- 2021-11-06 发布 |
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文档介绍
北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形 教学课件
1 .1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 菱形的性质 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系 . 2.探索并证明菱形的性质定理.(重点) 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.(难点) 导入新课 情景引入 欣赏下面图片,图片中框出的图形是你熟悉的吗? 欣赏视频,前面的图片中出现的图形是平行四边形,和视频中菱形一致,那么什么是菱形呢?这节课让我们一起来学习吧 . 讲授新课 菱形的性质 一 思考 如果从边的角度 , 将平行四边形特殊化 , 内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等 , 这个特殊的平行四边形叫什么呢 ? 平行四边形 菱形 邻边相等 定义: 有一组邻边相等的平行四边形 . 菱形是特殊的平行四边形 . 平行四边形不一定是菱形 . 归纳总结 活动 1 如何利用折纸、剪切的方法,既快又准确地剪出一个菱形的纸片?观看下面视频: 活动 2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕 , 折叠手中 的图形 ( 如图),并回答以下问题 : 问题 1 菱形是轴对称图形吗 ? 如果是 , 指出 它的对称轴 . 是,两条对角线所在直线都是它的对称轴 . 问题 2 根据上面折叠过程,猜想 菱形的四边在数量上 有什么关系 ? 菱形的两对角线有什么关系 ? 猜想 1 菱形的四条边都相等 . 猜想 2 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对 角线平分一组对角 . 已知:如图,在平行四边形 ABCD 中 , AB = AD ,对角线 AC 与 B D 相交 于点 O . 求证 :(1 ) AB = BC = CD = AD ; ( 2 ) AC ⊥ BD ; ∠ DAC= ∠ BAC , ∠ DCA= ∠ BCA , ∠ ADB= ∠ CDB , ∠ ABD= ∠ CBD . 证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB = CD , AD = BC (平行四边形的对边相等). 又∵ AB = AD , ∴ AB = BC = CD = AD . A B C O D 证一证 ( 2 )∵ AB = AD, ∴ △ ABD 是等腰三角形 . 又∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OB = OD (平行四边形的对角线互相平分) . 在等腰三角形 ABD 中 , ∵ OB = OD , ∴ AO ⊥ BD , AO 平分 ∠ B A D , 即 AC ⊥ BD , ∠ DAC= ∠ BAC . 同理可证 ∠ DCA= ∠ BCA , ∠ ADB= ∠ CDB , ∠ ABD= ∠ CBD . A B C O D 菱形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质 . 对称性:是轴对称图形. 边: 四条边都相等 . 对角线: 互相垂直 ,且每 条对角线平分一组对角 . 角:对角相等. 边:对边平行且相等 . 对角线:相互平分 . 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 例 1 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 、 BD 相交于点 O , BD = 12cm , AC = 6cm ,求菱形的周长. 解: ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥ BD , AO = AC , BO = BD . ∵ AC = 6cm , BD = 12cm , ∴ AO = 3cm , BO = 6cm. 在 Rt△ ABO 中,由勾股定理得 ∴ 菱形的周长= 4 AB = 4×3 = 12 (cm) . 典例精析 例 2 如图,在菱形 ABCD 中, CE ⊥ AB 于点 E , CF ⊥ AD 于点 F ,求证: AE = AF . 证明:连接 AC . ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC 平分 ∠ BAD , 即 ∠ BAC = ∠ DAC . ∵ CE ⊥ AB , CF ⊥ AD , ∴∠ AEC = ∠ AFC = 90°. 又 ∵ AC = AC , ∴△ ACE ≌ △ ACF . ∴ AE = AF . 菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴,每条对角线平分一组对角. 归纳 例 3 如 图, E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点,且 AB = AE , AE 交 BD 于 O ,且 ∠ DAE =2∠ BAE ,求证: OA = EB . A B C D O E 证明: ∵ 四边形 ABCD 为菱形, ∴ AD∥BC , AD = BA , ∠ ABC = ∠ ADC = 2∠ ADB , ∴∠ DAE = ∠ AEB , ∵ AB = AE ,∴∠ ABC = ∠ AEB , ∴∠ ABC =∠ DAE , ∵∠ DAE = 2∠ BAE , ∴∠ BAE = ∠ ADB . 又 ∵ AD = BA , ∴△ AOD ≌ △ BEA , ∴ AO = BE . 1. 如图,在菱形 ABCD 中,已知 ∠ A = 60° , AB = 5 ,则 △ ABD 的周长是 ( ) A.10 B.12 C.15 D.20 C 练一练 2. 如图,菱形 ABCD 的周长为48cm,对角线 AC 、 BD 相交于 O 点, E 是 AD 的中点,连接 OE ,则线段 OE 的长为 _______. 第 1 题图 第 2 题图 6 cm 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 C 2. 如图,在菱形 ABCD 中, AC =8, BD =6,则△ ABD 的周长等于 ( ) A . 18 B . 