2021年中考数学专题复习 专题38 反比例函数问题（教师版含解析）

2021年中考数学专题复习 专题38 反比例函数问题（教师版含解析）

专题 38 反比例函数 1．反比例函数：形如 y＝ x k (k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。其他形式 xy=k、 1 kxy 。 2．图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对 称轴：直线 y=x 和 y=-x。对称中心是：原点。它的图像与 x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无 限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3．性质:(1)当 k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y值随 x值的增大而减小； (2)当 k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y值随 x值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 5．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数 x ky  中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标， 即可求出 k的值，从而确定其解析式。 【例题 1】(2020•德州)函数 y 和 y＝﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题． 【解析】在函数 y 和 y＝﹣kx+2(k≠0)中， 当 k＞0时，函数 y 的图象在第一、三象限，函数 y＝﹣kx+2 的图象在第一、二、四象限，故选项 A、B 错误，选项 D正确， 当 k＜0时，函数 y 的图象在第二、四象限，函数 y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项 C错误， 【对点练习】(2019广西贺州)已知 0ab  ，一次函数 y ax b  与反比例函数 ay x  在同一直角坐标系中的图 象可能 ( ) 【答案】A 【解析】若反比例函数 ay x  经过第一、三象限，则 0a  ．所以 0b  ．则一次函数 y ax b  的图象应该经 过第一、二、三象限； 若反比例函数 ay x  经过第二、四象限，则 0a  ．所以 0b  ．则一次函数 y ax b  的图象应该经过第二、 三、四象限．故选项 A正确。 【例题 2】(2020•天津)若点 A(x1，﹣5)，B(x2，2)，C(x3，5)都在反比例函数 y 的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是( ) A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2 【答案】C 【分析】将点 A(x1，﹣5)，B(x2，2)，C(x3，5)分别代入反比例函数 y ，求得 x1，x2，x3的值后，再来比 较一下它们的大小． 【解析】∵点 A(x1，﹣5)，B(x2，2)，C(x3，5)都在反比例函数 y 的图象上， ∴﹣5 ，即 x1＝﹣2， 2 ，即 x2＝5； 5 ，即 x3＝2， ∵﹣2＜2＜5， ∴x1＜x3＜x2 【对点练习】(2020湖北黄石模拟)已知反比例函数 by x  (b为常数)，当 x 0 时， y随 x的增大 而增大，则一次函数 y x b  的图像不经过第几象限( ) A.一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B。 【解析】∵反比例函数 by x  (b为常数)，当 x＞0时，y随 x的增大而增大，∴b＜0。 ∵一次函数 y=x+b中 k=1＞0，b＜0，∴此函数的图象经过一、三、四限。 ∴此函数的图象不经过第二象限。故选 B。 【点拨】一次函数图象与系数的关系，反比例函数的性质。 【例题 3】(2020 贵州黔西南)如图，在菱形 ABOC 中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y＝ k x (k≠0)的图象上，则反比例函数的解析式为( ) A. y＝ 3 3 x  B. y＝ 3 x  C. y＝ 3 x  D. y＝ 3 x 【答案】B 【解析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点 C 的坐标，从而可以求得 k 的值，进而求得 反比例函数的解析式． 解：因为在菱形 ABOC 中，∠A＝60°，菱形边长为 2，所以 OC＝2，∠COB＝60°． 如答图，过点 C 作 CD⊥OB 于点 D， 则 OD＝OC·cos∠COB＝2×cos60°＝2× 1 2 ＝1，CD＝OC·sin∠COB＝2×sin60°＝2× 3 2 ＝ 3． 