北师大版九年级上册数学期中测试题及答案

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北师大版九年级上册数学期中测试题及答案

北师大版九年级上册数学期中测试题及答案 ‎(考试时间:120分钟   满分:120分)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共18分)‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎1.方程(x-2)2=9的解是( C )‎ A.x=5 B.x=-1‎ C.x=-1或x=5 D.x=-5或x=1‎ ‎2.班上数学兴趣小组的同学在元旦时,互赠新年贺卡,每两个同学都相互赠送一张,小明统计出全组共互送了90张贺年卡,那么数学兴趣小组的人数是多少?设数学兴趣小组人数为x人,则可列方程为( A )‎ A.x(x-1)=90 B.x(x-1)=2×90‎ C.x(x-1)=90÷2 D.x(x+1)=90‎ ‎3.在盒子里放有三张分别写有整式a+1,a+2,2的卡片,从中随机抽取两张卡片,把两张卡片上的整式分别作为分子和分母,则能组成分式的概率是( B )‎ A. B. C. D. ‎4.若关于x的方程x2+x-a+=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( C )‎ A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<2‎ ‎5.如图,已知在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥AB交BC于点E.若AD=8 cm,则OE的长为( B )‎ A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm ‎ ‎ 第5题图       第6题图 ‎6.如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60°,则花坛对角线AC的长等于( A )‎ A.6 米 B.6米 C.3 米 D.3米 8‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共102分)‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎7.已知一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根为x1,x2,则(x1-1)(x2-1)的值是 -4 .‎ ‎8.一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球,2个黄球,1个红球,现添加同种型号的1个球,使得从中随机抽取1个球,这三种颜色的球被抽到的概率都是,那么添加的球是 红球 .‎ ‎9.如图,阴影部分表示的四边形是__正方形 .‎ ‎ ‎ 第9题图       第11题图 ‎10.某种商品零售价经过两次降价后,每件的价格由原来的800元降为现在的578元,则平均每次降价的百分率为__15%__.‎ ‎11.如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合.若BC=,则折痕CE的长为__2__.‎ ‎12.已知直角三角形两边x,y满足|x2-9|+=0,则第三边长为__5或__.‎ 三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)‎ ‎13.(1)解方程x(2x-4)=5-8x.‎ 解:去括号,得2x2-4x=5-8x,‎ 移项,得2x2+4x=5,二次项系数化为1,得x2+2x=,‎ 配方,得x2+2x+1=+1,即(x+1)2=,‎ 两边开平方,得x+1=±,‎ ‎∴x1=-1+,x2=-1-.‎ ‎(2)已知:直角三角形的周长为2+,斜边上的中线长为1,试求这个直角三角形的面积.‎ 8‎ 解:设两条直角边分别为a,b,根据题意,得 故2ab=6-4=2,‎ 即ab=,所以直角三角形的面积为.‎ ‎14.关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)请选择一个k的负整数值,并求出方程的根.‎ 解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,‎ ‎∴(-3)2-4(-k)> 0,‎ 即4k> -9,解得k> -.‎ ‎(2)若k是负整数,k只能为-1或-2.‎ 如果k=-1,原方程为x2-3x+1=0,‎ 解得x1=,x2=.‎ ‎(如果k=-2,原方程为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2)‎ ‎15.如图,在菱形ABCD中,E是AB上一点,DE交对角线AC于F.试说明:∠FBC=∠AED.‎ 解:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴BC=DC,∠DCA=∠BCA,‎ ‎∴△DCF≌△BCF,∴∠FBC=∠CDF.‎ ‎∵CD∥AB,∴∠CDF=∠AED,‎ ‎∴∠FBC=∠AED.‎ 8‎ ‎16.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律,请回答:‎ ‎(1)商场日销售量增加__2x__件,每件商品盈利__(50-x)__元(用含的代数式表示); ‎ ‎(2)在上述条件不变、销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2 100元?‎ 解:由题意得(50-x)(30+2x)=2 100,‎ 化简得x2-35x+300=0,解得x1=15,x2=20.‎ ‎∵该商场为了尽快减少库存,则x=15不合题意,舍去.‎ ‎∴x=20.即每件商品降价20元,商场日盈利可达2 100元.‎ ‎17.如图,菱形ABCD中,分别延长DC,BC至点E,F,使CE=CD,CF=CB,连接DB,BE,EF,FD.求证:四边形DBEF是矩形.‎ 证明:∵CE=CD,CF=CB,‎ ‎∴四边形DBEF是平行四边形.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴CD=CB,∴CE=CF,∴BF=DE,‎ ‎∴四边形DBEF是矩形.