16 C . 15 D . 14 当堂练习 B 3. 根据下图 填一填: (1)已知菱形 ABCD 的周长是12cm,那么它的边长 是 ______. ( 2) 在 菱形 ABCD 中, ∠ ABC =120 °,则 ∠ BAC = _______. (3)菱形 ABCD 的两条对角线长分别为6cm和8cm, 则菱形的边长是_______. 3cm 30° A B C O D 5cm (4) 菱形的一个内角为 120°, 平分这个内角的对角 线长为 11 cm ,菱形的周长为 ______. 44 cm A B C O D 4. 如图,四边形 ABCD 是菱形, F 是 AB 上一点, DF 交 AC 于 E . 求证:∠ AFD = ∠ CBE . 证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ CB = CD , CA 平分∠ BCD . ∴∠ BCE = ∠ DCE . 又 CE = CE , ∴△ BCE ≌ △ DCE ( SAS ). ∴∠ CBE = ∠ CDE . ∵在菱形 ABCD 中, AB ∥ CD , ∴∠ AFD = ∠ EDC . ∴∠ AFD = ∠ CBE . A D C B F E 课堂小结 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 周长 = 边长的四倍 角 对角线 1. 两组对边平行且相等; 2. 四条边相等 两组对角分别相等,邻角互补邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分 ; 2. 每一条对角线平分一组对角 1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 菱形的判定 学习目标 1 . 经历菱形判定定理的探究过程,掌握菱形的判 定定理. (重点) 2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算 . (难点) 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 复习引入 导入新课 问题 菱形的定义是什么?性质有哪些? 根据菱形的定义 , 可得菱形的第一个判定的方法: AB = AD , ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . A B C D 思考 还有其他的判定方法吗? 讲授新课 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 一 前面我们用一长一短两根细木条 , 在它们的中点处固定一个小钉 , 做成一个可以转动的十字 , 四周围上一根橡皮筋 , 做成一个平行四边形 . 那么转动木条 , 这个平行四边形什么时候变成菱形 ? 对此你有什么猜想? 猜想: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 你能证明这一猜想吗? A B C O D 已知:如图,四边形 ABCD 是平行四边形 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , AC ⊥ BD . 求证: □ ABCD 是菱形 . 证明: ∵四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ OA = OC . 又 ∵ AC ⊥ BD , ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线 . ∴ BA = BC . ∴四边形 ABCD 是菱形(菱形的定义) . 证一证 对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 AC ⊥ BD 几何语言描述: ∵ 在 □ABCD 中, AC ⊥ BD , ∴ □ ABCD 是菱形 . A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理: 归纳总结 例 1 如图, ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 相交于点 O , AB =5 , AO =4 , BO =3. 求证: 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D O 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∵ OA =4, OB =3, AB =5 , 证明: 即 AC ⊥ BD , ∴ AB 2 = OA 2 + OB 2 , ∴ △ AOB 是直角三角形, 典例精析 ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 例 2 如图 , □ ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、 BC 分别交于点 E 、 F , 求证:四边形 AFCE 是菱形. A B C D E F O 1 2 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AE∥FC , ∴ ∠ 1=∠2 . ∵ EF 垂直 平分 AC , ∴ AO = OC . 又 ∠ AOE = ∠ COF , ∴△ AOE ≌ △ COF , ∴ EO = FO . ∴四边形 AFCE 是平行四边形 . 又∵ EF ⊥ AC ∴ 四边形 AFCE 是菱形 . 练一练 在四边形 ABCD 中,对角线 AC , BD 互相平分,若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形,则这个条件可以是 ( ) A.∠ ABC =90° B. AC ⊥ BD C. AB = CD D. AB ∥ CD B 四条边相等的四边形是菱形 二 小刚: 分别以 A 、 C 为圆心 , 以大于 AC 的长为半径作弧 , 两条 弧分别相交于点 B , D , 依次连接 A 、 B 、 C 、 D 四点 . 已知线段 AC , 你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD , 使 AC 为菱形的一条对角线吗? C A B D 想一想: 根据小刚的作法你有什么猜想?你能验证小刚的作法对吗? 猜想: 四条边相等的四边形 是 菱形 . 