2019年湖南省岳阳市中考数学试卷含答案

2019年湖南省岳阳市中考数学试卷含答案

‎2019年湖南省岳阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）‎ ‎1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　）‎ A．2019 B．﹣2019 C．‎1‎‎2019‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2019‎ ‎2．（3分）下列运算结果正确的是（　　）‎ A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝x ‎ C．x3•x2＝x6 D．x2+y2＝（x+y）2‎ ‎3．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（　　）‎ A．20° B．25° C．30° D．50°‎ ‎5．（3分）函数y‎=‎x+2‎x中，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＞0 D．x≥﹣2且x≠0‎ ‎6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎7．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ‎ B．同角（或等角）的余角相等 ‎ C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ‎ D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分 ‎8．（3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（　　）‎ A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c‎＜‎‎1‎‎4‎ D．c＜1‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎9．（4分）因式分解：ax﹣ay＝　 　．‎ ‎10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎11．（4分）分别写有数字‎1‎‎3‎、‎2‎、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是　 　．‎ ‎12．（4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为　 　．‎ ‎13．（4分）分式方程‎1‎x‎=‎‎2‎x+1‎的解为x＝　 　．‎ ‎14．（4分）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为　 　．‎ ‎15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布　 　尺．‎ ‎16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①AM平分∠CAB；‎ ‎②AM2＝AC•AB；‎ ‎③若AB＝4，∠APE＝30°，则BM的长为π‎3‎；‎ ‎④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM‎=‎‎3‎．‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）计算：（‎2‎‎-‎1）0﹣2sin30°+（‎1‎‎3‎）﹣1+（﹣1）2019‎ ‎18．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．‎ ‎19．（8分）如图，双曲线y‎=‎mx经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．‎ ‎（1）求m的值．‎ ‎（2）求k的取值范围．‎ ‎20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．‎ ‎（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？‎ ‎（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的‎1‎‎3‎，求休闲小广场总面积最多为多少亩？‎ ‎21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．‎ 分数段 频数 频率 ‎74.5～79.5‎ ‎2‎ ‎0.05‎ ‎79.5～84.5‎ m ‎0.2‎ ‎84.5～89.5‎ ‎12‎ ‎0.3‎ ‎89.5～94.5‎ ‎14‎ n ‎94.5～99.5‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎（1）表中m＝　 　，n＝　 　；‎ ‎（2）请在图中补全频数直方图；‎ ‎（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在　 　分数段内；‎ ‎（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．‎ ‎22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）‎ ‎（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）‎ ‎（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．‎ ‎23．（10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．‎ ‎（1）如图1，求证：BE＝BF；‎ ‎（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；‎ ‎（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．‎ ‎①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；‎ ‎②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）‎ ‎24．（10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y‎=‎‎1‎‎3‎x2‎+‎‎7‎‎3‎x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；‎ ‎（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2019年湖南省岳阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）‎ ‎1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　）‎ A．2019 B．﹣2019 C．