沪科版九年级数学上册精品教案全套（共158页）第 21 章 二次函数与反比例函数 21.1 二次函数

沪科版九年级数学上册精品教案全套（共158页）第 21 章 二次函数与反比例函数 21.1 二次函数

1 第 21 章 二次函数与反比例函数 21.1 二次函数 【知识与技能】 认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式． 【过程与方法】 通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围. 【情感态度】 培养学生探索新知的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，主动地获取知识. 【教学重点】 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围. 【教学难点】 熟练地列出二次函数关系式. 一、情景导入，初步认知 1.什么叫函数？它有几种表示方法？ 2.什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有 k≠0 的条件？k 值对函数性质有什么影响？ 【教学说明】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函 数定义的理解.强调 k≠0 的条件，以便与二次函数中的 a 进行比较. 二、思考探究，获取新知 1.函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函 数和一次函数.看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系. 问题 1 某水产养殖户用长 40 米的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要 使围成的水面的面积最大，则它的边长应是多少米？ 设：围成的矩形的一边长为 x 米，那么，矩形水面的另一边长为（20-x)米，若面积是 Sm2,则有：S=x(20-x) 问题 2 有一玩具厂，如果安排装配工 15 人，那么每人每天可装配玩具 190 个，如果 2 增加人数，那么每增加 1 人，可使每人每天少装配玩具 10 个，问增加多少人才能使每天装 配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？ 设：增加 x 人，这时，共有（15+x)人，每人每天可少装配 10x 个玩具，因此，每人每 天只装配（190-10x)个，所以，增加人数后，每天装配玩具总数 y 可表示为：y=（190-10x) （15+x) 在问题 1 中函数的表达式可化简为： S=-x2+20x 在问题 2 中函数的表达式可化简为： y=-10x2+40x+2850 2.教师引导学生观察问题 1. 问题 1 中的函数关系式，提出以下问题让学生思考回答； （1）这两个函数关系式的自变量各有几个? （2）多项式-2x2＋20x 和-10x2＋40x＋2850 分别是几次多项式? （3）这两个函数关系式有什么共同特点? （4）你能结合一次函数的概念，给这种函数下个概念吗？ 【归纳结论】表达式形如 y=ax2＋bx＋c(a、b、c 是常数，a≠0)的函数叫做 x 的二次函 数，其中 x 是自变量.a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫做常数项. 3.想一想，在二次函数中自变量的取值范围有什么要求呢？说出问题 1、问题 2 中自变 量的取值范围. 【归纳结论】二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变 量的取值范围应使实际问题有意义.如问题 1 中，自变量 x 的取值范围为 0＜x＜20. 【教学说明】学生通过实际问题的分析，列出关系式，并观察、利用类比的思想总结出 二次函数的概念. 三、运用新知，深化理解 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( A ) 【分析】紧抓二次函数的概念. 3 2.m 取哪些值时，函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以 x 为自变量的二次函数？ 【分析】若函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，须满足的条件是：m2-m≠0. 解：若函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，则 m2-m≠0. 解得 m≠0 且 m≠1. 因此，当 m≠0 且 m≠1 时，函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数. 3.（1）写出正方体的表面积 S（cm2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积 y（cm2）与它的周长 x（cm）之间的函数关系； 【分析】（1）根据正方体表面积公式可得.（2）面积与半径有关，所以根据周长表示出 半径就可求出面积. 解：（1）S=6a2(a＞0). （2）y= 4 2x (x＞0). 4.正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余下 的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积 S（cm2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积. 解：（1）S2=152-4x2=225-4x2(0＜x＜ 2 15 )； （2）当 x=3cm 时，S=225-4×32=189（cm2）. 5.已知二次函数 y=x2+px+q,当 x=1 时，函数值是 4；当 x=2 时，函数值是-5.求这个二 次函数的解析式. 解：把 x=1，y=4；x=2,y=-5 分别代入 y=x2+px+q，得方程组 所以这个二次函数的表达式为 y=x2-12x+15 【教学说明】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次 函数，将理论知识应用到实践操作中. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充. 4 布置作业:教材“习题 21.1”中第 1、2、5 题. 本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二 次函数.通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单 的函数关系式，总体效果良好！ 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第 1 课时 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质 【知识与技能】 1.使学生能利用描点法正确作出函数 y＝x2＋2 与 y＝x2-2 的图象. 2.理解二次函数 y＝ax2＋k 的性质及它与函数 y＝ax2 的关系. 【过程与方法】 让学生经历二次函数 y＝ax2＋k 性质探究及性质应用的过程. 【情感态度】 培养学生动手操作的能力及归纳总结与灵活应用知识的能力. 【教学重点】 理解二次函数 y＝ax2＋k 的性质及它与函数 y＝ax2 的关系. 【教学难点】 理解二次函数 y＝ax2＋k 的性质及它与函数 y＝ax2 的关系. 一、情景导入，初步认知 1.二次函数 y＝2x2 的图象是 ，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴 是 ，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ， 在 x＝ 时，取 最值，其最 值是 . 2.二次函数 y＝2x2＋1 的图象与二次函数 y＝2x2 的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是 否相同? 【教学说明】巩固旧知，引出新知识. 5 二、思考探究，获取新知 问题 1：对于前面提出的第 2 个问题，你将采取什么方法加以研究? 问题 2：你能在同一直角坐标系中，画出函数 y＝2x2、y＝2x2＋1、y＝2x2-1 的图象吗? 【教学说明】先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出三个函数的图 象. 观察 y＝2x2、y＝2x2＋1、y＝2x2-1 的图象，回答下列问题. （1）这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？ （2）对于同一个 x,这三个函数对应的 y 之间有什么关系？这三个函数的图象在位置上 有什么关系？ （3）当 x 分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？ 【归纳结论】抛物线 y＝ax2＋k 与 y＝ax2 的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置 不同，抛物线 y＝ax2＋k 可由抛物线 y＝ax2 沿 y 轴方向平移|k|个单位得到，当 k＞0 时，向 上平移；当 k＜0 时，向下平移. 三、运用新知，深化理解 1.(1)函数 y=4x2+5 的图象可由 y=4x2 的图象向 上 平移 5 个单位得到； （2）y=4x2-11 的图象可由 y=4x2 的图象向下平移 11 个单位得到. 2.将函数 y=-3x2+4 的图象向下平移 4 个单位可得 y=-3x2 的图象； y=2x2-7 的图象可由 y=2x2 的图象向下平移 7 个单位得到； 将 y=x2-7 的图象向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2 的图象. 3.抛物线 y=-3x2+5 的开口向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标是（0,5），在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，当 x=0 时，取得最大值，这 个值等于 5. 4.抛物线 y=7x2-3 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标是（0，-3），在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大，当 x=0 时，取得最小值，这 个值等于-3. 5.抛物线 y=ax2＋c 与 y=３x2 的形状相同，且其顶点坐标是（０,１），则其表达式为 y=3x2+1. 6.一条抛物线的开口方向、对称轴与 y= 2 1 x2 相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点 （1，1），求这条抛物线的函数关系式. 6 解：由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作 y=ax2-2(a＞0)，又抛物线经过点（1，1）， 所以，1=a·12-2， 解得 a=3. 故所求函数关系式为 y=3x2-2. 【教学说明】以上 6 题，是对本节课的知识点的复习巩固，让学生自主完成，教师做强 调. 四、师生互动、课堂小结 本节课你有何收获？本节课你有何疑问？ 布置作业:教材 P12“练习”. 函数的教学，尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中，除 了让学生多动手画图象，加深学生对函数图象的了解，加深他们对函数性质的了解外,更重 要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去.要利用一切可以利用的材料来帮助学生理 解所学的知识.本节中通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，给学生留 下较深刻的印象，普遍能较好的掌握图象的平移规律. 第 2 课时 二次函数 y=a(x+h)2 的图象和性质 【知识与技能】 使学生能利用描点法画出二次函数 y＝a(x+h)2 的图象. 【过程与方法】 让学生经历二次函数 y＝a(x+h)2 性质探究的过程，理解函数 y＝a(x+h)2 的性质，理解 二次函数 y＝a(x+h)2 的图象与二次函数 y＝ax2 的图象的关系. 【情感态度】 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯. 7 【教学重点】 会用描点法画出二次函数 y＝a(x+h)2 的图象，理解二次函数 y＝a(x+h)2 的性质，理解 二次函数 y＝a(x+h)2 的图象与二次函数 y＝ax2 的图象的关系. 【教学难点】 理解二次函数 y＝a(x+h)2 的性质，理解二次函数 y＝a(x+h)2 的图象与二次函数 y＝ax2 的图象的关系. 一、情景导入，初步认知 我们已经了解到，函数 y＝ax2＋k 的图象，可以由函数 y=ax2 的图象上下平移所得，那 么函数 y= 2 1 (x-2)2 的图象，是否也可以由函数 y= 2 1 x2 平移而得呢？y＝a(x+h)2 的图象是如 何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助 讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示． 二、思考探究，获取新知 1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象. y=x2,y=(x-1)2,y=(x+1)2 2.观察 y=x2,y=(x-1)2,y=(x+1)2 三个函数的图象，回答下列问题. （1）这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？ （2）对于同一个 y,这三个函数对应的 x 值之间有什么关系？这三个函数的图象在位置 上有什么关系？ （3）当 x 分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？ 【归纳结论】抛物线 y＝a(x+h)2 与 y＝ax2 的形状、开口大小和开口方向相同，只是位 置不同，抛物线 y＝a(x+h)2 可由抛物线 y＝ax2 沿 x 轴方向平移|h|个单位得到，当 h＞0 时， 向左平移；当 h＜0 时，向右平移. 【教学说明】让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识. 三、运用新知，深化理解 1.函数 y=ax2 与 y=a(x-2)(a＜0)函数在同一坐标系里的图象大致是 D. 8 【分析】根据 a 的正负性确定函数图象的位置. 2.二次函数 y=2(x-1)2 的图象可由 y=2x2 的图象( C )得到. A.向左平移 1 个单位长度 B.向左平移 2 个单位长度 C.向右平移 1 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度 【分析】左右平移是 h 的值发生改变. 3.抛物线 y=-3(x-2)2 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为( D ) A.开口向下，对称轴为 x=-2，顶点坐标为(-2，0) B.开口向上，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，0) C.开口向上，对称轴为 x=2，顶点坐标为(-2，0) D.开口向下，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，0) 【分析】根据 y=a(x－h)2 的性质可得出结果. 4.把抛物线 y= 2 1 x2 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位，得抛物线为( B ) 【分析】二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 y=a(x-h)2+k 中 k 的值；左右平 移，只影响 h 的值. 【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知. 9 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材 P15“练习”. 本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师 主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性. 第 3 课时 二次函数 y=a(x+h)2+k 的图象和性质 【知识与技能】 使学生理解函数 y=a(x+h)2＋k 的图象与函数 y=ax2 的图象之间的关系.会确定函数 y=a(x+h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【过程与方法】 让学生经历函数 y=a(x+h)2＋k 性质的探索过程，理解函数 y=a(x+h)2＋k 的性质. 【情感态度】 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯. 【教学重点】 确定函数 y=a(x+h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数 y=a(x+h)2 ＋k 的图象与函数 y=ax2 的图象之间的关系，理解函数 y=a(x+h)2＋k 的性质. 【教学难点】 正确理解函数 y=a(x+h)2＋k 的图象与函数 y=ax2 的图象之间的关系以及函数 y=a(x+h)2 ＋k 的性质. 一、情景导入，初步认知 1.函数 y= 2 1 x2＋1 的图象与函数 y= 2 1 x2 的图象有什么关系? 10 2.函数 y= 2 1 (x+2)2 的图象与函数 y= 2 1 x2 的图象有什么关系? 3.函数 y= 2 1 (x+2)2＋1 的图象与函数 y= 2 1 (x+2)2 的图象有什么关系?函数 y= 2 1 (x+2)2 ＋1 有哪些性质? 【教学说明】通过提问的形式，对上节课的知识进行复习巩固，并且为本节课探究二次 函数 y=a(x+h)2＋k 的性质作铺垫. 二、思考探究，获取新知 1.在同一直角坐标系中，画出下列函数 y=x2、y=(x-2)2、y=(x－2)2＋1 的图象. 2. 观 察 它 们 的 图 象 ， 回 答 ： 它 们 的 开 口 方 向 都 向 ， 对 称 轴 分 别 为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 .请同学们完成填空， 并观察三个图象之间的关系. 【归纳结论】函数 y＝(x－2)2＋1 的图象可以看成是将函数 y=(x－2)2 的图象向上平移 1 个单位得到的，也可以看成是将函数 y=x2 的图象向右平移 2 个单位再向上平移 1 个单位得 到的. 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 y=a(x+h)2+k 中 k 的值；左右平移，只影 响 h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函 数关系式及平移的路径.此外，图象的平移与平移的顺序无关. 3.你能说出函数 y=a(x+h)2+k（a、h、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和 顶点坐标吗？ 【归纳结论】对于二次函数 y=a(x+h)2＋k：（1）开口方向由 a 决定，（2）对称轴是直线 x=-h.（3）顶点坐标为（-h,k）. 三、运用新知，深化理解 1.抛物线 y=-3(x-2)2+4 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为(D) A.开口向下，对称轴为 x=-2，顶点坐标为(-2，4) B.开口向上，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，4) C.开口向上，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，-4) D.开口向下，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，4) 2.把抛物线 y=12x2 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位，得抛物线为(B) 11 3.二次函数 y=a(x-m)2+2m（a≠0）的顶点在（ A ） A.y=2x B.y=-2x C.x 轴上 D.y 轴上 4.把抛物线 y=x2+bx+c 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线 y=x2，求 b、c 的值. 【分析】抛物线 y=x2 的顶点为（0，0），只要求出抛物线 y=x2+bx+c 的顶点，根据顶点 坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出 b、c 的值. 12 【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材 P17“练习”. 本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师 主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性. 第 4 课时 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 【知识与技能】 1.使学生掌握用描点法画出函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象. 2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【过程与方法】 让学生通过绘画、观察二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，理解二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的. 【情感态度】 通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提 高学生用数学的意识. 【教学重点】 13 通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标. 【教学难点】 理解二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质. 一、情景导入，初步认知 由前面的知识，我们知道，函数 y=2x2 的图象，向上平移 2 个单位，可以得到函数 y=2x2+2 的图象；函数 y=2x2 的图象，向右平移 3 个单位，可以得到函数 y=2(x-3)2 的图象，那么函 数 y=2x2 的图象，如何平移，才能得到函数 y=2(x-3)2+2 的图象呢？ 函数 y＝－4(x－2)2＋1 具有哪些性质? 【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用. 这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价. 二、思考探究，获取新知 你能确定 y=-2x2+4x+6 的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质? 学生讨论得到：把二次函数 y=ax2+bx+c 转化成 y=a(x-h)2+k 的形式再通过配方，确定抛 物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图. 解：y=-2x2+4x+6 =-2(x2-2x)+6 =-2(x2-2x+1-1)+6 =-2［(x-1)2-1］+6 =-2(x-1)2+8 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线 x=1，顶点坐标为（1，8）. 你能从上图中总结出二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质吗？ 14 【归纳结论】二次函数 y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是 x=- a b 2 ，顶点坐标是(- a b 2 ， a bac 4 4 2 ) 【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论. 三、运用新知，深化理解 1.函数 y=x2-2x+3 的图象的顶点坐标是( C ) A.(1，-4) B.(-1，2) C.(1，2) D.(0，3) 【分析】方法一：直接用二次函数顶点坐标公式求.方法二：将二次函数解析式由一般 形式转换为顶点式，即 y=a(x-h)2+k 的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2， 所以顶点坐标为(1，2)，答案选 C. 2.抛物线 y=- 4 1 x2+x-4 的对称轴是( B ) A.x=-2 B.x=2 C.x=-4 D.x=4 【分析】直接利用公式. 3.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( C ) A.ab＞0，c＞0 B.ab＞0，c＜0 C.ab＜0，c＞0 D.ab＜0，c＜0 【分析】由图象，抛物线开口方向向下， ∴a＜0, 抛物线对称轴在 y 轴右侧，∴- a b 2 ＞0,又∵a＜0,∴b＞0,∴ab＜0, 抛物线与 y 轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在 x 轴上方，∴c＞0. 答案选 C. 4.把抛物线 y=-2x2+4x+1 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物 线的函数关系式是( C ) A.y=-2(x-1)2+6 B.y=-2(x-1)2-6 C.y=-2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 15 【分析】抛物线 y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3 的图象向左平移 2 个单位得到 y=-2(x+1)2+3， 再向上平移 3 个单位得到 y=-2(x+1)2+6. 答案选 C. 5.已知抛物线 y=x2-(a+2)x+9 的顶点在坐标轴上，求 a 的值. 【分析】顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于 0；（2） 顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于 0. 解得：a=-2. 当顶点在 x 轴上时，有 9- 4 2 2）（ a =0， 解得：a=4 或 a=-8. 所以，当抛物线 y=x2-(a+2)x+9 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是-2，4，-8. 【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知. 四、师生互动、课堂小结 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是 x＝ a b 2  ，顶点坐标是(- a b 2 ， a bac 4 4 2 ). 布置作业:教材 P20“练习”. 本节课的重点是用配方法确定抛物线的顶点和对称轴.为了学生能在较复杂的题中顺利 应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路.这样这个 重点和难点也就得到了自然地突破. 16 21.2 二次函数的图象和性质 1.二次函数 y=ax2 的图象和性质 【知识与技能】 1.能够利用描点法作出 y=x2 的图象，并能根据图象认识和理解二次函数 y=x2 的性质. 2.能作出二次函数 y=-x2 的图象，并能够比较与 y=x2 的图象的异同，初步建立二次函数 表达式与图象之间的联系. 【过程与方法】 经历画二次函数 y=x2 的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验. 【情感态度】 培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务. 【教学重点】 会画 y=ax2 的图象，理解其性质. 【教学难点】 结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来. 一、情景导入，初步认知 一次函数 y=kx+b 和反比例函数 x ky  （k≠0）图象是什么形状？有哪些性质呢？那么 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入 课题 【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程 中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础. 二、思考探究，获取新知 1.试着画出 y=x2 的图象. 【教学说明】让学生自己经历画 y=x2 的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图 象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历 17 了知识的形成过程. 