2011年海淀区初三数学一模试题及答案

2011年海淀区初三数学一模试题及答案

海淀区九年级第二学期期中练习 ‎ 数 学 2011.5‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．-2的相反数是 ‎ A． B. C. -2 D. 2‎ ‎2．据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路，总投资约82 000 000 000元．‎ 将82 000 000 000 用科学计数法表示为 A． B． C． D． ‎ ‎3．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的可能是 ‎ ‎ ‎4. 一个布袋中有1个红球，3个黄球，4个蓝球，它们除颜色外完全相同. 从袋中随机取出一个球，取到黄球的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎5. 用配方法把代数式变形，所得结果是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 如图，中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、DC 的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是 ‎ A．20 B．22 ‎ ‎ C．29 D．31‎ ‎7．有20名同学参加“英语拼词”比赛，他们的成绩各不相同，按成绩取前10名参加复赛. 若小新知道了自己的成绩，则由其他19名同学的成绩得到的下列统计量中，可判断小新能否进入复赛的是 ‎ A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差 ‎ ‎8．如图，在中，∠C=90°，AB=‎5cm，BC=‎3cm，动点P从点A 出发，‎ 以每秒‎1cm的速度，沿ABC的方向运动，到达点C时停止.设,‎ 运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是 ‎ 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．若分式 有意义，则x的取值范围是 .‎ ‎10. 分解因式: = . ‎ ‎11. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，‎ CH=‎1cm，则AB= cm．‎ ‎12．如图，矩形纸片中，.第一次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与 交于点；设的中点为，第二次将纸片折叠使 点与点重合，折痕与交于点；设的中点 为，第三次将纸片折叠使点与点重合，折痕与 交于点，… .按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与 交于点，则= ，= ．‎ ‎…‎ ‎ ‎ 第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠 …‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．计算：． ‎ ‎14．解不等式组： ‎ ‎15．如图，点C、D 在线段AB上，E、F在AB同侧，‎ DE与CF相交于点O，且AC=BD， CO=DO，.‎ 求证：AE=BF.‎ ‎16．已知是方程的一个实数根，求代数式的值.‎ ‎ ‎ ‎17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（2，1），B（-1，）两点.‎ ‎（1）求k和b的值； ‎ ‎（2）结合图象直接写出不等式的解集.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 积分兑换礼品表 兑换礼品 积分 电茶壶一个 ‎7000分 保温杯一个 ‎2000分 牙膏一支 ‎500分 ‎ 18．列方程或方程组解应用题：‎ ‎“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑 换方法见右表. 爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里 积有8200 分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种 礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种 礼品，各多少件?‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠ADC=105°，AD=6，且AC⊥AB，求AB的长．‎ ‎20. 如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上， CF⊥OC，且CF=BF.‎ ‎（1）证明BF是⊙O的切线;‎ ‎（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小.‎ ‎ ‎ ‎21．为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查. 问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）. ‎ ‎（1）请根据所给的扇形图和条形图，填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整；‎ ‎（2）在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率； ‎ ‎（3）如果该学校有500名学生，请你估计该学校中最喜欢体育运动的学生约有多少名？‎ ‎22．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C 重合），记△DEF的周长为.‎ ‎（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则=_______；‎ ‎（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则的取值范围是 .‎ 小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将以AC边为轴翻折一次得，再将以为轴翻折一次得，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，，根据两点之间线段最短，可得. 老师听了后说：“你的想法很好，但的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．已知关于的方程.‎ ‎（1）求证：方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；‎ ‎（3）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M，求的值.‎ ‎24．已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线与直线的一个公共点为. ‎ ‎（1）求此抛物线和直线的解析式；‎ ‎（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；‎ ‎（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.‎ ‎25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.‎ ‎（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设，则k = ；‎ ‎（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．‎ 求证：BE-DE=2CF；‎ ‎（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．‎ 海淀区九年级第二学期期中练习 数 学 参考答案及评分标准 2011.5‎ 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 ‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分） ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D B C B A C C A 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎2‎ 注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分 ‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．解：原式= …………………………….……………………………4分 ‎= 3. …………………………….……………………………5分 ‎14．解：解不等式，得 , …………………………….