‎1‎‎2019‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2019‎ ‎【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）下列运算结果正确的是（　　）‎ A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝x ‎ C．x3•x2＝x6 D．x2+y2＝（x+y）2‎ ‎【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；‎ B、x3÷x2＝x，正确；‎ C、x3•x2＝x5，故此选项错误；‎ D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；‎ B、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；‎ C、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；‎ D、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（　　）‎ A．20° B．25° C．30° D．50°‎ ‎【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，‎ ‎∴∠ABE＝∠EBC＝25°，‎ ‎∵BE∥DC，‎ ‎∴∠EBC＝∠C＝25°．‎ 故选：B．‎ ‎5．（3分）函数y‎=‎x+2‎x中，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＞0 D．x≥﹣2且x≠0‎ ‎【解答】解：根据题意得：x+2≥0‎x≠0‎，‎ 解得：x≥﹣2且x≠0．‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，‎ ‎∴S丙2＜S丁2＜S乙2＜S甲2，‎ ‎∴射击成绩最稳定的是丙，‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ‎ B．同角（或等角）的余角相等 ‎ C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ‎ D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分 ‎【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；‎ B．同角（或等角）的余角相等；真命题；‎ C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；‎ D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；‎ 故选：A．‎ ‎8．（3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（　　）‎ A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c‎＜‎‎1‎‎4‎ D．c＜1‎ ‎【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，‎ 且x1＜1＜x2，‎ 整理，得：x2+x+c＝0，‎ 则‎1-4c＞0‎‎1+1+c＜0‎．‎ 解得c＜﹣2，‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎9．（4分）因式分解：ax﹣ay＝　a（x﹣y）　．‎ ‎【解答】解：原式＝a（x﹣y）．‎ 故答案是：a（x﹣y）．‎ ‎10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为　6×105　．‎ ‎【解答】解：将600000用科学记数法表示为：6×105．‎ 故答案为：6×105．‎ ‎11．（4分）分别写有数字‎1‎‎3‎、‎2‎、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是　‎2‎‎5‎　．‎ ‎【解答】解：∵写有数字‎1‎‎3‎、‎2‎、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，‎2‎、π是无理数，‎ ‎∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：‎2‎‎5‎．‎ 故答案为：‎2‎‎5‎．‎ ‎12．（4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为　4　．‎ ‎【解答】解：设多边形的边数为n，‎ 则（n﹣2）×180°＝360°，‎ 解得：n＝4，‎ 故答案为：4．‎ ‎13．（4分）分式方程‎1‎x‎=‎‎2‎x+1‎的解为x＝　1　．‎ ‎【解答】解：方程两边同乘x（x+1），‎ 得x+1＝2x，‎ 解得x＝1．‎ 将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．‎ 所以x＝1是原方程的解．‎ ‎14．（4分）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为　1　．‎ ‎【解答】解：∵x﹣3＝2，‎ ‎∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2‎ ‎＝（2﹣1）2‎ ‎＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布　‎5‎‎31‎　尺．‎ ‎【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：‎ x+2x+4x+8x+16x＝5，‎ 解得：x‎=‎‎5‎‎31‎，‎ 即该女子第一天织布‎5‎‎31‎尺．‎ 故答案为：‎5‎‎31‎．‎ ‎16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线 PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是　①②④　．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①AM平分∠CAB；‎ ‎②AM2＝AC•AB；‎ ‎③若AB＝4，∠APE＝30°，则BM的长为π‎3‎；‎ ‎④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM‎=‎‎3‎．