因为点 C 在第二象限，所以点 C 的坐标为(－1， 3 )． 因为顶点 C 在反比例函数 y═ k x 的图象上，所以 3＝ 1 k  ，得 k＝ 3 ， 所以反比例函数的解析式为 y＝ 3 x  ， 因此本题选 B． 【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点 C 的坐标． 【对点练习】(2020 湖北荆门模拟)如图，点 A 是反比例函数 2y= x (x＞0)的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比 例函数 3y= x  的图象于点 B，以 AB 为边作▱ABCD，其中 C、D在 x 轴上，则 S□ABCD为( ) A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】D 【解析】考点有反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。 设 A的纵坐标是 a，则 B的纵坐标也是 a． 把 y=a 代入 2y= x 得， 2a= x ，则 2x= a ，即 A 的横坐标是 2 a ； 同理可得：B 的横坐标是： 3 a  。 ∴AB= 2 3 5= a a a       。∴S□ABCD= 5 a ×a=5。故选 D。 【例题 4】(2020•重庆)如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的对角线 AC的中点与坐标原点重合，点 E 是 x轴上一点，连接 AE．若 AD平分∠OAE，反比例函数 y (k＞0，x＞0)的图象经过 AE上的两点 A，F， 且 AF＝EF，△ABE的面积为 18，则 k的值为______。 【答案】12 【分析】如图，连接 BD，OF，过点 A作 AN⊥OE于 N，过点 F作 FM⊥OE于 M．证明 BD∥AE，推出 S△ ABE＝S△AOE＝18，推出 S△EOF S△AOE＝9，可得 S△FME S△EOF＝3，由此即可解决问题． 【解析】如图，连接 BD，OF，过点 A作 AN⊥OE于 N，过点 F作 FM⊥OE于 M． ∵AN∥FM，AF＝FE， ∴MN＝ME， ∴FM AN， ∵A，F在反比例函数的图象上， ∴S△AON＝S△FOM ， ∴ •ON•AN •OM•FM， ∴ON OM， ∴ON＝MN＝EM， ∴ME OE， ∴S△FME S△FOE， ∵AD平分∠OAE， ∴∠OAD＝∠EAD， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE， ∴AE∥BD，∴S△ABE＝S△AOE，∴S△AOE＝18， ∵AF＝EF，∴S△EOF S△AOE＝9，∴S△FME S△EOF＝3， ∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6 ， ∴k＝12． 【对点练习】(2019湖南郴州)如图，点 A，C分别是正比例函数 y＝x的图象与反比例函数 y 的图象的交 点，过 A点作 AD⊥x轴于点 D，过 C点作 CB⊥x轴于点 B，则四边形 ABCD的面积为 ． 【答案】8 【解析】∵A、C是两函数图象的交点， ∴A、C关于原点对称， ∵CD⊥x轴，AB⊥x轴， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD， 又∵反比例函数 y 的图象上， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD 4＝2， ∴S 四边形 ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8 【例题 5】(2020•甘孜州)如图，一次函数 y x+1 的图象与反比例函数 y 的图象相交于 A(2，m)和 B两 点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点 B的坐标． 【答案】见解析。 【分析】(1)将点 A坐标代入一次函数解析式可求 m的值，再将点 A坐标代入反比例函数解析式，可求解； (2)联立方程组可求解． 【解析】(1)∵一次函数 y x+1的图象过点 A(2，m)， ∴m 2+1＝2， ∴点 A(2，2)， ∵反比例函数 y 的图象经过点 A(2，2)， ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数的解析式为：y ； (2)联立方程组可得： 쳌 ， 解得： 香 香 或 ， ∴点 B(﹣4，﹣1)． 【对点练习】(2019吉林省)已知 y是 x的反比例函数，并且当 x=2时，y=6, （1）求 y关于 x的函数解析式； （2）当 x=4时，求 y的值 【答案】见解析。 