３，０）， ∴ －９＋６＋ｃ＝０． 解得 ｃ＝３． （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴抛物线的表达式为 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３． 即 ｙ＝－（ｘ－１）２＋４． ∴抛物线的顶点坐标为（１，４）； （４分）!!!!!!!!!!!!!!! （２）∵ｙ＝ａｘ２－２ａｘ＋ｃ的对称轴为直线 ｘ＝－２ａ －２ａ＝１， （５分）!!!!!! ∴点 Ａ关于对称轴的对称点为（－１，ｍ）． （６分）!!!!!!!!!!! ∵ａ＜０， ∴当 ｘ＜１，ｙ随 ｘ的增大而增大；当 ｘ＞１，ｙ随 ｘ的增大而减小． 又∵ｎ＜ｍ， ∴当点 Ｐ在对称轴左边时，ｔ＜－１；当点 Ｐ在对称轴右边时，ｔ＞３． 综上所述：ｔ的取值范围为 ｔ＜－１或 ｔ＞３； （８分）!!!!!!!!!! （３）∵点 Ｑ（ｘ，ｙ）在抛物线上， ∴ｙ＝ａｘ２－２ａｘ＋ｃ． 又∵ＱＤ⊥ｘ轴交直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｃ（ｋ＜０）于点 Ｄ， ∴Ｄ点的坐标为（ｘ，ｋｘ＋ｃ）． 又∵点 Ｑ是抛物线上点 Ｂ，Ｃ之间的一个动点， ∴ＱＤ＝ａｘ２－２ａｘ＋ｃ－（ｋｘ＋ｃ）＝ａｘ２－（２ａ＋ｋ）ｘ． （１０分）!!!!!!! ∵ＱＥ＝ｘ， ∴在 Ｒｔ△ＱＥＤ中， ｔａｎβ＝ＱＤ ＱＥ＝ａｘ２－（２ａ＋ｋ）ｘ ｘ ＝ａｘ－２ａ－ｋ． （１１分）!!!!!!!!!! ∴ｔａｎβ是关于 ｘ的一次函数， ∵ａ＜０， ∴ｔａｎβ随着 ｘ的增大而减小． 又∵当 ２≤ｘ≤４时，β恰好满足 ３０°≤β≤６０°，且 ｔａｎβ随着 β的增大而增大， ∴当 ｘ＝２时，β＝６０°；当 ｘ＝４时，β＝３０°． ∴ ２ａ－２ａ－ｋ 槡＝ ３， ４ａ－２ａ－ｋ＝槡３ ３{ ． 解得 ｋ 槡＝－ ３， ａ＝－槡３ ３{ ． ∴ａ＝－槡３ ３． （１３分）                                                                                                                                                 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７２ 　　　　 １ ２０１８年龙岩市九年级学业（升学） 质量检查数学试题 （满分：１５０分　考试时间：１２０分钟） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效． 一、选择题（本大题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．每小题的四个选项中，只有 一项符合题目要求） １．计算 －１－１的结果等于 （　Ａ　） Ａ．－２ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ ２．下列计算正确的是 （　Ｄ　） Ａ．槡４＝±２ Ｂ．２ｘ（３ｘ－１）＝６ｘ２－１ Ｃ．ａ２＋ａ３＝ａ５ Ｄ．ａ２·ａ３＝ａ５ ３．掷两枚质地相同的硬币，正面都朝上的概率是 （　Ｃ　） Ａ．１ Ｂ．１ ２ Ｃ．１ ４ Ｄ．０ ４．如图是一个由 ４个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是 （　Ｃ　） 第 ４题图 　　 ５．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空； 二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐 ３人，两车空出来；每车 坐 ２人，多出 ９人无车坐．问人数和车数各多少？设车 ｘ辆，根据题意，可列出 的方程是 （　Ｂ　） Ａ．３ｘ－２＝２ｘ＋９ Ｂ．３（ｘ－２）＝２ｘ＋９ Ｃ．ｘ ３＋２＝ｘ ２－９ Ｄ．３（ｘ－２）＝２（ｘ＋９） ６．如图，下列四个条件中，能判断 ＤＥ∥ＡＣ的是 （　Ａ　） Ａ．∠３＝∠４ Ｂ．∠１＝∠２ Ｃ．∠ＥＤＣ＝∠ＥＦＣ Ｄ．∠ＡＣＤ＝∠ＡＦＥ 第 ６题图 　　　 第 ７题图 ７．实数 ａ，ｂ在数轴上的对应点位置如图所示，把 －ａ，－ｂ，０按照从小到大的顺序 排列，正确的是 （　Ｃ　） Ａ．－ａ＜０＜－ｂ Ｂ．０＜－ａ＜－ｂ Ｃ．－ｂ＜０＜－ａ Ｄ．０＜－ｂ＜－ａ ８．在同一直角坐标系中，函数 ｙ＝ｋ ｘ和 ｙ＝ｋｘ＋１的大致图象可能是 （　Ａ　） ９．已知 ｋ＝４ｘ＋３ ２ｘ－１，则满足 ｋ为整数的所有整数 ｘ的和是 （　Ｄ　） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ １０．如图，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＤＣＥ＝４５°，如果 ＡＤ＝３，ＢＥ＝４，则 ＢＣ的长是 （　Ｃ　） 第 １０题图 Ａ．５ Ｂ． 槡５ ２ Ｃ． 槡６ ２ Ｄ．７ 二、填空题（本大题共 ６小题，每小题 ４分，计 ２４分） １１．使代数式 ｘ槡 －２有意义的 ｘ的取值范围是ｘ≥２． １２．２０１８年 春 节 假 期，某 市 接 待 游 客 超 ３３６００００人 次，用 科 学 记 数 法 表 示 ３３６００００，其结果是３．３６×１０６． １３．若甲组数据 １，２，３，４，５的方差是 ｓ２ 甲 ，乙组数据 ６，７，８，９，１０的方差是 ｓ２ 乙 ，则 ｓ２ 甲 ＝ｓ２ 乙 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） １４．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝２，将△ＡＢＣ绕着点 Ｃ逆时针 旋转到△ＤＥＣ的位置时，点 Ｂ恰好落在 ＤＥ边上，则在旋转过程中，点 Ｂ运动 到点 Ｅ的路径长为 π ３． 第 １４题图 　　　 第 １５题图 １５．如图，四边形 ＡＢＣＤ和 ＣＥＦＧ都是菱形，连接 ＡＧ，ＧＥ，ＡＥ，若∠Ｆ＝６０°，ＥＦ＝４， 则△ＡＥＧ的面积为 槡４ ３． １６．非负数 ａ，ｂ，ｃ满足 ａ＋ｂ＝９，ｃ－ａ＝３，设 ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ的最大值为 ｍ，最小值为 ｎ，则 ｍ－ｎ＝９． 三、解答题（本大题共 ９小题，共 ８６分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） １７．（本小题满分 ８分）先化简，后求值：ｘ－３ ｘ２－１·ｘ２＋２ｘ＋１ ｘ－３ －１，其中 ｘ 槡＝ ２＋１． 解：原式 ＝＝ ｘ－３ （ｘ＋１）（ｘ－１）·（ｘ＋１）２ ｘ－３ －１ ＝ｘ＋１ ｘ－１－１ ＝ ２ ｘ－１， 当 ｘ 槡＝ ２＋１时，原式 ＝ ２ 槡２＋１－１ ＝２ 槡２ 槡＝ ２． １８．（本题满分 ８分）如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ是对角线上的两点，且 ＡＥ＝ＣＦ，求 证：ＤＦ＝ＢＥ． 