‎ 四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎18.已知α,β是关于x的方程mx2+2x-3=0的两个实数根.‎ ‎(1)求m的取值范围;‎ ‎(2)取一个适当的m值,求2α-3αβ+2β的值.‎ 解:(1)由题意得Δ≥ 0,且m≠0.‎ ‎∴22-4m× (-3)≥ 0,∴m≥ -且m≠0.‎ 8‎ ‎(2)取m=1,则方程为x2+2x-3=0,‎ ‎∴α+β=-2,α β=-3.‎ ‎∴2α-3α β+2β=2(α+β)-3α β=2× (-2)-3× (-3)=5.‎ ‎19.(连云港中考)小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.‎ ‎(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?‎ ‎(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?请说明理由.‎ 解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x) cm.‎ 由题意得x2+(10-x)2=58.解得x1=3,x2=7.‎ 则这两个正方形的周长分别为4× 3=12 cm,4× 7=28 cm.‎ 所以小林应把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段;‎ ‎(2)小峰的说法是对的.‎ 假设能围成,由(1)得x2+(10-x)2=48.‎ 化简得x2-10x+26=0.‎ ‎∵(-10)2-4× 1× 26=-4< 0,‎ ‎∴此方程没有实数根,即围成的两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.所以小峰的说法是对的.‎ ‎20.如图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EC的长.‎ 解:∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴DC=AB=8,AD=BC=10,‎ 8‎ ‎∠B=∠D=∠C=90°.‎ ‎∵折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,‎ ‎∴AF=AD=10,DE=EF.‎ 在Rt△ABF中,BF===6,‎ ‎∴FC=BC-BF=4.‎ 设EC=x,则DE=8-x,EF=8-x.‎ 在Rt△EFC中,∵EC2+FC2=EF2,‎ ‎∴x2+42=(8-x)2,解得x=3.‎ ‎∴EC的长为3 cm.‎ 五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎21.(玉林、崇左、梧州中考)在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b,c(除颜色外其他均相同),用画树状图法(或列表法)解答下列问题:‎ ‎(1)小丽第一次从袋子中摸出一个球不放回,第二次又从袋子中摸出一个球,则小丽两次都摸到白球的概率是多少?‎ ‎(2)小强第一次从袋子中摸出一个球,摸到黑球不放回,摸到白球放回;第二次又从袋子中摸出一个球,则小强两次都摸到白球的概率是多少?‎ 解:(1)‎ 所有可能结果共有6种,两次都摸出白球的结果共有2种,‎ ‎∴两次都摸到白球的概率是P1==.‎ ‎(2)‎ 所有可能结果共有8种,两次都摸出白球的结果共有4种,‎ ‎∴两次都摸到白球的概率是P2==.‎ ‎22.如图,▱ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且AE=CF.‎ ‎(1)求证:△ADE≌△CBF;‎ 8‎ ‎(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.‎ 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD=BC,∠A=∠C.‎ ‎∵在△ADE和△CBF中, ‎∴△ADE≌△CBF(SAS);‎ ‎(2)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,AB=CD.‎ ‎∵AE=CF,∴EB=DF,‎ ‎∴四边形DEBF是平行四边形,‎ 又∵DF=FB,∴四边形DEBF为菱形.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23.操作与探究:如图①,在正方形ABCD中,AB=2,将一块足够大的三角板的直角顶点P放在正方形的中心O处,将三角板绕O点旋转,三角板的两直角边分别交边AB,BC于点E,F.‎ ‎(1)试猜想PE,PF之间的大小关系,并证明你的结论;‎ ‎(2)求四边形PEBF的面积;‎ ‎(3)如图②,现将直角顶点P移至对角线BD上其他任意一点,PE,PF之间的大小关系是否改变?并说明理由.‎ 解:(1)PE=PF.证明如下:‎ 如图①.作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N.‎ 8‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴BD平分∠ABC.∴PM=PN.‎ 在四边形BEPF中,‎ ‎∵∠EBF=∠EPF=90°,∴∠PFB+∠PEB=180°.‎ 又∵∠PEB+∠PEM=180°,∴∠PFB=∠PEM.‎ 在Rt△PEM和Rt△PFN中, ‎∴Rt△PEM≌Rt△PFN(AAS).∴PE=PF.‎ ‎(2)由(1)知四边形PEBF的面积等于正方形PMBN的面积.‎ ‎∵BO=OD,OM∥AD,∴BM=AM=1.‎ ‎∴S四边形PEBF=1.‎ ‎(3)不会改变.‎ 理由:如图②,作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,∴BD平分∠ABC.∴PM=PN.‎ 在四边形BEPF中,∵∠EBF=∠EPF=90°,‎ ‎∴∠PFB+∠PEB=180°.‎ 又∵∠PEB+∠PEM=180°,∴∠PFB=∠PEM.‎ 在Rt△PEM和Rt△PFN中, ‎∴Rt△PEM≌Rt△PFN(AAS),‎ ‎∴PE=PF.‎ 8‎
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