【解析】将 x=2时，y=6代入解析式即可求出待定系数，即可求出解析式； 当 x=4时，代入解析式，可求出 y的值 (1)∵y是 x的反比例函数， ∴设 y= x k (k≠0)， ∵当 x=2时，y=6, ∴k=xy=12, ∴y= x 12 (2)当 x=4时， 代入 y= x 12 得， y= 3 4 12  一、选择题 1．(2020•武汉)若点 A(a﹣1，y1)，B(a+1，y2)在反比例函数 y (k＜0)的图象上，且 y1＞y2，则 a的取值范 围是( ) A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或 a＞1 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点(a﹣1，y1)、(a+1，y2)在图象的同一支上时， ②当点(a﹣1，y1)、(a+1，y2)在图象的两支上时． 【解析】∵k＜0， ∴在图象的每一支上，y随 x的增大而增大， ①当点(a﹣1，y1)、(a+1，y2)在图象的同一支上， ∵y1＞y2， ∴a﹣1＞a+1， 此不等式无解； ②当点(a﹣1，y1)、(a+1，y2)在图象的两支上， ∵y1＞y2， ∴a﹣1＜0，a+1＞0， 解得：﹣1＜a＜1， 2．(2020•河南)若点 A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数 y香 的图象上，则 y1，y2，y3的大小关 系是( ) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论． 【解析】∵点 A(﹣1，y1)、B(2，y2)、C(3，y3)在反比例函数 y香 的图象上， ∴y1香 香 6，y2香 香3，y3香 香2， 又∵﹣3＜﹣2＜6， ∴y1＞y3＞y2． 3．(2020•苏州)如图，平行四边形 OABC的顶点 A在 x轴的正半轴上，点 D(3，2)在对角线 OB上，反比例 函数 y (k＞0，x＞0)的图象经过 C、D两点．已知平行四边形 OABC的面积是 ，则点 B的坐标为( ) A．(4， ) B．( ，3) C．(5， ) D．( ， ) 【答案】B 【分析】求出反比例函数 y ，设 OB的解析式为 y＝mx+b，由 OB经过点 O(0，0)、D(3，2)，得出 OB的 解析式为 y x，设 C(a， )，且 a＞0，由平行四边形的性质得 BC∥OA，S 平行四边形OABC＝2S△OBC，则 B( ， )，BC 香a，代入面积公式即可得出结果． 【解析】∵反比例函数 y (k＞0，x＞0)的图象经过点 D(3，2)， ∴2 ， ∴k＝6， ∴反比例函数 y ， 设 OB的解析式为 y＝mx+b， ∵OB经过点 O(0，0)、D(3，2)， ∴ ㄱ 쳌 ㄱ， 解得： ㄱ ， ∴OB的解析式为 y x， ∵反比例函数 y 经过点 C， ∴设 C(a， )，且 a＞0， ∵四边形 OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，S 平行四边形OABC＝2S△OBC， ∴点 B的纵坐标为 ， ∵OB的解析式为 y x， ∴B( ， )， ∴BC 香a， ∴S△OBC ( 香a)， ∴2× ( 香a) ， 解得：a＝2， ∴B( ，3)， 故选：B． 4.(2020•长沙)2019年 10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花 开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司 承担了运送总量为 106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 v(单位：m3/天)与完成运送任务 所需时间 t(单位：天)之间的函数关系式是( ) A．v B．v＝106t C．v t 2 D．v＝106t2 【答案】A 【分析】按照运送土石方总量＝平均运送土石方的速度 v×完成运送任务所需时间 t，列出等式，然后变形 得出 v关于 t 的函数，观察选项可得答案． 【解析】∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度 v×完成运送任务所需时间 t， ∴106＝vt， ∴v 5. (2019贵州省毕节市)若点 A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数 y＝﹣ 1 x 的图象上，则 y1、y2、 y3的大小关系是( ) A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 【答案】C． 【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论． ∵点 A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数 y＝﹣ 1 x 的图象上， ∴y1＝﹣ 1 4 ＝ 1 4 ，y2＝﹣ 1 2 ＝ 1 2 ，y3＝﹣ 1 2 ，又∵﹣ 1 2 ＜ 1 4 ＜ 1 2 ，∴y3＜y1＜y2．