第 １８题图 证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ． ∵ＡＥ＝ＣＦ， ∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＳＡＳ）， ∴ＤＦ＝ＢＥ． １９．（本题满分 ８分）如图，在每个小正方形的边长为 １的网格中，Ａ，Ｂ，Ｃ均为 格点． （Ⅰ）仅用不带刻度的直尺作 ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为 Ｄ，并简要说明道理； （Ⅱ）连接 ＡＢ，求△ＡＢＣ的周长． 　第 １９题图 　　　 第 １９题解图 解：（Ⅰ）如解图，令 ＡＣ与网格的交点为 Ｄ，连接 ＢＤ，点 Ｄ即为所求． 理由如下：根据勾股定理，得 ＣＤ２＝５，ＢＣ２＝２５，ＢＤ２＝２０， ∴ＢＣ２＝ＣＤ２＋ＢＤ２， ∴△ＢＣＤ是直角三角形， ∴ＢＤ⊥ＡＣ； （Ⅱ）由题图可知 ＡＢ＝５． 根据勾股定理可知 ＢＣ＝５，ＡＣ 槡＝２ ５， ∴△ＡＢＣ的周长为 槡 槡５＋５＋２ ５＝１０＋２ ５． ２０．（本小题满分 ８分）“不忘初心，牢记使命．”全面建设小康社会到了攻坚克难 阶段．为了解 ２０１７年全国居民收支数据，国家统计局组织实施了住户收支与 生活状况调查，按季度发布．调查采用分层、多阶段、与人口规模大小成正比例 的概率抽样方法，在全国 ３１个省（区、市）的 １６５０个县（市、区）随机抽选 １６万 个居民家庭作为调查户．已知 ２０１７年前三季度居民人均消费可支配收入平均 数是 ２０１６年前三季度居民人均消费可支配收入平均数的 １１５％，人均消费支 出为 １１４２３元，根据下列两个统计图回答问题：（以下计算最终结果均保留整 数） 第 ２０题图 （Ⅰ）求年度调查的样本容量及 ２０１７年前三季度居民人均消费可支配收入平 均数（元）； （Ⅱ）求在 ２０１７年前三季度居民人均消费支出中用于医疗保健所占圆心角 度数； （Ⅲ）求在 ２０１７年前三季度居民人均消费支出中用于居住的金额． 解：（Ⅰ）样本容量为 １６万； ２０１７年前三季度居民人均消费可支配收入平均数为 １７７３５×１１５％≈２０３９５ （元）； （Ⅱ）２０１７年前三季度居民人均消费支出中用于医疗保健所占的圆心角度 数为 ８．３％ ×３６０°≈３０°                                                                                                                                                     ； ８２ （Ⅲ）１－２．６％ －８．３％ －１１．２％ －１３．６％ －２９．２％ －６．８％ －６．２％ ＝ ２２．１％， ∴２０１７年前三季度居民人均消费支出中用于居住的金额为 １１４２３×２２．１％ ≈２５２４（元）． ２１．（本小题满分 ８分）甲、乙两种笔的单价分别为 ７元、３元，某学校用 ７８元钱买 这两种笔作为数学竞赛一、二等奖奖品，钱恰好用完．若买下的乙种笔是甲种 笔的两倍，请问两种笔各买了几支？ 解：设买甲种笔 ｘ支，则乙种笔为 ２ｘ支， 根据题意，得 ７ｘ＋３×２ｘ＝７８， 解得 ｘ＝６， ∴２ｘ＝１２， ∴买甲种笔 ６支，乙种笔 １２支． ２２．（本小题满分 １０分）（Ⅰ）知识延伸：如图①，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ｃ， ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，根据三角函数定义得：ｓｉｎ２Ａ＋ｃｏｓ２Ａ＝１； （Ⅱ）拓展运用：如图②，在锐角三角形 ＡＢＣ中，ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ． （ⅰ）求证：ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃ·ｃｏｓＢ； （ⅱ）已知：ａ＝３，ｂ 槡＝ ７，ｃ＝２，求∠Ｂ的度数． 第 ２２题图 （Ⅰ）解：１；． 【解法提示】根据勾股定理可知 ａ２＋ｂ２＝ｃ２， ｓｉｎ２Ａ＋ｃｏｓ２Ａ＝（ａ ｃ）２＋（ｂ ｃ）２＝ａ２ ｃ２ ＋ｂ２ ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ｃ２ ＝１． （Ⅱ）（ⅰ）证明：如解图，过点 Ａ作 ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ， 在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ＝ｃ·ｃｏｓＢ，ＡＤ＝ｃ·ｓｉｎＢ， 则 ＣＤ＝ａ－ｃ·ｃｏｓＢ． 在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＡＤ２＋ＣＤ２＝ＡＣ２， 即（ｃ·ｓｉｎＢ）２＋（ａ－ｃ·ｃｏｓＢ）２＝ｂ２， 整理得 ｃ２ｓｉｎ２Ｂ＋ａ２－２ａｃ·ｃｏｓＢ＋ｃ２ｃｏｓ２Ｂ＝ｂ２， 由 ｓｉｎ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｂ＝１， 得 ａ２－２ａｃ·ｃｏｓＢ＋ｃ２（ｓｉｎ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｂ）＝ｂ２， 即 ａ２－２ａｃ·ｃｏｓＢ＋ｃ２＝ｂ２； 第 ２２题解图 （ⅱ）解：将 ａ＝３，ｂ 槡＝ ７，ｃ＝２代入 ａ２－２ａｃ·ｃｏｓＢ＋ｃ２＝ｂ２， 得 ３２－２×３×２×ｃｏｓＢ＋２２＝（槡７）２，则 ｃｏｓＢ＝１ ２，∴∠Ｂ＝６０°． ２３．（本小题满分 １０分）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ 槡＝ ２，ＡＤ⊥ＢＣ，垂 足为 Ｄ，过 Ａ，Ｄ的⊙Ｏ分别与 ＡＢ，ＡＣ交于点 Ｅ，Ｆ，连接 ＥＦ，ＤＥ，ＤＦ． （Ⅰ）求证：△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ； （Ⅱ）当 ＢＣ与⊙Ｏ相切时，求⊙Ｏ的面积． 第 ２３题图 　　　 第 ２３题解图 （Ⅰ）证明：∵点 Ａ，Ｅ，Ｄ，Ｆ共圆， ∴∠ＥＡＦ＋∠ＥＤＦ＝１８０°，∠ＡＥＤ＋∠ＡＦＤ＝１８０°． ∵∠ＢＡＣ＝９０°， ∴∠ＥＤＦ＝９０°． ∵∠ＡＦＤ＋∠ＣＦＤ＝１８０°， ∴∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＤ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°， ∴∠Ｃ＝４５°． ∵ＡＤ⊥ＢＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝∠Ｃ＝４５°， ∴ＡＤ＝ＣＤ． ∴△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）； （Ⅱ）解：当 ＢＣ与⊙Ｏ相切时，ＡＤ经过圆心，即 ＡＤ是⊙Ｏ的直径， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ 槡＝ ２， ∴ＢＣ＝２， ∴ＣＤ＝ＡＤ＝１， ∴⊙Ｏ的半径 ＯＡ＝１ ２ＡＤ＝１ ２， 则⊙Ｏ的面积为 π×（１ ２）２＝１ ４π． ２４．