2.观察二次函数 y=x2 的图象，回答下列问题. （1）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？ （3）当 x＜0 时，随着 x 的增大，函数 y 如何变化？当 x＞0 时呢？ 【归纳结论】二次函数 y=ax2 的图象是一条关于 y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲 线，像这样的曲线叫做抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 3.在同一平面直角坐标系中，画出函数 y= 2 1 x2 和 y=2x2 的图象. 解：（1）列表. （2）描点、连线. 4.探究. （1）观察二次函数 y= 2 1 x2 和 y=2x2 的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点 坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、何时下降？ （2）你能根据函数 y= 2 1 x2 和 y=2x2 的图象的共同特点，总结出二次函数 y=ax2(a＞0) 的性质吗？ 【归纳结论】二次函数 y=ax2(a＞0)的图象及性质为： 18 5.在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=-x2、y=- 2 1 x2 和 y=-2x2 的图象.仿照上面的表 格，总结出 y=ax2(a＜0)的性质. 6.对比函数 y=x2 和 y=-x2、y= 2 1 x2 和 y=- 2 1 x2、y=2x2 和 y=-2x2 的图象，指出它们的相同 与不同之处. 7.思考： （1）a＞0 与 a＜0 时，函数 y=ax2 的图象有什么不同？ （2）|a|的大小对函数 y=ax2 的图象的开口大小有什么影响？ （3）二次函数的图象是什么形状？ 【归纳结论】1.抛物线 y=ax2(a≠0)的对称轴是 y 轴，顶点是原点；2.a＞0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；3.a＜0 时，抛物 线 y=ax2 的开口向下.顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大. 【教学说明】让学生自己去观察分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结， 实现学生主动参与、探究新知的目的. 三、运用新知，深化理解 1.已知函数 y=(m-2)xm2-7 是二次函数，且开口向下，则 m= -3 . 【分析】它是二次函数，所以 m2-7=2,得 m=±3,且开口向下，所以 m-2＜0,得 m＜2.即： 19 m=-3. 2.已知抛物线 y=ax2 经过点 A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点 B（-1，-4）是否在此抛物线上. 【分析】（1）把 a 的值求出即可；（2）把 B 的坐标代入，等式成立则是在此抛物线上， 否则不在. 解：（1）把（-2，-8）代入 y=ax2 中得：a=-2.∴解析式为：y=-2x2 （2）把（-1，-4）代入 y=-2x2 中等式不成立，∴点 B（-1，-4）不在此抛物线上. 3.已知 y=(k+2) 42 kkx 是二次函数，且当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. （1）求 k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴. 解：（1）由题意，得 解得 k=2. （2）二次函数为 y=4x2，则顶点坐标为（0，0），对称轴为 y 轴. 4.已知正方形周长为 Ccm，面积为 Scm2. （1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出 S=1cm2 时，正方形的周长； （3）根据图象，求出 C 取何值时，S≥4cm2. 【分析】此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图 象时，自变量 C 的取值应在取值范围内. 解：（1）由题意，得 S= 16 1 C2(C＞0). 列表： 描点、连线，图象如图： 20 （2）根据图象得 S=1cm2 时，正方形的周长是 4cm. （3）根据图象得，当 C≥8cm 时，S≥4cm2. 【教学说明】学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 21.2”中第 1、2 题. 本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化 课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形 象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴 趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个 教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的 乐趣. *3.二次函数表达式的确定 【知识与技能】 经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意 识. 【过程与方法】 会用待定系数法求二次函数的表达式. 21 【情感态度】 逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学 生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯. 【教学重点】 求二次函数的解析式. 【教学难点】 求二次函数的解析式. 一、情景导入，初步认知 问题 1：如何求一次函数的解析式？至少需要几个点的坐标？ 问题 2：你能求二次函数的解析式吗？如果要求二次函数的解析式需要几个点的坐标？ 【教学说明】通过类比的思想猜想求二次函数的解析式需要坐标点的个数. 二、思考探究，获取新知 问题： 1.已知二次函数的图象经过点 A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2），求函数的解析式. 【分析】可设函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，根据二次函数的图象经过三个已知点，可 得出一个关于 a,b,c 的三元一次方程组，从而可以求出 a,b,c 的值。 【归纳结论】这种求二次函数表达式的方法称为一般式. 2.已知抛物线的顶点为（1，-3），且与 y 轴交于点（0，1），求函数的解析式. 【分析】根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为 y＝a(x＋h)2＋k，再根据抛物 线与 y 轴的交点可求出 a 的值. 【归纳结论】这种求二次函数表达式的方法称为顶点式. 【归纳结论】求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式，关键是确定 a、b、c 的值.由已知 条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个系数 a,b,c. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P21 例 3、P22 例 4、例 5. 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系 式. 【分析】二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(-h， 22 k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关 系式为： y＝a(x－8)2＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出 a 的值. 解：y=- 8 1 x2+2x+1 2.已知：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为(-1，0)， 点 C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，求抛物线的解析式. 【分析】应用待定系数法求出 a,b,c 的值 解：依题意： 抛物线的解析式为 y=-x2+4x+5 3.已知抛物线的对称轴是直线 x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关 系式. 【分析】可设二次函数 y＝ax2＋bx＋c，已知两点的坐标，可列两个方程，再根据对称 轴 x＝2 列出一个方程，则可求出 a,b,c 的值. 解法 1：设所求二次函数的解析式是 y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，-5)， 可求得 c＝-5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线 x＝2，可以得 解这个方程组，得： 所以所求的二次函数的关系式为 y＝-2x2＋8x－5. 解法 2：设所求二次函数的关系式为 y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1) 和(0，－5)两点，可以得到 23 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数的关系式为 y＝－2(x－2)2＋3，即 y＝－2x2＋8x－5. 4.已知抛物线的顶点是(2，-4)，它与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，求函数的关系式. 【分析】根据顶点坐标公式可列出两个方程. 解法 1：设所求的函数关系式为 y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得 y＝a(x－2)2－4 因为抛物线与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，所以抛物线过点(0，4)，于是 a(0－2)2 －4＝4，解得 a＝2. 所以，所求二次函数的关系式为 y＝2(x－2)2－4，即 y＝2x2－8x＋4. 解法 2：设所求二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c.依题意，得 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数关系式为 y＝2x2－8x＋4. 【教学说明】凡是能用“顶点式”确定的,一定可用“一般式”确定，进一步明确两种 表达式只是形式的不同和没有本质的区别;在做题时,不仅会使用已知条件,同时要养成挖掘 和运用隐含条件的习惯. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 24 布置作业:教材“习题 21.2”中第 9、11、14 题. 确定二此函数的关系式的一般方法是“一般式”“顶点式”，在选择把二次函数的关系式 设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则. 21.3 二次函数与一元二次方程 【知识与技能】 1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法； 2.理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方 程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征. 【过程与方法】 经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形 结合的数学思想. 【情感态度】 培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和 学会用辨证的观点看问题的思维品质. 【教学重点】 经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索 过程. 【教学难点】 准确理解二次函数与一元二次方程的关系. 一、情景导入，初步认知 我们学习了一元一次方程 kx＋b＝0(k≠0)和一次函数 y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们 之间的关系.当一次函数中的函数值 y＝0 时，一次函数 y＝kx＋b 就转化成了一元一次方程 25 kx＋b＝0，且一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx＋b ＝0 的解. 现在我们学习了一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题. 【教学说明】让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启 下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质. 二、思考探究，获取新知 1.观察二次函数 y=x2+3x+2 的图象，并回答下列问题. （1）每个图象与 x 轴有几个交点？ （2）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点坐标与一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 的 根有什么关系？ 【教学说明】引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解 决类似问题的方法. 【归纳结论】一元二次方程 ax2+bx+c=0.当Δ≥0 时有实数根，这个实数根就是对应二 次函数 y＝ax2＋bx＋c 的值等于 0 时自变量 x 的一个值，即二次函数的图象与 x 轴一个交点 的横坐标. 2.用图象法求一元二次方程 x2+2x-1=0 近似解.（精确到 0.1） 26 由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3 和-2 之间，另一个在 0 和 1 之间. 先求位于-3 和-2 之间的根，由图象可估计这个根是-2.5 或-2.4，利用计算器进行探索， 见下表： 观察上表可以发现，当 x 分别取-3 和-2 时，对应的 y 由正变负，可见在-3 和-2 之间肯 定有一个 x 使 y=0,即方程的一个根.题目要求精确到 0.1,当 x=-2.4 时，y=-0.04 比 y=0.25 更接近 0，所以选 x=-2.4. 因此，方程 x2+2x-1=0 在-3 和-2 之间精确到 0.1 的根为 x=-2.4. 请仿照上面的方法，求出方程精确到 0.1 的另一个根. 3.方程 x2+2x-1=0 的近似解还可以这样求：分别画出函数 y=x2,y=-2x+1 的图象，如图， 它们交点 A,B 的横坐标就是方程 x2+2x-1=0 的根. 【教学说明】引导学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳. 三、运用新知，深化理解 1.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线 x=1，则下列结论正确的是 27 （ B ） A.ac＞0 B.方程 ax2+bx+c=0 的两根是 x1=-1，x2=3 C.2a-b=0 D.当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与 x 轴、y 轴的交点，逐一判断. 解：A.∵抛物线开口向下，与 y 轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误； B.∵抛物线对称轴是 x=1，与 x 轴交于（3，0），∴抛物线与 x 轴另一交点为（-1，0）， 即方程 ax2+bx+c=0 的两根是 x1=-1，x2=3，故本选项正确； C.∵抛物线对称轴为 x=1，∴2a+b=0，故本选项错误； D.∵抛物线对称轴为 x=1，开口向下，∴当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小，故本选项错 误. 故选 B. 2.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别是 x1=1.6，x2=（ C ） A.-1.6 B.3.2 C.4.4 D.以上都不对 【分析】根据图象知道抛物线的对称轴为 x=3，根据抛物线是轴对称图形和已知条件即 可求出 x2. 28 解：由抛物线图象可知其对称轴为 x=3， 又抛物线是轴对称图象， ∴抛物线与 x 轴的两个交点关于 x=3 对称， 而关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别是 x1，x2， 那么两根满足 2×3=x1+x2， 而 x1=1.6， ∴x2=4.4. 故选 C. 3.根据下列表格的对应值： 判断方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的范围是（ C ） A.8＜x＜9 B.9＜x＜10 C.10＜x＜11 D.11＜x＜12 【分析】根据表格知道 8＜x＜12，y 随 x 的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，由此即可 推出方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的范围. 解：依题意得当 8＜x＜12，y 随 x 的增大而增大， 而-0.38＜0＜1.2， ∴方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的范围是 10＜x＜11. 故选 C. 【教学说明】学生独立完成 3 个小题，小组交流所做结果，练习巩固，加深理解. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 21.3”中第 2、4、8 题. 本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想.三种 题型：函数图象与 x 轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标. 29 21.4 二次函数的应用 第 1 课时 二次函数的应用（1） 【知识与技能】 经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验. 【过程与方法】 经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应 用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，发展获得一些研究问题与合作交流的方法 与经验. 【情感态度】 通过动手实做及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力. 【教学重点】 会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题. 【教学难点】 从几何背景及实际情景中抽象出函数模型. 一、情景导入，初步认知 问题：某开发商计划开发一块三角形土地，它的底边长 100 米，高 80 米.开发商要沿着 底边修一座底面是矩形的大楼，这座大楼地基的最大面积是多少？ 要解决这些实际问题，实际上也就是求面积最大的问题，在数学中也就是求最大值的问 题.这节课我们看能否用已学过的数学知识来解决以上问题. 【教学说明】通过几个实际情景设置悬念，引入新课. 二、思考探究，获取新知 探究：在第 21.1 节的问题中，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它 的最大面积是多少平方米？ 根据题意，可得， S=x(20-x) 问题：①这是一个什么函数？ 30 ②要求最大面积，就是求 的最大值. ③你会求 S 的最大值吗？ 将这个函数的表达式配方，得 S=-(x-10)2+100(0＜x＜20) 这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图， 它的顶点坐标是（10,100），所以，当 x=10 时，函数取最大值，即 S 最大值=100（m2) 此时，另一边长=20-10=10（m) 答：当围成的矩形水面边长都为 10m 时,它的面积是最大为 100m2. 你能总结此类题目的解题步骤吗？ 【归纳结论】在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函 数最值方面的性质去解决.其步骤为： 第一步设自变量； 第二步建立函数的解析式； 第三步确定自变量的取值范围； 第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）. 【教学说明】由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此首先和同学 们一起复习二次函数最值的求法，对于一般式，要求掌握配方法的同时，也能利用基本结论， 对于顶点式，要求能直接说出其最值及取得最值时自变量的值. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P37 例 2. 2.求下列函数的最大值或最小值. （1）y=2x2-3x-5； （2）y=-x2-3x+4. 31 【分析】由于函数 y=2x2-3x-5 和 y=-x2-3x+4 的自变量 x 的取值范围是全体实数，所以 只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值. 解：（1）二次函数 y=2x2-3x-5 中的二次项系数 2＞0， 因此抛物线 y=2x2-3x-5 有最低点，即函数有最小值. 因为 y=2x2-3x-5=2(x- 4 3 )2- 8 49 ， 所以当 x= 4 3 时，函数 y=2x2-3x-5 有最小值是- 8 49 . （2）二次函数 y=-x2-3x+4 中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线 y=-x2-3x+4 有最高点，即函数有最大值. 因为 y=-x2-3x+4=-(x+ 2 3 )2+ 4 25 ， 所以当 x=- 2 3 时，函数 y=-x2-3x+4 有最大值是 4 25 . 3.要用总长为 20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的 花圃的面积最大? 【分析】先写出函数关系式，再求出函数的最大值. 解：设矩形的宽 AB 为 xm，则矩形的长 BC 为(20－2x)m，由于 x＞0，且 20－2x＞0，所 以 0＜x＜10. 围成的花圃面积 y 与 x 的函数关系式是 y＝x(20－2x)，即 y＝－2x2＋20x. 配方得 y＝-2(x－5)2＋50 所以当 x＝5 时，函数取得最大值，最大值 y＝50. 因为 x＝5 时，满足 0＜x＜10，这时 20－2x＝10. 所以应围成宽 5m，长 10m 的矩形，才能使围成的花圃的面积最大. 4.在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上.如果设 矩形的一边 AB=xm，那么当 x 为多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？ 32 5.如图,在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点 D 在斜边 AB 上，分别作 DE⊥AC， DF⊥BC，垂足分别为 E、F，得四边形 DECF，设 DE=x，DF=y. （1）用含 y 的代数式表示 AE； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围； （3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系，并求出 S 的最大值. 解：（1）由题意可知，四边形 DECF 为矩形，因此 AE=AC-DF=8-y. （2）由 DE∥BC，得 AC AE BC DE  ， 33 即 8 8 4 yx  ， 所以，y=8-2x， x 的取值范围是 0＜x＜4. （3）S=xy=x(8-2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8 所以，当 x=2 时，S 有最大值 8. 【教学说明】应用所学知识解决实际问题，使学生明白数学来源于生活，适用于生活. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 21.4”中第 1、2 题. 在教学中一定要注意学生易错地方：学生往往列出表达式后不根据背景写出自变量的范 围；求最值时，只知代入顶点坐标公式，不考虑自变量范围. 第 2 课时 二次函数的应用（2） 【知识与技能】 能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系 式和图象特点，从而解决实际问题. 【过程与方法】 经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应 用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，发展获得一些研究问题与合作交流的方法 与经验. 【情感态度】 通过动手实做及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力. 【教学重点】 会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题. 【教学难点】 34 利用二次函数解决生活中的实际问题. 一、情景导入，初步认知 1.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）y＝6x2＋12x； （2）y＝－4x2＋8x－10 2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最 小值分别是多少? 【教学说明】通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题. 二、思考探究，获取新知 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表达式 h=v0t- 2 1 gt2. 其中 h 是物体上升的高度，v0 是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g 是重力加速度（取 =10m/s2），t 是物体抛出后经过的时间. 在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为 10m/s. （1）问排球上升的最大高度是多少？ （2）已知某运动员在 2.5 米高度扣球时效果最佳，如果他要打快攻，问该运动员在排 球被垫起后多少时间扣球最佳？（精确到 0.1s） 解：根据题意得 h=10t- 2 1 ×10t2 =-5(t-1)2+5(t≥0) 因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1,5） 答：排球上升的最大高度是 5 米. （2）当 h=2.5 时，得 10t-5t2=2.5 解方程得：t1≈0.3s,t2≈1.7s 排球在上升和下降中，各有一次经过 2.5 米高度，但第一次经过时排球被垫起仅 0.3 秒，要打快攻，选择此时扣球最好. 答：该运动员在排球被垫起后 0.3 秒扣球最佳. 【教学说明】解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究 所得的函数，得出结果. 35 三、运用新知，深化理解 1.教材 P39 例 4. 2.兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是 8 层高，房子的价格 y(元/平方米)随楼 层数 x(楼)的变化而变化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x，y)都在一个二次函数的 图象上，(如图所示)，则 6 楼房子的价格为 2080 元/平方米. 3.如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：米)与小球运动时间 t(单位： 秒)的函数关系式是 h=9.8t-4.9t2，那么小球运动中的最大高度 h 最大=(4.9)米. 4.在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cm／s 的速 度移动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm／s 的速度移动，如果 P、Q 两点同时出 发，分别到达 B、C 两点后就停止移动. （1）运动第 t 秒时，△PBQ 的面积 y(cm2)是多少？ （2）此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm2)，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的 取值范围. （3）t 为何值时 s 最小，最小值是多少？ 