故选：C． 6.(2019安徽)已知点 A(1，﹣3)关于 x轴的对称点 A'在反比例函数 y＝ 的图象上，则实数 k的值为( ) A．3 B． C．﹣3 D．﹣ 【答案】A 【解析】先根据关于 x轴对称的点的坐标特征确定 A'的坐标为(1，3)，然后把 A′的坐标代入 y＝ 中即可得 到 k的值． 点 A(1，﹣3)关于 x轴的对称点 A'的坐标为(1，3)， 把 A′(1，3)代入 y＝ 得 k＝1×3＝3． 故选：A． 7.(2019山东枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC的顶点 A.B分别在 x轴、y轴的正半轴 上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点 C在函数 y＝ (x＞0)的图象上，若 AB＝1，则 k的值为( ) A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据题意可以求得 OA和 AC的长，从而可以求得点 C的坐标，进而求得 k的值，本题得以解决． ∵等腰直角三角形 ABC的顶点 A.B分别在 x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1， ∴∠BAC＝∠BAO＝45°， ∴OA＝OB＝ ，AC＝ ， ∴点 C的坐标为( ， )， ∵点 C在函数 y＝ (x＞0)的图象上， ∴k＝ ＝1 故选：A． 8.(2019四川泸州)如图，一次函数 y1＝ax+b和反比例函数 y2 的图象相交于 A，B两点，则使 y1＞y2成立 的 x取值范围是( ) A．﹣2＜x＜0或 0＜x＜4 B．x＜﹣2或 0＜x＜4 C．x＜﹣2或 x＞4 D．﹣2＜x＜0或 x＞4 【答案】B 【解析】观察函数图象可发现：当 x＜﹣2或 0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴使 y1＞ y2成立的 x取值范围是 x＜﹣2或 0＜x＜4．故选：B． 二、填空题 9．(2020•安顺)如图，点 A是反比例函数 y 图象上任意一点，过点 A分别作 x轴，y轴的垂线，垂足为 B， C，则四边形 OBAC的面积为 ． 【答案】3 【分析】根据反比例函数 y 的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形 OQMP的面积． 【解析】∵过点 A分别作 x轴，y轴的垂线，垂足为 B，C， ∴AB×AC＝|k|＝3， 则四边形 OBAC的面积为：3． 10．(2020•泰州)如图，点 P在反比例函数 y 的图象上，且横坐标为 1，过点 P作两条坐标轴的平行线， 与反比例函数 y (k＜0)的图象相交于点 A、B，则直线 AB与 x轴所夹锐角的正切值为 ． 【答案】3 【分析】点 P在反比例函数 y 的图象上，且横坐标为 1，则点 P(1，3)，则点 A、B的坐标分别为(1，k)， ( k，3)，即可求解． 【解析】点 P在反比例函数 y 的图象上，且横坐标为 1，则点 P(1，3)， 则点 A、B的坐标分别为(1，k)，( k，3)， 设直线 AB的表达式为：y＝mx+t，将点 A、B的坐标代入上式得 쳌 香 쳌 ，解得 m＝﹣3， 故直线 AB与 x轴所夹锐角的正切值为 3。 11．(2020•哈尔滨)已知反比例函数 y 的图象经过点(﹣3，4)，则 k的值为 ． 【答案】-12 【分析】把(﹣3，4)代入函数解析式 y 即可求 k的值． 【解析】∵反比例函数 y 的图象经过点(﹣3，4)， ∴k＝﹣3×4＝﹣12 12.(2019北京市)在平面直角坐标系 xOy中，点 A  a b，  0 0a b ， 在双曲线 1ky x  上．点 A关于 x轴的 对称点 B在双曲线 2ky x  上，则 1 2k k 的值为_______. 【答案】0 【解析】关于 x轴对称的点的坐标特点、双曲线 ky x  上点的坐标与 k的关系. ∵A、B两点关于 x轴对称， ∴B点的坐标为  ,a b . 又∵A  a b， 、B  ,a b 两点分别在又曲线 1ky x  和 2ky x  上； ∴ 1 2,ab k ab k   . ∴ 1 2 0k k  ；故填 0. 13.(2019贵州省毕节市) 如图，在平面直角坐标中，一次函数 y＝﹣4x+4的图象与 x轴、y轴分别交于 A、B 两点．正方形 ABCD的顶点 C、D在第一象限，顶点 D在反比例函数 y＝ k x (k≠0)的图象上．若正方形 ABCD 向左平移 n个单位后，顶点 C恰好落在反比例函数的图象上，则 n的值是 ． 【答案】3. 