（本小题满分 １２分）如图，边长为 ６的正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＤ，ＡＢ上 的点，ＡＰ⊥ＢＥ，Ｐ为垂足． （Ⅰ）如图①，ＡＦ＝ＢＦ，ＡＥ 槡＝２ ３，点 Ｔ是射线 ＰＦ上的一个动点，则当△ＡＢＴ为 直角三角形时，求 ＡＴ的长； （Ⅱ）如图②，若 ＡＥ＝ＡＦ，连接 ＣＰ，求证：ＣＰ⊥ＦＰ． 第 ２４题图 解：（Ⅰ）在 Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＢ＝６，ＡＥ 槡＝２ ３， 根据勾股定理可知 ＢＥ 槡＝４ ３， ∴∠ＡＢＥ＝３０°， ∵ＡＰ⊥ＢＥ， ∴∠ＰＡＢ＝６０°，ＡＰ＝３． 以点 Ｔ为直角顶点时： ①点 Ｔ与点 Ｐ重合，即 ＡＴ＝ＡＰ＝３； ②如解图①，∠ＡＴＢ＝９０°， ∴ＡＦ＝ＢＦ＝ＰＦ＝ＦＴ＝３， ∴△ＡＰＦ是等边三角形，即∠ＡＦＰ＝６０°， ∴四边形 ＡＴＢＰ是矩形， ∴ＡＴ＝ＢＰ， 在 Ｒｔ△ＡＰＢ中，ＢＰ＝ ＡＢ２－ＡＰ槡 ２ 槡＝３ ３， ∴ＡＴ 槡＝３ ３； 第 ２４题解图① 当以点 Ｂ为直角顶点时，如解图②，延长 ＣＢ交 ＰＴ于点 Ｔ， ∵∠ＢＦＴ＝∠ＡＦＰ＝６０°，ＢＦ＝３， ∴ＢＴ＝ＢＦ·ｔａｎ６０° 槡＝３ ３， 在 Ｒｔ△ＡＢＴ中，ＡＢ＝６，ＢＴ 槡＝３ ３， ∴ＡＴ 槡＝３ ７， 综上所述，ＡＴ的长为 ３或 槡３ ３或 槡３ ７； 第 ２４题解图② （Ⅱ）∵∠ＡＥＰ＝∠ＢＥＡ，∠ＥＡＢ＝∠ＡＰＥ＝９０°， ∴△ＥＰＡ∽△ＥＡＢ， ∴ＥＰ ＡＰ＝ＡＥ ＡＢ， ∵ＡＥ＝ＡＦ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴ＥＰ ＡＰ＝ＡＦ ＢＣ． ∵∠ＡＥＰ＋∠ＥＡＰ＝９０°，∠ＥＡＰ＋∠ＢＡＰ＝９０°， ∴∠ＡＥＰ＝∠ＢＡＰ． ∵∠ＡＰＥ＝∠ＡＰＢ＝９０°， ∴△ＥＡＰ∽△ＡＢＰ， ∴ＡＰ ＢＰ＝ＡＥ ＢＡ＝ＡＦ ＢＣ． ∵∠ＢＡＰ＋∠ＡＢＰ＝９０°，∠ＡＢＰ＋∠ＣＢＰ＝９０°， ∴∠ＢＡＰ＝∠ＣＢＰ， ∴△ＡＰＦ∽△ＢＰＣ， ∴∠ＡＰＦ＝∠ＢＰＣ． ∵∠ＡＰＦ＋∠ＢＰＦ＝９０°， ∴∠ＢＰＣ＋∠ＢＰＦ＝９０°， 即∠ＣＰＦ＝９０°， ∴ＣＰ⊥ＦＰ． ２５．（本题满分 １４分）已知抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ． （Ⅰ）当顶点坐标为（１，０）时，求抛物线的解析式； （Ⅱ）当 ｂ＝２时，Ｍ（ｍ，ｙ１），Ｎ（２，ｙ２）是抛物线图象上的两点，且 ｙ１ ＞ｙ２，求实 数 ｍ的取值范围； （Ⅲ）若抛物线上的点 Ｐ（ｓ，ｔ），满足 －１≤ｓ≤１时，１≤ｔ≤４＋ｂ．求 ｂ，ｃ的值                                                                                                                                                   ． ９２ 解：（Ⅰ）∵抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点为（１，０），可得 －ｂ ２＝１ ４ｃ－ｂ２ ４{ ＝０ ， 解得 ｂ＝－２ ｃ{ ＝１ ， ∴抛物线的解析式为 ｙ＝ｘ２－２ｘ＋１； （Ⅱ）当 ｂ＝２时，抛物线的解析式为 ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋ｃ，抛物线的开口向上，对称 轴为 ｘ＝－１， 根据抛物线的对称性可知当 ｘ＝－４时，ｙ＝ｙ２， ∴当 ｍ＜－４或 ｍ＞２时，ｙ１＞ｙ２； （Ⅲ）根据题意可知 ４＋ｂ≥１，即 ｂ≥ －３． ①当 －ｂ ２＜－１时，即 ｂ＞２． ｓ＝－１，ｔ＝１；ｓ＝１，ｔ＝４＋ｂ，即 １＝１－ｂ＋ｃ， ４＋ｂ＝１＋ｂ＋{ ｃ． 解得 ｃ＝３ ｂ{ ＝３； ②当 －ｂ ２＞１时，得 ｂ＜－２． ｓ＝１，ｔ＝１；ｓ＝－１，ｔ＝４＋ｂ，即 １＝１＋ｂ＋ｃ， ４＋ｂ＝１－ｂ＋{ ｃ． 解得 ｂ＝－１ ｃ{ ＝１ （不符合题意，舍去）． ③当 －１≤ －ｂ ２≤１时，即 －２≤ｂ≤２，此时 ｘ＝－ｂ ２时，函数值 ｙ取最小值， （ⅰ）若 ０≤ －ｂ ２≤１时，即 －２≤ｂ≤０， 则有 ｂ２ ４－ｂ２ ２＋ｃ＝１ １－ｂ＋ｃ＝４＋{ ｂ ， 解得 ｂ１ 槡＝４－２ ６ ｃ１ 槡{ ＝１１－２ ６ 或 ｂ２ 槡＝４＋２ ６ ｃ２ 槡{ ＝１１＋２ ６ （舍去）， （ⅱ）若 －１≤ －ｂ ２≤０时，即 ０≤ｂ≤２， 则有 ｂ２ ４－ｂ２ ２＋ｃ＝１， １＋ｂ＋ｃ＝４＋{ ｂ ， 解得 ｂ 槡＝±２ ２ ｃ{ ＝３ （舍去）， 综上所述，ｂ＝３ ｃ{ ＝３或 ｂ 槡＝４－２ ６ ｃ 槡{ ＝１１－２ ６                                                                                                                               ． ０３ 　　　　 １ ２０１８年三明市初中毕业班教学质量检测 数学 （满分：１５０分　考试时间：５月 ８日下午 １５：００－１７：００） 友情提示： １．作图或画辅助线等需用签字笔描黑． ２．未注明精确度的计算问题，结果应为准确数． 一、选择题（共 １０题，每题 ４分，满分 ４０分．每题只有一个正确选项，请在答题卡 的相应位置填涂） １．｜－１ ９｜的值为 （　Ａ　） Ａ．１ ９　　　　　 Ｂ．－１ ９　　　　　 Ｃ．９　　　　　 Ｄ．－９ ２．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约 ５５０００米，把 ５５０００用科学记数法表示为 （　Ｂ　） Ａ．５５×１０３ Ｂ．５．５×１０４ Ｃ．５．５×１０５ Ｄ．０．５５×１０５ ３．用 ６个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是 （　Ｃ　） 　　　 ４．下列运算中，正确的是 （　Ａ　） Ａ．（ａｂ２）２＝ａ２ｂ４ Ｂ．ａ２＋ａ２＝２ａ４ Ｃ．ａ２·ａ４＝ａ８ Ｄ．ａ６÷ａ３＝ａ２ ５．将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若∠１＝４０°，则∠２的度数为 （　Ｃ　） Ａ．５０° Ｂ．１１０° Ｃ．１３０° Ｄ．１４０° 第 ５题图 　　　 第 ６题图 ６．如图，将△ＡＢＣ绕点 Ａ顺时针旋转 ６０°得到△ＡＥＤ，若 ＡＢ＝４，ＡＣ＝３，ＢＣ＝２，则 ＢＥ的长为 （　Ｂ　） Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ ７．某校田径运动会有 １３名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，取 前 ６名参加决赛，小癑已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还 需要知道这 １３名同学成绩的 （　Ｄ　） Ａ．