解：（1）y= 2 1 (6-t)·2t=-t2+6t (2)S=6×12-（-t2+6t）=t2-6t+72(0＜t＜6) (3)∵S=（t-3）2+63 ∴当 t=3 时，S 有最小值等于 63. 36 5.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图.现测得，当水面宽 AB=1.6m 时，涵洞顶点 O 与 水面的距离为 2.4m.ED 离水面的高 FC=1.5m，求涵洞 ED 宽是多少？是否会超过 1m？(提示： 设涵洞所成抛物线为 y=ax2(a＜0)) 【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为 y=ax2.根据 AB=1.6，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2.4m，那么 B 点坐标应该是（0.8，-2.4），利用待定系数法即可求出函数 的解析式，继而求出点 D 的坐标及 ED 的长. 解：∵抛物线 y=ax2（a＜0）， 点 B 在抛物线上，将 B（0.8，-2.4）， 它的坐标代入 y=ax2（a＜0）， 求得 a=- 4 15 ， 所求解析式为 y=- 4 15 x2. 再由条件设 D 点坐标为（x，-0.9）， 则有：-0.9=- 4 15 x2， 解得：x= 24.0 ＜ 25.0 ， 故宽度为 2 24.0 = 5 62 ， ∴x＜0.5，2x＜1， 所以涵洞 ED 不超过 1m. 【教学说明】通过练习的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解 决实际问题的一类重要数学模型. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 37 布置作业:教材“习题 21.4”中第 4、5 题. 在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识 解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极 讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励. 21.5 反比例函数 第 1 课时 反比例函数的概念 【知识与技能】 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用 价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 一、情景导入，初步认知 1.复习小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程 s 一定，时间 t 与速度 v 成反比例，即 vt=s(s 是常数) (2)当矩形面积 S 一定时，长 a 和宽 b 成反比例，即 ab＝S(S 是常数) 2.电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足关系式 U＝IR.当 U=220V 时，你能用含 R 的代数式 38 表示 I 吗？ 【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 问题 1：某村有耕地 200km2，人口数量 x 逐年发生变化，该村人均耕地面积 y 与人口数 量 x 之间有怎样的函数关系？ 问题 2：某市距省城 248 千米，汽车行驶全程所需的时间 th 与平均速度 vkm/h 之间有 怎样的函数关系？ 问题 3：在一个电路中，当电压 U 一定时，通过电路的电流 I 的大小与该电路的电阻 R 的大小之间有怎样的函数关系？ 思考：观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？ 上面的函数关系式，都具有 x ky  的形式，其中 k 是常数. 【归纳结论】一般地，表达式形如 x ky  （k 为常数且 k≠0）的函数叫作反比例函数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的 语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式. 教师组织学生讨论，提问学生，师生互动. 例：在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p/Pa 是它的受力面积 Sm2 的反比例函数， 如图. （1）求 p 与 S 之间的函数表达式； （2）当 S=0.5 时，求物体承受的压强 p 的值. 解：（1）根据题意设 S kp  ， 函数图象经过点（0.1,1000）代入上式，得 k=100. 39 所以 p 与 S 之间的函数表达式为 Sp 100 ，（p＞0,S＞0) (2)当 S=0.5 时， 5.0 100p ,解得，p=200. 三、运用新知，深化理解 1.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？ （1）一个游泳池的容积为 2000m3，注满游泳池所用的时间随注水速度 u 的变化而变化； （2）某立方体的体积为 1000cm3，立方体的高 h 随底面积 S 的变化而变化； （3）一个物体重 100 牛顿，物体对地面的压力 p 随物体与地面的接触面积 S 的变化而 变化. 2.下列哪个等式中的 y 是 x 的反比例函数？ 解：只有 xy=123 是反比例函数. 3.已知函数 x ky  ，当 x＝1 时，y＝-3，那么这个函数的解析式是( B ) 4.已知 y 与 x 成反比例，当 x＝3 时，y＝4，那么 y＝3 时，x 的值等于( A ) A.4 B.-4 C.3 D.-3 5.若函数 1 1  mxy (m 是常数)是反比例函数，则 m＝2，解析式为 xy 1 . 6.写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别. (1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑 12000 元，首付 4000 元，以后每月付 y 元，x 个月全部付清，则 y 与 x 的关系式为 ，是 函数. (2)某种灯的使用寿命为 1000 小时，它的使用天数 y 与平均每天使用的小时数 x 之间的 关系式为 ，是 函数. (3)设三角形的底边、对应高、面积分别为 a、h、S. 当 a＝10 时，S 与 h 的关系式为 ，是 函数； 40 当 S＝18 时，a 与 h 的关系式为 ，是 函数. (4)某工人承包运输粮食的总数是 w 吨，每天运 x 吨，共运了 y 天，则 y 与 x 的关系式 为 ，是 函数. 7.已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=2 时，y=6. (1)写出 y 与 x 的函数关系式； (2)求当 x=4 时，y 的值. 【分析】因为 y 是 x 的反比例函数，所以 x ky  ，再把 x=2 和 y=6 代入上式就可求出常 数 k 的值. 解：（1）设 x ky  ，因为 x=2 时，y=6，所以有 6= 2 k ，解得 k=12，因此 xy 12 （2）把 x=4 代入 xy 12 ，得 y= 4 12 =3 【教学说明】学生独立思考，然后小组合作交流.教师巡视，查看学生完成的情况，并 给予及时引导. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 21.5”中第 1、2、3 题. 反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问 题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性 认识. 41 第 2 课时 反比例函数的图象与性质 【知识与技能】 1.会用描点法画反比例函数图象. 2.理解反比例函数的性质. 【过程与方法】 观察、比较、合作、交流、探索. 【情感态度】 通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质. 【教学重点】 画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质. 【教学难点】 理解反比例函数的性质，并能灵活应用. 一、情景导入，初步认知 你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？ 反比例函数的图象又会是什么样子呢? 【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质. 二、思考探究，获取新知 1.画出反比例函数 xy 6 的图象. 【分析】画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤. 解：(1)列表：取自变量 x 的哪些值? x 是不为零的任何实数，所以不能取 x 的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀， 对称地取值. (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3, －2)、(－2,－3)等. 42 （3）连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平 滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支.这两个分支合起来，就是反 比例函数的图象. 2.思考：（1）观察上图，函数 xy 6 的图象位于哪些象限？ （2）y 轴右边的各点，当横坐标 x 逐渐增大时，纵坐标 y 如何变化？y 轴左边的各点是 否也有相同的规律？ （3）这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗？为什么？ （4）分析 P 与 P′的坐标，它们成什么关系？函数 xy 6 的图象有何种关系？ 3.画出反比例函数 xy 6 的图象.分析反比例函数 xy 6 与 xy 6 的图象有什么共 同特征? 【归纳结论】反比例函数 x ky  (k≠0)的图象叫作的双曲线. 反比例函数的性质： （1）当 k＞0 时，图象的两个分支分别位于一、三象限，在每个象限内，图象自左向右 下降，函数 y 随 x 的增大而减小. （2）当 k＜0 时，图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，图象自左向右 上升，函数 y 随 x 的增大而增大. 【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象， 掌握反比例函数的性质. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P47 例 3. 43 2.如果函数 y＝2xk＋1 的图象是双曲线，那么 k＝ . 答案：-2 3.如果反比例函数 y= x k 3 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数 k 的值 是. 答案：1，2 4.已知直线 y＝kx＋b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 x kby  的图象在第象限. 答案：二、四 5.反比例函数 y= x 1 的图象大致是图中的( ). 【分析】因为 k=1＞0，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 答案：C 6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( ) 答案：C 7.已知函数 y=(m-2)x3-m2 为反比例函数. (1)求 m 的值； (2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随 x 的增大如何变化？ (3)当－3≤x≤- 2 1 时，求此函数的最大值和最小值. 解：(1)由反比例函数的定义可知 解得，m＝－2. 44 (2)因为 k=－4＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y 随 x 的 增大而增大. (3)因为在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 8.作出反比例函数 y= x 12 的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当 x＝4 时，求 y 的值； (2)当 y＝－2 时，求 x 的值； (3)当 y＞2 时，求 x 的范围. 解：列表： 由图知：(1)y＝3；(2)x＝-6；(3)0＜x＜6 9.作出反比例函数 y=- x 4 的图象，结合图象回答：（1)当 x＝2 时，y 的值； (2)当 1＜x≤4 时，y 的取值范围； (3)当 1≤y＜4 时，x 的取值范围. 45 解：列表： 由图知：(1)y＝－2；(2)－4＜y≤－1；(3)－4≤x＜－1. 【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每一题时，要紧 扣性质进行分析，达到理解性质的目的. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 21.5”中第 4、5、6 题. 通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌握了用描点法画函数图 象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习. 第 3 课时 反比例函数的应用 【知识与技能】 1.综合运用一次函数、反比例函数的知识解决有关问题. 2.掌握反比例函数中比例系数 k 的几何意义. 【过程与方法】 经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象） 能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题. 【教学重点】 理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题. 【教学难点】 46 学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质. 一、情景导入，初步认知 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.二次函数有哪些性质？ 4.反比例函数有哪些性质？ 【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解. 二、思考探究，获取新知 1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于 P（-3,4），试求出它们的表达式， 并在同一坐标系内画出这两个函数的图象. 解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为 x kyxky 2 1  ， ,其中，k1,k2 是常数， 且均不为 0. 由于这两个函数的图象交于 P（-3,4），则 P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点 P 的坐标分别满足这两个表达式. 函数图象如下图： 47 【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用. 2.在反比例函数 xy 6 的图象上取两点 P（1，6），Q（6，1），过点Ｐ分别作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1= ；过点Ｑ分别作 x 轴、y 轴的平行线， 与坐标轴围成的矩形面积为 S2= ；S1 与 S2 有什么关系？为什么？ 【归纳结论】反比例函数 x ky  （k≠0）中比例系数 k 的几何意义：过双曲线 x ky  （k ≠0）上任意一点引 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 k 的绝对值. 【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自 己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力. 三、运用新知，深化理解 1.已知如图，A 是反比例函数 x ky  的图象上的一点，AB 丄 x 轴于点 B，且△ABC 的面 积是 3，则 k 的值是（ C ） A.3 B.-3 C.6 D.-6 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直 角三角形面积 S 是个定值，即 S＝ 2 1 |k|. 48 解：根据题意可知：S△AOB＝ 2 1 |k|＝3， 又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0， 则 k＝6. 故选 C. 2.反比例函数 xy 6 与 xy 3 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于 x 轴的直线分 别交双曲线于 A、B 两点，连接 OA、OB，则△AOB 的面积为（ A ） A. 2 3 B.2 C.3 D.1 【分析】分别过 B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BC⊥y 轴，点 C 为垂足， 再根据反比例函数系数 k 的几何意义分别求出四边形 OEAC、△AOE、△BOC 的面积，进而可 得出结论. 解：分别过 B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BC⊥y 轴，点 C 为垂足. ∵由反比例函数系数 k 的几何意义可知，S 四边形 OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC= 2 3 ， ∴S△AOB=S 四边形 OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3- 2 3 = 2 3 . 故选 A. 3.已知直线 y＝x＋b 经过点 A(3,0)，并与双曲线 y=kx 的交点为 B(－2，m)和 C，求 k、 b 的值. 解：点 A(3,0)在直线 y＝x＋b 上，所以 0＝3＋b，b＝－3. 49 一次函数的解析式为：y＝x－3. 又因为点 B(－2，m)也在直线 y＝x－3 上，所以 m＝－2－3＝－5，即 B(－2,－5). 而点 B(－2,－5)又在反比例函数 x ky  上，所以 k＝-2×(-5)＝10. 4.已知反比例函数 x ky 1 的图象与一次函数 y＝k2x－1 的图象交于 A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)试判断 A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系. 【分析】（1）因为点 A 在反比例函数和一次函数的图象上，把 A 点的坐标代入这两个解 析式即可求出 k1、k2 的值. （2）把点 A 关于坐标原点的对称点 A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可 知 A′是否在这两个函数图象上. 解：(1)因为点 A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以 k1＝2×1＝2. 1＝2k2－1，k2＝1. 所以反比例函数的解析式为： xy 2 ；一次函数解析式为：y＝x－1. （2）点 A(2,1)关于坐标原点的对称点是 A′(－2,－1). 把 A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y= 2- 2 =-1，所以点 A′在反比例函数图象 上. 把 A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝-2－1＝-3，所以点 A′不在一次函数图 象上. 5.已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 A(0,1)和点 B(a,－3a),a＜0，且点 B 在反比例 函数的 xy 3- 的图象上. (1)求 a 的值. (2)求一次函数的解析式，并画出它的图象. (3)利用画出的图象，求当这个一次函数 y 的值在－1≤y≤3 范围内时，相应的 x 的取 值范围. (4)如果 P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较 y1 与 y2 的大小. 【分析】(1)由于点 A、点 B 在一次函数图象上，点 B 在反比例函数图象上，把这些点 的坐标代入相应的函数解析式中，可求出 k、b 和 a 的值. (2)由(1)求出的 k、b、a 的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图 50 象. (3)和(4)都是利用函数的图象进行解题. 解：(1)反比例函数的图象过点 B(a,－3a)，-3a=- a 3 ，a＝±1，因为 a＜0，所以 a＝－ 1.B(－1,3). （2）又因为一次函数图象过点 A(0,1)和点 B(-1,3). 即：一次函数的解析式为 y＝－2x＋1. 一次函数的图象为： (3)从图象上可知，当一次函数 y 的值在－1≤y≤3 范围内时，相应的 x 的值为： －1≤x≤1. (4)从图象可知，y 随 x 的增大而减小，又 m＋1＞m，所以 y1＞y2. 或解：当 x1＝m 时，y1＝-2m＋1；当 x2＝m＋1 时，y2＝-2×(m＋1)＋1＝-2m－1 所以 y1－y2＝(－2m＋1)－(－2m－1)＝2＞0，即 y1＞y2. 6.如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 x my  的图象交于 A、B 两点. (1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的 x 的取值范围. 51 【分析】(1)把 A、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式. (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值， 反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点 的纵坐标. 解：(1)观察图象可知，反比例函数 x my  的图象过点 A(－2,1)，m＝－2×1＝－2. 所以反比例函数的解析式为： xy 2 .又点 B(1,a)也在反比例函数图象上，a= 1 2 . 即 B(1,－2). 因为一次函数图象过点 A、B.所以 一次函数解析式为：y＝－x－1. (2)观察图象可知，当 x＜－2 或 0＜x＜1 时，一次函数的值大于反比例函数值. 【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，基本题为主，也有少量综合问 题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 21.5”中第 7、8 题. 通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调： 1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往运用待定系数法. 52 2.观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题. 21.6 综合与实践 获取最大利润 【知识与技能】 能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系 式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题． 【过程与方法】 经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方 法. 【情感态度】 积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值．从而增强数学学习信 心，体验成功的乐趣． 【教学重点】 探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义． 【教学难点】 从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大 （小）值问题. 一、情景导入，初步认知 问题：某商店经营 T 恤衫，已知成批购进时单价是 20 元．根据市场调查，销售量与销 售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是 35 元时，销售量是 600 件，而单价每降低 1 元，就可以多销售 200 件．若设销售单价为 x（20≤x≤35 的整数）元，该商店所获利润为 y 元．请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？ 你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？ 【教学说明】用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习 热情. 二、思考探究，获取新知 53 1.教师提问： （1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量，哪个是因变量． （2）销售量可以表示为；销售额（销售总收入）可以表示为；所获利润与销售单价之 间的关系式可以表示为. （3）当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元． 2.在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考 “何时获得最大利润”的数学意义． 【教学说明】在本章前面的学习中，学生已初步了解特殊二次函数最大（小）值的方法．鼓 励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法． 【归纳结论】求二次函数最大（小）值的方法： （1）配方化为顶点式求最大（小）值； （2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值； （3）利用图象找顶点求最大（小）值． 三、运用新知，深化理解 1.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000 千克，购进价格为每千克 30 元.物 价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元.市场调查发现：单价定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克.在销售过程中，每天还 要支出其他费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元. （1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成 a bac a bxay 4 4 2 2 2  ）（ 的形式，写出顶 点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？ 【分析】若销售单价为 x 元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出 2（70-x）千克， 日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式. 解:（1）根据题意，得 y=（x-30）［60+2（70-x）］-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70）. （2）y=-2x2+260x-6500=-2(x-65)2+1950. 顶点坐标为（65,1950）.二次函数草图略. 经观察可知，当单价定为 65 元时，日均获利最多，是 1950 元. 2.某商店将每件进价 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可销出约 100 件，该店想 54 通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加约 10 件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 【分析】先写出函数关系式，再求出函数的最大值. 解：设每件商品降价 x 元（0≤x≤2），该商品每天的利润为 y 元. 商品每天的利润 y 与 x 的函数关系式是：y＝（10－x－8）（100＋100x）,即 y＝－100x2 ＋100x＋200, 配方得 y＝－100(x－ 2 1 )2＋225,因为 x＝ 2 1 时，满足 0≤x≤2,所以当 x＝ 2 1 时，函数 取得最大值，最大值 y＝225.所以将这种商品的售价降低 2 1 元时，能使销售利润最大. 3.某公司生产的某种产品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销售量为 100 万件．为了 获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是 x（十 万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系如下表： （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（十万元）与 广告费 x（十万元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为 10～30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润 随广告费的增大而增大？ 