证明: ∵ AB = BC = CD = AD ; ∴ AB = CD , BC=AD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 又 ∵ AB = BC , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D 已知:如图,四边形 ABCD 中 , AB = BC=CD=AD. 求证:四边形 ABCD 是菱形 . 证一证 四条边都相等 的四边形是菱形 AB = BC=CD=AD 几何语言描述: ∵ 在四边形 ABCD 中, AB = BC=CD=AD , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D 菱形 ABCD 菱形的判定定理: 归纳总结 四 边形 ABCD A B C D 下 列命题中正确的是 ( ) A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 三条边相等的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是菱形 C 练一练 证明: ∵ ∠ 1= ∠ 2, 又∵ AE = AC , AD = AD , ∴ △ ACD ≌ △ AED (SAS). 同理△ ACF ≌ △ AEF (SAS) . ∴ CD = ED , CF = EF . 又∵ EF = ED ,∴ CD = ED = CF = EF , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 2 例 3 如图 ,在△ ABC 中 , AD 是角平分线 , 点 E 、 F 分别在 AB 、 AD 上 , 且 AE = AC , EF = ED . 求证:四边形 CDEF 是菱形 . A C B E D F 1 典例精析 例 4 如图,在 △ ABC 中, ∠ B = 90° , AB = 6cm , BC = 8cm. 将 △ ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm ,得到 △ DEF , A , B , C 的对应点分别是 D , E , F ,连接 AD . 求证:四边形 ACFD 是菱形. 证明:由平移变换的性质得 CF = AD = 10cm , DF = AC . ∵∠ B = 90° , AB = 6cm , BC = 8cm , ∴ AC = DF = AD = CF = 10cm , ∴ 四边形 ACFD 是菱形. 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时,运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便. 归纳 当堂练习 1. 判断下列说法是否正确 (1) 对角线互相垂直的四边形是菱形; (2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形; (3) 对角线互相垂直,且有一组邻边相等的 四边形是菱形; (4) 两条邻边相等,且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形. √ ╳ ╳ ╳ 2. 一边长为 5cm 平行四边形的两条对角 线的长分别为 24cm 和 26cm ,那么平行四边形的面积是 . 312cm 2 3.如图,将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DCE ,连接 AD ,下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是( ) A. AB = BC B. AC = BC C.∠ B =60° D.∠ ACB =60° B 解析:∵将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DCE , ∴ A C ∥D E , A C = D E , ∴四边形 AB E D 为平行四边形 . 当 AC = BC 时, 平行四边形 ACED 是菱形. 故选B. 证明: ∵ MN 是 AC 的垂直平分线, ∴ AE = CE , AD = CD , OA = OC , ∠ AOD =∠ EOC =90°. ∵ CE∥AB , ∴∠ DAO =∠ ECO , ∴△ ADO ≌ △ CEO ( ASA ). ∴ AD = CE , OD = OE , ∵ OD = OE , OA = OC , ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形 又 ∵∠ AOD =90° , ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 4. 如图, △ ABC 中, AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D ,交 AC 于点 O , CE∥AB 交 MN 于点 E ,连接 AE 、 CD . 求证:四边形 ADCE 是菱形 . B C A D O E M (1)证明:由尺规作∠ BAF 的平分线的过程可得 AB = AF ,∠ BAE =∠ FAE , ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD ∥ BC ,∴∠ FAE =∠ AEB , ∴∠ BAE =∠ AEB ,∴ AB = BE , ∴ BE = FA ,∴四边形 ABEF 为平行四边形, ∵ AB = AF , ∴四边形 ABEF 为菱形; 5. 如图 , 在平行四边形 ABCD 中,用直尺和圆规作∠ BAD 的 平分线交 BC 于点 E ,连接 EF . (1)求证:四边形 ABEF 为菱形; (2) AE , BF 相交于点 O ,若 BF =6, AB =5,求 AE 的长. (2) AE , BF 相交于点 O ,若 BF =6, AB =5,求 AE 的长. 解:∵四边形 ABEF 为菱形, ∴ AE ⊥ BF , BO = FB =3, AE =2 AO , 在Rt△ AOB 中,由勾股定理得 AO =4, ∴ AE =2 AO =8. 课堂小结 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 . 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 四边相等的四边形是菱形 . 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 1 .1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 3 课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合 1. 