方差 Ｂ．极差 Ｃ．平均数 Ｄ．中位数 ８．如图，在⊙Ｏ中，直径 ＡＢ⊥弦 ＣＤ，垂足为 Ｍ，则下列结论一定正确的是 （　Ｄ　） Ａ．ＡＣ＝ＣＤ Ｂ．ＯＭ＝ＢＭ Ｃ．∠Ａ＝１ ２∠ＡＣＤ Ｄ．∠Ａ＝１ ２∠ＢＯＤ 第 ８题图 　　　 第 ９题图 ９．如图，在正八边形 ＡＢＣＤＥＦＧＨ中，连接 ＡＣ，ＡＥ，则ＡＥ ＡＣ的值是 （　Ｂ　） Ａ．槡２ ２ Ｂ．槡２ Ｃ．槡３ Ｄ．２ １０．定义运算：ａｂ＝２ａｂ．若 ａ，ｂ是方程 ｘ２ ＋ｘ－ｍ＝０（ｍ＞０）的两个根，则（ａ＋ １）ａ－（ｂ＋１）ｂ的值为 （　Ａ　） Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．４ｍ Ｄ．－４ｍ 二、填空题（共 ６题，每题 ４分，满分 ２４分．请将答案填在答题卡的相应位置） １１．分解因式：ａ３－ａ＝ａ（ａ＋１）（ａ－１）． １２．在一个不透明的空袋子里放入 ３个白球和 ２个红球，每个球除颜色外完全相 同，小乐从中任意摸出 １个球，摸出的球是红球，放回后充分摇匀，又从中任意 摸出 １个球，摸到红球的概率是 ２ ５． 第 １３题图 １３．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 ３４°的斜坡从 Ａ 滑行至 Ｂ．已知 ＡＢ＝５００米，则这名滑雪运动员下降 的垂直高度约为２８０米．（参考数据：ｓｉｎ３４°≈ ０．５６， ｃｏｓ３４°≈０．８３，ｔａｎ３４°≈０．６７） １４．如图，ＡＢ为半圆的直径，且 ＡＢ＝２，半圆绕点 Ｂ顺时针 旋转 ４０°，点 Ａ旋转到 Ａ′的位置，则图中阴影部分的面 积为 ４ ９π（结果保留 π）． 第 １４题图 　　　　 第 １６题图 １５．二次函数 ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋ｍ－２的图象与 ｘ轴有２个交点． １６．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＢ，ＡＣ上，将 △ＡＥＦ沿直线 ＥＦ翻折，点 Ａ落在点 Ｐ处，且点 Ｐ在直线 ＢＣ上．则线段 ＣＰ长 的取值范围是１≤ＣＰ≤５． 三、解答题（共 ９题，满分 ８６分．请将解答过程写在答题卡的相应位置，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．） １７．（本题满分 ８分）先化简，再求值：ｘ（ｘ＋２ｙ）－（ｘ＋１）２ ＋２ｘ，其中 ｘ 槡＝ ３＋１， ｙ 槡＝ ３－１． 解：原式 ＝ｘ２＋２ｘｙ－ｘ２－２ｘ－１＋２ｘ ＝２ｘｙ－１， 当 ｘ 槡＝ ３＋１，ｙ 槡＝ ３－１时， 原式 ＝２×（槡３＋１）（槡３－１）－１＝２×（３－１）－１＝３． １８．（本题满分 ８分）解方程：２－ｘ ｘ－３＋ １ ３－ｘ＝１． 解：方程两边都乘以（ｘ－３）得，２－ｘ－１＝ｘ－３， 移项得，－ｘ－ｘ＝－３－２＋１， 合并得，－２ｘ＝－４， 系数化为 １得，ｘ＝２． 检验：当 ｘ＝２时，ｘ－３≠０， ∴ｘ＝２是原分式方程的解． １９．（本题满分 ８分）写字是学生的一项基本功，为了了解某校学生的书写情况，随 机对该校部分学生进行测试，测试结果分为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个等级．根据调查结 果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，回答以下 问题： 第 １９题图 （Ⅰ）把条形统计图补充完整； （Ⅱ）若该校共有 ２０００名学生，估计该校书写等级为 “Ｄ级”的学生约有 ３６０人； （Ⅲ）随机抽取了 ４名等级为“Ａ级”的学生，其中有 ３名女生，１名男生，现从 这 ４名学生中任意抽取 ２名，用列表或画树状图的方法，求抽到的两名学生都 是女生的概率． 解：（Ⅰ）补全条形统计图如解图①； 第 １９题解图① 【解法提示】共调查的学生人数是：８÷１６％ ＝５０（人）， “Ｂ级”的学生人数是：５０－８－１７－９＝１６（人）． （Ⅱ）３６０（人）； 【解法提示】９ ５０×２０００＝３６０． （Ⅲ）画树状图如解图②： 第 １９题解图② 或列表如下： 女 １ 女 ２ 女 ３ 男 女 １ （女 １，女 ２） （女 １，女 ３） （女 １，男） 女 ２ （女 ２，女 １） （女 ２，女 ３） （女 ２，男） 女 ３ （女 ３，女 １） （女 ３，女 ２） （女 ３，男） 男 （男，女 １） （男，女 ２） （男，女 ３） 由树状图或列表可知，总共有 １２种等可能结果，其中抽到的两名学生是女 生的情况有 ６种， ∴Ｐ（抽到的两名学生都是女生）＝６ １２＝１ ２． ２０．（本题满分 ８分）如图，一次函数 ｙ＝ａｘ＋ｂ的图象经过点 Ａ（２，０），与反比例函 数 ｙ＝ｋ ｘ的图象在第四象限交于点 Ｂ（４，ｎ），△ＯＡＢ的面积为 ３ ２，                                                                                                                                                     求一次函数 １３ 和反比例函数的表达式． 第 ２０题图 解：∵Ａ（２，０），Ｂ（４，ｎ），且点 Ｂ在第四象限， ∴Ｓ△ＯＡＢ ＝１ ２×２×（－ｎ）＝－ｎ． ∵Ｓ△ＯＡＢ ＝３ ２， ∴ｎ＝－３ ２． ∴Ｂ（４，－３ ２）． 把 Ｂ（４，－３ ２）代入 ｙ＝ｋ ｘ，得 ｋ＝－６， ∴反比例函数表达式为 ｙ＝－６ ｘ； 把 Ａ（２，０），Ｂ（４，－３ ２）代入 ｙ＝ａｘ＋ｂ， 得： ２ａ＋ｂ＝０ ４ａ＋ｂ＝－{ ３ ２ ，解得 ａ＝－３ ４ ｂ＝３ ２{ ． ∴一次函数表达式为 ｙ＝－３ ４ｘ＋３ ２． ２１．（本题满分 ８分）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°． （Ⅰ）作边 ＡＢ的垂直平分线，交 ＡＢ于点 Ｄ，交 ＢＣ于点 Ｅ（用尺规作图，保留作 图痕迹，不写作法）； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接 ＡＥ，求证：ＡＥ平分∠ＣＡＢ． 第 ２１题图 　　 第 ２１题解图 解：（Ⅰ）如解图，直线 ＤＥ即为所求； （Ⅱ）∵∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°， ∴∠ＣＡＢ＝６０°． ∵ＤＥ垂直平分 ＡＢ， ∴ＡＥ＝ＢＥ， ∴∠ＥＡＢ＝∠Ｂ＝３０°， ∴∠ＣＡＥ＝∠ＣＡＢ－∠ＥＡＢ＝３０°， ∴∠ＣＡＥ＝∠ＥＡＢ＝３０°． ∴ＡＥ平分∠ＢＡＣ． ２２．（本题满分 １０分）某乡村在开展“美丽乡村”建设时，决定购买 Ａ，Ｂ两种树苗 对村里的主干道进行绿化改造，已知购买 Ａ种树苗 ３棵，Ｂ种树苗 ４棵，需要 ３８０元；购买 Ａ种树苗 ５棵，Ｂ种树苗 ２棵，需要 ４００元． （Ⅰ）求购买 Ａ，Ｂ两种树苗每棵各需多少元？ （Ⅱ）现需购买这两种树苗共 １００棵，要求购买 Ａ种树苗不少于 ６０棵，且用于 购买这两种树苗的资金不超过 ５６２０元．则有哪几种购买方案？ 解：（Ⅰ）设购买 Ａ，Ｂ两种树苗每棵分别需 ｘ元，ｙ元， 则 ３ｘ＋４ｙ＝３８０ ５ｘ＋２ｙ{ ＝４００，解得 ｘ＝６０ ｙ{ ＝５０． 答：购买 Ａ，Ｂ两种树苗每棵分别需 ６０元，５０元； （Ⅱ）设购进 Ａ种树苗 ｍ棵， 则 ６０ｍ＋５０（１００－ｍ）≤５６２０， 解得 ｍ≤６２． ∵购进 Ａ种树苗不能少于 ６０棵，且 ｍ为整数， ∴ｍ＝６０或 ６１或 ６２， ∴有三种购买方案，分别为： 方案一：购进 Ａ种树苗 ６０棵，Ｂ种树苗 ４０棵； 方案二：购进 Ａ种树苗 ６１棵，Ｂ种树苗 ３９棵； 方案三：购进 Ａ种树苗 ６２棵，Ｂ种树苗 ３８棵． 第 ２３题图 ２３．（本题满分 １０分）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝４５°，以 ＡＢ为 直径的⊙Ｏ经过 ＡＣ的中点 Ｄ，Ｅ为⊙Ｏ上的一点，连接 ＤＥ，ＢＥ，ＤＥ与 ＡＢ交于点 Ｆ． （Ⅰ）求证：ＢＣ为⊙Ｏ的切线； （Ⅱ）若 Ｆ为 ＯＡ的中点，⊙Ｏ的半径为 ２，求 ＢＥ的长． 解：（Ⅰ）解法一：如解图①，连接 ＯＤ， ∵ＯＡ＝ＯＤ，∠Ａ＝４５°， ∴∠ＡＤＯ＝∠Ａ＝４５°， ∴∠ＡＯＤ＝９０°． ∵Ｄ是 ＡＣ的中点， ∴ＡＤ＝ＣＤ． ∴ＯＤ∥ＢＣ． ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＤ＝９０°． ∵ＯＢ是⊙Ｏ的半径， ∴ＢＣ是⊙Ｏ的切线； 第 ２３题解图① 解法二：如解图②，连接 ＢＤ， ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径， ∴ＢＤ⊥ＡＣ． ∵Ｄ是 ＡＣ的中点， ∴ＢＣ＝ＡＢ． ∴∠Ｃ＝∠Ａ＝４５°． ∴∠ＡＢＣ＝９０°． ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴ＢＣ是⊙Ｏ的切线； 第 ２３题解图② （Ⅱ）如解图①，连接 ＯＤ， 由（Ⅰ）可得∠ＡＯＤ＝９０°． ∵⊙Ｏ的半径为 ２，Ｆ为 ＯＡ的中点， ∴ＯＦ＝１，ＢＦ＝３，ＡＤ＝ ２２＋２槡 ２ 槡＝２ ２． ∴ＤＦ＝ ＯＦ２＋ＯＤ槡 ２＝ １２＋２槡 ２ 槡＝ ５． ∵ ) ＢＤ＝ ) ＢＤ， ∴∠Ｅ＝∠Ａ． ∵∠ＡＦＤ＝∠ＥＦＢ， ∴△ＡＦＤ∽△ＥＦＢ． ∴ＤＦ ＡＤ＝ＢＦ ＢＥ，即 槡５ 槡２ ２ ＝３ ＢＥ， 解得 ＢＥ＝ 槡６ １０ ５ ． ∴ＢＥ的长为 槡６ １０ ５ ． ２４．（本题满分 １２分）已知：如图①，△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，ＡＢ＝ ６，ＡＣ＝８，点 Ｄ在线段 ＢＣ上运动． （Ⅰ）当 ＡＤ⊥ＢＣ时（如图②），求证：四边形 ＡＤＣＥ为矩形； （Ⅱ）当 Ｄ为 ＢＣ的中点时（如图③），求 ＣＥ的长； （Ⅲ）当点 Ｄ从点 Ｂ运动到点 Ｃ时，设 Ｐ为线段 ＤＥ的中点，求在点 Ｄ的运动 过程中，点 Ｐ经过的路径长（直接写出结论）． 第 ２４题图 （Ⅰ）证明：∵ＡＤ⊥ＢＣ，∠ＤＡＥ＝９０°， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°， ∴ＡＥ∥ＣＤ， ∵△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ， ∴∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢ， ∵ＡＤ＝ＤＡ， ∴△ＡＤＣ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）， ∴ＡＥ＝ＤＣ， ∴四边形 ＡＤＣＥ为平行四边形， ∵∠ＡＤＣ＝９０°， ∴四边形 ＡＤＣＥ为矩形； （Ⅱ）解：∵∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８， ∴ＢＣ＝１０． ∵Ｄ为 ＢＣ的中点， ∴ＡＤ＝ＢＤ＝１ ２ＢＣ＝５． ∵△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ， ∴ＡＢ ＡＤ＝ＡＣ ＡＥ． ∵∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ． ∴△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ． ∴ＡＢ ＡＣ＝ＢＤ ＣＥ                                                                                                                                                     ， ２３ 即 ６ ８＝５ ＣＥ． ∴ＣＥ＝２０ ３； （Ⅲ）解：２５ ３． ２５．（本题满分 １４分）已知直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋２ｋ＋３（ｋ≠０），小明在画图时发现，无论 ｋ取何值，直线 ｌ总会经过一个定点 Ａ． （Ⅰ）点 Ａ的坐标为（－２，３）； （Ⅱ）抛物线 ｙ＝２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｃ＞０）经过点 Ａ，与 ｙ轴交于点 Ｂ． （ⅰ）当 ４＜ｂ＜６时，若直线 ｌ经过点 Ｂ，求 ｋ的取值范围． （ⅱ）当 ｋ＝１时，若抛物线与直线 ｌ交于另一点 Ｍ，且槡２≤ＡＭ≤ 槡４ ２，求 ｂ的取 值范围． 解：（Ⅰ）（－２，３）； 【解法提示】ｙ＝ｋｘ＋２ｋ＋３＝ｋ（ｘ＋２）＋３， ∵ｋ≠０，∴ｘ＋２＝０，即 ｘ＝－２ 当 ｘ＝－２时，ｙ＝３， 即不论 ｋ取何值，直线 ｌ总经过定点（－２，３）， ∴点 Ａ的坐标为（－２，３）． （Ⅱ）（ⅰ）∵抛物线 ｙ＝２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点 Ａ， ∴３＝８－２ｂ＋ｃ， ∴ｃ＝２ｂ－５． ∴Ｂ（０，２ｂ－５）． ∵直线 ｌ经过点 Ｂ， ∴２ｋ＋３＝２ｂ－５． ∴ｋ＝ｂ－４． 当 ｂ＝４时，ｋ＝０， 当 ｂ＝６时，ｋ＝２， ∵４＜ｂ＜６， ∴０＜ｋ＜２； （ⅱ）当 ｋ＝１时，直线 ｌ的表达式为 ｙ＝ｘ＋５，直线 ｌ交 ｙ轴于点 Ｆ（０，５）， 当点 Ｍ在点 Ａ右侧，如解图①， 过点 Ａ作 ｘ轴平行线交 ｙ轴于点 Ｅ，过点 Ｍ作 ｙ轴的平行线交 ＡＥ于点 Ｄ， ∵Ａ（－２，３），∴ＡＥ＝ＥＦ＝２，∴∠ＥＡＦ＝４５°． ∴当 ＡＭ 槡＝ ２时，ＡＤ＝ＭＤ＝１，∴Ｍ（－１，４）． 把 Ａ（－２，３），Ｍ（－１，４）代入 ｙ＝２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 解得 ｂ＝７，ｃ＝９． 由 ＡＭ 槡＝４ ２，Ａ（－２，３），同理可得 Ｍ（２，７）， 把 Ａ（－２，３），Ｍ（２，７）代入 ｙ＝２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 解得 ｂ＝１，ｃ＝－３． 