55 【教学说明】通过练习的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解 决实际问题的一类重要数学模型． 四、师生互动、课堂小结 求二次函数最大（小）值的方法： （1）配方化为顶点式求最大（小）值； （2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值； （3）利用图象找顶点求最大（小）值． 某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件） 之间关系如下表： 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多 少元？此时每日销售利润是多少？ 56 在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识 解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极 讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励． 本章热点专题训练 【知识与技能】 掌握二次函数、反比例函数的图象及其性质，能灵活运用抛物线的知识解一些实际问题. 【过程与方法】 通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散 思维能力. 【情感态度】 经历探索二次函数、反比例函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学 中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活. 【教学重点】 二次函数、反比例函数图象及其性质，应用函数分析和解决简单的实际问题. 【教学难点】 函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题. 一、知识结构 57 【教学说明】根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、 转化的思想，突破难点. 二、释疑解惑，加深理解 1.二次函数的概念： 表达式形如 y=ax2＋bx＋c (a、b、、c 是常数，a≠0)的函数叫做 x 的二次函数，其中 x 是自变量.a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项. 2.二次函数 y=ax2(a＞0)的图象及性质为： ①抛物线 y=ax2(a≠0)的对称轴是 y 轴，顶点是坐标原点; ②a＞0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开 口越小； ③a＜0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开 口越大； 3.抛物线 y＝ax2＋k 的性质： 抛物线 y＝ax2＋k 与 y＝ax2 的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同，抛物线 y＝ax2＋k 可由抛物线 y＝ax2 沿 y 轴方向平移|k|个单位得到，当 k＞0 时，向上平移；当 k ＜0 时，向下平移. 4.抛物线 y＝a(x+h)2 的性质： 抛物线 y＝a(x+h)2 与 y＝ax2 的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同，抛物 线 y＝a(x+h)2 可由抛物线 y＝ax2 沿 x 轴方向平移|h|个单位得到，当 h>0 时，向左平移；当 58 h＜0 时，向右平移. 5.函数 y＝(x-2)2＋1 的性质： 函数 y＝(x-2)2＋1 的图象可以看成是将函数 y=(x-2)2 的图象向上平移 1 个单位得到 的，也可以看成是将函数 y=x2 的图象向右平移 2 个单位再向上平移 1 个单位得到的. 6.二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)的对称轴是 x＝ a b 2  ，顶点坐标是( a b 2  ， a bac 4 4 2 ). 7.二次函数的应用： 在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的 性质去解决.其步骤为： 第一步设自变量； 第二步建立函数的解析式； 第三步确定自变量的取值范围； 第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）. 8.反比例函数的概念： 一般地，表达式形如 x ky  （k 为常数且 k≠0 ）的函数叫作反比例函数.反比例函数 x ky  (k≠0)的图象叫作双曲线. 9.反比例函数的性质： ①当 k＞0 时，图象的两个分支分别位于一、三象限，在每个象限内，图象自左向右下 降，函数 y 随 x 的增大而减小. ②当 k＜0 时，图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，图象自左向右上 升，函数 y 随 x 的增大而增大. 10.反比例函数 x ky  （k≠0）中比例系数 k 的几何意义： 过双曲线 x ky  （k≠0）上任意一点引 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积 为 k 的绝对值. 【教学说明】让学生回忆二次函数、反比例函数有关基础知识．同学们之间可以相互补 充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 59 三、运用新知，深化理解 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的最大值是 2，图象顶点在直线 y=x+1 上，并且图象经过点 （3，-6）.求 a、b、c. 解：∵二次函数的最大值是 2, ∴抛物线的顶点纵坐标为 2. 又∵抛物线的顶点在直线 y=x+1 上, ∴当 y=2 时，x=1 , ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）, ∴设二次函数的解析式为 y=a(x-1)2+2. 又∵图象经过点（3，-6）, ∴-6=a(3-1)2+2,∴a=-2, ∴二次函数的解析式为 y=-2(x-1)2+2, 即：y=-2x2+4x 3.（1）抛物线 y=2(x-1)2+3 是由抛物线 y=2x2 怎样平移得到的？（2）若抛物线 y=-x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位，求所得抛物线的解析式. 【分析】由抛物线平移时，形状和开口方向不变. 60 解：（1）抛物线 y=2x2 的顶点是（0，0），抛物线 y=2(x-1)2+3 的顶点是（1，3），∴抛 物线 y=-2(x-1)2+3 是由 y=2x2 向右平移一个单位，再向上平移 3 个单位得到的.（2）抛物线 y=-x2 的顶点是（0，0），把它向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位后，顶点是（－2， －4）， ∴平移后的抛物线解析式为 y=-(x+2)2-4. 4.已知 y=y1+y2，y1 与 x 成正比例，y2 与 x 成反比例，当 x=1 时，y=4；当 x=3 时，y=5， 求 x=-1 时，y 的值． 【分析】先求出 y 与 x 之间的关系式，再求 x=-1 时 y 的值． 说明：不可草率地将 k1、k2 都写成 k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了 k1、k2 的值. 5.求抛物线 y=- 2 1 x2-x+ 2 3 的顶点坐标，写出对称轴及函数与坐标轴交点坐标，当 x 取 何值时，y 随 x 的增大而增大，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 61 6.已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1．试 在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积． 解：设矩形 PNDM 的边 DN=x，NP=y， 则矩形 PNDM 的面积 S=xy（2≤x≤4）. 易知 CN=4-x，EM=4-y． 过点 B 作 BH⊥PN 于点 H, 则有△AFB∽△BHP, ∴y=- 2 1 x+5,S=xy=- 2 1 x2+5x(2≤x≤4)， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为 x=5， ∴当 x≤5 时，函数值 y 随 x 的增大而增大， 对于 2≤x≤4 来说，当 x=4 时，S 最大=- 2 1 ×42+5×4=12． 【教学说明】通过精心的选题让学生演练，在教师引导下完成，达到巩固知识的作用. 四、复习训练，巩固提高 62 1.一次函数 y=-x+1 与反比例函数 xy 3 在同一坐标系中的图象大致是如图中的（ A ） 【分析】∵y=-x+1 的图象经过第一、二、四象限，故排除 B、C；又 xy 3 的图象两支 在第一、三象限，故排除 D．∴答案应选 A. 2.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y=- 5 1 x2+3.5 的一部分，如图所示，若命 中篮圈中心，则他与篮底的距离 L 是（ B ） A.4.6 m B.4.5 m C.4m D.3.5m 3.某商场以每台 2500 元进口一批彩电，如每台售价定为 2700 元，可卖出 400 台，以每 100 元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则少卖出 50 台，那么每台定价为多 少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？ 解：设提高 x 个单位价格时，总获利为 y 元，则 y=(2700+100x-2500)(400-50x)(0≤x ≤8)整理，得 y=-5000(x-3)2+125000.当 x＝3 时，即定价为 3000 元时，可获最大利润 125000 元. 4.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数 y=ax2+(a+c)x+c 与一次函数 y=ax+c 的大 致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ D ） 63 【分析】由 y=ax2+(a+c)x+c 与 y=ax+c 常数项均为 c，所以两个图象与 y 轴交点应是一 个点（0，c），∴A、B 不对;当 y=0 时，ax2+(a+c)x+c=0 的解为 x1=-1,x2= a c ,∴抛物线与 x 轴的交点为（－1，0），（ a c ，0）.当 y=0 时，ax+c=0 的解为 x= a c ,∴直线与 x 轴的交点 为（ a c ，0）,∴抛物线与直线另一交点在 x 轴上，∴应选 D. 5.如图，P 是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是 2，求这个反比例函数 的解析式. 【分析】求反比例函数的解析式，就是求 k 的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与 线段长度的转化来解． 解:设 P 点坐标为（x,y）．因为 P 点在第二象限，所以 x＜0，y＞0．所以图中阴影部分 矩形的长、宽分别为-x,y．又-xy=2，所以 xy=-2．因为 k=xy，所以 k=-2．所以这个反比例 函数的解析式为 xy 2 ． 说明:过反比例函数图象上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的 面积等于 x ky  中的|k|． 6.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中间有 一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x 米． 64 (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？ (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多 少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是 25 米．即：使面积最 大的 x 值与中间有多少道隔墙无关． 【教学说明】根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题， 体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能。让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦. 五、师生互动，课堂小结 师生共同总结，对于本章的知识.你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互 交流. 教材“复习题”A 组中第 2 、3、4、8、13，B 组中 3、5、6 题. 65 让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力.引导学生对 学习内容进行梳理，将知识系统化，条理化，网络化，使学生更好地理解数学知识；贯穿整 个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动 的数学教学. 第 22 章 相似形 21.1 比例线段 第 1 课时 比例线段 【知识与技能】 1.了解相似多边形的概念和性质. 2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似. 3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题. 【过程与方法】 理解相似多边形的概念和性质，并能熟练运用. 【情感态度】 激发学习兴趣，培养想象力，挖掘学习动力. 【教学重点】 相似多边形的定义和性质. 【教学难点】 判断两个多边形是否相似. 一、情景导入，初步认知 如图:四边形 A1B1C1D1 是四边形 ABCD 经过相似变换所得的像.请分别求出这两个四边形的 对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数,然后与你的同伴议一议;这两个四 边形的对应角之间有什么关系?对应边之间有什么关系? 66 【教学说明】培养学生从图片直观地获得信息的读图能力，并通过亲身体验归纳总结相 似图形的共同特点.而且由此自然引出课题：“相似多边形”. 二、思考探究，获取新知 1.如图，由同一底片直接印出来的照片与扩印出来的照片，它们的形状相同吗？ 2.如图，在制作大小尺寸不同的国旗时，所画的两个五角星图形，它们的形状相同吗？ 【归纳结论】我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 3.下图是两个正方形、两个等边三角形.观察图形，回答下列问题. （1）每组的两个图形的形状相同吗？ （2）每组的两个图形相似吗？ （3）计算每组的两个图形的对应边的长度的比、对应角有什么关系？ （4）你能归纳上面的结论吗？ 【归纳结论】两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等， 那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边长度的比叫作相似比或相似系数. 4.根据相似多边形的概念，你知道相似多边形的性质吗？ 67 【归纳结论】相似多边形的对应角相等，对应边长度的比相等. 【教学说明】通过对各种相似图形特点的一个自然感知的过程，使学生都能用自己的语 言归纳总结出相似多边形的特点. 三、运用新知，深化理解 1.下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系?对应边呢？ (1) 正三角形 ABC 与正三角形 DEF; (2) 正方形 ABCD 与正方形 EFGH. 解:(1)由于正三角形每个角等于 60°， 所以∠A=∠D= 60°,∠B=∠E=60°, ∠C=∠F= 60°. 由于正三角形三边相等， 所以 AB∶DE=BC∶EF=CA∶FD (2)由于正方形的每个角都是直角， 所以∠A=∠E= 90°,∠B=∠F=90°,∠C=∠G= 90°, ∠D=∠H= 90° 由于正方形的四边相等， 所以 AB∶EF=BC∶FG=CD∶GH=DA∶HE 2.两个相似的五边形，一个各边长分别为 1，2，3，4，5，另一个最大边长为 10，则后 一个五边形的最短边的长为 2 . 【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得． 解：两个相似的五边形，最长的边是 5，另一个最大边长为 10，则相似比是 5∶10=1∶ 2，根据相似五边形的对应边的比相等，因而设后一个五边形的最短边的长为 x， 则 1∶x=1∶ 2,解得 x=2,后一个五边形的最短边的长为 2． 3.如图，四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，则∠1= 76°，AD= 28 . 【分析】根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得． 解：四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′， 则∠1=∠B=70°，A′D′∶AD=D′C′∶DC,即 21∶AD=18∶24. 68 解得 AD=28，∠1=70°． 4.设四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 是相似的图形，且 A 与 A1、B 与 B1、C 与 C1 是对应点， 已知 AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，则四边形 A1B1C1D1 的周长为 38 ． 【分析】四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相 等，就可求得 A1B1C1D1 的其它边的长，就可求得周长． 解：∵四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 是相似的图形, ∴ AB∶A1B1=BC∶B1C1=CD∶C1D1=DA∶D1A1. 又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8, ∴12∶8=18∶B1C1=18∶C1D1=9∶D1A1, ∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6, ∴四边形 A1B1C1D1 的周长=8+12+12+6=38． 【教学说明】学生在应用中更深层次认识相似多边形的基本涵义；初步掌握相似多边形 的对应角相等，对应边成比例的性质. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 22.1”中第 2 题. 本节课是在探索相似多边形的过程中,进一步发展学生归纳、类比、反思、交流、论证 等方面的能力，提高数学思维水平. 第 2 课时 比例的性质及黄金分割 【知识与技能】 1.理解比例的基本性质. 2.能根据比例的基本性质求比值. 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. 69 【过程与方法】 经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题. 【情感态度】 感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学 习方法. 【教学重点】 比例的基本性质. 【教学难点】 比例的基本性质及运用. 一、情景导入，初步认知 1.举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形. 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含 有 30°角的三角尺等. 2.美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为 0.618.一些长方形的画框，宽与长之 比也设计成 0.618,许多美丽的形状都与 0.618 这个比值有关.你知道 0.618 这个比值的来历 吗？ 3.如何求两个数的比值？ 【教学说明】说明学习本章节内容的重要意义. 二、思考探究，获取新知 1.阅读与思考题 (1)什么是两个数的比？2 与-3 的比；-4 与 6 的比.如何表示？其比值相等吗？用小学 学过的方法可说成什么？可写成什么形式？ (2)什么叫做两条线段的比？ （3）比与比例有什么区别？ 【归纳结论】用同一长度单位去度量两条线段 a、b，得到它们的长度，我们把这两条 线段长度的比叫做这两条线段的比，记作 a/b 或 a∶b. 例如：a=2.0cm,b=1.5cm.那么 a/b=2.0/1.5=4/3. 在四条线段 a、b、c、d 中，如果其中两条线段 a、b 的比等于另外两条线段 c、d 的比， 70 即 a/b=c/d（或 a∶b＝c∶d），那么这四条线段叫做成比例线段.简称比例线段．其中 a,d 叫做比例外项，b,c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段 a、b、c 之间有 a∶b=b∶c，那么线段 b 叫做线段 a、c 的比例中项. 2.思考： （1）如果四条线段 a、b、c、d 成比例，即 a/b=c/d，那么 ad＝bc 吗？如果 ad＝bc， 那么 a、b、c、d 成比例吗？ （2）如果 a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d 吗？ （3）如果 a1/b1=a2/b2=…=an/bn，且 b1+b2+…+bn≠0,那么(a1+a2+…an)/(b1+b2+…+bn)=a1/b1 吗？ 你能证明上面的三个问题吗？ 【归纳结论】比例的性质： （1）基本性质：如果 a/b=c/d，那么 ad＝bc.（b、d≠0） （2）合比性质：如果 a/b=d/c，那么(a+b)/b=(c+d)/c.（b、d≠0） （3）等比性质：a1/b1=a2/b2=…=an/bn，且 b1+b2+…+bn≠0,那么(a1+a2+…an)/(b1+b2+… +bn)=a1/b1 【教学说明】理解比例的性质可以由等式的基本性质推出. 3.如图，已知线段 AB 长度为 a，点 P 是 AB 上一点，且使 AB∶AP=AP∶PB，求线段 AP 的长和 AP∶AB 的值. 【教学说明】引导学生用方程的思想求解. 【归纳结论】把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项， 这样的线段分割叫做黄金分割.分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 5 1 2  叫做黄金 数. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P67 例 1、例 2. 2.若 ac=bd，则下列各式一定成立的是( ) 71 答案：B 3.已知 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 AC∶AB 为（ ） 答案：D 4. 若 2x－5y=0，求 y∶x 与(x+y) ∶x 的值. 解：∵2x-5y=0,∴2x=5y,∴y∶x=2∶5.设 x=5k,y=2k,∴(x+y) ∶x=(5k+2k) ∶2k=72. 5.已知四条线段 a、b、c、d 的长度，试判断它们是否成比例. （1）a=16 cm,b=8 cm,c=5 cm,d=10 cm; （2）a=8 cm,b=5 cm,c=6 cm,d=10 cm. 解：（1）a/b=2，d/c=2，则 a/b=d/c，所以 a、b、d、c 成比例. （2）由已知得 ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc，所以 a、b、c、d 四条线段不成比例. 6.已知 a、b、c、d 是成比例线段，且 a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，求线段 d 的长. 解：因为 a、b、c、d 是成比例线段，所以有 a/b=c/d，即 3/2=6/d，解得：d=4,所以线 段 d 的长为 4 cm. 7.已知 k=(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b，求 k 的值． 【分析】解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把 a+b+c=0 这种 情况漏掉. 解：当 a+b+c=0 时，a+b=-c，所以 k=-c/c=-1；当 a+b+c≠0 时，可以用等比性质 k=  2 a b c a b c     =2；∴k=-1 或 k=2. 【教学说明】在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一 点. 8.已知 a∶b∶c=4∶3∶2,且 a+3b－3c=14.（1）求 a,b,c;（2）求 4a－3b+c 的值. 解：（1）设 a=4k,b=3k,c=2k. ∵a+3b－3c=14, 72 ∴4k+9k－6k=14, ∴7k=14,∴k=2, ∴a=8,b=6,c=4. （2）4a-3b+c=32-18+4=18. 9.在比例尺为 1︰2000 的地图上测得 AB 两地间的图上距离为 5 cm，则 AB 两地间的实 际距离为多少米？ 解：设两地之间的实际距离为 x， 则：1/2000=5/x,x=5×2000=10000 cm=100 m. 10.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比 例越接近 0.618 越给人以美感.张女士的身高为 168cm，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为 102cm，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美？(精确到十分位) 解：设她应选择高跟鞋的高度是 x cm， 则102 168 x x   =0.618,解得：x≈4.8cm. 答：她应选择约 4.8cm 高的高跟鞋看起来更美。 故答案为 4.8. 【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义.使学 生能更好地掌握本节知识. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 22.1”中第 1 、3 题. 在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应 用.本节课黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择 上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金 分割，体现了数学丰富的文化价值.同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相 关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识. 这节课的不足之处是教学内容比较多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用 学生练习得比较少，部分学生对这种类型的题目掌握不好.另外，学生对黄金分割点的证明 73 理解还不到位. 第 3 课时 平行线分线段成比例 【知识与技能】 在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论. 【过程与方法】 通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通 过应用锻炼识图能力和推理论证能力. 【情感态度】 通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称 美. 【教学重点】 定理的应用. 【教学难点】 定理的推导证明. 一、情景导入，初步认知 1.求出下列各式中的 x∶y. （1）3x=5y； （2）x=23y；（3）3∶2=y∶x； （4）3∶x=5∶y. 【教学说明】其中第 1 题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第 2、3 题以学生各 自解答，指定 2 人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行. 二、思考探究，获取新知 1.如图，有一组平行线：l1∥l2∥l3∥…∥ln,另外，直线 A1An 与直线 B1Bn 被这一组平行 74 线分别截于点 A1,A2,…,An 和点 B1,B2,…,Bn. 根据已学定理，可以得到：如果 A1A2=A2A3=…=An-1An,那么 B1B2=B2B3=…Bn-1Bn. 