第一章一元二次方程小结与复习

第一章一元二次方程小结与复习

第一章 一元二次方程 小结与复习（1）‎ 教学目标 ‎ 1、理清本章的知识结构，培养学生归纳能力。‎ ‎ 2、掌握本章的有关概念，一元二次方程的四种解法——因式分解法、直接开平方法、配方、公式法。‎ ‎3、掌握本章的主要数学思想和方法。‎ 重点难重 重点：一元二次方程解法。‎ 难点：选用适当的方法解一元二次方程。 ‎ 教学过程 ‎（一）复习引入 ‎1、回顾本章的主要数学思想和方法。‎ ‎ 本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决。如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，降次的基本方法是因式分解法或直接开平方法，为了能这么做，往往要抚配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里，再求解。也可以用一元二次方程的求根公工直接求解。配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数中的重要方法，应熟练掌握这种方法。‎ ‎2、理清本章的知识结构图。‎ 请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来。‎ 整理知识结构图的要求应根据学生具体情况而定，提供下面三种建议，供选用：‎ ‎ 方法一 由学和自己设计知识结构图，而后全班行交流，互相补充，逐步完善。‎ ‎ 方法二 教师引导学生设计知识结构图，然后全班交流。‎ ‎ 方法三 教师给出知识结构图框架，由学生填上具体内容（参考课本P.29的知识结构图）。‎ ‎ 说明：在知识结构图和教学过程中，既要注复习知识、方法，又要注意培养学生的归纳总结能力。‎ ‎ （二）讲解例题 ‎ ‎ 例1 选择题：‎ ‎ （1）mx2-3x+x2=0是关于x的一元二次方程的条件是　　　　　　　（　）‎ ‎ A m=1 B m≠-1 C m≠0 D m为任意实数 6‎ ‎ （2）用配方法解方程4 x2+4 x-15=0时将方程配方的结果是 （ ）‎ ‎ A（x+2）2=19 B（2 x+1）2=16‎ ‎ C（x+ ）2=4 D（x+1）2=4‎ ‎ 答案：B C 评注：（1）先把方程化成关于x的一元二次方程的一般形式（m+1）x2-3x+2=0然后确定m+1≠0,即m≠-1。‎ ‎（2）配方法虽然在解一元二次方程时很少用，但配方法是一种很重要的数学方法，不可忽视。‎ 例2 选择适当的方法解下列方程：‎ ‎（1）（x-1）2+2 x（x-1）=0 （2）9（x-3）2-4（x-2）2=0‎ ‎（3）-2y2+3= y （4）x2+2 x-4=0‎ ‎ [解]（1）中主程左边有因式x-1，不能将方程程两边同除以x-1，而应选用因式分解的方法，把方程变形为（x-1）[（x-1）+2 x]=0，所以x1=1，x2= ‎ ‎ （2）中程左边是平方差形式，既可用平方差公式分解因的方法求解，又可用先移项得9（x-2）2=4(x-2)2，然后直接开平方得3（x-3）=±2（x-2），再求方程的解，解得x1= ，x2=5。‎ ‎ （3）中方程可化为4y2+y-6=0，△=12-4×4（-6）=97＞0，解得x1= ，x2= ‎ ‎ （4）中方程是一元二次方程的一般形式，且左边不易分解因式，因此可用公式法解此方程，解得x1=- + ，x2=- - ‎ ‎ 评注：1、公式法是解一元二次方程的一般方法，应掌握这种解一元二次方程的通法。‎ ‎ 2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法，要注意这两种方法适用的方程形式。‎ ‎ 3、一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解，如不能用这两种方法再考虑用公式法解。‎ ‎（三）巩固练习 ‎1填空：‎ ‎（1）（k-1）x2-kx+1=0是关于x的一元二次方程的条件是 。‎ ‎（2）填写下表。‎ 一元二次方程 一般形式 二次项数 一次项系数 常数项 6‎ ‎3 x2-5=2 x ‎（x+1）2=4‎ πx 2=0‎ x（x + ）=0‎ 答案：（1）k≠1。（2）见下表：‎ 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次系数 常数项 ‎3 x2-5=2 x ‎3 x2-2 x-5=0‎ ‎3‎ ‎-2‎ ‎-5‎ ‎（x+1）2=4‎ x 2+-3=0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎-3‎ x 2=0‎ x 2=0‎ π ‎0‎ ‎0‎ x（x+ ）=0‎ x 2+ x=0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2、选做课本复习题一中B组第1，2题。‎ ‎（四）课堂小结 ‎1、一元二次方程的一般形式是什么？‎ ‎2、解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么？‎ ‎3、怎么选择适当的法解一无二次方程？‎ ‎（五）思考与拓展 ‎1、已知方程mx2+mx+3m-x2+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m 时，为一元一次方程。‎ 答案：m≠1，m=1‎ ‎2、选做课本复习题一的C组题。‎ 布置作业 课本复习题一中A组第1、2、3题。