2019年辽宁省大连市中考数学试卷

2019年辽宁省大连市中考数学试卷

2019 年辽宁省大连市中考数学试卷 一、选择题（本题共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项正确） 1．（3 分）﹣2 的绝对值是（　　） A．2 B． C．﹣ D．﹣2 2．（3 分）如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3 分）2019 年 6 月 5 日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术 试验，该火箭重 58000kg，将数 58000 用科学记数法表示为（　　） A．58×103 B．5.8×103 C．0.58×105 D．5.8x104 4．（3 分）在平面直角坐标系中，将点 P（3，1）向下平移 2 个单位长度，得到的点 P′的 坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，3） C．（1，1） D．（5，1） 5．（3 分）不等式 5x+1≥3x﹣1 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3 分）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形 7．（3 分）计算（﹣2a）3 的结果是（　　） A．﹣8a3 B．﹣6a3 C．6a3 D．8a3 8．（3 分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小 球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 9．（3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，若 AB＝4，BC ＝8．则 D′F 的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．2 10．（3 分）如图，抛物线 y＝﹣ x2+ x+2 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C， 点 D 在抛物线上，且 CD∥AB．AD 与 y 轴相交于点 E，过点 E 的直线 PQ 平行于 x 轴， 与拋物线相交于 P，Q 两点，则线段 PQ 的长为　 　． 二、填空题（本题共 6 小题，每小題分，共 18 分） 11．（3 分）如图 AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝　 　°． 12．（3 分）某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数是　 　． 13．（3 分）如图，△ABC 是等边三角形，延长 BC 到点 D，使 CD＝AC，连接 AD．若 AB ＝2，则 AD 的长为　 　． 14．（3 分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一 小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶 加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛（斛，音 hu，是古代的一种容量单位）．1 个大桶加上 5 个 小桶可以盛酒 2 斛，问 1 个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设 1 个大桶可以盛 酒 x 斛，1 个小桶可以盛酒 y 斛，根据题意，可列方程组为　 　． 15．（3 分）如图，建筑物 C 上有一杆 AB．从与 BC 相距 10m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰 角为 53°，观测旗杆底部 B 的仰角为 45°，则旗杆 AB 的高度约为　 　m（结果取整 数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）． 16．（3 分）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的 A，B 两处同时 出发，都以不变的速度相向而行，图 1 是甲离开 A 处后行走的路程 y（单位：m）与行走 时 x（单位：min）的函数图象，图 2 是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时 间 x（单位；min）的函数图象，则 a﹣b＝　 　． 三、解答题（本题共 4 小题，17、18、19 题各 9 分，20 题 12 分，共 39 分） 17．（9 分）计算：（ ﹣2）2+ +6 18．（9 分）计算： ÷ + 19．（9 分）如图，点 E，F 在 BC 上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE． 20．（12 分）某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况，随机选取该年级部分男生 进行测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分． 成绩等级 频数（人） 频率 优秀 15 0.3 良好 及格 不及格 5 根据以上信息，解答下列问题 （1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数为　 　人，成绩等级为“及格” 的男生人数占被测试男生总人数的百分比为　 　%； （2）被测试男生的总人数为　 　人，成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男 生总人数的百分比为　 　%； （3）若该校八年级共有 180 名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生成绩等级为“ 良好”的学生人数． 四、解答题（本共 3 小，其中 21、22 题各分，23 题 10 分，共 28 分） 21．（9 分）某村 2016 年的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收入为 24200 元 （1）求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2019 年村该村的人均收入是多少元？ 22．（9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，2）在反比例函数 y＝ （x＞0） 的图象上，点 B 在 OA 的廷长线上，BC⊥x 轴，垂足为 C，BC 与反比例函数的图象相交 于点 D，连接 AC，AD． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若 S△ACD＝ ，设点 C 的坐标为（a，0），求线段 BD 的长． 23．（10 分）如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，过点 A 的切线与 CD 的延长线相交于点 P．且∠APC＝∠BCP （1）求证：∠BAC＝2∠ACD； （2）过图 1 中的点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E（如图 2），当 BC＝6，AE＝2 时，求⊙O 的半径． 五、解答题（本题共 3 小题，其中 24 题 11 分，25、26 題各 12 分，共 35 分） 24．（11 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴，y 轴分别相交于 点 A，B，点 C 在射线 BO 上，点 D 在射线 BA 上，且 BD＝ OC，以 CO，CD 为邻边作 ▱COED．设点 C 的坐标为（0，m），▱COED 在 x 轴下方部分的面积为 S．求： （1）线段 AB 的长； （2）S 关于 m 的函数解析式，并直接写出自变量 m 的取值范围． 25．（12 分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题 数学课上，老师出示了这样一道题：如图 1，△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D、E 在 BC 上，AD＝AB，AB＝kBD（其中 ＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC 的平分线与 BC 相交于点 F，BG⊥AF，垂足为 G，探究线段 BG 与 AC 的数量关系，并证明．同学们 经过思考后，交流了自已的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠BAE 与∠DAC 相等．” 小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 BG 与 AC 的数量关系． ” …… 老师：“保留原题条件，延长图 1 中的 BG，与 AC 相交于点 H（如图 2），可以求出 的值．” （1）求证：∠BAE＝∠DAC； （2）探究线段 BG 与 AC 的数量关系（用含 k 的代数式表示），并证明； （3）直接写出 的值（用含 k 的代数式表示）． 26．（12 分）把函数 C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点 P（m，0）旋转 180°，得 到新函数 C2 的图象，我们称 C2 是 C1 关于点 P 的相关函数．C2 的图象的对称轴与 x 轴 交点坐标为（t，0）． （1）填空：t 的值为　 　（用含 m 的代数式表示） （2）若 a＝﹣1，当 ≤x≤t 时，函数 C 1 的最大值为 y1，最小值为 y2，且 y1﹣y2＝1， 求 C2 的解析式； （3）当 m＝0 时，C2 的图象与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧）．与 y 轴相 交于点 D．把线段 AD 原点 O 逆时针旋转 90°，得到它的对应线段 A′D′，若线 A′D ′与 C2 的图象有公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围． 2019 年辽宁省大连市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项正确） 1．（3 分）﹣2 的绝对值是（　　） A．2 B． C．﹣ D．﹣2 【考点】15：绝对值．菁优网版权所有 【分析】根据绝对值是实数轴上的点到原点的距离，可得答案． 【解答】解：﹣2 的绝对值是 2． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数； 0 的绝对值等于 0． 2．（3 分）如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：左视图有 3 列，每列小正方形数目分别为 2，1，1． 故选：B． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．（3 分）2019 年 6 月 5 日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术 试验，该火箭重 58000kg，将数 58000 用科学记数法表示为（　　） A．58×103 B．5.8×103 C．0.58×105 D．5.8x104 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 ．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将数 58000 用科学记数法表示为 5.8×104． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3 分）在平面直角坐标系中，将点 P（3，1）向下平移 2 个单位长度，得到的点 P′的 坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，3） C． （1，1） D．（5，1） 【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有 【分析】根据向下平移，横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解． 【解答】解：将点 P（3，1）向下平移 2 个单位长度，得到的点 P′的坐标为（3，1﹣2） ，即（3，﹣1）， 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加， 左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 5．（3 分）不等式 5x+1≥3x﹣1 的解集在数轴上表示正确的是（　　）[来源:学,科,网 Z,X,X,K] A． B． C． D． 【考点】C4：在数轴 上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式．菁优网版权所有 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：5x+1≥3x﹣1， 移项得 5x﹣3x≥﹣1﹣1， 合并同类项得 2x≥﹣2， 系数化为 1 得，x≥﹣1， 在数轴上表示为： 故选：B． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出 来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一 段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几 个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空 心圆点表示． 6．（3 分）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形 【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．菁优网版权所有 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合． 7．（3 分）计算（﹣2a）3 的结果是（　　） A．﹣8a3 B．﹣6a3 C．6a3 D．8a3 【考点】47：幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 【分析】利用积的乘方的性质求解即可求得答案． 【解答】解：（﹣2a）3＝﹣8a3； 故选：A． 【点评】此题考查了积的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的 关键． 8．（3 分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小 球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占 总数的几分之几即可． 【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下： ∴P 两次都是红球＝ ． 故选：D． 【点评】考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出 现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别． 9．（3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，若 AB＝4，BC ＝8．则 D′F 的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．2 【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 【分析】连接 AC 交 EF 于点 O，由矩形的性质得出 AD＝BC＝8，∠B＝90°，由勾股定 理得出 AC＝ ＝4 ，由折叠的性质得出 EF⊥AC，AO＝CO＝ AC＝2 ， 证出 Rt△FOA∽Rt△ADC，则 ＝ ，求出 AF＝5，即可得出结果． 【解答】解：连接 AC 交 EF 于点 O，如图所示： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90°， AC＝ ＝ ＝4 ， ∵折叠矩形使 C 与 A 重合时，EF⊥AC，AO＝CO＝ AC＝2 ， ∴∠AOF＝∠D＝90°，∠OAF＝∠DAC， ∴则 Rt△FOA∽Rt△ADC， ∴ ＝ ，即： ＝ ， 解得：AF＝5， ∴ D′F＝DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等 知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形相似是解题的关键． 10．（3 分）如图，抛物线 y＝﹣ x2+ x+2 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C， 点 D 在抛物线上，且 CD∥AB．AD 与 y 轴相交于点 E，过点 E 的直线 PQ 平行于 x 轴， 与拋物线相交于 P，Q 两点，则线段 PQ 的长为　2 　． 【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与 x 轴的交点．菁优网版权所有 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A，B，C，D 的坐标，由点 A，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线 AD 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征 可求出点 E 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 P，Q 的坐标，进而 可求出线段 PQ 的长． 【解答】解：当 y＝0 时，﹣ x2+ x+2＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， ∴点 A 的坐标为（﹣2，0）； 当 x＝0 时，y＝﹣ x2+ x+2＝2， ∴点 C 的坐标为（0，2）； 当 y＝2 时，﹣ x2+ x+2＝2， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴点 D 的坐标为（2，2）． 设直线 AD 的解析式为 y＝kx+b（k≠0）， 将 A（﹣2，0），D（2，2）代入 y＝kx+b，得： ，解得： ， ∴直线 AD 的解析式为 y＝ x+1． 当 x＝0 时，y＝ x+1＝1， ∴点 E 的坐标为（0，1）． 当 y＝1 时，﹣ x2+ x+2＝1， 解得：x1＝1﹣ ，x2＝1+ ， ∴点 P 的坐标为（1﹣ ，1），点 Q 的坐标为（1+ ，1）， ∴PQ＝1+ ﹣（1﹣ ）＝2 ． 故答案为 ：2 ． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法 求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特 征求出点 P，Q 的坐标是解题的关键． 二、填空题（本 题共 6 小题，每小題分，共 18 分） 11．（3 分）如图 AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝　130　°． 【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有 【分析】首先根据平行线的性质可得∠B＝∠C＝50°，再根据 BC∥DE 可根据两直线平 行，同旁内角互补可得答案． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C＝50°， ∵BC∥DE， ∴∠C+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 两直 线平行，内错角相等． 12．（3 分）某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数是　25　． 【考点】W5：众数．菁优网版权所有 【分析】根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数． 【解答】解：观察条形统计图知：为 25 岁的最多，有 8 人， 故众数为 25 岁， 故答案为：25． 【点评】考查了众数的定义及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂条形统计图及 了解众数的定义，难度较小． 13．（3 分）如图，△ABC 是等边三角形，延长 BC 到点 D，使 CD＝AC，连接 AD．若 AB ＝2，则 AD 的长为　2 　． 【考点】KK：等边三角形的性质；KO：含 30 度角的直角三角形．菁优网版权所有 【分析】AB＝AC＝BC＝CD，即可求出∠BAD＝90°，∠D＝30°，解直角三角形即可 求得． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵CD＝AC， ∴∠CAD＝∠D， ∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°， ∴∠CAD＝∠D＝30°， ∴∠BAD＝90°， ∴AD＝ ＝ ＝2 ． 故答案为 2 ． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得△ ABD 是含 30°角的直角三角形是解题的关键． 14．（3 分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一 小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶 加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛（斛，音 hu，是古代的一种容量单位）．1 个大桶加上 5 个 小桶可以盛酒 2 斛，问 1 个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设 1 个大桶可以盛 酒 x 斛，1 个小桶可以盛酒 y 斛，根据题意，可列方程组为　 　． 【考点】1O：数学常识；99：由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有 【分析】设 1 个大桶可以盛酒 x 斛，1 个小桶可以盛酒 y 斛，根据“5 个大桶加上 1 个小 桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛”即可得出关于 x、y 的二元一次 方程组． 【解答】解：设 1 个大桶可以盛酒 x 斛，1 个小桶可以盛酒 y 斛， 根据题意得： ， 故答案为 ． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于 x、y 的 二元一次方程组是解题的关键． 15．（3 分）如图，建筑物 C 上有一杆 AB．从与 BC 相距 10m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰 角为 53°，观测旗杆底部 B 的仰角为 45°，则旗杆 AB 的高度约为　3　m（结果取整数 ，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）． 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 【分析】根据正切的定义分别求出 AC、BC，结合图形计算即可． 【解答】解：在 Rt△BCD 中，tan∠BDC＝ ， 则 BC＝CD•tan∠BDC＝10， 在 Rt△ACD 中，tan∠ADC＝ ， 则 AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3， ∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m）， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟 记锐角三角函数的定义是解题的关键． 16．（3 分）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的 A，B 两处同时 出发，都以不变的速度相向而行，图 1 是甲离开 A 处后行走的路程 y（单位：m）与行走 时 x（单位：min）的函数图象，图 2 是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时 间 x（单位；min）的函数图象，则 a﹣b＝　 　． 【考点】FH：一次函数的应用．菁优网版权所有 【分析】从图 1，可见甲的速度为 ＝60，从图 2 可以看出，当 x＝ 时，二人相遇， 即：（60+V 已）× ＝120，解得：已的速度 V已＝80，已的速度快，从图 2 看出已用了 b 分钟走完全程，甲用了 a 分钟走完全程，即可求解． 【解答】解：从图 1，可见甲的速度为 ＝60， 从图 2 可以看出，当 x＝ 时，二人相遇，即：（60+V 已）× ＝120，解得：已的速度 V 已＝80， ∵已的速度快，从图 2 看出已用了 b 分钟走完全程，甲用了 a 分钟走完全程， a﹣b＝ ＝ ， 故答案为 ． 【点评】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正 确利用待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程＝时间×速度． 三、解答题（本题共 4 小题，17、18、19 题各 9 分，20 题 12 分，共 39 分） 17．（9 分）计算：（ ﹣2）2+ +6 【考点】79：二次根式的混合运算．菁优网版权所有 【分析】直接利用完全平方公式以及结合二次根式的性质化简进而得出答案． 【解答】解：原式＝3+4﹣4 +2 +6× ＝3+4﹣4 +2 +2 ＝7． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 18．（9 分）计算： ÷ + 【考点】6C：分式的混合运算．菁优网版权所有 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简，进而利用分式的加减运算法则计算得出答 案； 【解答】解：原式＝ × ﹣ ＝ ﹣ ＝ ． 【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简是解题关键． 