如 果 设 A1A2=A2A3= … =An-1An=a,B1B2=B2B3= … =Bn-1Bn=b, 容 易 得 到 ： 1 k k n A A A A =   1 1k a k n k a n k    （ ） , 1 k k n B B B B =   1 1k b k n k b n k    ( ) .所以有 A1Ak∶AkAn=B1Bk∶BkBn.因此，你能得 到什么结论呢？ 【归纳结论】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 【教学说明】这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到能根据图形作出正确的 比例的程度即可. 2.如图，直线 DE 平行于△ABC 的一边 BC,并分别交另两边 AB,AC(或它们的延长线）于 点 D,E. 思考：（1）上面两个图形中有成比例线段吗？分别是什么？请写出来. （2）你能根据上面的定理证明你所写的比例线段吗？ （3）由此，你能得到什么结论？ 【归纳结论】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线 段成比例. 【教学说明】引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理及推论，然后师生共同归纳 得出定理并板书定理. 三、运用新知，深化理解 1.若 a/b=7/5,b/c=3/2，那么(a-b)/(b+c)=______. 【分析】∵a/b=7/5，b/c=3/2, 75 ∴a=7/5b，c=2/3b, ∴ 7 65 2 25 3 b ba b b c b b     答案：6/25 2.如图，在△ABC 中，若 BD∶DC=CE∶EA=2∶1，AD 和 BE 交于 F，则 AF∶FD=______. 【分析】过点 D 作 DH∥BE 交 AC 于 H. ∴EH∶HC=BD∶DC=2， ∴EH=2/3CE. ∵ BD∶BC=CE∶EA=2∶1， ∴ AE=1/2CE=3/4EH, ∴ AF∶FD=AE∶EH=3∶4. 答案：3∶4 3.如图，在△ABC 中，D、E 分别在 BC、AC 上，且 DC∶BD=3∶1，AE∶EC =2∶1，AD 与 BE 交于 F，则 AF∶FD=______. 【分析】过点 D 作 DH∥BE 交 AC 于 H. ∴ EH∶HC=BD∶DC=1∶3, ∴ EH=1/4CE. ∵AE∶EC=2∶1, ∴AE=2CE, ∴ AF∶FD=AE∶EH=8. 答案：8∶1 4.如图所示，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE∶AB=2∶3.求 GF 的 长． 解：∵EG∥BC，∴EG∶9=2∶3， 76 ∵EG=6，EF∥AD,∴EF∶6=1∶3， EF＝2，∴GF=EG-EF=6-2=4. 5.已知，如图，AD∥EF∥BC，BE=3，AE=9，FC=2．求 DF 的长. 解：（1）∵AD∥EF∥BC，∴AE∶BE=DF∶FC， ∵BE=3，AE=9，FC=2，∴9∶3=DF∶2， 解得：DF=6. 6.如图，如果 AB∥EF∥CD，AF=3，AD=5，CE=3，求 BE. 【分析】连接 AE 并延长交 CD 于 G，根据平行线分线段成比例定理，可得 AF∶AD=AE∶ AG，从而求出 AE∶EG，再据平行线分线段成比例定理，可得 BE∶EC=AE∶EG，计算可得 BE 的值. 解：连接 AE 并延长交 CD 于 G， ∵EF∥CD， ∴AF∶AD=AE∶AG，AE∶AG=3∶5， ∴AE∶EG=3∶2， ∵AB∥CD， ∴BE∶EC=AE∶EG，BE∶3=3∶2， ∴BE=9/2． 【教学说明】通过本例题分析使学生进一步理解定理. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 22.1”中第 5、7、9、10 题. 对于本节课的学习，学生还是要以探索归纳，动手练习为主.既要复习知识点，更重要 的是要在复习的过程中不断提高学生用数学解决问题的能力. 77 22.2 相似三角形的判定 第 1 课时 平行线与相似三角形 【知识与技能】 经历三角形相似的判定定理“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线） 相交，截得的三角形与原三角形相似”的探索及证明过程. 【过程与方法】 让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题 的能力. 【情感态度】 通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐. 【教学重点】 三角形相似的判定定理及应用. 【教学难点】 三角形相似的判定定理及应用. 一、情景导入，初步认知 问题 1 相似多边形的性质是否适用于相似三角形呢？ 问题 2 如果△ABC 与△A1B1C1 相似，能类似于两个三角形全等，给出一种相似的表示方 法吗？△ABC 和△A1B1C1 的相似比为 k，那么△A1B1C1 与△ABC 的相似比也是 k 吗？ 问题 3 如何判定两个三角形相似呢？ 【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课. 二、思考探究，获取新知 1.△ABC 与△A′B′C′相似，应记作：△ABC∽△A′B′C′，读作:△ABC 相似于△A′ B′C′. 2.根据相似的性质，两三角形相似，它们的对应角相等，对应边成比例.把对应边的比 称为相似比.想一想，当相似比等于多少时这两个三角形全等？如何判定两个三角形相似 78 呢？ 3.在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.那么△ADE 与△ABC 相似吗？ 【分析】要判定两个三角形相似，我们可以从相似的定义来判定，即对应边成比例、对 应角相等. 解：过 D 作 AC 的平行线交 BC 于 F 点. ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴ AD∶AB=AE∶AC,FC∶BC=AD∶AB. ∵四边形 DFCE 是平行四边形, ∴DE=FC,即 DE∶BC=AD∶AB. ∵AD∶AB=AE∶AC=DE∶BC, 又∵∠A=∠A,∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ADE∽△ABC. 4.通过上面的证明，你能得到什么结论？ 【归纳结论】平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的三 角形与原三角形相似. 【教学说明】引导学生分析、证明、归纳结论. 三、运用新知，深化理解 1.如图，在△ABC 中，DE∥BC，若 AD∶DB=1∶3，DE=3 cm；求 BC 的长． 解：∵AD∶DB=1∶3，∴AD∶AB=1∶4， ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴AD∶AB=DE∶BC. ∵DE=3 cm,∴BC=12 cm． 2.如图所示，已知在 ABCD 中，E 为 AB 延长线上的一点，DE 与 BC 相交于 F，请找出图 79 中各对相似三角形. 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC， ∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED. ∴ △BEF∽△CDF∽△AED. 3.在△ABC 中，DE∥BC，M 为 DE 中点，CM 交 AB 于 N，若 AD∶AB=2∶3，求 ND∶BD. 解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC ∴ DE∶BC=AD∶AB=2∶3. ∵M 为 DE 的中点， ∴DM∶BC=1∶3, ∵DM∥BC ，∴△NDM∽△NBC, ∴ND∶NB=DM∶BC=1∶3, ∴ND∶DB=1∶2. 【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流,让学生随时展示自己的想法. 从而得到提高. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材 P78“练习”. 通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少 数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明. 第 2 课时 相似三角形的判定定理 1 80 【知识与技能】 1.经历三角形相似的判定定理 1 的探索及证明过程. 2.能应用定理 1 判定两个三角形相似，解决相关问题. 【过程与方法】 让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题 的能力. 【情感态度】 通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学探索与创造的快乐. 【教学重点】 三角形相似的判定定理 1 及应用. 【教学难点】 三角形相似的判定定理 1 的证明. 一、情景导入，初步认知 现有一块三角形玻璃 ABC, 不小心打碎了，只剩下∠A 和∠B 比较完整.如果用这两个角 去配制一块完全一样的玻璃，能成功吗？ 【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课. 二、思考探究，获取新知 我们知道，要判定两个三角形相似，可以根据相似三角形的定义“对应角相等、对应边 成比例的两个三角形相似”，那么能不能像判定两个三角形全等一样，用较少的条件就能判 定两个三角形相似呢？ 探究：已知：如图在△A′B′C′和△ABC 中，∠A′=∠A，∠B′=∠B.求证：△A′B′ C′∽△ABC. 证明：在△ABC 的 AB 上截 BD=B′A′，过 D 作 DE∥AC，交 BC 于 E. ∴△ABC∽△DBE. ∵∠BDE=∠A，∠A=∠A′,∴∠BDE=∠A′. 81 ∵∠B=∠B′，BD=B′A′,∴△DBE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′ 【教学说明】如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励. 【归纳结论】定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似.（简称：两角分别相等的两个三角形相似.） 三、运用新知，深化理解 1.判断题： （1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（ ） （2）所有的直角三角形都相似. （ ） （3）有一个角相等的两个等腰三角形相似. （ ） （4）顶角相等的两个等腰三角形相似. （ ） 答案：（1）√（2）×（3）×（4）√ 2.如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则△AGD ∽_____∽_____. 【分析】关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形， 利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角.本例除公共角∠G 外,由 BC∥AD 可 得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC.再∠1=∠3（对顶角），由 AB∥DG 可得∠4=∠G，所以△EGC ∽△EAB. 答案：△EGC△EAB 3.已知：在△ABC 和△DEF 中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.求证：△ ABC∽△DEF . 证明：∵ 在△ABC 中，∠A=40°，∠B=80°， ∴ ∠C=180°-∠A-∠B =180°-40°-80°=60°. ∵ 在△DEF 中，∠E=80°，∠F=60°, 82 ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F, ∴ △ABC∽△DEF.（两角对应相等，两三角形相似） 4.已知在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC∽△BCD. 【分析】证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可 以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法. 证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形， ∴∠ABC=∠C=72°. 又 BD 平分∠ABC，则∠DBC=36°. 在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36°, ∴△ABC∽△BCD 5.已知：如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高.求证：△ACD∽△ABC∽△CBD . 证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°， ∴ △ACD∽△ABC（两角对应相等，两 三角形相似） 同理 △CBD ∽△ABC . ∴△ACD∽△ABC∽△CBD. 6.已知：在△ABC 和△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，问： 这两个三角形相似吗？为什么？ 解：在△ABC 中，∵∠B=75°，∠C=50°. ∴∠A=55°,∴∠B=∠B′，∠A=∠A′, ∴△ABC∽△A′B′C′. 【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流,让学生随时展示自己的想法。 从而得到提高. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 83 布置作业:教材 P79“练习”. 通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少 数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明. 第 3 课时 相似三角形的判定定理 2 【知识与技能】 1.经历三角形相似的判定定理 2 的探索及证明过程. 2.能应用定理 2 判定两个三角形相似，解决相关问题. 【过程与方法】 让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题 的能力. 【情感态度】 让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题 的能力. 【教学重点】 三角形相似的判定定理 2 及应用. 【教学难点】 三角形相似的判定定理 2 的证明. 一、情景导入，初步认知 问题：（1）相似三角形的定义是什么？ 三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似. (2) 判定两个三角形相似，你有哪些方法？ 方法 1：通过定义 (不常用)； 84 方法 2：通过平行线（条件特殊，使用起来有局限性）； 方法 3：判定定理 1， 两角分别相等的两个三角形相似. 【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望. 二、思考探究，获取新知 探究:已知，如图，在△A′B′C′和△ABC 中，∠A′=∠A， AB∶A′B′=AC∶A′C′. 求证： △A′B′C′∽△ABC. 证明：在△ABC 的边 AB（或延长线）上，截取 AD=A′B′，过点 D 作 BC 的平行线 DE 交 AC 于 E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC. ∵AB∶AD=AC∶AE,AD=A′B′, ∴AB∶A′B′=AC∶AE. ∵AB∶A′B′=AC∶A′C′, ∴AC∶A′C′=AC∶AE,A′C′=AE. ∵∠A=∠A′, ∴△ADE≌△A′B′C′ (SAS), ∴△A′B′C′∽△ABC. 你还有其他方法来证明吗？ 【教学说明】如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励. 【归纳结论】如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似.（简称：两边成比例且夹角相等的两三角形相似.） 三、运用新知，深化理解 1.在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=4，BC=5，A′C′=8，B′C′ =10. （学生分组讨论，每组找一个代表讲述证明过程，老师总结板书） 解：∵AC∶A′C′ =4∶8=1∶2,BC∶B′C′=5∶10=1∶2. ∴AC∶A′C′=BC∶B′C′,又∠C=∠C′=90°， 85 故△ABC∽△A′B′C′. 2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 17 2 ，求 AD 的 长． 【分析】由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的 夹角相等”来证明．计算得出 AB∶DC=BC∶CA，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利 用相似三角形的定义得出关于 AD 的比例式 ，从而求出 AD 的长． 解：由已知条件可以得出 AB∶CD=BC∶AC, 又∠B=∠ACD,根据判定定理 2 可得出： △ABC∽△DCA,∴AC∶AD=BC∶AC. 又 AC=5，BC=4， ∴AD=AC2∶BC=52∶4=25∶4. 3.如图，已知△ABD∽△ACE ，求证：△ABC∽ △ADE. 【分析】由于△ABD∽△ACE，则∠BAD=∠CAE，因此∠BAC=∠DAE，如果再进一步证明 BA∶AD=CA∶AE，则问题得证． 证明:∵△ABD∽△ACE， ∴∠BAD=∠CAE． 又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC， ∠DAE=∠DAC+∠CAE， ∴∠BAC=∠DAE． ∵△ABD∽△ACE，∴AB∶AD=AC∶AE． 在△ABC 和△ADE 中， ∵∠BAC=∠DAE,AB∶AD=AC∶AE， ∴△ABC∽△ADE. 86 4.如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来， 并简要说明识别的根据． 解：（1）△ADE∽△ABC 两角相等； （2）△ADE∽△ACB 两角相等； （3）△CDE∽△CAB 两角相等；（4）△EAB∽△ECD 两边成比例且夹角相等；（5）△ABD ∽△ACB 两边成比例且夹角相等；（6）△ABD∽△ACB 两边成比例且夹角相等． 【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流,让学生随时展示自己的想法. 从而得到提高. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材 P80“练习”. 通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少 数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明. 第 4 课时 相似三角形的判定定理 3 【知识与技能】 87 1.经历三角形相似的判定定理 3 的探索及证明过程. 2.能应用定理 3 判定两个三角形相似，解决相关问题. 【过程与方法】 让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题 的能力. 【情感态度】 通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学探索与创造的快乐. 【教学重点】 三角形相似的判定定理 3 及应用. 【教学难点】 三角形相似的判定定理 3 的证明. 一、情景导入，初步认知 回想一下，我们已经学习过哪些判定两个三角形相似的方法？ 由此我们能否由全等的另一种方法（SSS）想到判定三角形相似的新方法？ 【教学说明】学生猜测，并写出已知、求证. 二、思考探究，获取新知 探究：已知：如图，△A′B′C′和△ABC 中，AB∶A′B′＝AC∶A′C′＝BC∶B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 【教学说明】引导学生分析、证明、归纳结论. 【归纳结论】如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三 角形相似.（简称：三边成比例的两个三角形相似） 三、运用新知，深化理解 1.教材 P80 例 1、P81 例 2、例 3. 2.已知 ABC 的三边长分别为 6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF 的一边长为 4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ） 88 A. 2cm，3cm；B. 4cm，5cm； C. 5cm，6cm；D. 6cm，7cm . 答案 C 3.在△ABC 和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说 明理由. （1）AB＝5，AC＝3，∠A=45°; A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°. （2）∠A=38°，∠C=97°;∠A′=38°，∠B′=45°. （3）AB=2 , BC= 2 ，AC= 10 ;A′B′= 2 , B′C′=1 , A′C= 5 . 解：(1) 相似，两边成比例且夹角相等;(2)相似，两角分别相等;(3)相似，三遍分别对 应成比例. 4.判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由. 解:在△ABC 中，AB＞BC＞CA，在△DEF 中，DE＞EF＞FD， ∵DE∶AB=2.4∶4=0.6, EF∶BC=2.1∶3.5=0.6, FD∶CA=1.8∶3=0.6, ∴DE∶AB=EF∶BC=FD∶CA, ∴△DEF∽△ABC. 5.如图，等腰直角三角形 ABC 中，顶点为 C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC． 解：∵△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠A=∠B=45°． 又∵∠MCN=45°，∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN， ∠MCB=∠MCN+∠NCB=45°+∠BCN． ∴∠CNA=∠MCB， 在△BCM 和△ANC 中， ,B A MCB CNA          ， 89 ∴△BCM∽△ANC． 6.已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接 BD、AD，以 BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD， ∠BCE=∠BAD.求证：△DBE∽△ABC. 【分析】由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC 公用.所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE 和△ABC， 有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成 比例.从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就 可以得到解决. 证明：在△CBE 和△ABD 中， ∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD, ∴△CBE∽△ABD,∴BC∶AB=BE∶BD, 即 BC∶BE=AB∶BD. 在△DBE 和△ABC 中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC 公用， ∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC， ∴∠DBE=∠ABC 且 BC∶BE=AB∶BD, ∴△DBE∽△ABC. 【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流,让学生随时展示自己的想法， 从而得到提高. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材 P82“练习”. 相似三角形的判定主要介绍了四种方法 ,从练习的结果来看,不是很理想,绝大部分学 生对定理的应用不是很熟练，特别对于“两边对应成比例且夹角相等”不能灵活运用,夹角 也不能准确找到.我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深,对定理的理解不透,一味 90 死记结论，不能理解每个量所表示的含义.我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力, 合情推理的能力,争取在这方面有所提高. 第 5 课时 直角三角形相似的判定方法 【知识与技能】 经历直角三角形相似的判定定理的探索及证明过程. 【过程与方法】 让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题 的能力. 【情感态度】 通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学探索与创造的快乐. 【教学重点】 三角形相似的判定定理及应用. 【教学难点】 三角形相似的判定定理及应用. 一、情景导入，初步认知 回想一下，我们已经学习过哪些判定两个三角形相似的方法？ 由此我们能否由全等的另一种方法（HL）想到判定相似的新方法？ 【教学说明】 学生猜测，并写出已知、求证. 二、思考探究，获取新知 探究：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C =90°，∠C′=90°，AB∶A′B′ =AC∶A′C′.求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 91 【分析】已知两边成比例，只要得到三边成比例， 即可完成证明. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , . : , . ( , ) , . AB AC k AB kA B AC kA CA B A C BC AB AC B C A B A C BC AB AC k A B k A C kB C kB C B C B C B C AB AC BC A B A C B C Rt ABC Rt A B C                                                     证明：设 则 由勾股定理，得 △ ∽ △ 三边成比例的两个三角形相似 【归纳结论】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一 条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似. 【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P83 例 4. 2.如图，已知△ABC、△DEB 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，点 E 在边 AC 上， CB、ED 交于点 F.试说明：△ABE∽△CBD. 证明：∵△ABC、△DEB 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°， ∴∠ABE=∠CBD，EB∶BD=AB∶AC= 2 ∶2，AC=BC. ∴△ABE∽△CBD. 3.在平行四边形 ABCD 中，M，N 为对角线 BD 的两个点，连接 AM 应延长交 BC 于 E，连接 EN 并延长交 AD 于 F．试说明△AMD∽△EMB. 证明：（1）∵ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ADM=∠EBM，∠MAD=∠MEB， ∴△AMD∽△EMB． 4.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 92 【分析】根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可 知：△ADE∽△EFC． 证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC， ∴∠AED=∠C． 又∵EF∥AB，∴EF∥AD， ∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC． 5.如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF⊥AE 于 F，试说明：△ABF∽△EAD. 【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似可证． 证明：∵在矩形 ABCD 中，AB⊥CD，∠D=90°， ∴∠BAF=∠AED． ∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°． ∴∠AFB=∠D,∴△ABF∽△EAD． 