把 Ａ（－２，３）代入 ｙ＝２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，得 ｃ＝２ｂ－５． 又∵ｃ＞０，∴ｂ＞５ ２． ∴ ５ ２＜ｂ≤７； 第 ２５题解图① 当点 Ｍ在点 Ａ左侧时，如解图②， 由 ＡＭ 槡＝ ２，Ａ（－２，３），同理可得 Ｍ（－３，２）， 把 Ａ（－２，３），Ｍ（－３，２）代入 ｙ＝２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，解得 ｂ＝１１，ｃ＝７， 由 ＡＭ 槡＝４ ２，Ａ（－２，３），同理可得 Ｍ（－６，－１）， 把 Ａ（－２，３），Ｍ（－６，－１）代入 ｙ＝２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，解得 ｂ＝１７，ｃ＝２９， ∴１１≤ｂ≤１７． 第 ２５题解图② 综上所述，ｂ的取值范围为 ５ ２＜ｂ≤７或 １１≤ｂ≤１７                                                                                                                                       ． ３３ 　　　　 １ ２０１８年南平市初中毕业班适应性检测 数　 学 （考试时间：１２０分钟　满分：１５０分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求） １．下列各数中，比 －２小 ３的数是 （　Ｃ　） Ａ．１　　 　　 Ｂ．－１　　　　　 Ｃ．－５　　　　　 Ｄ．－６ ２．我国南海总面积有 ３５０００００平方千米，数据 ３５０００００用科学记数法表示为 （　Ａ　） Ａ．３．５×１０６ Ｂ．３．５×１０７ Ｃ．３５×１０５ Ｄ．０．３５×１０８ ３．如图，在 ２×２网格中放置了三枚棋子，在其他格点处再放置 １枚棋子，使图形 中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是 （　Ｃ　） 　第 ３题图 Ａ．２ ３ Ｂ．１ ２ Ｃ．１ ３ Ｄ．１ ４ ４．已知一个正多边形的内角是 １４０°，则这个正多边形的边数是 （　Ｄ　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ５．已知一次函数 ｙ１＝－２ｘ，二次函数 ｙ２ ＝ｘ２ ＋１，对于 ｘ的同一个值，这两个函数 所对应的函数值为 ｙ１和 ｙ２，则下列关系正确的是 （　Ｄ　） Ａ．ｙ１＞ｙ２ Ｂ．ｙ１≥ｙ２ Ｃ．ｙ１＜ｙ２ Ｄ．ｙ１≤ｙ２ ６．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝４，以 Ｃ点为圆心，２为半径作⊙Ｃ，则 ＡＢ的 　第 ６题图 中点 Ｏ与⊙Ｃ的位置关系是 （　Ｂ　） Ａ．点 Ｏ在⊙Ｃ外 Ｂ．点 Ｏ在⊙Ｃ上 Ｃ．点 Ｏ在⊙Ｃ内 Ｄ．不能确定 ７．下列说法正确的是 （　Ｃ　） Ａ．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 Ｂ．为了了解某电视剧的收视率，选择全面调查 Ｃ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 Ｄ．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 ８．某学校为绿化环境，计划植树 ２２０棵，实际劳动中每小时植树的数量比原计划 多 １０％，结果提前 ２小时完成任务．设原计划每小时植树 ｘ棵，依据题意，可列 方程 （　Ｂ　） Ａ． ２２０ （１＋１０％）ｘ＝２２０ ｘ ＋２ Ｂ． ２２０ （１＋１０％）ｘ＝２２０ ｘ －２ Ｃ．２２０ １０％ｘ－２２０ ｘ ＝２ Ｄ． ２２０ １＋１０％ｘ＝２２０ ｘ －２ 　第 ９题图 ９．如图，是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展 开图的圆心角的度数为 （　Ｃ　） Ａ．６０° Ｂ．９０° Ｃ．１２０° Ｄ．１３５° １０．已知一组数 ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，…，其中 ａ１ ＝１，对于任意的正整数 ｎ，满足 ａｎ＋１ ａｎ＋ａｎ＋１－ａｎ＝０，通过计算 ａ２，ａ３，ａ４的值，猜想 ａｎ可能是 （　Ａ　） Ａ．１ ｎ Ｂ．ｎ Ｃ．ｎ２ Ｄ．１ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分） １１．请写出一个在正比例函数 ｙ＝ｘ图象上点的坐标（１，１）． １２．关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２－４ｘ＋３ｍ＝０有两个相等的实数根，则 ｍ＝４ ３． １３．一组数据：３，４，４，６，６，６的中位数是５． １４．将抛物线 ｙ＝３（ｘ＋１）２ －２向右平移 ３个单位，再向上平移 ４个单位，那么得 到抛物线的表达式为ｙ＝３（ｘ－２）２＋２． １５．如图，正方形 ＡＢＣＤ的面积为 １８，菱形 ＡＥＣＦ的面积为 ６，则菱形的边长为 槡１０． 第 １５题图 　　　 第 １６题图 １６．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ＝２，ＡＤ＝１，则 ＡＣ＝槡１５． 三、解答题（本大题共 ９小题，共 ８６分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分 ８分）先化简，再求值：（ａ＋２ｂ）２－４ａ（ｂ－ａ），其中 ａ＝２，ｂ 槡＝ ３． 解：原式 ＝ａ２＋４ａｂ＋４ｂ２－４ａｂ＋４ａ２ ２分!!!!!!!!!!!!!! ＝５ａ２＋４ｂ２， ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 当 ａ＝２，ｂ 槡＝ ３时， 原式 ＝５×２２＋４×（槡３）２ ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ＝２０＋１２ ＝３２． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８．（本小题满分 ８分）解不等式组：３ｘ－６＜０① ２（ｘ－１）≥ｘ－２{ ② ． 解：由①得，ｘ＜２， ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由②得，２ｘ－２≥ｘ－２， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ｘ≥０， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴不等式组的解集是 ０≤ｘ＜２． ８分!!!!!!!!!!!!!!!! １９．（本小题满分 ８分）如图，Ａ，Ｂ，Ｄ三点在同一直线上，△ＡＢＣ≌△ＢＤＥ，其中点 Ａ，Ｂ，Ｃ的对应点分别是 Ｂ，Ｄ，Ｅ，连接 ＣＥ．求证：四边形 ＡＢＥＣ是平行四边形． 