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题 , 并掌握菱形面积的求法 .( 重点、难点 ) 2. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程 , 体会 数形结合、转化等思想方法 . 学习目标 1 .平行四边形的对边 ,对角 ,对角线 . 2 .菱形具有 的一切性质. 3 .菱形是 图形也是 图形. 4 .菱形的四条边都 . 5 .菱形的两条对角线互相 . 平行且相等 相等 互相平分 平行四边形 轴对称 中心对称 相等 垂直且平分 复习引入 导入新课 6. 平行四边形的面积 =_________. A B C D F 底 × 高 7. 菱形是特殊的平行四边形,如图菱形 ABCD 的面积 =_________. BC · DF 思考: 你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗? A B C O D 菱形的面积 一 问题 1 菱形是特殊的平行四边形 , 那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形 ABCD 的面积吗 ? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直 , 那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢 ? 能 . 过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E , 则 S 菱形 ABCD = 底×高 = BC · AE . E 讲授新课 问题 2 如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC , BD 交于点 O , 试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积 . A B C D O 解: ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥ BD , ∴ S 菱形 ABCD = S △ ABC + S △ ADC = AC · BO + AC · DO = AC ( BO + DO ) = AC · BD . 你有什么发现? 菱形的面积 = 底 × 高 = 对角线乘积的一半 例 1 : 如图 , 四边形 ABCD 是边长为 13cm 的菱形 , 其中对 角线 BD 长 10cm. 求 :(1) 对角线 AC 的长度 ; (2) 菱形 ABCD 的面积 . 解 :(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴∠ AED =90 ° , (2) 菱形 ABCD 的面积 ∴ AC =2 AE =2×12=24(cm). D B C A E 菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积;(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);(3)两条对角线长度乘积的一半. 归纳 例 2 如图,菱形花坛 ABCD 的边长为 20m , ∠ ABC = 60 °,沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD ,求两条小路的长和花坛的面积(结果分别精确到 0.01m 和 0.1m 2 ) . A B C D O 解: ∵ 花坛 ABCD 是菱形, 【变式题】 如图,在菱形 ABCD 中,∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为1:2,周长是8cm.求: (1)两条对角线的长度; (2)菱形的面积. 解:(1)∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB = BC , AC ⊥ BD , AD ∥ BC , ∴∠ ABC +∠ BAD =180° . ∵∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为1:2, ∴∠ ABC = ×180° = 60°, ∴∠ ABO = ×∠ ABC = 30°,△ ABC 是等边三角形 . ∵菱形 ABCD 的周长是8cm. ∴ AB =2cm, ∴ OA = AB =1cm, AC = AB =2cm, ∴ BD =2 OB = cm; (2) S 菱形 ABCD = AC • BD = ×2× = (cm 2 ). 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形,当菱形中有一个角是 60 °时,菱形被分为以 60 °为顶角的两个等边三角形 . 归纳 练一练 如图,已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm,则这个菱形的高 DE 为( ) A . 2.4cm B . 4.8cm C . 5cm D . 9.6cm B 菱形的判定与性质的综合问题 二 如图两张 不等宽 的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分是什么图形? 做一做 平行四边形 如图两张 等宽 的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分 ABCD 是什么图形?为什么? 菱形 A C D B 分析: 易知四边形 ABCD 是 平行四边形 ,只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可 . 由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等, 然后通过证△ ABE ≌ △ ADF ,即得 AB = AD . E F 例 3 如图,在△ ABC 中, D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点, BE =2 DE ,延长 DE 到点 F ,使得 EF = BE ,连接 CF . (1)求证:四边形 BCFE 是菱形; (1)证明:∵ D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点, ∴ DE ∥ BC 且2 DE = BC . 