……………………………2分 解不等式，得 ,‎ 即 , …………………………….……………………………4分 ‎ 所以，这个不等式组的解集是. …………………………….……………………………5分 ‎15．证明：在△COD中,‎ ‎∵ CO=DO,‎ ‎∴ ∠ODC=∠OCD. …………………………….……………………………1分 ‎∵ AC=BD,‎ ‎∴ AD=BC. …………………………….……………………………2分 在△ADE和△BCF中, ‎ ‎∵‎ ‎∴ △ADE≌△BCF. …………………………….……………………………4分 ‎∴ AE=BF. …………………………….……………………………5分 ‎16．解：∵ 是方程的一个根，‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ，. …………………………….……………………………2分 ‎∴ 原式= …………………………….……………………………3分 ‎ = …………………………….……………………………4分 ‎ ==4. …………………………….……………………………5分 ‎17．解：（1）∵ 反比例函数的图象过点A（2，1），‎ ‎∴ m=2. …………………………….……………………………1分 ‎∵ 点B（-1，n）在反比例函数的图象上，‎ ‎∴ n = -2 .‎ ‎∴ 点B的坐标为（-1，-2）. …………………………….……………………………2分 ‎∵ 直线过点A（2，1），B（-1，-2），‎ ‎∴ ‎ 解得 …………………………….……………………………3分 ‎（2）或. （写对1个给1分） …………….……………………………5分 ‎18．解：因为积分卡中只有8200分，要兑换10件礼品，所以不能选择兑换电茶壶.‎ 设小华兑换了x个保温杯和y支牙膏， …………….……………………………1分 依题意，得 …………….……………………………3分 ‎ 解得 …………….……………………………4分 ‎ 答：小华兑换了2个保温杯和8支牙膏. …………….……………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠AED=∠DEC=90°. ………….……………………1分 ‎ ∵ AC⊥AB， ‎ ‎∴ ∠BAC=90°.‎ ‎ ∵ ∠B=60°, ‎ ‎∴ ∠ACB=30°.‎ ‎∵ AD∥BC， ‎ ‎∴ ∠DAC=∠ACB=30°. ………….……………………2分 ‎ ∴ 在Rt△ADE中，DE=AD=3，AE=，∠ADE=60°. ….………3分 ‎ ∵ ∠ADC=105°，‎ ‎∴ ∠EDC=45°.‎ ‎∴ 在Rt△CDE中， CE=DE=3. …………….……………………………4分 ‎ ∴ AC=AE+CE=.‎ ‎∴ 在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=. …….……………………5分 ‎20．证明：连接OF.‎ ‎（1） ∵ CF⊥OC,‎ ‎∴ ∠FCO=90°.‎ ‎∵ OC=OB，‎ ‎∴ ∠BCO=∠CBO.‎ ‎∵ FC=FB，‎ ‎∴ ∠FCB=∠FBC. …………………………..1分 ‎∴ ∠BCO+∠FCB =∠CBO+∠FBC.‎ 即 ∠FBO=∠FCO=90°.‎ ‎∴ OB⊥BF.‎ ‎∵ OB是⊙O的半径,‎ ‎∴ BF是⊙O的切线. …………………………..2分 ‎ ‎ ‎（2） ∵ ∠FBO=∠FCO=90°，‎ ‎∴ ∠MCF+∠ACO =90°，∠M+∠A =90°.‎ ‎∵ OA=OC，‎ ‎∴ ∠ACO=∠A.‎ ‎∴ ∠FCM=∠M. ……………………………………3分 易证△ACB∽△ABM,‎ ‎∴ .‎ ‎∵ AB=4，MC=6，‎ ‎∴ AC=2. ………………………………………………..4分 ‎∴ AM=8，BM==.‎ ‎∴cos∠MC F = cosM ==. ‎ ‎∴ ∠MCF=30°. ………………………………………………..5分 ‎21.（1）‎ ‎…………………………….……………………………2分 ‎（2）易知选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人.记选择音乐类的4人分别是小丁；选择美术类的3人分别是小李.可画出树状图如下：‎ 由树状图可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是. .…………………………….……………………………4分 ‎ 或列表：‎ 小丁 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 小丁，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 小丁，‎ 小李 ‎，小李 ‎，小李 ‎，小李 小丁，小李 由表可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是. .…………………………….……………………………4分 ‎（3）由（1）可知问卷中最喜欢体育运动的的学生占40%，得 ‎ ‎ 所以该年级中最喜欢体育运动的学生约有200名. …………….……………………………5分 ‎22． 解：（1）; .…………………………….……………………………2分 ‎（2）. .…………………………….……………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎ 23．证明：（1），‎ 所以方程总有两个实数根. .…………………………….……………………………2分 解：（2）由（1），根据求根公式可知,‎ ‎ 方程的两根为：‎ 即：，,‎ ‎ 由题意，有，即. ……………………….……………………………5分 ‎（3）易知，抛物线与y轴交点为M（0，）,由（2）可知抛物线与x轴的 交点为（1,0）和（,0），它们关于直线的对称点分别为（0,）和（0, ），‎ 由题意，可得：‎ 或，即或. ……….……………………………7分 ‎24．解：（1）由题意，可得及，解得，‎ 所以，抛物线的解析式为，直线的解析式为. …………………………2分 ‎ （2）设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，则 ‎ ‎ ‎ 所以，当时，的长度取得最大值为4. ………………………………4分 ‎（3）易知点M的坐标为（1，-1）.过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形.直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到，所以直线MN的方程为.因为点M在直线上，解得b =3,即直线MN的方程为，将其代入，可得 ‎ ‎ 即 ‎ 解得 ，‎ 易得 ，‎ 所以，直线MN与抛物线的交点N的坐标为（3,3）. …………5分 如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，‎ 显然四边形MNHG是平行四边形.可得点G（1,2），H（3,6）.‎ 所以，梯形AOMN的面积. ……………………7分 ‎25． 解：（1）k=1； ……………………….……………………………2分 ‎（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q. ‎ 由题意，tan∠BAC=，‎ ‎∴ .‎ ‎∵ D、E、B三点共线，‎ ‎∴ AE⊥DB.‎ ‎∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,‎ ‎∴ ∠QBC=∠EAQ.‎ ‎∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，‎ ‎∴ ∠ECA=∠BCG. ‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ GB=DE.‎ ‎∵ F是BD中点，‎ ‎∴ F是EG中点.‎ 在中，,‎ ‎∴ . .…………………………….……………………………5分 ‎（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，‎ ‎∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6,‎ ‎∴AC=12，AB=.‎ ‎∵M为AB中点，∴CM=,‎ ‎∵AD=，‎ ‎∴AD=.‎ ‎∵M为AB中点，F为BD中点，‎ ‎∴FM== 2.‎ ‎∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=.‎ ‎.…………………………….……………………………6分 情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，‎ 连结MF和CM，‎ 类似于情况1，可知CF的最大值为. ‎ ‎………….……………………………7分 综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的 三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.‎ ‎ ‎ ‎.…………………………….……………………………8分