第 １９题图 证明：∵△ＡＢＣ≌△ＢＤＥ， ∴∠ＤＢＥ＝∠Ａ，ＢＥ＝ＡＣ， ４分!!!!!!!!! ∵∠ＤＢＥ＝∠Ａ， ∴ＢＥ∥ＡＣ， ６分!!!!!!!!!!!!!!! 又∵ＢＥ＝ＡＣ， ∴四边形 ＡＢＥＣ是平行四边形． ８分!!!!!!! ２０．（本小题满分 ８分）如图，已知∠ＡＯＣ内一点 Ｄ， （Ⅰ）按要求画出图形：画一条射线 ＤＰ，使得∠ＤＯＣ＝∠ＯＤＰ，交射线 ＯＡ于点 Ｐ，以 Ｐ点为圆心，ＤＰ为半径画弧，交射线 ＯＡ于 Ｅ点，画直线 ＥＤ交射线 ＯＣ 于 Ｆ点，得到△ＯＥＦ； （Ⅱ）求证：ＯＥ＝ＯＦ． 第 ２０题图 　　　 第 ２０题解图 （Ⅰ）作图如解图所示 ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）证明：∵∠ＤＯＣ＝∠ＯＤＰ， ∴ＰＤ∥ＯＣ， ∴∠ＥＤＰ＝∠ＥＦＯ， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＰＤ＝ＰＥ， ∴∠ＰＥＤ＝∠ＥＤＰ， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠ＰＥＤ＝∠ＥＦＯ， ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＯＥ＝ＯＦ． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１．（本小题满分 ８分）为了有效地落实国家精准扶贫的政策，切实关爱贫困家庭 学生．某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了调查．发现每个班级都 有贫困家庭学生，经统计班上贫困家庭学生人数分别有 １名、２名、３名、５名， 共四种情况，并将其制成了如下两幅不完整的统计图： 贫困学生人数 班级数 １名 ５ ２名 ２ ３名 ａ ５名 １ 　　 第 ２１题图 （Ⅰ）填空：ａ＝２，ｂ＝１０； （Ⅱ）求这所学校平均每班贫困学生人数； （Ⅲ）某爱心人士决定从 ２名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶， 请用列表或画树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率． 解：（Ⅰ）２，１０； ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）１×５＋２×２＋３×２＋５×１ １０ ＝２， ４分!!!!!!!!!!!!!! 答：这所学校平均每班贫困学生人数为 ２； （Ⅲ）设有 ２名贫困家庭学生的 ２个班级分别记为 Ａ班和 Ｂ班， 方法一：列表： Ａ１ Ａ２ Ｂ１ Ｂ２ Ａ１ （Ａ１，Ａ２）（Ａ１，Ｂ１）（Ａ１，Ｂ２） Ａ２ （Ａ２，Ａ１） （Ａ２，Ｂ１）（Ａ２，Ｂ２） Ｂ１ （Ｂ１，Ａ１）（Ｂ１，Ａ２） （Ｂ１，Ｂ２） Ｂ２ （Ｂ２，Ａ１）（Ｂ２，Ａ２）（Ｂ２，Ｂ１） ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 方法二： 树状图                                                                                                                                                     ： ４３ 第 ２１题解图 ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由列表或树状图可知共 １２种等可能的情况，其中被选中的两名学生来自同 一班级的情况有 ４种， ∴Ｐ（两名学生来自同一班级）＝４ １２＝１ ３． ８分!!!!!!!!!!!! ２２．（本小题满分 １０分）如图，反比例函数 ｙ＝ｋ ｘ（ｋ≠０）与一次函数 ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ≠ ０）相交于点 Ａ（１，３），Ｂ（ｃ，－１）． （Ⅰ）求反比例函数与一次函数的解析式； （Ⅱ）在反比例函数图象上存在点 Ｃ，使△ＡＯＣ为等腰三角形，这样的点有几 个，请直接写出一个以 ＡＣ为底边的等腰三角形顶点 Ｃ的坐标． 第 ２２题图 　　　 第 ２２题解图 解：（Ⅰ）把 Ａ（１，３）代入 ｙ＝ｋ ｘ中，得 ｋ＝３×１＝３， ∴反比例函数的解析式为 ｙ＝３ ｘ， ３分!!!!!!!!!!!!!!! 把 Ｂ（ｃ，－１）代入 ｙ＝３ ｘ中，得 ｃ＝－３， 把 Ａ（１，３），Ｂ（－３，－１）分别代入 ｙ＝ａｘ＋ｂ中，得 ａ＋ｂ＝３ －３ａ＋ｂ{ ＝－１，解得 ａ＝１ ｂ{ ＝２， ∴一次函数的解析式为 ｙ＝ｘ＋２； ６分!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）如解图，这样的点有 ４个， ８分!!!!!!!!!!!!!!!! 其中以 ＡＣ为底边的等腰三角形顶点 Ｃ的坐标为Ｃ２（３，１）或 Ｃ４（－３，－１）． １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２３．（本小题满分 １０分）如图，ＡＢ为半圆 Ｏ的直径，弦 ＣＤ与 ＡＢ的延长线相交于 点 Ｅ． （Ⅰ）求证：∠ＣＯＥ＝２∠ＢＤＥ； （Ⅱ）当 ＯＢ＝ＢＥ＝２，且∠ＢＤＥ＝６０°时，求 ｔａｎＥ． 第 ２３题图 　　　 第 ２３题解图 （Ⅰ）证明：如解图，连接 ＡＣ， ∵∠Ａ＋∠ＣＤＢ＝１８０°， １分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＢ＝１８０°， ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠Ａ＝∠ＢＤＥ， ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵∠ＣＯＥ＝２∠Ａ， ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴∠ＣＯＥ＝２∠ＢＤＥ； ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）解：如解图，过 Ｃ点作 ＣＦ⊥ＡＥ于 Ｆ点， ∵∠ＢＤＥ＝６０°， ∴∠Ａ＝６０°， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又∵ＯＡ＝ＯＣ， ∴△ＡＯＣ是等边三角形，∵ＯＢ＝２，∴ＯＡ＝ＡＣ＝２， ∴ＡＦ＝ＦＯ＝１ ２ＡＯ＝１， ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 在 Ｒｔ△ＡＦＣ中， ＣＦ＝ ＡＣ２－ＡＦ槡 ２＝ ２２槡 槡－１＝ ３， ８分!!!!!!!!!!!!!!! 在 Ｒｔ△ＣＥＦ中，ＥＦ＝ＦＯ＋ＯＢ＋ＢＥ＝５， ∴ｔａｎＥ＝ＣＦ ＥＦ＝槡３ ５． １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２４．