‎ ‎【解答】解：连接OM，‎ ‎∵PE为⊙O的切线，‎ ‎∴OM⊥PC，‎ ‎∵AC⊥PC，‎ ‎∴OM∥AC，‎ ‎∴∠CAM＝∠AMO，‎ ‎∵OA＝OM，‎ ‎∠OAM＝∠AMO，‎ ‎∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AMB＝90°，‎ ‎∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，‎ ‎∴△ACM∽△AMB，‎ ‎∴ACAM‎=‎AMAB，‎ ‎∴AM2＝AC•AB，故②正确；‎ ‎∵∠APE＝30°，‎ ‎∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，‎ ‎∵AB＝4，‎ ‎∴OB＝2，‎ ‎∴BM的长为‎60⋅π×2‎‎180‎‎=‎‎2π‎3‎，故③错误；‎ ‎∵BD⊥PC，AC⊥PC，‎ ‎∴BD∥AC，‎ ‎∴PBPA‎=BDAC=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴PB‎=‎1‎‎3‎PA，‎ ‎∴PB=‎1‎‎2‎AB，BD‎=‎1‎‎2‎OM，‎ ‎∴PB＝OB＝OA，‎ ‎∴在Rt△OMP中，OM‎=‎1‎‎2‎OP=‎2，‎ ‎∴∠OPM＝30°，‎ ‎∴PM＝2‎3‎，‎ ‎∴CM＝DM＝DP‎=‎‎3‎，故④正确．‎ 故答案为：①②④．‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）计算：（‎2‎‎-‎1）0﹣2sin30°+（‎1‎‎3‎）﹣1+（﹣1）2019‎ ‎【解答】解：原式＝1﹣2‎×‎1‎‎2‎+‎3﹣1‎ ‎＝1﹣1+3﹣1‎ ‎＝2．‎ ‎18．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD＝CD，‎ 在△ADF和△CDE中，AD=CD‎∠D=∠DDF=DE，‎ ‎∴△ADF≌△CDE（SAS），‎ ‎∴∠1＝∠2．‎ ‎19．（8分）如图，双曲线y‎=‎mx经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．‎ ‎（1）求m的值．‎ ‎（2）求k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵双曲线y‎=‎mx经过点P（2，1），‎ ‎∴m＝2×1＝2；‎ ‎（2）∵双曲线y‎=‎‎2‎x与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点，‎ ‎∴‎2‎x‎=‎kx﹣4，整理为：kx2﹣4x﹣2＝0，‎ ‎∴△＝（﹣4）2﹣4k•（﹣2）＞0，‎ ‎∴k＞﹣2，‎ ‎∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．‎ ‎20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．‎ ‎（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？‎ ‎（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的‎1‎‎3‎，求休闲小广场总面积最多为多少亩？‎ ‎【解答】解：（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，‎ 由题意，得x+（600+x）＝1200‎ 解得x＝300．‎ 则600+x＝900．‎ 答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；‎ ‎（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，‎ 由题意，得y‎≤‎‎1‎‎3‎（300﹣y）．‎ 解得 y≤75．‎ 故休闲小广场总面积最多为75亩．‎ 答：休闲小广场总面积最多为75亩．‎ ‎21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．‎ 分数段 频数 频率 ‎74.5～79.5‎ ‎2‎ ‎0.05‎ ‎79.5～84.5‎ m ‎0.2‎ ‎84.5～89.5‎ ‎12‎ ‎0.3‎ ‎89.5～94.5‎ ‎14‎ n ‎94.5～99.5‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎（1）表中m＝　8　，n＝　0.35　；‎ ‎（2）请在图中补全频数直方图；‎ ‎（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在　89.5～94.5　分数段内；‎ ‎（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．‎ ‎【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，‎ 故答案为：8，0.35；‎ ‎（2）补全图形如下：‎ ‎（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，‎ ‎∴测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，‎ 故答案为：89.5～94.5．‎ ‎（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．‎ ‎，‎ 恰好是一名男生和一名女生的概率为‎8‎‎12‎‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）‎ ‎（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）‎ ‎（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，‎ ‎∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，‎ ‎∴GH＝0.2，‎ 在Rt△AHE中，tan∠AEH‎=‎AHHE，‎ 则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，‎ ‎∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，‎ 在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，‎ ‎∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，‎ ‎∴BD＝1.9a﹣0.2，‎ 答：小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；‎ ‎（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，‎ 解得，a＝18，‎ 则AG＝1.9a﹣0.2＝34，‎ ‎∴AB＝AG+GB＝35.7，‎ 答：慈氏塔的高度AB为35.7米．‎ ‎23．（10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．‎ ‎（1）如图1，求证：BE＝BF；‎ ‎（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；‎ ‎（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．‎ ‎①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；‎ ‎②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠DEF＝∠EFB，‎ 由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，‎ ‎∴∠BEF＝∠EFB，‎ ‎∴BE＝BF．