北师大版数学九年级上册同步课件-1第一章-1 矩形的性质与判定

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北师大版数学九年级上册同步课件-1第一章-1 矩形的性质与判定

第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 1.理解并掌握矩形的判定方法.(重点) 2.能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题. (难点) 学习目标 问题: 什么是矩形?矩形有哪些性质? A B CD O 矩形:有一个角是直角的平行四边形. 矩形性质:①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分. 矩形判定的定理及其证明 活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的 顶点时, 注意观察两条对角线的长度. 问题1:我们会看到对角线会随着∠α变化而变化,当两条对角线 长度相等时,平行四边形有什么特征? α 1 已知:如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证:□ABCD是矩形. 证明:∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形(矩形的定义). A B CD 定理:对角线相等的平行四边形是矩形. 活动2: 李芳同学通过画“边-直角、边-直角、边-直角、边” 这样四步画出一个四边形. ① ② ③ ④ 问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形?你认为她的 判断正确吗?如果正确,你能证明吗? 已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 定理:有三个角是直角的四边形是矩形. 如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO 是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA= OC,OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形, ∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. A B C D O 定理的应用2 例1 ∴□ABCD是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形). ∴∠ABC=90°(矩形的四个角都是直角) . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB2 + BC2 =AC2 , ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = 3448 2222  ABAC 34 .316 A B C D O 如图,在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点,以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC. (1)求证:△ADC≌△ECD; (2)若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形. 证明:(1)∵△ABC是等腰三角形, ∴∠B=∠ACB. 又∵四边形ABDE是平行四边形, ∴∠B=∠EDC,AB=DE, ∴∠ACB=∠EDC, ∴△ADC≌△ECD. A D C E B 例2 (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, ∴四边形ADCE是平行四边形. 而∠ADC=90°, ∴四边形ADCE是矩形. A D C E B 1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、 CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的角 平分线,则四边形ABCD是( ) A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M N Q PA B C C 2.如图,O是菱形ABCD对角线的交点,作BE∥AC,CE∥BD, BE、CE交于点E,四边形CEBO是矩形吗?说出你的理由. D A B C EO 解:四边形CEBO是矩形. 理由如下:已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵BE∥AC,CE∥BD, ∴四边形CEBO是平行四边形. ∴四边形CEBO是矩形(矩形的定义). 有一个角是直角的平行四边形是矩形 定理1:对角线相等的平行四边形是矩形 定理2:有三个角是直角的四边形是矩形 矩形的判定 定义 定理 运用定理进行计算和证明
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