‎ 教学后记：‎ 第一章 一元二次方程 小结与复习 （2）‎ 教学目标 ‎ 1、熟练运用一元二次方程解实际问题。‎ ‎ 2、通过将一些实际问题抽象为方程模的过程，让学生形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题 ，理解问题，并能运用所学知识解决问题，体会数学的价值。‎ 重点难重 重点：运用一元二次方程解实际问题。‎ 6‎ 难点：找出问题中的等量关系，列出一元二次方程。 ‎ 教学过程 ‎（一）复习引入 学生交流讨论下列问题。‎ ‎1、运用一元二次方程解实际问题的一般步骤是什么？‎ ‎2、运用一元二次方程解实际问题关键是什么？‎ ‎3、运用一元二次方程解实际问题要注意什么？‎ ‎（二）讲解例题 例1．某工厂生产一种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的产量都比前一年增一个相同的百分数，这样三年的总产量达到1400件，求这个百分数。‎ 分析：此题是增长率问题，运用复利公式：Q=a（1+x），通过列方程求出x的值。‎ ‎[解]设这个百分数为x。则今后第一年的产量为200（1+x）件，今后第二年的产量为200（1+x）2件，根据题意，得200+200（1+x）+200（1+x）2=1400‎ 化简得x2+3x-4=0，‎ 解得x1=1，x2=-4（不合题意，舍去）。‎ 所以x1=1=100%‎ 答：这个百分数为100%‎ 评注：1、题中1400件是三年的总产量，不要误以为是今后第三年的产量。‎ ‎2、运用一元二次方程解实际际问题时要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。‎ ‎3、一般情况，增长率为百分数。‎ 例2 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品和销售情况，请解答以下问题：‎ ‎（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利；‎ ‎（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的关系式；‎ ‎（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少？‎ ‎（4）要使得月销售利润达到9000元销售单价应定为多少？‎ ‎（5）有没有可能获取大于9000元的利润？‎ ‎[解]（1）当销售单价定为每千克55元时，‎ 月销售利润为：500-（55-50）×10=450（千克）‎ 所以月销售利润为：（55-40）×450=6750（元）‎ ‎（2）当销售单价为每千克x元时，月销售量为：500-（x-50）× 10=1000-10‎ 6‎ ‎ x（千克），而每千克的销售利润是x-40千克，所以月销售利润为y=（x-40）（1000-10 x），即y=-10 x2+1400 x-40000。‎ ‎（3）要使月销利润达到8000元，即y=8000，所以-10 x2+1400 x-40000=8000，即x2+4800=0,解得x1=60，x2=80。‎ 当销售单价为每千克x元时，月销售量为：500-（60-50）×10=400（千克），月销售成本为：40×400=16000（元）。‎ 当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500-（80-50）×10=200（千克），月销售成本为：40×200=8000（元）。‎ 由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元。‎ ‎（4）要使月销售利润达到9000元，即y=9000，所以-10x2+1400x-40000=9000，即x2-140x+4900=0，解得x1=x2=70，销售单价应定为每千克70元。‎ ‎（5）要获取大于9000元的利润，则y＞9000，所以-10x2+1400 x-40000＞9000，即x2-140 x+4900＜0，（x-70）2＜0无论x取何实数，此不等式都不成立。所以，没有可能获取大于9000元的利润。‎ ‎ 评注（3）要注意“成本不超过10000元”这个限制条件，（5）仅供学有余力的同学思考。‎ ‎（三）巩固练习 选做课本复习题一中B组第4、5题。‎ ‎（四）课堂小结 运用一元二次方程解实问题的关键是：找出问题中的等量关系，以便引出方程，要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。‎ ‎（五）思考拓展 一容器盛江满纯酒精63升，第一次倒出若干升后加水充满，第二次倒出同样升数的酒精溶液，再加水充满，这时容器内的纯酒精为28升。求每次倒出酒精容液的升数。‎ 分析：浓度问题，关键是利用基本关系式：浓度= ‎ ‎[解] 设每次倒出x升，第一次倒出后剩下的纯精为63-x升，加水充满后酒精溶液的浓度是 ，第二次倒出纯酒精 ·x升，第二次倒出后剩下纯酒精（63-x）- 升。‎ 根据题意，得（63-x）- =28‎ 即（63-x）（1- ） =28‎ ‎63（1- ）2=28‎ 6‎ 所以1- =±‎ x1=21， x2=105（不合题意，舍去）‎ 答；每次倒出酒精溶液21升。‎ 评注：本题也可以看作是增长率问题 ，因为每倒出相同体积的酒精溶液后，再用水充满，酒精溶液降低的浓度是相同的，此题 中每一次倒出相同体积的酒精溶液后，每次酒精降低的浓度均为由增长率问题可得出方程（1- ）2= ‎ 布置作业 课本复习题一中A组第4、5、6题 ，选做B组第3题 。‎ 教学后记：‎ 6‎