19．（9 分）如图，点 E，F 在 BC 上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】利用 SAS 定理证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即 BF＝CE， 在△ABF 和△DCE 中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS） ∴AF＝DE． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定 理是解题的关键． 20．（12 分）某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况，随机选取该年级部分男生 进行测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分． 成绩等级 频数（人） 频率 优秀 15 0.3 良好 及格 不及格 5 根据以上信息，解答下列问题 （1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数为　15　人，成绩等级为“及格” 的男生人数占被测试男生总人数的百分比为　90　%； （2）被测试男生的总人数为　50　人，成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生 总人数的百分比为　10　%； （3）若该校八年级共有 180 名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生成绩等级为“ 良好”的学生人数． 【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．菁优网版权所有 【分析】（1）由统计图表可知，成绩等级为“优秀”的男生人数为 15 人，被测试男生 总数 15÷0.3＝50（人）， 成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比： ； （2）被测试男生总数 15÷0.3＝50（人），成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试 男生总人数的百分比： ； （3）由（1）（2）可知，优秀 30%，及格 20%，不及格 10%，则良好 40%，该校八年 级男生成绩等级为“良好”的学生人数 180×40%＝72（人）． 【解答】解：（1）由统计图表可知，成绩等级为“优秀”的男生人数为 15 人， 被测试男生总数 15÷0.3＝50（人）， 成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比： ， 故答案为 15，90； （2）被测试男生总数 15÷0.3＝50（人）， 成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比： ， 故答案为 50，10； （3）由（1）（2）可知，优秀 30%，及格 20%，不及格 10%，则良好 40%， 该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数 180×40%＝72（人） 答：该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数 72 人． 【点评】本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键．表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 四、解答题（本共 3 小，其 中 21、22 题各分，23 题 10 分，共 28 分） 21．（9 分）某村 2016 年的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收入为 24200 元 （1）求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2019 年村该村的人均收入是多少元？ 【考点】AD：一元二次方程的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x，根据某村 2016 年 的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收入为 24200 元，即可得出关于 x 的一元二次方 程，解之取其较小值即可得出结论； （2）由 2019 年村该村的人均收入＝2018 年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即 可得出结论． 【解答】解：（1）设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x， 根据题意得：20000（1+x）2＝24200， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）． 答：2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10%． （2）24200×（1+10%）＝26620（元）． 答：预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列 出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 22．（9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，2）在反比例函数 y＝ （x＞0） 的图象上，点 B 在 OA 的廷长线上，BC⊥x 轴，垂足为 C，BC 与反比例函数的图象相交 于点 D，连接 AC，AD． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若 S△ACD＝ ，设点 C 的坐标为（a，0），求线段 BD 的长． 【考点】G5：反比例函数系数 k 的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7 ：待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有 【分析】（1）把点 A（3，2）代入反比例函数 y＝ ，即可求出函数解析式； （2）直线 OA 的关系式可求，由于点 C（a，0），可以表示点 B、D 的坐标，根据 S△ACD ＝ ，建立方程可以解出 a 的值，进而求出 BD 的长． 