北师大版九年级上册数学期中测试题及答案

北师大版九年级上册数学期中测试题及答案

北师大版九年级上册数学期中测试题及答案 ‎(考试时间：120分钟　　　满分：120分)‎ 第Ⅰ卷(选择题　共18分)‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎1．方程(x－2)2＝9的解是(　C　)‎ A．x＝5 B．x＝－1‎ C．x＝－1或x＝5 D．x＝－5或x＝1‎ ‎2．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为(　A　)‎ A．x(x－1)＝90 B．x(x－1)＝2×90‎ C．x(x－1)＝90÷2 D．x(x＋1)＝90‎ ‎3．在盒子里放有三张分别写有整式a＋1，a＋2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是(　B　)‎ A. B. C. D. ‎4．若关于x的方程x2＋x－a＋＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(　C　)‎ A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2‎ ‎5．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E.若AD＝8 cm，则OE的长为(　B　)‎ A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm ‎ ‎ 第5题图　　 　　　　第6题图 ‎6．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于(　A　)‎ A．6 米 B．6米 C．3 米 D．3米 8‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共102分)‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是 －4 .‎ ‎8．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是 红球 ．‎ ‎9．如图，阴影部分表示的四边形是__正方形 ．‎ ‎ ‎ 第9题图　　　　　　 第11题图 ‎10．某种商品零售价经过两次降价后，每件的价格由原来的800元降为现在的578元，则平均每次降价的百分率为__15%__.‎ ‎11．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合．若BC＝，则折痕CE的长为__2__.‎ ‎12．已知直角三角形两边x，y满足|x2－9|＋＝0，则第三边长为__5或__.‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．(1)解方程x(2x－4)＝5－8x.‎ 解：去括号，得2x2－4x＝5－8x，‎ 移项，得2x2＋4x＝5，二次项系数化为1，得x2＋2x＝，‎ 配方，得x2＋2x＋1＝＋1，即(x＋1)2＝，‎ 两边开平方，得x＋1＝±，‎ ‎∴x1＝－1＋，x2＝－1－.‎ ‎(2)已知：直角三角形的周长为2＋，斜边上的中线长为1，试求这个直角三角形的面积．‎ 8‎ 解：设两条直角边分别为a，b，根据题意，得 故2ab＝6－4＝2，‎ 即ab＝，所以直角三角形的面积为.‎ ‎14．关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．‎ 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴(－3)2－4(－k)＞ 0，‎ 即4k＞ －9，解得k＞ －.‎ ‎(2)若k是负整数，k只能为－1或－2.‎ 如果k＝－1，原方程为x2－3x＋1＝0，‎ 解得x1＝，x2＝.‎ ‎(如果k＝－2，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2)‎ ‎15．如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，DE交对角线AC于F.试说明：∠FBC＝∠AED.‎ 解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴BC＝DC，∠DCA＝∠BCA，‎ ‎∴△DCF≌△BCF，∴∠FBC＝∠CDF.‎ ‎∵CD∥AB，∴∠CDF＝∠AED，‎ ‎∴∠FBC＝∠AED.‎ 8‎ ‎16．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：‎ ‎(1)商场日销售量增加__2x__件，每件商品盈利__(50－x)__元(用含的代数式表示); ‎ ‎(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？‎ 解：由题意得(50－x)(30＋2x)＝2 100，‎ 化简得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.‎ ‎∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去．‎ ‎∴x＝20.即每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．‎ ‎17．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD.求证：四边形DBEF是矩形．‎ 证明：∵CE＝CD，CF＝CB，‎ ‎∴四边形DBEF是平行四边形．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴CD＝CB，∴CE＝CF，∴BF＝DE，‎ ‎∴四边形DBEF是矩形．‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．已知α，β是关于x的方程mx2＋2x－3＝0的两个实数根．‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎(2)取一个适当的m值，求2α－3αβ＋2β的值．‎ 解：(1)由题意得Δ≥ 0，且m≠0.‎ ‎∴22－4m× (－3)≥ 0，∴m≥ －且m≠0.‎ 8‎ ‎(2)取m＝1，则方程为x2＋2x－3＝0，‎ ‎∴α＋β＝－2，α β＝－3.‎ ‎∴2α－3α β＋2β＝2(α＋β)－3α β＝2× (－2)－3× (－3)＝5.‎ ‎19．(连云港中考)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．‎ ‎(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？‎ ‎(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．‎ 解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm.‎ 由题意得x2＋(10－x)2＝58.解得x1＝3，x2＝7.‎ 则这两个正方形的周长分别为4× 3＝12 cm，4× 7＝28 cm.‎ 所以小林应把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；‎ ‎(2)小峰的说法是对的．‎ 假设能围成，由(1)得x2＋(10－x)2＝48.‎ 化简得x2－10x＋26＝0.‎ ‎∵(－10)2－4× 1× 26＝－4＜ 0，‎ ‎∴此方程没有实数根，即围成的两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.所以小峰的说法是对的．‎ ‎20．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．‎ 解：∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，‎ 8‎ ‎∠B＝∠D＝∠C＝90°.‎ ‎∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，‎ ‎∴AF＝AD＝10，DE＝EF.‎ 在Rt△ABF中，BF＝＝＝6，‎ ‎∴FC＝BC－BF＝4.‎ 设EC＝x，则DE＝8－x，EF＝8－x.‎ 在Rt△EFC中，∵EC2＋FC2＝EF2，‎ ‎∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.‎ ‎∴EC的长为3 cm.‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．(玉林、崇左、梧州中考)在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b，c(除颜色外其他均相同)，用画树状图法(或列表法)解答下列问题：‎ ‎(1)小丽第一次从袋子中摸出一个球不放回，第二次又从袋子中摸出一个球，则小丽两次都摸到白球的概率是多少？‎ ‎(2)小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，则小强两次都摸到白球的概率是多少？‎ 解：(1)‎ 所有可能结果共有6种，两次都摸出白球的结果共有2种，‎ ‎∴两次都摸到白球的概率是P1＝＝.‎ ‎(2)‎ 所有可能结果共有8种，两次都摸出白球的结果共有4种，‎ ‎∴两次都摸到白球的概率是P2＝＝.‎ ‎22．如图，▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.‎ ‎(1)求证：△ADE≌△CBF；‎ 8‎ ‎(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．‎ 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，∠A＝∠C.‎ ‎∵在△ADE和△CBF中， ‎∴△ADE≌△CBF(SAS)；‎ ‎(2)∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB＝CD.‎ ‎∵AE＝CF，∴EB＝DF，‎ ‎∴四边形DEBF是平行四边形，‎ 又∵DF＝FB，∴四边形DEBF为菱形．‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．操作与探究：如图①，在正方形ABCD中，AB＝2，将一块足够大的三角板的直角顶点P放在正方形的中心O处，将三角板绕O点旋转，三角板的两直角边分别交边AB，BC于点E，F.‎ ‎(1)试猜想PE，PF之间的大小关系，并证明你的结论；‎ ‎(2)求四边形PEBF的面积；‎ ‎(3)如图②，现将直角顶点P移至对角线BD上其他任意一点，PE，PF之间的大小关系是否改变？并说明理由．‎ 解：(1)PE＝PF.证明如下：‎ 如图①.作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N.‎ 8‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BD平分∠ABC.∴PM＝PN.‎ 在四边形BEPF中，‎ ‎∵∠EBF＝∠EPF＝90°，∴∠PFB＋∠PEB＝180°.‎ 又∵∠PEB＋∠PEM＝180°，∴∠PFB＝∠PEM.‎ 在Rt△PEM和Rt△PFN中， ‎∴Rt△PEM≌Rt△PFN(AAS)．∴PE＝PF.‎ ‎(2)由(1)知四边形PEBF的面积等于正方形PMBN的面积．‎ ‎∵BO＝OD，OM∥AD，∴BM＝AM＝1.‎ ‎∴S四边形PEBF＝1.‎ ‎(3)不会改变．‎ 理由：如图②，作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC.∴PM＝PN.‎ 在四边形BEPF中，∵∠EBF＝∠EPF＝90°，‎ ‎∴∠PFB＋∠PEB＝180°.‎ 又∵∠PEB＋∠PEM＝180°，∴∠PFB＝∠PEM.‎ 在Rt△PEM和Rt△PFN中， ‎∴Rt△PEM≌Rt△PFN(AAS)，‎ ‎∴PE＝PF.‎ 8‎