（本小题满分 １２分）已知两条线段 ＡＣ和 ＢＣ，连接 ＡＢ，分别以 ＡＢ，ＢＣ为底边 向上画等腰△ＡＢＤ和等腰△ＢＣＥ，∠ＡＤＢ＝∠ＢＥＣ＝α． （Ⅰ）如图①，当 α＝６０°时，求证：△ＤＢＥ≌△ＡＢＣ； （Ⅱ）如图②，当 α＝９０°时，且 ＢＣ＝５，ＡＣ＝２， （ⅰ）求 ＤＥ的长； （ⅱ）如图③，将线段 ＣＡ绕点 Ｃ旋转，点 Ｄ也随之运动，请直接写出 Ｃ，Ｄ两点 之间距离的取值范围． 第 ２４题图 （Ⅰ）证明：∵∠ＡＤＢ＝∠ＢＥＣ＝６０°， ∴等腰△ＡＤＢ和等腰△ＢＥＣ是等边三角形， １分!!!!!!!!!!! ∴ＢＤ＝ＢＡ，ＢＥ＝ＢＣ，∠ＤＢＡ＝∠ＥＢＣ＝６０°， ２分!!!!!!!!!!! ∴∠ＤＢＡ－∠ＥＢＡ＝∠ＥＢＣ－∠ＥＢＡ， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＣ， ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴△ＤＢＥ≌△ＡＢＣ（ＳＡＳ）； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）解：（ⅰ）∵∠ＡＤＢ＝９０°，ＤＢ＝ＤＡ， ∴∠ＤＢＡ＝４５°，同理∠ＥＢＣ＝４５°， ∴∠ＤＢＡ＝∠ＥＢＣ， ∴∠ＤＢＡ－∠ＥＢＡ＝∠ＥＢＣ－∠ＥＢＡ， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＣ， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又∵ｃｏｓ∠ＤＢＡ＝ｃｏｓ∠ＥＢＣ， ∴ＤＢ ＡＢ＝ＢＥ ＢＣ＝槡２ ２， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴△ＤＢＥ∽△ＡＢＣ， ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＤＥ ＡＣ＝ＢＥ ＢＣ，即ＤＥ ２ ＝槡２ ２， ∴ＤＥ 槡＝ ２； ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ⅱ） 槡３ ２ ２ ≤ＣＤ≤ 槡７ ２ ２ ． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２５．（本小题满分 １４分）已知抛物线 ｙ１＝－ｘ２ ＋４（ｘ＞０）与 ｙ２ ＝－１ ４ｘ２ ＋４（ｘ＞０） 有公共的顶点 Ｍ（０，４），直线 ｘ＝ｐ（ｐ＞０）分别与抛物线 ｙ１，ｙ２交于点 Ａ，Ｂ，过 点 Ａ作直线 ＡＥ⊥ｙ轴于点 Ｅ，交 ｙ２于点 Ｃ，过点 Ｂ作直线 ＢＦ⊥ｙ轴于点 Ｆ，交 ｙ１于点 Ｄ． （Ⅰ）当 ｐ＝２时，求 ＡＣ的长； （Ⅱ）求Ｓ△ＡＣＭ Ｓ△ＢＤＭ 的值； （Ⅲ）直线 ＡＤ与 ＢＣ的交点 Ｎ（ｍ，ｎ），求证：ｍ为常数． 第 ２５题图 　　　 第 ２５题解图 （Ⅰ）解：当 ｐ＝２时，把 ｘ＝２带入 ｙ１＝－ｘ２＋４中，得 ｙ１＝０， ∴Ａ（２，０）， １分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 把 ｙ２＝０带入 ｙ２＝－１ ４ｘ２＋４（ｘ＞０）中，得 ｘ＝４， ∴Ｃ（４，０）， ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＣ＝２； ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （Ⅱ）解：设 Ａ（ｐ，－ｐ２＋４），Ｂ（ｐ，－１ ４ｐ２＋４）， 则 Ｅ（０，－ｐ２＋４），Ｆ（０，－１ ４ｐ２＋４）， ∵Ｍ（０，４）， ∴ＭＥ＝４－（－ｐ２＋４）＝ｐ２， ＭＦ＝４－（－１ ４ｐ２＋４）＝ｐ２ ４， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!! 当 ｙ１＝－１ ４ｐ２＋４时，－１ ４ｐ２＋４＝－ｘ２＋４， ∴ｘＤ ＝１ ２ｐ， 当 ｙ２＝－ｐ２＋４时，－ｐ２＋４＝－１ ４ｘ２＋４， ∴ｘＣ ＝２ｐ， ∴Ｃ（２ｐ，－ｐ２＋４），Ｄ（ｐ ２，－１ ４ｐ２＋４）， ∴ＢＤ＝ｐ－１ ２ｐ＝ｐ ２， ＡＣ＝２ｐ－ｐ＝ｐ， ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴Ｓ△ＡＣＭ Ｓ△ＢＤＭ ＝ １ ２ＡＣ·ＭＥ １ ２ＢＤ·ＭＦ ＝ ｐ·ｐ２ ｐ ２· １ ４ｐ２ ＝８； ８分                                                                                                                                                     !!!!!!!!!!!!!! ５３ （Ⅲ）证明：方法一：设直线 ＡＤ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 把 Ａ（ｐ，－ｐ２＋４），Ｄ（１ ２ｐ，－１ ４ｐ２＋４）分别代入，得 ｋｐ＋ｂ＝－ｐ２＋４ １ ２ｋｐ＋ｂ＝－１ ４ｐ２{ ＋４，解得 ｋ＝－３ ２ｐ ｂ＝１ ２ｐ２{ ＋４ ， ∴直线 ＡＤ：ｙ＝－３ ２ｐｘ＋１ ２ｐ２＋４； １０分!!!!!!!!!!!!!!! 设直线 ＢＣ：ｙ＝ｋ′ｘ＋ｂ′， 把 Ｃ（２ｐ，－ｐ２＋４），Ｂ（ｐ，－１ ４ｐ２＋４）分别代入，得 ２ｐｋ′＋ｂ′＝－ｐ２＋４ ｐｋ′＋ｂ′＝－１ ４ｐ２{ ＋４，解得 ｋ′＝－３ ４ｐ ｂ′＝１ ２ｐ２{ ＋４ ， ∴直线 ＢＣ：ｙ＝－３ ４ｐｘ＋１ ２ｐ２＋４； １２分!!!!!!!!!!!!!!! ∵直线 ＡＤ与 ＢＣ的交点为 Ｎ（ｍ，ｎ）， ∴ ｎ＝－３ ４ｐｍ＋１ ２ｐ２＋４ ｎ＝－３ ２ｐｍ＋１ ２ｐ２{ ＋４ ， １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ３ ４ｐｍ＝０， ∵ｐ＞０， ∴ｍ＝０，即 ｍ为常数． １４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 方法二：设直线 ＡＤ交 ｙ轴于 Ｇ点，直线 ＢＣ交 ｙ轴于 Ｈ点， ∵ＢＦ∥ＣＥ， ∴△ＧＦＤ∽△ＧＥＡ，△ＨＦＢ∽△ＨＥＣ， １０分!!!!!!!!!!!!!! ∴ＧＦ ＧＥ＝ＤＦ ＡＥ＝ １ ２ｐ ｐ ＝１ ２，ＨＦ ＨＥ＝ＢＦ ＣＥ＝ｐ ２ｐ＝１ ２， ∴ＧＦ ＧＥ＝ＨＦ ＨＥ， １１分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ＧＦ ＧＦ＋ＦＥ＝ ＨＦ ＨＦ＋ＦＥ， ∴ＧＦ＝ＨＦ， １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴Ｇ，Ｈ点重合， ∴Ｇ，Ｈ点就是直线 ＡＤ与直线 ＢＣ的交点 Ｎ， ∴ｍ＝０，即 ｍ为常数． １４分                                                                                                                  !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６３