‎ ‎（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．‎ ‎∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，‎ ‎∴AD＝BC＝7，AE＝2，‎ 在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，‎ ‎∴AB‎=‎5‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=‎‎21‎，‎ ‎∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，‎ ‎∴‎1‎‎2‎•BF•EH‎=‎‎1‎‎2‎•BE•PM‎+‎‎1‎‎2‎•BF•PN，‎ ‎∵BE＝BF，‎ ‎∴PM+PN＝EH‎=‎‎21‎，‎ ‎∵四边形PMQN是平行四边形，‎ ‎∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2‎21‎．‎ ‎（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．‎ ‎∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，‎ ‎∴AD＝BC＝a+b，‎ ‎∴AE＝AD﹣DE＝b，‎ ‎∴EH＝AB‎=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎，‎ ‎∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，‎ ‎∴‎1‎‎2‎BE•PM‎-‎‎1‎‎2‎•BF•PN‎=‎‎1‎‎2‎•BF•EH，‎ ‎∵BE＝BF，‎ ‎∴PM﹣PN＝EH‎=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎，‎ ‎∵四边形PMQN是平行四边形，‎ ‎∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）‎=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎．‎ ‎②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM‎=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎．‎ ‎24．（10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y‎=‎‎1‎‎3‎x2‎+‎‎7‎‎3‎x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；‎ ‎（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y‎=‎1‎‎3‎×‎（﹣4）2‎+‎7‎‎3‎×‎（﹣4）＝﹣4‎ ‎∴点A坐标为（﹣4，﹣4）‎ 当y＝﹣2时，‎1‎‎3‎x2‎+‎‎7‎‎3‎x＝﹣2‎ 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6‎ ‎∵点A在点B的左侧 ‎∴点B坐标为（﹣1，﹣2）‎ ‎（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ‎∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2‎ ‎∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'‎ ‎∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°‎ ‎∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°‎ ‎∴∠B'OG＝∠OBE 在△B'OG与△OBE中 ‎∠OGB'=∠BEO‎∠B'OG=∠OBEB'O=OB‎ ‎ ‎∴△B'OG≌△OBE（AAS）‎ ‎∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1‎ ‎∵点B'在第四象限 ‎∴B'（2，﹣1）‎ 同理可求得：A'（4，﹣4）‎ ‎∴OA＝OA'‎‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=4‎‎2‎ ‎∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'‎ ‎∴‎16a+4b+4=-4‎‎4a+2b+4=-1‎ 解得：‎a=‎‎1‎‎4‎b=-3‎ ‎∴抛物线F2解析式为：y‎=‎‎1‎‎4‎x2﹣3x+4‎ ‎∴对称轴为直线：x‎=-‎-3‎‎2×‎‎1‎‎4‎=‎6‎ ‎∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）‎ ‎∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20‎ ‎∵点A'在以OM为直径的圆上 ‎∴∠OA'M＝90°‎ ‎∴OA'2+A'M2＝OM2‎ ‎∴（4‎2‎）2+m2+8m+20＝36+m2‎ 解得：m＝﹣2‎ ‎∴A'M‎=m‎2‎‎+8m+20‎=‎4-16+20‎=2‎‎2‎ ‎∴S△OA'M‎=‎‎1‎‎2‎OA'•A'M‎=‎1‎‎2‎×4‎2‎×2‎2‎=‎8‎ ‎（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．‎ ‎∵B'（2，﹣1）‎ ‎∴直线OB'解析式为y‎=-‎‎1‎‎2‎x y=-‎1‎‎2‎xy=‎1‎‎4‎x‎2‎-3x+4‎‎ 解得：x‎1‎‎=2‎y‎1‎‎=-1‎（即为点B'）‎x‎2‎‎=8‎y‎2‎‎=-4‎ ‎∴C（8，﹣4）‎ ‎∵A'（4，﹣4）‎ ‎∴A'C∥x轴，A'C＝4‎ ‎∴∠OA'C＝135°‎ ‎∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°‎ ‎∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°‎ ‎∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似 ‎∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）‎ ‎①若△AOD∽△OA'C，则ODA'C‎=OAOA'‎=‎1‎ ‎∴OD＝A'C＝4‎ ‎∴D（4，0）或（0，4）‎ ‎②若△DOA∽△OA'C，则DOOA'‎‎=OAA'C=‎4‎‎2‎‎4‎=‎‎2‎ ‎∴OD‎=‎‎2‎OA'＝8‎ ‎∴D（8，0）或（0，8）‎ 综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 10:03:07；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