又∵ BE =2 DE , EF = BE , ∴ EF = BC , EF ∥ BC , ∴四边形 BCFE 是平行四边形. 又∵ EF = BE , ∴四边形 BCFE 是菱形; (2)解:∵∠ BCF =120°, ∴∠ EBC =60°, ∴△ EBC 是等边三角形, ∴菱形的边长为4,高为 , ∴菱形的面积为 . (2)若 CE =4,∠ BCF =120°,求菱形 BCFE 的面积. 判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵活选择方法.如果可以证明四条边相等,可直接证出菱形;如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直,可以先尝试证出这个四边形是平行四边形. 归纳 练一练 如图,在平行四边形 ABCD 中, AC 平分∠ DAB , AB =2,求平行四边形 ABCD 的周长 . 解:∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴AD∥BC , AB∥CD , ∴∠ DAC =∠ ACB ,∠ BAC =∠ ACD , ∵ AC 平分∠ DAB , ∴∠ DAC =∠ BAC , ∴∠ DAC =∠ ACD , ∴ AD = DC , ∴四边形 ABCD 为菱形, ∴四边形 ABCD 的周长=4×2=8. 1. 已知菱形的周长是 24cm ,那么它的边长是 ______. 2. 如图,菱形 ABCD 中∠ BAC = 120 °, 则∠ BAC = _______. 6cm 60 ° 3. 如图,菱形的两条对角线长分别为 10cm 和 24cm , 则菱形的边长是( ) C A.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm A B C D O 当堂练习 4. 如图,在菱形 ABCD 中,点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点,且在 △ AOB 中, OA = 5 , OB = 12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h . 解:在 Rt△ AOB 中, OA = 5 , OB = 12 , ∴ S △ AOB = OA · OB = ×5×12 = 30 , ∴ S 菱形 ABCD = 4 S △ AOB = 4×30 = 120. ∵ 又 ∵ 菱形两组对边的距离相等, ∴ S 菱形 ABCD = AB · h = 13 h , ∴13 h = 120 ,得 h = . 5. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O , ∠ BAD =60° , BD = 6 , 求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长 . 解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥ BD (菱形的对角线互相垂直) OB = OD = BD = ×6=3 (菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABC 中, ∵∠ BAD =60°, ∴△ ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. A B C O D 在 Rt Δ AOB 中,由勾股定理,得 OA 2 + OB 2 = AB 2 , ∴ OA = = = ∴ AC =2 OA = (菱形的对角线相互平分) . A B C O D 课堂小结 菱形的性质与判定的综合性问题 菱形的面积 综合运用 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 矩形的性质 学习目标 1. 理解矩形的概念,知道矩形与平行四边形的区别 与 联系 . (重点) 2. 会证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问 题 . ( 重点、 难点) 3. 掌握直角三角形斜边中线的性质,并会简单的运用 . (重点) 观察下面图形 , 长方形 在 生活中无处不在 . 导入新课 情景引入 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系? 你还能举出其他的例子吗? 讲授新课 矩形的性质 一 活动 1 : 利用一个活动的平行四边形教具演示 , 使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察 . 矩形 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形 . 定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 也叫做长方形 . 归纳总结 平行四边形不一定是矩形 . 思考 因为矩形是平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质,由于它有一个角为直角,它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢? 可以从边,角,对角线等方面来考虑 . 活动 2 : 准备素材:直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等 . ( 1 )请同学们以小组为单位 , 测量身边的矩形(如书本 , 课桌 , 铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数 , 并记录测量结果 . A B C D O AB AD AC BD ∠ BAD ∠ ADC ∠ AOD ∠ AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 (实物) (形象图) ( 2 ) 根据测量的结果,你有什么猜想? 猜想 1 矩形的四个角都是直角 . 猜想 2 矩形的对角线相等 . 你能证明吗? 证明:∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ ∠ B = ∠ D , ∠ C =∠ A , AB∥DC . ∴ ∠ B + ∠ C =180°. 又∵ ∠ B = 90° , ∴ ∠ C = 90°. ∴∠ B =∠ C =∠ D =∠ A =90°. 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , ∠ B =90°. 