【教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 22.2”中第 3、5、10 题. 这几节课我把“思路、教路、学路”三者有机结合，我个人认为，不仅仅是有机结合， 在某种程度上，教路、思路必须要建立在学路的基础上，要以学路为基本出发点.所以在教 学过程中，我的教学设计思路比较清晰，这几节课主要任务就是一个定理一个定理地进行巩 固练习，变式训练，能力提高.照顾到全体学生，特别是中等和中等偏下的学生，在问题解 93 决的过程中，我注重问题的本质属性，善于将其归类、变式，总结出一般的方法和规律. 22.3 相似三角形的性质 第 1 课时 相似三角形的性质定理 1 【知识与技能】 理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比及相似三角形的面积的比、 周长比与相似比之间的关系． 【过程与方法】 对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探 究、合作交流的习惯和严谨治学的态度. 【情感态度】 在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律. 【教学重点】 相似三角形性质的应用. 【教学难点】 相似三角形性质的应用. 一、情景导入，初步认知 1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？ 2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？ 3.相似三角形的判定方法有哪些？ 【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备. 二、思考探究，获取新知 1.如图，△ABC 和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为 k，求这两个三角形的角平 分线 AD 与 A′D′的比. 94 解：∵△A′B′C′∽△ABC ∴∠B=∠B′,∠BAC=∠B′A′C′ ∵A′D′,AD 分别是△A′B′C′与△ABC 的角平分线， ∴∠BAD=∠B′A′D′ ∴△ABD∽△A′B′D′（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴ AD∶A′D′=AB∶A′B′=k 根据上面的探究，你能得到什么结论？ 【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 2.在上图中，如果 AD、A′D′分别为 BC、B′C′边上的中线，那么，AD 和 A′D′之间 有什么关系？你能证明你的结论吗？ 【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 3.如图△ABC∽△A′B′C′ ，ABA′B′=k ，AD、A′D′为高线. （1）这两个相似三角形周长比为多少？ （2）这两个相似三角形面积比为多少？ 解：（1）由于△ABC ∽△A′B′C′， 所以 AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k， 由并比性质可知 （AB+BC+AC) ︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k. （2）由题意可知 △ABD∽△A′B′D′ 所以 AB︰A′B′=AD︰A′D′=k 因此可得 △ABC 的面积︰△A′B′C′的面积 95 =（AD·BC）︰（A′D′·B′C′） =k2 【归纳结论】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论.学生可以通过合作 交流，找出解决问题的方法. 三、运用新知，深化理解 1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD 和 B′D′是它们的对应中线，且 AC∶A′C′=3∶2，B′ D′=4，则 BD 的长为______. 【分析】因为△ABC∽△A′B′C′，BD 和 B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的 比等于相似比，BD∶B′D′=AC∶A′C′，即 BD∶4=3∶2 ∴BD=6. 答案：6 2.在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC 的周长是 16，面积是 12，那么△DEF 的周长、面积依次为（ ） A.8，3 B.8，6 C.4，3 D.４，6 【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为 8， 面积为 3，所以选 A. 答案：A 3.已知△ABC∽△A′B′C′且 S△ABC∶S△A′B′C′=1∶ 2 ，则 AB∶A′B′=______． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求 AB∶A′B′=1∶ 2 . 答案：1∶ 2 4.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 12 倍，那么边长应 缩短到原来的. 【分析】根据面积比等于相似比的平方可得相似比为 22，所以边长应缩短到原来的 2 2 . 答案： 2 2 5.如图，CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高. 96 （1）则图中有几对相似三角形； （2）若 AD=9cm，CD=6cm，求 BD； （3）若 AB=25cm，BC=15cm，求 BD. 解：（1）∵CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高， ∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°. 在△ADC 和 △ACB 中， ∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB 同理可知，△CDB∽△ACB. ∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形. （2）∵△ACD∽△CBD，∴AD∶CD=CD∶BD，即 9∶6=6∶BD， ∴BD=4（cm）. （3）∵△CBD∽△ABC，∴BC∶BA=BD∶BC. ∴15∶25=BD∶15，∴BD=(15×15)/25=9（cm）. 6.如图 ，梯形 ABCD 中，AB∥CD，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点 G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF∥CD 交 AD 于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm,求 CD 的长. 解：（1）证明：∵梯形 ABCD，AB∥CD， ∴∠CDF=∠BGF， ∠DCF=∠GBF， ∴△CDF∽△BGF． （2）由（1）知△CDF∽△BGF， 又 F 是 BC 的中点，BF=FC 97 ∴△CDF≌△BGF， ∴DF=FG，CD=BG 又∵EF∥CD，AB∥CD， ∴EF∥AG，得 2EF=AG=AB+BG ． ∴BG=2EF-AB=2×4-6=2， ∴CD=BG=2cm． 7.已知△ABC 的三边长分别为 5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为 26， 求△A′B′C′的面积 S. 【分析】由△ABC 的三边长可以判断出△ABC 为直角三角形，又因为△ABC ∽△A′B′ C′，所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为 26，可以求出相 似比，从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积． 解：设△ABC 的三边依次为 BC=5，AC=12，AB=13， 则∵AB2=BC2+AC2 ， ∴∠C=90°． 又∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠C′=∠C=90°． BC∶B′C′=AC∶A′C′=AB∶A′B′=13∶26=1∶2， 又 BC=5，AC=12， ∴B′C′=10，A′C′=24． ∴S= 1 2 A′C′×B′C′= 1 2 ×24×10＝120． 8.（1）已知 x/2 =y/3=z/5=k，且 3x+4z-2y=40，求 x，y，z 的值； （2）已知：两相似三角形对应高的比为 3∶10，且这两个三角形的周长差为 560cm，求 它们的周长． 【分析】（1）用同一个字母 k 表示出 x，y，z．再根据已知条件列方程求得 k 的值，从 而进行求解； （2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解. 解：（1）由题意知 x=2k，y=3k，z=5k 由于 3x+4z-2y=40， ∴6k+20k-6k=40， 98 ∴k=2， ∴x=4，y=6，z=10． （2）设一个三角形周长为 C cm，则另一个三角形周长为（C+560）cm， 则 C/(C+560)=3/10， ∴C=240，C+560=800， 即它们的周长分别为 240cm，800cm． 【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探 索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 22.3”中第 2、3、4、5 题. 本节的主要内容主要是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似 三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量 与不变量，体会其中蕴涵的数学思想. 第 2 课时 相似三角形的性质定理 2、3 【知识与技能】 能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 【过程与方法】 通过例题的教学，让学生掌握解决实际问题的方法. 【情感态度】 进一步检验数学的应用价值. 【教学重点】 运用相似三角形的性质解决简单的实际问题. 99 【教学难点】 运用相似三角形的性质解决简单的实际问题. 一、情景导入，初步认知 我们已经学习的相似三角形的性质有哪些？ 1.相似三角形对应角相等. 2.相似三角形对应边成比例. 3.相似三角形的周长之比等于相似比. 4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 5.相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比. 思考：你能够将上面的数学问题转化为生活中的问题吗？ 【教学说明】复习相似三角形的性质，为本节课的教学作铺垫. 二、思考探究，获取新知 1.探究：如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边 BC=80 厘米，高 AD=60 厘米，要把铁皮 加工成矩形零件，使矩形的两边之比为 2∶1，且矩形长的一边位于边 BC 上，另两个顶点分 别在边 AB,AC 上，求这个矩形零件的边长. 解：如图，矩形 PQRS 为加工后矩形零件，边 SR 在边 BC 上，顶点 P,Q 分别在边 AB,AC 上，△ABC 的高 AD 交 PQ 于点 E,设 PS 为 x cm，则 PQ=2xcm. ∵PQ∥BC ∴∠APQ=∠ABC，∠AQP=∠ACB ∴△APQ∽△ABC ∴ PQ∶BC=AE∶AD 即：2x∶80=(60-x) ∶60 解方程，得： x=24，2x=48 答：这个矩形零件的边长分别是 48cm 和 24cm. 【教学说明】鼓励学生大胆地发言，积极讨论，教师作适当的引导、点评. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P89 例 2. 100 2.（1）某一时刻树的影长为 8 米，同一时刻身高为 1.5 米的人的影长为 3 米，则树高 _____. （2）铁道的栏杆的短臂为 OA=1 米，长臂 OB=10 米，短臂端下降 AC=0.6 米，则长臂端 上升 BD=_____米. 答案：4 米 6 3.如图，已知零件的外径为 a，要求它的厚度 x，需先求出内孔的直径 AB，现用一个交 叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等）去量，若 OA∶OC=OB∶OD=n，且量得 CD=b，求厚度 x. 【分析】如图，要想求厚度 x，根据条件可知，首先得求出内孔直径 AB.而在图中可构 造出相似形，通过相似形的性质，从而求出 AB 的长度. 解：∵OA∶OC=OB∶OD=n 且∠AOB＝∠COD ∴△AOB∽△COD ∵OA∶OC=AB∶CD=n 又∵CD＝b ∴AB=CD·n ＝nb ∴x＝(a-AB)/2＝(a-nb)/2 4.如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC=120 毫米，高 AD=80 毫米，要把它加工 成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件 的边长是多少？ 101 解：设正方形 PQMN 是符合要求的.△ABC 的高 AD 与 PN 相交于点 E. 设正方形 PQMN 的边长为 x 毫米. 因为 PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以 AE∶AD＝PN∶BC 因此(80-x)/80＝x/120 得 x=48（毫米）. 答：这个正方形零件的边长是 48 毫米. 5.如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离 OE 为 80cm，步枪上的准星宽度 AB 为 0.2cm，目标的正面宽度 CD 为 50cm，则眼睛到目标的距离 OF 是多少？ 【 分 析 】 设 眼 睛 到 目 标 的 距 离 为 xm ， 由 于 OE=80cm=0.8m ， AB=0.2cm=0.002m ， CD=50cm=0.5m，由于 AB∥CD，所以利用相似三角形的性质即可求解． 解：设眼睛到目标的距离为 xm， ∵OE=80cm=0.8m，AB=0.2cm=0.002m，CD=50cm=0.5m， ∴BE= 1 2 AB=0.001m，DF=0.25m， ∵AB∥CD， ∴△OBE∽△ODF， ∴BE∶DF=OE∶OF，0.001∶0.25=0.8∶x， 解得 x=200． 所以眼睛到目标的距离 OF 是 200m. 【教学说明】通过练习，使学生掌握利用相似三角形解决实际问题的方法. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 22.3”中第 10、11、14 题. 本节课在教学中突出了“审题，画示意图 ，明确数量关系解决问题”的数学建模过程， 培养了学生把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，利用图形的相似解决一些实际问题. 测量某些不能直接度量的物体的高度，是综合运用相似知识的良好机会，通过本节知识的学 102 习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学 生对于相似三角形的理解和认识.一节课下来基本达到了预期目标，大部分学生都学会了建 立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题. 22.4 图形的位似变换 【知识与技能】 1.了解图形的位似概念，会判断简单的位似图形和位似中心. 2.理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题. 【过程与方法】 采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学 活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习. 【情感态度】 使学生亲身经历位似图形概念形成的过程和位似图形性质的探索过程，感受数学学习内 容的现实性、应用性. 【教学重点】 图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小. 【教学难点】 探索位似概念、位似图形的性质的过程及利用位似准确地把一个图形通过不同的方法放 大或缩小. 一、情景导入，初步认知 1.相似多边形的定义及判定是什么？ 2.相似多边形有哪些性质？ 3.我们已学过的图形变换有哪些？它们的性质是什么？ 【教学说明】分析相关知识，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知 1.下图是运用幻灯机（点 O 表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏幕上的示意图. 103 （1）这两个图形之间有什么关系？ （2）在左边小狗的头顶上和狗尾巴尖上分别取点 A，B，右边小狗的头顶上和狗尾巴尖 上的点 A′，B′分别为点 A，B 的对应点.作直线 AA′、BB′你发现了什么？ （3）分别量出线段 OA、OA′、OB、OB′的长度，计算（精确到 0.1）： OA∶OA′=______； OB∶OB′=______. （4）任意在两只小狗上找一些对应点，每一对对应点与点 O 所连线段的比与上述的值 相等吗？ 【归纳结论】一般地，如果一个图形 G 上的点 A、B、C、…、P 与另一个图形 G′上的 点 A′、B′、C′、…、P′分别对应，且满足： （1）直线 AA′、BB′、CC′、…、PP′都经过同一点 O； （2）OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=…=OP∶OP′=k. 那么图形 G 与图形 G′是位似图形，这个点 O 叫作位似中心，常数 k 叫作位似比. 利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小. 2.把四边形 ABCD 放大为原来的 2 倍（即新图与原图位似比为 2). 解：如图，（1）在四边形 ABCD 所在的平面外任取一点 O； (2)以点 O 为端点作射线 OA,OB,OC,OD； (3)分别在射线 OA,OB,OC,OD 上取点 A′，B′，C′，D′.使 OA′∶OA=OB′∶OB=OC′∶OC=OD′∶OD=2， (4)连接 A′B′，B′C′，C′D′，D′A′， 则所得四边形即为所求. 3.如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB 的顶点坐标分 别为 A（2，5）、O（0，0）、B（6，0）. 104 （1）将各个顶点坐标分别缩小为原来的一半，所得到的图形与原图形是位似图形吗？ （2）将各个顶点坐标分别扩大为原来的 2 倍，所得到的图形与原图形是位似图形吗？ 【教学说明】启发学生自己画，引导学生利用位似图形的性质画位似图形.组织学生讨 论位似中心的位置有几种情况并画出图形. 【归纳总结】一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图 形是以坐标原点为位似中心的位似图形. 在平面直角坐标系中，如果一坐标原点为位似中心，位似比为 k，那么位似图形对应点 的坐标的比等于 k 或-k. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P96 例 2. 2.下列说法中正确的是（ ） A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等 C.位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离之比都相等 答案：D 3.如图，五边形 ABCDE 和五边形 A1B1C1D1E1 是位似图形，且 PA1＝2/3PA，则 AB∶A1B1 等于 （ ） A.2/3 B.3/2 C.3/5 D.5/3 答案：B 第 3 题图 第 4 题图 4.如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a， b），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ） A.（－a，－2b） B.（－2a，－b） C.（－2a，－2b）D（－2b，－2a） 105 答案：C 5.如图，火焰的光线穿过小孔 O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度 BD=2cm， OA=60cm，OB=15cm，则火焰的长度为_____cm. 答案：8 6.如图，五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为 2. 若五边 形 ABCDE 的面积为 17 cm2， 周长为 20 cm，那么五边形 A′B′C′D′E′的面积为______， 周长为______. 答案：17/4 cm2 10 cm 7、如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且 OA′∶A′A=4∶3，则△ABC 与______是位似图 形，位似比为______；△OAB 与______是位似图形，位似比为______. 答案：△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4 8、如图：三角形 ABC，请你在网格中画出把三角形 ABC 以 C 为位似中心放大 2 倍的三 角形. 解：作图略. 【教学说明】通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习 惯. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 106 教材“习题 22.4”中第 2、3、4 题. 在学习图形的位似概念的过程中，让学生用类比的方法认识事物总是互相联系的，温故 而知新.而通过“位似图形的性质”的探索，让学生认识事物的结论必须通过大胆猜测、判 断和归纳.在分析理解位似图形性质时，加强师生的双边活动，提高学生分析问题、解决问 题的能力. 22.5 综合与实践 测量与误差 【知识与技能】 通过测量旗杆的高度，使学生综合应用三角形相似的判定和性质解决实际问题. 【过程与方法】 通过探究加深学生对三角形相似的认识和理解. 【情感态度】 发展学生的数学应用意识，增强学生学习数学的信心. 【教学重点】 通过测量旗杆的高度，使学生综合应用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题. 【教学难点】 学会相似三角形在实际问题中的应用. 一、情景导入，初步认知 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什 么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为 是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量埃及金字塔的高度的吗？ 【教学说明】教师利用金字塔的事例导入新课，激发学生的兴趣，提高学生探究新知的 欲望.为本节课问题的探究作准备. 107 二、思考探究，获取新知 在学校的操场上，有一根不锈钢旗杆，在既不攀爬到旗杆顶上，又不破坏旗杆的情况下， 你能测量出旗杆的高度吗？ 方法一：如图，分别测出同一时刻旗杆 AB 与 1 米长的竹竿 CD 的影长 BM 和 DN,利用△ ABM∽△CDN,可求出旗杆的高度. 方法二：如图，将竹竿立于旗杆与人之间，观察竹竿和旗杆顶端，使人的眼睛 E 与 A,C 在同一直线上，利用△ANE∽△CME,可求出旗杆的高度. 方法三：如图，将镜面朝上置于地面 C 处，观察镜子中旗杆顶端 A′，使人的眼睛 E 与 C,A′在同一条直线上，利用△ABC≌△A′BC,△A′BC∽△EFC,可求得旗杆的高度. 方 法 四 ： 如 图 ， 通 过 测 角 器 观 察 旗 杆 顶 端 A, 使 测 角 器 的 示 数 为 60 ° . 利 用 AB=AM+BM= 3 ME+EF,可求得旗杆的高度. 108 思考：（1）请你用这四种方法进行旗杆测量，并将测量的数据记录于下列表格中. （2）你觉得何种方法操作更简单，何种方法测得数据更准确？你还有其他的测量方法 吗？ （3）在测量中，每次的测量数据都有差异，你是如何处理的？你测量了几次？ （4）几种测量方法为何有误差？如何改进？ 【教学说明】让学生进行观察，分析，探究，交流解决实际问题，培养学生运用数学知 识解决问题的能力，体验数学与生活的密切关系. 三、运用新知，深化理解 1.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约 30 米的地方，把手臂向 前伸直，小尺竖直，看到尺上约 12 个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约 60 厘米，求电线 杆的高． 【分析】本题所叙述的内容可以画出如右图那样的几何图 形，即 DF=60 厘米=0.6 米，GF=12 厘米=0.12 米，CE=30 米，求 BC． 由于△ADF∽△AEC,∴DF∶EC=AF∶AC，又△AGF∽△ABC， ∴AF∶AC=GF∶BC， ∴DF∶EC=GF∶BC，从而可以求出 BC 的长． 解：∵AE⊥EC,DF∥EC， 109 ∴∠ADF=∠AEC,∠DAF=∠EAC， ∴△ADF∽△AEC． ∴DF∶EC=AF∶AC． 又 GF⊥EC,BC⊥EC， ∴GF∥BC,∠AFG=∠ACB， ∠AGF=∠ABC， ∴△AGF∽△ABC， ∴AF∶AC=GF∶BC， ∴DF∶EC=GF∶BC． 又 DF=60 厘米=0.6 米，GF=12 厘米=0.12 米，EC=30 米， ∴BC=6 米．即电线杆的高为 6 米． 2.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一 边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后再选点 E，使 EC⊥BC，确定 BC 与 AE 的交点为 D，测得 BD=120 米，DC=60 米，EC=50 米，你能求出两岸之间 AB 的大致距离吗？ 解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°∴△ABD∽△ECD，AB∶EC=BD∶CD， AB=(BD×EC)/CD=(120×50)/60=100（米）， 答：两岸间 AB 大致相距 100 米． 3.如图，为了求出海岛上的山峰 AB 的高度，在 D 和 F 处树立标杆 DC 和 FE，标杆的高 都是 3 丈，相隔 1000 步（1 步等于 5 尺），并且 AB、CD 和 EF 在同一平面内，从标杆 DC 退 后 123 步的 G 处，可看到山峰 A 和标杆顶端 C 在同一直线上， 从标杆 FE 退后 127 步的 H 处，可看到山峰 A 和标杆顶端 E 在同一直线上.则 AB=______,BD=______. （注意： ,DG FHKC AK KE AKCD FE    ．） 答案：753 丈，30750 步. 【教学说明】进一步加深学生对相似三角形知识的理解，培养学生的应用意识和能力， 110 并获得数学学习的喜悦感和成功体验. 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“复习题 A 组”中第 11.12 题. 通过本节课的学习，使学生能将实际问题转化为数学问题，通过作辅助线构造相似三角 形，运用相似三角形的对应边成比例，可以计算出不能直接使用皮尺或刻度尺测量的物体的 长度或高度. 本章热点专题训练 【知识与技能】 掌握本章知识，能熟练运用有关性质和判定，解决具体问题. 【过程与方法】 通过回顾和梳理本章知识了解与图形的相似有关的知识. 【情感态度】 在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力. 【教学重点】 相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念. 【教学难点】 能熟练运用有关性质和判定解决实际问题. 一、知识框图，整体把握 111 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章 知识及之间的关系. 二、释疑解惑，加深理解 1.相似图形、相似多边形的概念： 我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多 边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 2.相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边长度的比相等. 3.比例的概念： 用同一长度单位去度量两条线段 a、b，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比 叫做这两条线段的比，记作 ab 或 a∶b. 4.比例的基本性质： （1）基本性质：如果 a/b=c/d，那么 ad＝bc.（b、d≠0） （2）合比性质：如果 a/b=d/c，那么(a+b)/b=(c+d)/c.（b、d≠0） （3）等比性质：a1/b1=a2/b2=…=an/bn，且 b1+b2+…+bn≠0,那么(a1+a2+…an)/(b1+b2+… +bn)=a1/b1 5.黄金分割： 把一条线段分成两部分，其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分 割叫做黄金分割.