【解析】过点 D作 DE⊥x轴过点 C作 CF⊥y轴，可证△ABO≌△DAE(AAS)，△CBF≌△BAO(AAS)，则可 求 D(5，1)，C(4，5)，确定函数解析式 y＝ 5 x ，C向左移动 n个单位后为(4﹣n，5)，进而求 n的值； 过点 D作 DE⊥x轴，过点 C作 CF⊥y轴， ∵AB⊥AD， ∴∠BAO＝∠DAE， ∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA， ∴△ABO≌△DAE(AAS)， ∴AE＝BO，DE＝OA， 易求 A(1，0)，B(0，4)， ∴D(5，1)， ∵顶点 D在反比例函数 y＝ k x 上， ∴k＝5， ∴y＝ 5 x ， 易证△CBF≌△BAO(AAS)， ∴CF＝4，BF＝1， ∴C(4，5)， ∵C向左移动 n个单位后为(4﹣n，5)， ∴5(4﹣n)＝5， ∴n＝3， 故答案为 3； 14.(2019湖北孝感)如图，双曲线 y (x＞0)经过矩形 OABC的顶点 B，双曲线 y (x＞0)交 AB，BC于点 E、 F，且与矩形的对角线 OB交于点 D，连接 EF．若 OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为 ． 【答案】 【解析】设 D(2m，2n)， ∵OD：OB＝2：3， ∴A(3m，0)，C(0，3n)， ∴B(3m，3n)， ∵双曲线 y (x＞0)经过矩形 OABC的顶点 B， ∴9＝3m•3n， ∴mn＝1， ∵双曲线 y (x＞0)经过点 D， ∴k＝4mn ∴双曲线 y 䁣 (x＞0)， ∴E(3m， n)，F( m，3n)， ∴BE＝3n− n n，BF＝3m− m m， ∴S△BEF BE•BF mn 故答案为 ． 三、解答题 15. (2020 湖北宜昌模拟)蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I(A)是电阻 R(Ω)的反比例函数，其图象 如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当 R=10Ω时，电流能是 4A 吗？为什么？ 【答案】(1)I= 36 R 。(2)(2)∵当 R=10Ω时，I=3.6≠4，∴电流不可能是 4A。 【解析】根据)电流 I(A)是电阻 R(Ω)的反比例函数，设出 I= k R (k≠0)后把(4，9)代入求得 k 值即可。将 R=10Ω 代入上题求得的函数关系式后求得电流的值与 4 比较即可。 (1)∵电流 I(A)是电阻 R(Ω)的反比例函数，∴设 I= k R (k≠0)。 把(4，9)代入得：k=4×9=36。 ∴这个反比例函数的表达式 I= 36 R 。 (2)∵当 R=10Ω时，I=3.6≠4，∴电流不可能是 4A。 16. (2020湖北咸宁模拟)如图，一次函数 1y kx b  的图象与反比例函数 2 my (x 0) x   的图象交于 A(1，6)， B( a，2)两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出 1y ≥ 2y 时 x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为 1y 2x 8   ， 2 6y x  。(2)1≤ x ≤3。 【解析】(1)∵点 A(1，6)，B(a，2)在 2 my (x 0) x   的图象上， ∴ m 6 1  ，得m 6 。∴反比例函数的解析式为 2 6y x  。 ∴ m 2 a  ， ma 3 2   。∴B(3，2)。 ∵点 A(1，6)，B(3，2)在函数 1y kx b  的图象上， ∴ k b 6 3k b 2      ，解得 k 2 b 8     。 ∴一次函数的解析式为 1y 2x 8   。 (2)由 A、B两点横坐标可知 1≤ x ≤3。 【点拨】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。 (1)先把 A(1，6)代入反比例函数的解析式求出 m的值，从而可得出反比例函数的解析式，再把 B(a，2)代入 反比例函数的解析式即可求出 a的值，把点 A(1，6)，B(3，2)代入函数 y1=kx+b 即可求出 k、b的值，进而 得出一次函数的解析式。 (2)根据函数图象可知，当 x在 A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由 A、 B两点的横坐标即可求出 x的取值范围。 17．(2020•襄阳)如图，反比例函数 y1 (x＞0)和一次函数 y2＝kx+b的图象都经过点 A(1，4)和点 B(n，2)． (1)m＝ ，n＝ ； (2)求一次函数的解析式，并直接写出 y1＜y2时 x的取值范围； (3)若点 P是反比例函数 y1 (x＞0)的图象上一点，过点 P作 PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为 ． 【答案】见解析。 【分析】(1)把 A的坐标代入反比例函数的解析式求出 m，得出反比例函数的解析式，把 B的坐标代入反比 例函数的解析式，能求出 n，即可得出 B的坐标； (2)分别把 A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式； 根据图象求得 y1＜y2时 x的取值范围； (3)根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得． 