求证 : ∠ B = ∠ C = ∠ D = ∠ A =90° . A B C D 证一证 证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AB = DC ,∠ ABC =∠ DCB =90° , 在△ ABC 和△ DCB 中 , ∵ AB = DC , ∠ ABC =∠ DCB , BC = CB , ∴△ ABC ≌ △ DCB . ∴ AC = DB . A B C D O 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , ∠ ABC =90°, 对角线 AC 与 DB 相较于点 O . 求证 : AC = DB . 矩形除了具有平行四边形所有性质,还具有的性质有: 矩形的四个角都是直角 . 矩形的对角线相等 . 归纳总结 几何语言描述: 在矩形 ABCD 中, 对角线 AC 与 DB 相交于点 O . ∠ ABC =∠ BCD =∠ CDA =∠ DAB =90° , AC = DB . A B C D O 例 1 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 两条对角线 AC , BD 相交于点 O , ∠ AOB =60° , AB =4 , 求矩形对角线的长 . 解:∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD , OA = OC = AC , OB = OD = BD , ∴ OA = OB . 又 ∵ ∠ AOB =60° , ∴ △ OAB 是等边三角形, ∴ OA = AB =4 , ∴ AC = BD =2 OA =8. A B C D O 典例精析 矩形的对角线相等且互相平分 例 2 如图 , 在矩形 ABCD 中 , E 是 BC 上一点 , AE = AD , DF ⊥ AE , 垂足为 F . 求证: DF = DC . A B C D E F 证明:连接 DE . ∵ AD = AE ,∴∠ AED =∠ ADE . ∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AD∥BC ,∠ C =90°. ∴∠ ADE =∠ DEC , ∴∠ DEC =∠ AED . 又∵ DF ⊥ AE , ∴∠ DFE =∠ C =90°. 又∵ DE = DE , ∴△ DFE ≌ △ DCE , ∴ DF = DC . 例 3 如图,将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠,使点 C 落在 C ′ 处, BC ′ 交 AD 于点 E , AD = 8 , AB = 4 ,求 △ BED 的面积. 解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD ∥ BC , ∠ A = 90° , ∴∠2 = ∠3. 又由折叠知 ∠1 = ∠2 , ∴∠1 = ∠3 , ∴ BE = DE . 设 BE = DE = x ,则 AE = 8 - x . ∵ 在 Rt△ ABE 中, AB 2 + AE 2 = BE 2 , ∴4 2 + (8 - x ) 2 = x 2 , 解得 x = 5 ,即 DE = 5. ∴ S △ BED = DE · AB = ×5×4 = 10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片 , 折一折 , 观察并思考 . 矩形是不是轴对称图形 ? 如果是,那么对称轴有几条 ? 矩形的性质: 对称性: . 对称轴: . 轴对称图形 2 条 练一练 1. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC , BD 交于点 O , 下列说法错误的是 ( ) A. AB ∥ DC B. AC = BD C. AC ⊥ BD D. OA = OB A B C D O C 2. 如图, EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O ,且分别交 AB 、 CD 于 E 、 F ,那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的 _________. 3. 如图,在矩形 ABCD 中, AE ⊥ BD 于 E , ∠ DAE : ∠ BAE = 3 : 1 ,求 ∠ BAE 和 ∠ EAO 的度数. 解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ DAB = 90° , AO = AC , BO = BD , AC = BD , ∴∠ BAE + ∠ DAE = 90° , AO = BO . 又 ∵∠ DAE : ∠ BAE = 3 : 1 , ∴∠ BAE = 22.5° , ∠ DAE = 67.5°. ∵ AE ⊥ BD , ∴∠ ABE = 90° - ∠ BAE = 90° - 22.5° = 67.5° , ∴∠ OAB = ∠ ABE = 67.5° ∴∠ EAO = 67.5° - 22.5° = 45°. 直角三角形斜边上的中线的性质 二 A B C D O 活动: 如图,一张矩形纸片,画出两条对角线,沿着对角线 AC 剪去一半 . B C O A 问题 Rt △ ABC 中, BO 是一条怎样的线段? 它的长度与斜边 AC 有什么关系? 猜想: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 试给出数学证明 . O C B A D 证明 : 延长 BO 至 D , 使 OD = BO , 连接 AD 、 DC . ∵ AO = OC , BO = OD , ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵∠ ABC =90° , ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形, ∴ AC = BD , 如图,在 Rt△ ABC 中, ∠ ABC =90° , BO 是 AC 上的中线 . 求证 : BO = AC ? ∴ BO = BD = AC . 