分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 5 1 2  叫做黄金数. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 112 6.平行线分线段成比例: 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的线段对应线段 成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与 原三角形相似. 7.相似三角形的判定： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. （简称：两角分别相等的两个三角形相似.） ②如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两 个三角形相似.（简称：两边成比例且夹角相等的三角形相似.） ③如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似. （简称：三边成比例的两个三角形相似.） ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，那么这两个三角形相似. 8.相似三角形的性质： ①相似三角形对应边上的高的比等于相似比. ②相似三角形对应角平分线的比等于相似比. ③相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. ④相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 9.位似的概念： 一般地，如果一个图形 G 上的点 A、B、C、…、P 与另一个图形 G′上的点 A′、B′、C′、…、 P′分别对应，且满足： （1）直线 AA′、BB′、CC′、…、PP′都经过同一点 O. （2）OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=…=OP∶OP′=k，那么图形 G 与图形 G′是位似图 形，这个点 O 叫做位似中心，常数 k 叫做位似比. 利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小. 10.位似的性质： 一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原 点为位似中心的位似图形. 在平面直角坐标系中，如果一坐标原点为位似中心，位似比为 k，那么位似图形对应点 113 的坐标的比等于 k 或-k. 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 三、典例精析，复习新知 1.已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( ) A.AM∶BM=AB∶AM B.AM= 5 1 2  AB C.BM= 5 1 2  AB D.AM≈0．618AB 答案：C 2.若(a+b)/c＝(b+c)/a＝(a+c)/b=-m2，则 m=_____． 【分析】分 a＋b＋c≠0 和 a＋b＋c＝0 两种情况． 答案：±1 3.如图，在△ABC 中，AB＝AC＝27，D 在 AC 上，且 BD＝BC＝18，DE∥BC 交 AB 于 E，则 DE＝_____． 【分析】由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出 CD，再用△ABC∽△AED． 答案：10 （第 3 题图） （第 4 题图） 4.已知：如图，F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，EF∥BC，FG∥AD.求证： . 【分析】利用 AC＝AF＋FC. 证明：∵EF∥BC，FG∥AD， 114 5.如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，E 为 BC 中点，延长 AC、DE 相交于点 F，求证： 【分析】过 F 点作 FG∥CB，只需再证 GF＝DF. 方法一：作 FG∥BC 交 AB 延长线于点 G. ∵BC∥GF， ∴ACBC＝AFGF. 又∠BDC＝90°，BE＝EC， ∴BE＝DE. ∵BE∥GF， ∴DF＝GF. ∴ ． 方法二：作 EH∥AB 交 AC 于点 H． ∠BDC＝90°，BE＝EC， ∴BE＝DE. ∴ ． 6.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是 BC 的中点，DM⊥BC 交 AC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D. 证明：（1）∵∠BAC=90°，M 是 BC 的中点， ∴MA=MC， ∠1=∠C， ∵DM⊥BC， ∴∠C=∠D=90°-∠B， ∴∠1=∠D， ∵∠2=∠2， ∴△MAE∽△MDA， ∴ ， ∴MA2=MD·ME， 115 （2）∵△MAE∽△MDA， 【教学说明】通过典型例题，培养学生的识图能力和推理能力. 四、复习训练，巩固提高 1.如图，AB∥CD，图中共有对相似三角形. 答案：6 2.如图，△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于 D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC 的面积 是_____． 【分析】作 EF∥BC 交 AD 于 F．设 BE 交 AD 于 O 点，先求出 OD 长和 OB 长，最后用勾股 定理求出 BD 的长． 答案：144 （第 2 题图） （第 3 题图） 3.如图，已知 AD∥EF∥BC，且 AE＝2EB，AD＝8cm，BC＝14cm，则 S 梯形 AEFD︰S 梯形 BCFE＝_____． 【分析】延长 BA，与 CD 的延长线交于 P 点，则△APD∽△EPF∽△BPC． 答案：20∶13. 4.已知 C 是线段 AB 的黄金分割点(AC＞BC）， 则 AC∶BC = ( ) A.（ 5 －1）︰2 B. （ 5 +1）︰2 116 C.（3－ 5 ）︰2 D.（3+ 5 ）︰2 答案：B 5.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在 BC 边上取一点 D，使 BD＝BA，连接 AD.求证： （1）△ADC∽△BAC； （2）点 D 是 BC 的黄金分割点. 证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠C＝36°， ∵BD＝BA， ∴∠BAD＝72°，∠CAD＝36°， ∴∠CAD＝∠B， ∵∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BAC； （2）∵△ADC∽△BAC， ∴AC∶CD=BC∶AC， ∴AC2＝BC·CD， ∵AC＝AB＝BD， ∴BD2＝BC·CD， ∴点 D 是 BC 的黄金分割点. 6.如图，路灯（P 点）距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点）20 米的 A 点，沿 AO 所在的直线行走 14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短 了多少米？ 【分析】如右图，由于 AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP 即可由相似三 角形的性质求解. 解：∵∠MAC=∠MOP=90°， 117 ∠AMC=∠OMP， ∴△MAC∽△MOP． ∴MA∶MO=AC∶OP， 即 MA/(20+MA)=1.6/8， 解得，MA=5 米； 同理，由△NBD∽△NOP，可求得 NB=1.5 米， ∴小明的身影变短了 5-1.5=3.5 米． 【教学说明】解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立 适当的数学模型来解答问题. 7.如图，BD、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过 D 点作 DG⊥BC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H，求证： （1）DG2＝BG·CG； （2）BG·CG＝GF·GH 证明：（1）DG 为 Rt△BCD 斜边上的高， ∴Rt△BDG∽Rt△DCG． ∴CG∶DG＝DG∶BG，即 DG2＝BG·CG． （2）∵DG⊥BC， ∴∠ABC＋∠H＝90°，∴CE⊥AB． ∴∠ABC＋∠ECB＝90°． ∴∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB． ∴∠H＝∠ECB． 又∠HGB＝∠FGC＝90°， ∴Rt△HBG∽Rt△CFG． ∴BG∶GF＝GH∶GC， ∴BG·GC＝GF·GH． 8.如图：AD∥EG∥BC，EG 分别交 AB、DB、AC 于点 E、F、G，已知 AD=6，BC=10，AE=3， AB=5，求 EG、FG 的长． 【分析】在△ABC 中，根据平行线分线段成比例求出 EG，在△BAD 中，根据平行线分线 段成比例求出 EF，即可求出 FG=EG-EF． 解：∵在△ABC 中，EG∥BC， 118 ∴EG∶BC=AE∶AB， ∵BC=10，AE=3，AB=5， ∴EG∶10=3∶5， ∴EG=6， ∵在△BAD 中，EF∥AD， ∴EF∶AD=BE∶AB， ∵AD=6，AE=3，AB=5， ∴EF∶6=(5-3) ∶5 ∴EF=12/5． ∴FG=EG-EF=18/5． 【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同 时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础. 五、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？ 布置作业:教材“复习题 A 组”中第 3、4、5、6、7 题. 通过本节课的学习，使学生能够掌握用图形相似的有关知识解决实际问题.经过这些习 题的练习，使学生能够将本章的内容很好地揉合的一起. 第 23 章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 1.锐角的三角函数 第 1 课时 正切 【知识与技能】 119 让学生理解并掌握正切的含义，并能够举例说明；会求直角三角形中某个锐角的正切值； 了解坡度的有关概念． 【过程与方法】 让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生 理性思维的习惯,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力． 【情感态度】 能激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意 识． 【教学重点】 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 【教学难点】 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 一、情景导入，初步认知 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣 和探究的欲望. 二、思考探究，获取新知 1.在下图中，有两个直角三角形，直角边 AC 与 A1C1 表示水平面，斜边 AB 与 A1B1 分别表 示两个不同的坡面，坡面 AB 和 A1B1 哪个更陡呢？你是怎样判断的？ 2.类似地，在下图中坡面 AB 和 A1B1 哪个更陡呢？你又是怎样判断的？ 120 3.探究: （1）Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系? （2）B1C1AC1 和 B2C2AC2 有什么关系？ （3）如果改变 B2C2 在梯子上的位置(如 B3C3)， 1 1 1 B C AC 和 3 3 3 B C AC 有什么关系？ （4）由此你得出什么结论? 【教学说明】通过相似沟通了直角三角形中的边、角关系，从而变换角度继续探讨，符 合学生的认知规律，此时学生的思维豁然开朗，同时培养了学生思维的深刻性.此环节的设 计正是数学思维的开阔性，多角度，多方位地展现了师生的共同努力，淋漓尽致地演绎了数 学体现在思维艺术上的美，从而解决了本节课的第一个难点. 【归纳结论】在 Rt△ABC 中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作： tanA= A A   的对边 的邻边 . （5）梯子的倾斜度与 tanA 有关系吗？ 4.如图，正切经常用来描述坡面的坡度.坡面的高度 h 和水平长度 l 的比叫做坡面的坡 度（或坡比），记作 i,即：i=h/l（坡度通常写成 h∶l 的形式）.坡面与水平面的夹角叫做 坡角.记作α，即 i=h/l=tanα. 【归纳结论】坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P114 例 1. 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.求 tanA 和 tanB. 121 解：tanA= BC AC =5/12， tanB= AC BC =12/5. 3.如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出 tanC 吗? 4.若某人沿坡度 i＝3∶4 的斜坡前进 10 米，则他所在的位置比原来的位置升高了_______ 米. 【分析】坡度 i＝3∶4，也就是说 tanB= AC BC =3/4, ∴设 AC=3x,BC=4x. 根据勾股定理可求出 x=2, ∴AC=6 即：升高 6 米. 答案：6 5.若三角形三边的比是 25∶24∶7,求最小角的正切值. 解：在三角形中，根据大边对大角，可知 7 所对的角最小.由勾股定理知，该三角形为 直角三角形， 所以最小角的正切值=7∶24 【教学说明】巩固正切的概念，进一步落实教学目标.习题 1 至 3 是对基础知识的训练. 4、5 在对基础知识巩固的同时，发展了学生的思维能力，使思维进一步缜密，认识进一步 深化. 122 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.作以补充. 布置作业：教材 P114“练习”. 本课的学习，以实际问题为背景并从学生已有的直角三角形和相似三角形的有关知识出 发，引入正切函数概念．学生在知识的形成中，进一步感受数形结合的数学思想方法．通过 实际问题的思考、探索，提高解决实际问题的能力和应用数学的意识，为下面的学习打下基 础，做好铺垫. 第 23 章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 1.锐角的三角函数 第 2 课时 正弦与余弦 【知识与技能】 1.使学生理解锐角正弦、余弦的定义 2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值. 【过程与方法】 通过探索正弦、余弦定义，培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力. 【情感态度】 通过探索、发现，培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯. 【教学重点】 理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值. 【教学难点】 求直角三角形中锐角的正弦、余弦值. 123 一、情景导入，初步认知 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度.（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部 10 米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为 34 度，并已 知目高为 1 米．然后他很快就算出旗杆的高度了. 你想知道小明是怎样算出的吗？ 【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣 和探究的欲望. 二、思考探究，获取新知 （1）Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系? （2） A 的对边 斜边 和 1 1 1 B C AB 有什么关系？ （3）如果改变 B1C1 所在的位置(如 B2C2)， BC AB 和 2 2 2 B C AB 有什么关系？ （4）由此你得出什么结论? 【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦.记作 sinA，即：sinA＝ A 的对边 斜边 . （5）在上图中， AC AB 和 1 1 AC AB 有什么关系？ 【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦.记作 cosA，即： 124 cosA= A 的邻边 斜边 . 锐角 A 的正切、正弦、余弦都叫做锐角 A 的三角函数. 【教学说明】可以让学生通过计算，明白它们之间的关系. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P115 例 2、例 3. 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°，BC=6，sinA=3/5，求 cosA 和 tanB 的值. 解：∵sinA= BC AB ， ∴AB= BC sinA =6×5/3=10. 4.在 Rt△ABC 中,∠C=90°，sinA 和 cosB 有什么关系?你能得到什么结论？ ∴sinA=cosB 【归纳结论】在同一直角三角形中，一锐角的正弦值等于另一锐角的余弦值. 5.已知：如图，CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦 函数的定义证明) 125 即：BC2＝AB·BD. 【教学说明】对于前三题，比较简单，可以放手让学生独立完成.而后面两题，可以适 当地加以提示，补充. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材 P116“练习题”. 本节课，通过探究，将学生引向知识深处，在整个过程中体现了教师的主导作用，学生 的主体地位.在教学过程中，应保证每位学生都得到发展，给予每个学生以发展平台，这是 每位教师在课堂教学中必须做到的. 第 23 章 解直角三角形 3.一般锐角的三角函数值 【知识与技能】 1.会用计算器求一些锐角的三角函数值. 2.运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题. 【过程与方法】 通过学生动手操作，提高学生动手能力. 126 【情感态度】 让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生动手操作能力. 【教学重点】 会用计算器求一些锐角的三角函数值. 【教学难点】 会用计算器求一些锐角的三角函数值. 一、情景导入，初步认知 问题：在前面我们学会了求一些特殊锐角（30°、45°、60°）的三角函数值.那你知 道 15°,55°等一些锐角的三角函数值吗？这节课我们就来学习求这样的角的三角函数值. 【教学说明】通过问题，给学生创造困难，从而激发学生强烈的求知欲. 二、思考探究，获取新知 1.观察手中计算器的各种按键，了解它们的功能. 2.求 sin40°的值.（精确到 0.0001） ∴sin40°=0.6428. 【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打 下基础. 三、示例讲解，掌握新知 1.教材 P121 例 7、例 8. 2.求 sin63°52′41″的值.（精确到 0.0001） 解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”： 显示结果为 0.897 859 012. 所以 sin63°52′41″≈0.8979. 3.求 tan70°45′的值.（精确到 0.0001） 127 解：在角度单位状态为“度”的情况下,屏幕显示出 D，按下列顺序依次按键： tan 70 °′″ 45 °′″ = 显示结果为 2.863 560 231. 答案： tan70°45′≈2.8636. 4、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=35°，AC=6，求 BC，AB 的长（精确到 0.001） 解：因为 BC/AC= tanA=tan35°， 由计算器求得 tan35°=0.7002， 所以 BC=AC·tanA≈6×0.7002≈4.201 又 AC/AB= cosA≈cos35°，由计算器求得 cos35°=0.8192， 所以 AB=AC/cosA≈7.324 5.如图,工件上有一 V 型槽,测得它的上口宽 20mm,深 19.2mm.求 V 型角(∠ACB)的大小 (结果精确到度 ). 解：∵tan∠ACD=AD/CD=10/19.2≈0.5208, 由计算器求得∠ACD≈27.50° ∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50°=55°. ∴V 型角的大小约为 55°. 【教学说明】不同计算器操作不同，按键定义也不一样. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材 P122“练习”. 128 本节课的内容比较简单，学生能够用计算器进行计算，不需要学生动笔，所以学生积极 性较高.教学效果较好. 第 23 章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 2.30°，45°，60°角的三角函数值 第 1 课时 30°，45°，60°角的三角函数值 【知识与技能】 1.经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步 体会三角函数的意义． 2.能够进行 30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 【过程与方法】 经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能 力. 【情感态度】 积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯. 【教学重点】 能够进行含 30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 【教学难点】 进一步体会三角函数的意义. 一、创设情境，导入新课 如图所示 在 Rt△ABC 中，∠C=90° 129 （1）a、b、c 三者之间的关系是 ，∠A+∠B=_____. （2）sinA=_____，cosA= _____， tanA=_____. sinB=_____，cosB=_____，tanB=_____. （3）若 A=30°，则 a/c=_____. 【教学说明】复习巩固上一节课的内容，为本课学习做准备. 二、思考探究，获取新知 ［问题］1.观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? ［问题］2.sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. ［问题］3.cos30°等于多少?tan30°呢? ［问题］4.我们求出了 30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°， 它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? 【教学说明】利用三角板，进行计算.从而推导出特殊角三角函数值. 【归纳结论】特殊角三角函数值： 【教学说明】通过表格的形式进行归纳，可使学生熟记三角函数值. 三、示例讲解，掌握新知 1.见教材 P117 例 4. 2.求下列各式的值： 130 3.在△ABC 中，∠C=90°，若 2AC= 2 AB，求∠A 的度数与 cosB 的值. 【分析】利用三角形中边的比值关系，结合三角函数的定义解决问题，注意对特殊角三 角函数值的逆向应用． 4.在△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=3/4，求 BC 的长. 【分析】首先利用余弦函数的定义求得 AC 的长，然后利用勾股定理即可求得 BC 的长. 5.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA= 3 /2；②cosB=1/2； 131 ③tanA= 3 /3；④tanB= 3 ，其中正确的结论是____（只需填上正确结论的序号）. 【分析】先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三 角函数值即可得出结论. ∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC， ∴sinA=BC/AB=1/2，故①错误； ∴∠A=30°， ∴∠B=60°， ∴cosB=cos60°=1/2，故②正确； ∵∠A=30°， ∴tanA=tan30°= 3 /3，故③正确； ∵∠B=60°， ∴tanB=tan60°= 3 ，故④正确． 答案：②③④ 6.已知：在△ABC 中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2，求 BC 的长． 【分析】作△ABC 的一条高，把原三角形转化成两个直角三角形，并注意保留原三角形 中的特殊角． 解：作 CD⊥AB 于 D 点． ∵∠B=45°,∠ACB=75°,∴∠A=60°. 【教学说明】不论是特殊角，还是特殊角的三角函数值，都要在直角三角形中才可以发 132 挥作用，所以合理构造直角三角形，并通过转化得到特殊角是解决此类问题的切入点和关键． 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材 P118“练习”. 三角尺是学生非常熟悉的学习用具，在这节课的教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学 的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索 30°、 45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力.另外通过小组合作交 流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯，并 在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.给学生留充分的时间, 采取多种形式让学生记住特殊角的三角函数值.根式化简与负指数的运算易出错. 第 23 章 解直角三角形 第 2 课时 互余两锐角的三角函数关系 【知识与技能】 使学生理解正、余弦相互关系式及推导过程，并能利用其解答一些基本问题. 【过程与方法】 通过关系的推导过程，培养学生从特殊到一般地提出猜想和发现问题的能力. 【情感态度】 培养学生运用知识总结问题的能力. 【教学重点】 关系的推导和应用. 【教学难点】 关系的推导和应用. 133 一、情景导入，初步认知 复习特殊角三角函数值. sin30°=______；cos60°=______； sin60°=______；cos30°=______； sin45°=______；cos45°=______. 【教学说明】复习特殊角三角函数值，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知 1.通过观察上面的特殊角三角函数值，你能发现什么规律？ 答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°. 2.在直角三角形 ABC 中，你能猜想 sinA 与 cosB 有什么关系？ 3.证明猜想，形成公式______. 【教学说明】采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余角的正、余弦相互关 系式. 【归纳结论】任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P119 例 5. 2.计算： sin37°=cos______； cos62°=sin______； sin47°-cos43°= ______； cos18°/sin72° =______. 答案：53°28°0 1 3.填空： （1）已知：sin67°18′=0.9225，则 cos22°42′=______. （2）已知：cos4°24′=0.9971，则 sin85°36′=______. 答案：（1）0.9225 （2）0.9971 134 4.已知 sinA=1/2，且∠B=90°-∠A，求 cosB. 解：∵∠B=90°-∠A ∴∠A+∠B=90° ∴cosB=cos（90°-∠A） =sinA =1/2. 5.把下列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）： （1）sin32°；（2）cos75°； （3）sin54°19′；（4）sin41°53′. 解：（1）cos58°；（2）sin15°； （3）cos35°41′；（4）cos48°7′. 6.