【解答】解：（1）∵点 A（3，2）在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上， ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数 y＝ ； 答：反比例函数的关系式为：y＝ ； （2）过点 A 作 AE⊥OC，垂足为 E，连接 AC， 设直线 OA 的关系式为 y＝kx，将 A（3，2）代入得，k＝ ， ∴直线 OA 的关系式为 y＝ x， ∵点 C（a，0），把 x＝a 代入 y＝ x，得：y＝ a，把 x＝a 代入 y＝ ，得：y＝ ， ∴B（a， ），即 BC═ a， D（a， ），即 CD＝ ∵S△ACD＝ ， ∴ CD•EC＝ ，即 ， 解得：a＝6， ∴BD＝BC﹣CD＝ ＝3； 答：线段 BD 的长为 3． 【点评】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为 线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． 23．（10 分）如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，过点 A 的切线与 CD 的延长线相交于点 P．且∠APC＝∠BCP （1）求证：∠BAC＝2∠ACD； （2）过图 1 中的点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E（如图 2），当 BC＝6，AE＝2 时，求⊙O 的半径． 【考点】M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质；MC：切线的性质．菁优网版权所有 【分析】（1）作 DF⊥BC 于 F，连接 DB，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据圆 周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到 DB＝DC，根据线段垂直平分 线的性质、圆周角定理证明即可；[来源:学.科.网] （2）根据垂径定理求出 FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到 DE＝FC ＝3，根据射影定理计算即可． 【解答】（1）证明：作 DF⊥BC 于 F，连接 DB， ∵AP 是⊙O 的切线， ∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°， ∴∠P＝∠DAC＝∠DBC， ∵∠APC＝∠BCP， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴DB＝DC， ∵DF⊥BC， ∴DF 是 BC 的垂直平分线， ∴DF 经过点 O， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠BDC＝2∠ODC， ∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD； （2）解：∵DF 经过点 O，DF⊥BC， ∴FC＝ BC＝3， 在△DEC 和△CFD 中， ， ∴△DEC≌△CFD（AAS） ∴DE＝FC＝3， ∵∠ADC＝90°，DE⊥AC， ∴DE2＝AE•EC， 则 EC＝ ＝ ， ∴AC＝2+ ＝ ， ∴⊙O 的半径为 ． 【点评】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理， 掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 五、解答题（本题共 3 小题，其中 24 题 11 分，25、26 題各 12 分，共 35 分） 24．（11 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴，y 轴分别相交于 点 A，B，点 C 在射线 BO 上，点 D 在射线 BA 上，且 BD＝ OC，以 CO，CD 为邻边作 ▱COED．设点 C 的坐标为（0，m），▱COED 在 x 轴下方部分的面积为 S．求： （1）线段 AB 的长； （2）S 关于 m 的函数解析式，并直接写出自变量 m 的取值范围 ． 【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有 【分析】（1）由直线 y＝﹣ x+3 与令 x＝0，或 y＝0，分别求出对应的 y、x 的值，从而 确定 A、B 两点的坐标； （2）分两种情况进行分别探究，①当 ＜m≤3 时，②当 0＜m≤ 时，分别画出相应的 图象，根据三角形相似，求出相应的边的长用含有 m 的代数式表示，再表示面积，从而 确定在不同情况下 S 与 m 的函数解析式． 【解答】解：（1）当 x＝0 时，y＝3， 当 y＝0 时，x＝4， ∴直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴点交 A（4，0），与 y 轴交点 B（0，3） ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝ ， 因此：线段 AB 的长为 5． （2）当 CD∥OA 时，如图， ∵BD＝ OC，OC＝m， ∴BD＝ m，[来源:Z_xx_k.Com] 由△BCD∽△BOA 得： ，即： ，解得：m＝ ； ①当 ＜m≤3 时，如图 1 所示：过点 D 作 DF⊥OB，垂足为 F， 此时在 x 轴下方的三角形与△CDF 全等， ∵△BDF∽△BAO， ∴ ， ∴DF＝ ，同理：BF＝m， ∴CF＝2m﹣3， ∴S△CDF＝ ＝ （2m﹣3）× ＝ m2﹣2m， 即：S＝ m2﹣2m，（ ＜m≤3） ②当 0＜m≤ 时，如图 2 所示：DE＝m≤ ，此时点 E 在△AOB 的内部， S＝0 （0＜m≤ ）； 答：S 与 m 的函数关系式为：S＝ m2﹣2m，（ ＜m≤3）或 S＝0 （0＜m≤ ）． 【点评】考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质，全等三角形等知识，分类讨论， 分别探究在不同情况下，存在的不同函数解析式，根据不同情况，画出相应的图形，再 利用所学的知识探究出不同函数解析式． 25．（12 分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题 数学课上，老师出示了这样一道题：如图 1，△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D、E 在 BC 上，AD＝AB，AB＝kBD（其中 ＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC 的平分线与 BC 相交于点 F，BG⊥AF，垂足为 G，探究线段 BG 与 AC 的数量关系，并证明．