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 性质 证一证 例 4 如图,在 △ ABC 中, AD 是高, E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点. (1) 若 AB = 10 , AC = 8 ,求四边形 AEDF 的周长; 解: ∵ AD 是 △ ABC 的高, E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点, ∴ DE = AE = AB = ×10 = 5 , DF = AF = AC = ×8 = 4 , ∴ 四边形 AEDF 的周长= AE + DE + DF + AF = 5 + 5 + 4 + 4 = 18 ; (2) 求证: EF 垂直平分 AD . 证明: ∵ DE = AE , DF = AF , ∴ E 、 F 在线段 AD 的垂直平分线上, ∴ EF 垂直平分 AD . 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时,可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解. 归纳 例 5 如图,已知 BD , CE 是 △ ABC 不同边上的高,点 G , F 分别是 BC , DE 的中点,试说明 GF ⊥ DE . 解:连接 EG , DG . ∵ BD , CE 是 △ ABC 的高, ∴∠ BDC = ∠ BEC = 90°. ∵ 点 G 是 BC 的中点, ∴ EG = BC , DG = BC . ∴ EG = DG . 又 ∵ 点 F 是 DE 的中点, ∴ GF ⊥ DE . 在直角三角形中,遇到斜边中点常作斜边中线,进而可将问题转化为等腰三角形的问题,然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题. 归纳 归纳总结 直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型 如图,在△ ABC 中 ,∠ ABC = 90°, BD 是斜边 AC 上的中线 . (1) 若 BD =3cm, 则 AC =_____cm; (2) 若∠ C = 30° , AB = 5cm, 则 AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 6 10 5 练一练 当堂练习 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12, 则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D. 不能确定 3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°, 则两条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10° A C C 4. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 、 BD 相交于点 O ,点 E 、 F 分别是 AO 、 AD 的中点,若 AB =6cm, BC =8cm,则 EF = ______ cm. 2.5 5. 如图,△ ABC 中, E 在 AC 上,且 BE ⊥ AC . D 为 AB 中点,若 DE =5, AE =8,则 BE 的长为 ______ . 6 第 4 题图 第 5 题图 6. 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , 对角线 AC , BD 相交于点 O , BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E . ( 1 )求证: BD = BE , ( 2 )若 ∠ DBC =30° , BO =4 , 求四边形 ABED 的面积 . A B C D O E (1) 证明:∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AC = BD , AB∥CD . 又∵ BE∥AC , ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形 , ∴ AC = BE , ∴ BD = BE . (2) 解: ∵ 在矩形 ABCD 中 , BO =4 , ∴ BD = 2 BO =2×4=8. ∵∠ DBC =30° , ∴ CD = BD = ×8=4 , ∴ AB = CD =4 , DE = CD + CE = CD + AB =8. 在 Rt△ BCD 中 , BC = ∴四边形 ABED 的面积 = ×(4+8)× = . A B C D O E 7. 如图,在矩形 ABCD 中, AB =6, AD =8, P 是 AD 上的动点, PE ⊥ AC , PF ⊥ BD 于 F ,求 PE + PF 的值 . 解:连接 OP . ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ DAB =90°, OA = OD = OC = OB , ∴ S △ AOD = S △ DOC = S △ AOB = S △ BOC = S 矩形 ABCD = ×6×8=12 . 在Rt△ BAD 中,由勾股定理得 BD =10, ∴ AO = OD =5, ∵ S △ APO + S △ DPO = S △ AOD , ∴ AO · PE + DO · PF =12,即5 PE +5 PF =24, ∴ PE + PF = . 能力提升: 课堂小结 矩形的相关概念及性质 具有平行四边行的一切性质 四个内角都是直角, 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 矩形的判定 学习目标 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程, 理解并掌握 矩形的判定定理.(重点) 2 . 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题 .( 难点 ) 复习引入 导入新课 问题 1 矩形的定义是什么? 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 问题 2 矩形有哪些性质? 矩形 边: 角: 对角线: 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时 ,如何确保 图形是 矩形呢?现在师傅带了两种工具 (卷尺和量角器),他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题,这是为什么呢? 这节课我们一起探讨矩形的判定吧 . 