在△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，先根据下列条件 求出∠A 的正弦值和余弦值，然后说出∠B 的正弦值和余弦值： （1）a=2，b=1；（2）a=3，c=4； （3）b=2,c= 29 ； （4）a=4 5 ，b=8. 解：略. 7.已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=25，BC=4.求 sinA，cosA，sinB，cosB. 解：∵AB= =6， 所以 sinA=BC/AB=2/3， cosA=ACAB= 5 /3， sinB=sin（90°-A）=cosA= 5 /3， cosB=cos（90°-A）=sinA=2/3. 【教学说明】以练习的形式，加强学生对正、余弦相互关系式的运用能力. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材 P119“练习” 135 在课堂上要多给学生发言机会、板演机会，创造条件，使得学生有机会在老师和同学面 前表现自我，让学生在思维运动中训练思维，让学生到前面来讲，促进学生之间聪明才智的 相互交流. 23.2 解直角三角形及其应用 第 1 课时 解直角三角形 【知识与技能】 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互 余及锐角三角函数解直角三角形. 【过程与方法】 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐 步培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯. 【教学重点】 直角三角形的解法. 【教学难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活运用. 一、情景导入，初步认知 1.在三角形中共有几个元素？ 2.直角三角形 ABC 中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b (2)三边之间关系 a2+b2=c2(勾股定理)； 136 (3)锐角之间关系 ∠A+∠B=90°. 【教学说明】 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用. 二、思考探究，获取新知 1.做一做：在直角三角形 ABC 中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其他的元素吗？ 2.做一做：在直角三角形 ABC 中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其他的元 素吗？ 3.想一想：在直角三角形 ABC 中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其他的元素吗？ 【教学说明】 我们已掌握 Rt△ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的 两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解 直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的 学习热情. 【归纳结论】 在直角三角形中，除直角外，由已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P124 例 1、P125 例 2. 2.已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c＝8 3 ，∠A＝60°，求∠B、a、b. 解：a＝csin60°＝8 3 · 3 /2＝12， b＝ccos60°＝4 3 ， ∠B＝30°. 3.已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a＝36，∠A＝30°，求∠B、b、c. 解：∠B＝90°－30°＝60°， b＝atanB＝36·3＝92， 137 由此可知，∠A＝45°，∠B＝90°－45°＝45°， 且有 b＝a＝ 3 －1. 5.已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a＝6，b＝23，求∠A、∠B、c. 则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，且有 c＝2b＝2×2 3 ＝4 3 . 6.在直角三角形 ABC 中，锐角 A 为 30°，锐角 B 的平分线 BD 的长为 8cm，求这个三角 形的三条边的长. 解：由已知可得△BCD 是含 30°的直角三角形， 所以 CD＝1/2BD＝1/2×8＝4（cm）， △ADB 是等腰三角形， 所以 AD＝BD＝8（cm）， 则有 AC＝8＋4＝12（cm）， BC＝ACtan30°＝12× 3 /3=4 3 ， 【教学说明】 138 解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握.为此，教材配备了练 习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生的运算能力. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材 P125“练习”. 解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用. 因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时 渗透数形结合的思想.其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演. 23.2 解直角三角形及其应用 第 2 课时 仰角与俯角 【知识与技能】 比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题. 【过程与方法】 通过学习进一步掌握解直角三角形的方法. 【情感态度】 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】 应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题. 【教学难点】 选用恰当的直角三角形，解题思路分析. 一、情景导入，初步认知 你能利用三角函数的知识计算出学校的旗杆的高度吗？ 139 通过这节课的学习后，我们就能解决这个问题. 【教学说明】 通过问题引入，提高学生的学习兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.探究：仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在 水平线下方的角叫做俯角. 2.如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度，他站在距离水杉树 8m 的 E 处，测得 树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角器的架高 CE=1.6m,问树高 AB 为多少？（精确到 0.1 米） 解：在 Rt△ACD 中，∠ACD=52°,CD=EB=8m 由 tan∠ACD=AD/CD,得 AD=CD·tan∠ACD =8×tan52° =8×1.2799 ≈10.2m 由 DB=CE=1.6m,得 AB=AD+DB =10.2+1.6 =11.8m 答：树高 AB 为 11.8m. 140 【教学说明】 利用实际问题，提高学生学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角 形问题，从而解决问题. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P127 例 4. 2.如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC=1200 米，从飞机上看地平 面控制点 B 的俯角α=16°31′，求飞机所在点 A 到控制点 B 距离.(精确到 1 米) 答：飞机所在点 A 到控制点 B 的距离约为 4221 米. 3.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的 俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120m.这栋高楼有多高(结果精确到 0.1m)? 【分析】 在 Rt△ABD 中，∠α=30°，AD=120m.所以可以利用解直角三角形的知识求出 BD;类似 地可以求出 CD，进而求出 BC. 解：如图，∠α=30°，∠β=60°，AD=120m ∵tanα=BD/AD，tanβ=CD/AD ∴BD＝ADtanα=120×tan30°=120× 3 /3=40 3 m， 141 CD=ADtanβ=120×tan60°=120× 3 =120 3 m， ∴BC=BD+CD=40 3 +120 3 =160 3 ≈277.1m 答:这栋楼高约为 277.1m. 4.如图，在离树 BC12 米的 A 处，用测角仪测得树顶的仰角是 30°，测角仪 AD 高为 1.5 米，求树高 BC.(计算结果可保留根号) 【分析】 本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点 D 作 DE⊥BC 于 E，把求 CB 的问题转化求 BE 的长，从而可以在△BDE 中利用三角函数. 解：过点 D 作 DE⊥BC 于 E，则四边形 DECA 是矩形，∴DE=AC=12 米.CE=AD=1.5 米. 5.广场上有一个充满氢气的气球 P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在 E、F 处，他们看气球的仰角分别是 30°、45°，E 点与 F 点的高度差 AB 为 1 米，水平距离 CD 为 5 米，FD 的高度为 0.5 米，请问此气球有多高？(结果保留到 0.1 米) 142 【分析】 由于气球的高度为 PA+AB+FD，而 AB=1 米，FD=0.5 米，可设 PA=h 米，根据题意，列出 关于 h 的方程可求解. 解：设 AP=h 米， ∵∠PFB=45°， ∴BF=PB=（h+1）米， ∴EA=BF+CD=h+1+5=（h+6）米， 在 Rt△PEA 中，PA=AE·tan30°， ∴h=（h+6）tan30°， 3h=（h+6） 3 ， ∴气球的高度为 PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7 米. 【教学说明】 巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；会根据题意思考题目中的每 句话对应图中的哪个角或边，清楚本题已知什么，求什么. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 23.2”中第 1、2 题. 本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要 把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的 143 数学知识加以解决. 23.2 解直角三角形及其应用 第 3 课时 方位角与方向角、坡度与坡角 1.方位角问题 【知识与技能】 使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解 决. 【过程与方法】 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识. 【教学重点】 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而 利用所学知识把实际问题解决. 【教学难点】 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而 利用所学知识把实际问题解决. 一、情景导入，初步认知 海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南 偏西 55°的 B 处，往东行驶 20 海里后，到达该岛的南偏西 25°的 C 处，之后，货轮继续往 东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 【教学说明】 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题的过程中的应用. 二、思考探究，获取新知 144 如图，一艘船以 20nmile/h 的速度向东航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 60°的方向 上，继续航行 1h 达到 B 处，再测得灯塔 C 在北偏东 30°的方向上，已知灯塔 C 四周 10nmile 内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？ 【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到航线 AB 的距离是否大于 10nmile. 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,设 CD=xnmile 答：这船继续向东航行是安全的. 【教学说明】 利用实际问题，提高学生学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角 形问题，从而解决问题. 三、运用新知，深化理解 1.如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处.这时海轮所在的 B 处距 离灯塔 P 有多远(精确到 0.01 海里)? 解:如图,在 Rt△APC 中, PC=PA·cos(90°-65°) 145 =80×cos25°≈72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B=34°. 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 海里. 2.日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻 的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影 响及时开展分析评估.如图，上午 9 时，海检船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于海检船 的北偏西 67.5°方向，海检船以 21 海里/时的速度向正北方向行驶，下午 2 时海检船到达 B 处，这时观察到城市 P 位于海检船的南偏西 36.9°方向，求此时海检船所在 B 处与城市 P 的距离？ (参考数据：sin36.9°≈3/5，tan36.9°≈3/4，sin 67.5°≈12/13，tan67.5°≈12/5) 【分析】 过点 P 作 PC⊥AB，构造直角三角形，设 PC=x 海里，用含有 x 的式子表示 AC，BC 的值， 从而求出 x 的值，再根据三角函数值求出 BP 的值即可解答. 解：过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C， 设 PC=x 海里， ∵从上午 9 时到下午 2 时要经过五个小时， ∴AC+BC=AB=21×5， 146 ， ∴海检船所在 B 处与城市 P 的距离为 100 海里. 3.某型号飞机机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AC、BD 和 CD 的长度（精确到 0.1 米）. 作 AF 垂直直线 CD 于 F，在直角三角形 AFC 中， ∠ACF＝∠CAF＝45°，所以有 CF＝AF＝BE＝5， 则有 CD＝（CF＋FE）－ED ＝（CF＋AB）－ED ≈（5＋1.3）－2.89≈3.4 BD＝2ED＝2×2.89≈5.8； 所以 CD，AC，BD 的长分别约为 3.4 米，7.1 米和 5.8 米. 【教学说明】 巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；会根据题意思考题目中的每 句话对应图中的哪个角或边，清楚本题已知什么，求什么. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 147 布置作业:教材“习题 23.2”中第 7 题. 本节课，主要是学习在方位角问题中利用三角函数解决相关问题，对于学生来说，把实 际问题转化成数学问题有一定的难度.所有应该对此方面的问题多加练习. 23.2 解直角三角形及其应用 第 3 课时 方位角与方向角、坡度与坡角 2.坡度与斜率问题 【知识与技能】 1.了解测量中坡度、坡角的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题. 【过程与方法】 通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题. 【情感态度】 进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题. 【教学难点】 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度的有关的实际问题. 一、情景导入，初步认知 在本章第一节的内容中，我们对坡度的有关知识有了一定的了解.本节课我们继续学习 与坡度有关的计算. 【教学说明】 148 引入新课，告诉学生本节课所学习的内容. 二、思考探究，获取新知 如图：铁路路基的横断面是四边形 ABCD，AD∥BC，路基顶宽 BC=9.8m,路基高 BE=5.8m， 斜坡 AB 的坡度 i=1∶1.6，斜坡 CD 的坡度 i=1∶2.5,求铁路路基下底宽 AD 的值（精确到 0.1m) 与斜坡的坡角α和β（精确到 1°）的值. 解：过点 C 作 CF⊥AD 于点 F,得 CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β ∴AE=1.6×5.8=9.28m, DF=2.5×5.8=14.5m， ∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6m. 由 tanα=1/1.6, tanβ=1/2.5,得 α≈32°，β=22° 答：铁路路基下底宽 33.6m，斜坡的坡角分别为 32°和 22°. 【教学说明】 教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中 的已知条件，再分析图形求出问题. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P130 例 7. 2.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 5.5m，测得斜坡的倾斜 角是 24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离(精确到 0.1m). 149 【分析】 引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5.5 米，∠A=24°，求 AB. 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是 6.0 米. 3.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库 大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，坝高 23m，斜坡 AB 的坡度 i=1∶3，斜坡 CD 的坡度 i=1∶ 2.5，求斜坡 AB 的坡面角α，坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长(精确到 0.1m). 解：作 BE⊥AD，CF⊥AD，在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中， ∴AE=3BE=3×23=69(m). FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m). ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m). 因为斜坡 AB 的坡度 i＝tanα＝1/3 ≈0.3333， α≈18°26′ 150 答：斜坡 AB 的坡角α约为 18°26′，坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为 72.7 米. 4.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚 C 处出发，以 24 米/分钟的速度攀登， 同时，李强从南坡山脚 B 处出发.如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为 240 米，南坡的坡 角是 45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A？（将山路 AB、AC 看成线段， 结果保留根号） 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 在 Rt△ABD 中，∠B=45° 答：李强以 122 米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A. 5.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB 表示楼梯，BC 表示平台，CD 表示滑道.若点 E， F 均在线段 AD 上，四边形 BCEF 是矩形，且 sin∠BAF=2/3，BF=3 米，BC=1 米，CD=6 米.求： 151 (1)∠D 的度数； (2)线段 AD 的长. 解：（1）∵四边形 BCEF 是矩形， ∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE， ∴∠BFA=∠CED=90°， ∵CE=BF，BF=3 米， ∴CE=3 米， ∵CD=6 米，∠CED=90°， ∴∠D=30°. （2）∵sin∠BAF=2/3，∴BFAB=2/3， 【教学说明】 通过练习，巩固本节课所学内容. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 23.2”中第 5、8 题. 知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题， 152 特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决. 第 23 章 解直角三角形 本章热点专题训练 【知识与技能】 1.了解锐角三角函数的概念，记忆 30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值. 2.能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知的三角函数 值求出相应的锐角的度数. 3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【过程与方法】 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想. 【情感态度】 通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用. 【教学重点】 会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【教学难点】 会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 一、知识结构 【教学说明】 引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系 二、释疑解惑，加深理解 1.正切的概念： 153 在 Rt△ABC 中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作： tanA= A A   的对边 的邻边 2.坡度的概念： 坡面的高度 h 和水平长度 l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 i=h/l,即：（坡度通 常写成 h:l 的形式）.坡面与水平面的夹角叫做坡角.记作α，即 i=h/l=tanα.坡度越大， 坡角越大，坡面就越陡. 3.正弦的概念： 在直角三角形中，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦.记作 sinA，即：sinA ＝ A 的对边 斜边 4.余弦的概念： 在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦.记作 cosA，即： cosA= A 的邻边 斜边 . 5.锐角三角函数的概念： 锐角 A 的正切、正弦、余弦都叫做锐角 A 的三角函数. 6.正弦和余弦的关系： 任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值. 7.特殊角三角函数值： 8.解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外，由已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 9.仰角和俯角的概念： 154 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在 水平线下方的角叫做俯角. 【教学说明】 引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点.加深学生印象. 三、运用新知，深化理解 1.已知，如图，D 是 BC 边的中点，∠BAD=90°，tanB=2/3，求 sin∠DAC. 2.计算：tan230°＋cos230°－sin245°tan45° 3.如图所示，菱形 ABCD 的周长为 20cm，DE⊥AB，垂足为 E，sinA=3/5，则下列结论正 确的个数为（ ） ①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为 15cm2；④BD＝2 10 cm. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 155 【分析】由菱形的周长为 20cm 知菱形边长是 5cm. 综上所述①②③正确.故选 C. 答案：C 4.如图所示，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处，求此时 轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离(结果保留根号). 【分析】 由题意知△ABP 中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°，由此联想到两个三角板拼成 的三角形.因此很自然作 PC⊥AB 交 AB 于 C. 解：过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80， ∴当轮船位于灯塔 P 南偏东 45°方向时，轮船与灯塔 P 的距离是 40 6 海里. 【教学说明】 通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从 156 而促进数学观点的形成和发展. 四、复习训练，巩固提高 1.如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线 BD 上一点，PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q.若 BF=2，则 PE 的长为（ ） A.2 B.2 C. 3 D.3 【分析】 ∵△ABC 是等边三角形，点 P 是∠ABC 的平分线上一点， ∴∠EBP=∠QBF=30°， ∵BF=2，FQ⊥BP， 在 Rt△BEP 中，∵∠EBP=30°， ∴PE=1/2BP= 3 .故选 C. 2.如图，为了测量某山 AB 的高度，小明先在山脚下 C 点测得山顶 A 的仰角为 45°，然 后沿坡角为 30°的斜坡走 100 米到达 D 点，在 D 点测得山顶 A 的仰角为 30°，求山 AB 的高 度.（参考数据： 3 ≈1.73） 解：过 D 作 DE⊥BC 于 E，作 DF⊥AB 于 F，设 AB=x， 157 在 Rt△DEC 中，∠DCE=30°，CD=100， ∴DE=50，CE=50 3 . 在 Rt△ABC 中，∠ACB=45°，∴BC=x. 则 AF=AB－BF=AB－DE=x－50， DF=BE=BC＋CE=x＋50 3 . 答：山 AB 的高度约为 236.2 米. 3.如图，小红同学用仪器测量一棵大树 AB 的高度，在 C 处测得∠ADG=30°，在 E 处测 得∠AFG=60°，CE=8 米，仪器高度 CD=1.5 米，求这棵树 AB 的高度（结果保留两位有效数 字， 3 ≈1.732）. 解：根据题意得：四边形 DCEF、DCBG 是矩形， ∴GB=EF=CD=1.5 米，DF=CE=8 米. 设 AG=x 米，GF=y 米， 在 Rt△AFG 中， 在 Rt△ADG 中， 158 二者联立，解得 x=4 3 ，y=4. ∴AG=4 3 米，FG=4 米. ∴AB=AG＋GB=4 3 ＋1.5≈8.4（米）. ∴这棵树 AB 的高度为 8.4 米.