同学们 经过思考后，交流了自已的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠BAE 与∠DAC 相等．” 小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 BG 与 AC 的数量关系． ” …… 老师：“保留原题条件，延长图 1 中的 BG，与 AC 相交于点 H（如图 2），可以求出 的值．” （1）求证：∠BAE＝∠DAC； （2）探究线段 BG 与 AC 的数量关系（用含 k 的代数式表示），并证明； （3）直接写出 的值（用含 k 的代数式表示）． 【考点】SO：相似形综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）利用三角形的外角性质可求解； （2）由直角三角形的性质和角平分线的性质可得 AF＝FC，AF＝BF，通过证明△ABG∽ △BCA 和△ABF∽△BAD，利用相似三角形的性质可求解； （3）通过证明△ABH∽△ACB，可得 AB2＝AC×AH，设 BD＝m，AB＝km，由勾股定理 可求 AC 的长，可求 AH，HC 的长，即可求解． 【解答】证明：（1）∵AB＝AD ∴∠ABD＝∠ADB ∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠B AE ∴∠BAE＝∠DAC （2）设∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β ∴∠ABC＝∠ADB＝α+β ∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC ∴∠EAC＝2β ∵AF 平分∠EAC ∴∠FAC＝∠EAF＝β ∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β ∴AF＝FC，AF＝BF ∴AF＝ BC＝BF ∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90° ∴△ABG∽△BCA ∴ ∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB ∴△ABF∽△BAD ∴ ，且 AB＝kBD，AF＝ BC＝BF ∴k＝ ，即 ∴ （3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BA C＝∠AGB＝90° ∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC ∴△ABH∽△ACB ∴ ∴AB2＝AC×AH 设 BD＝m，AB＝km， ∵ ∴BC＝2k2m ∴AC＝ ＝km ∴AB2＝AC×AH （km）2＝km ×AH ∴AH＝ ∴HC＝AC﹣AH＝km ﹣ ＝ ∴ 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质， 灵活运用相似三角形的判定是本题的关键． 26．（12 分）把函数 C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点 P（m，0）旋转 180°，得 到新函数 C2 的图象，我们称 C2 是 C1 关于点 P 的相关函数．C2 的图象的对称轴与 x 轴 交点坐标为（t，0）． （1）填空：t 的值为　2m﹣1　（用含 m 的代数式表示） （2）若 a＝﹣1，当 ≤x≤t 时，函数 C 1 的最大值为 y1，最小值为 y2，且 y1﹣y2＝1， 求 C2 的解析式； （3）当 m＝0 时，C2 的图象与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧）．与 y 轴相 交于点 D．把线段 AD 原点 O 逆时针旋转 90°，得到它的对应线段 A′D′，若线 A′D ′与 C2 的图象有公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点 P（m， 0）旋转 180°的对称点为（2m﹣1，4a），即可求解； （2）分 t＜1、1≤t 、t 三种情况，分别求解； （3）分 a＞0、a＜0 两种情况，分别求解． 【解答】解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， 顶点（1，﹣4a）围绕点 P（m，0）旋转 180°的对称点为（2m﹣1，4a）， C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1， t＝2m﹣1， 故答案为：2m﹣1； （2）a＝﹣1 时， C1：y＝（x﹣1）2﹣4， ①当 t＜1 时， x＝ 时，有最小值 y2＝ ， x＝t 时，有最大值 y1＝﹣（t﹣1）2+4， 则 y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣ ＝1，无解； ②1≤t 时， x＝1 时，有最大值 y1＝4， x＝ 时，有最小值 y2＝﹣（t﹣1）2+4， y1﹣y2＝ ≠1（舍去）； ③当 t 时， x＝1 时，有最大值 y1＝4， x＝t 时，有最小值 y2＝﹣（t﹣1）2+4， y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1， 解得：t＝0 或 2（舍去 0）， 故 C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x； （3）m＝0， C2：y＝﹣a（x+1）2+4a， 点 A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣ 3a，0）， 当 a＞0 时，a 越大，则 OD 越大，则点 D′越靠左， 当 C2 过点 A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝ ， 当 C2 过点 D′时，同理可得：a＝1， 故：0＜a 或 a≥1； 当 a＜0 时， 当 C2 过点 D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣ ， 故：a≤﹣ ； 综上，故：0＜a 或 a≥1 或 a≤﹣ ． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转等，其中（2） （3），要注意分类求解，避免遗漏． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/29 11:42:42；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509