【解析】(1)∵把 A(1，4)代入 y1 (x＞0)得：m＝1×4＝4， ∴y ， ∵把 B(n，2)代入 y 得：2 䁣， 解得 n＝2； 故答案为 4，2； (2)把 A(1，4)、B(2，2)代入 y2＝kx+b得： 쳌 ㄱ 쳌 ㄱ ， 解得：k＝﹣2，b＝6， 即一次函数的解析式是 y＝﹣2x+6． 由图象可知：y1＜y2时 x的取值范围是 1＜x＜2； (3)∵点 P是反比例函数 y1 (x＞0)的图象上一点，过点 P作 PM⊥x轴，垂足为 M， ∴S△POM |m| 2， 故答案为 2． 18．(2020•连云港)如图，在平面直角坐标系 xOy中，反比例函数 y (x＞0)的图象经过点 A(4， )，点 B 在 y轴的负半轴上，AB交 x轴于点 C，C为线段 AB的中点． (1)m＝ ，点 C的坐标为 ； (2)若点 D为线段 AB上的一个动点，过点 D作 DE∥y轴，交反比例函数图象于点 E，求△ODE面积的最大 值． 【答案】见解析。 【分析】(1)根据待定系数法即可求得 m的值，根据 A点的坐标即可求得 C的坐标； (2)根据待定系数法求得直线 AB的解析式，设出 D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到 S△ODE香 (x ﹣1)2쳌 ，由二次函数的性质即可求得结论． 【解析】(1)∵反比例函数 y (x＞0)的图象经过点 A(4， )， ∴m × 6， ∵AB交 x轴于点 C，C为线段 AB的中点． ∴C(2，0)； 故答案为 6，(2，0)； (2)设直线 AB的解析式为 y＝kx+b， 把 A(4， )，C(2，0)代入得 쳌 ㄱ 쳌 ㄱ ，解得 ㄱ 香 ， ∴直线 AB的解析式为 y x香 ； ∵点 D为线段 AB上的一个动点， ∴设 D(x， x香 )(0＜x≤4)， ∵DE∥y轴， ∴E(x， )， ∴S△ODE x•( 香 x쳌 ) 香 x 2쳌 x+3香 (x﹣1)2쳌 ， ∴当 x＝1时，△ODE的面积的最大值为 ． 19．(2020•济宁)在△ABC中，BC边的长为 x，BC边上的高为 y，△ABC的面积为 2． (1)y关于 x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)将直线 y＝﹣x+3向上平移 a(a＞0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时 a的值． 【答案】见解析。 【分析】(1)根据三角形的面积公式即可得到结论； (2)根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可； (3)将直线 y＝﹣x+3向上平移 a(a＞0)个单位长度后解析式为 y＝﹣x+3+a，根据一元二次方程根的判别式即 可得到结论． 【解析】(1)∵在△ABC中，BC边的长为 x，BC边上的高为 y，△ABC的面积为 2， ∴ xy＝2， ∴xy＝4， ∴y关于 x的函数关系式是 y ， x的取值范围为 x＞0， 故答案为：y ，x＞0； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示； (3)将直线 y＝﹣x+3向上平移 a(a＞0)个单位长度后解析式为 y＝﹣x+3+a， 解 香 쳌 쳌 ，整理得，x2﹣(3+a)x+4＝0， ∵平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点， ∴△＝(3+a)2﹣16＝0， 解得 a＝1，a＝﹣7(不合题意舍去)， 故此时 a的值为 1． 20.(2019年广西柳州市)如图，直线 AB与 x轴交于点 A(1，0)，与 y轴交于点 B(0，2)，将线段 AB绕点 A顺 时针旋转 90°得到线段 AC，反比例函数 y＝ (k≠0，x＞0)的图象经过点 C． (1)求直线 AB和反比例函数 y＝ (k≠0，x＞0)的解析式； (2)已知点 P是反比例函数 y＝ (k≠0，x＞0)图象上的一个动点，求点 P到直线 AB距离最短时的坐标． 【答案】见解析。 【解析】将点 A(1，0)，点 B(0，2)，代入 y＝mx+b，可求直线解析式；过点 C作 CD⊥x轴，根据三角形 全等可求 C(3，1)，进而确定 k；设与 AB平行的直线 y＝﹣2x+h，联立﹣2x+b＝ ，当△＝b2﹣24＝0时， 点 P到直线 AB距离最短； (1)将点 A(1，0)，点 B(0，2)，代入 y＝mx+b， ∴b＝2，m＝﹣2， ∴y＝﹣2x+2； ∵过点 C作 CD⊥x轴， ∵线段 AB绕点 A顺时针旋转 90°得到线段 AC， ∴△ABO≌△CAD(AAS)， ∴AD＝AB＝2，CD＝OA＝1， ∴C(3，1)， ∴k＝3，∴y＝ ； (2)设与 AB平行的直线 y＝﹣2x+h， 联立﹣2x+b＝ ， ∴﹣2x2+bx﹣3＝0， 当△＝b2﹣24＝0时，b＝ ，此时点 P到直线 AB距离最短； ∴P( ， )；