讲授新课 对角线相等的平行四边形是矩形 一 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法,那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法 . 问题 1 除了定义以外,判定矩形的方法还有没有呢? 矩形是特殊的平行四边形 . 类似地,那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立 . 问题 2 上节课我们已经知道 “ 矩形的对角线相等 ” ,反过来, 小明猜想对角线相等的四边形是矩形,你觉得对吗? 我猜想:对角线相等的平行四边形是矩形 . 不对,等腰梯形的对角线也相等 . 不对,矩形是特殊的平行四边形,所以它的对角线不仅相等且平分 . 思考 你能证明这一猜想吗? 已知:如图 , 在 □ ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC = DB . 求证: □ ABCD 是矩形 . 证明:∵ AB = DC , BC = CB , AC = DB , ∴ △ ABC ≌ △ DCB , ∴∠ ABC = ∠ DCB . ∵ AB ∥ CD , ∴∠ ABC + ∠ DCB = 180° , ∴ ∠ ABC = 90° , ∴ □ ABCD 是矩形(矩形的定义) . A B C D 证一证 矩形的判定定理: 对角线相等的平行四边形是矩形 . 归纳总结 几何语言描述: 在平行四边形 ABCD 中, ∵ AC = BD , ∴ 平行 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 思考 数学来源于生活,事实上工人师傅为了检验 两组对边相等 的四边形窗框是否成矩形,一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度,如果 对角线长相等 ,则窗框一定是矩形,你现在知道为什么了吗? 对角线相等的平行四边形是矩形 . 例 1 如图,在 ABCD 中,对角线 AC , BD 相交于点 O ,且 OA = OD ,∠ OAD =50° .求∠ OAB 的度数. A B C D O 解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA = OC = AC , OB = OD = BD . 又 ∵ OA = OD , ∴ AC = BD , ∴ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠ BAD= 90 ° . 又 ∵ ∠ OAD =50° , ∴ ∠ OAB =40°. 典例精析 例 2 如图 , 矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O , E 、 F 、 G 、 H 分别是 AO 、 BO 、 CO 、 DO 上的一点 , 且 AE = BF = CG = DH . 求证 : 四边形 EFGH 是矩形 . B C D E F G H O A 证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AC = BD (矩形的对角线相等 ) , AO = BO = CO = DO (矩形的对角线互相平分), ∵ AE = BF = CG = DH , ∴ OE = OF = OG = OH , ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形, ∵ EO + OG = FO + OH , 即 EG = FH , ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . 练一练 1. 如图,在▱ ABCD 中, AC 和 BD 相交于点 O ,则下面条件能判定▱ ABCD 是矩形的是 ( ) A. AC = BD B. AC = BC C. AD = BC D. AB = AD A 2. 如图 ABCD 中 , ∠1= ∠2 中 . 此时四边形 ABCD 是矩形吗?为什么? A B C D O 1 2 解:四边形 ABCD 是矩形 . 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO = CO , DO = BO . 又 ∵ ∠1= ∠2 , ∴ AO = BO , ∴ AC = BD , ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 有三个角是直角的四边形是矩形 二 问题 1 上节课我们研究了矩形的四个角,知道它们都是直角,它的逆命题是什么?成立吗? 逆命题:四个角是直角的四边形是矩形 . 成立 问题 2 至少有几个角是直角的四边形是矩形 ? A B D C ( 有一个角是直角 ) A B D C ( 有二个角是直角 ) A B D C ( 有三个角是直角 ) 猜测:有三个角是直角的四边形是矩形 . 已知:如图 , 在四边形 ABCD 中 ,∠ A =∠ B =∠ C =90 ° . 求证:四边形 ABCD 是矩形 . 证明 :∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° , ∴∠ A +∠ B =180 ° , ∠ B +∠ C =180 ° , ∴ AD∥BC , AB∥CD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 证一证 矩形的判定定理: 有三个角是直角的四边形是矩形 . 归纳总结 几何语言描述: 在四边形 ABCD 中, ∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° , ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 思考 一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次,就能得到矩形踏板.为什么? 有三个角是直角的四边形是矩形 . 例 3 如图, □ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E 、 F 、 G 、 H ,求证:四边形 EFGH 为矩形. 证明:在 □ ABCD 中, AD∥BC , ∴∠ DAB +∠ ABC =180 ° . ∵ AE 与 BG 分别为∠ DAB 、 ∠ ABC 的平分线 , A B D C H E F G ∴四边形 EFGH 是矩形. 同理可证 ∠ AED = ∠ EHG =90°, ∴∠ AFB =90° , ∴∠ GFE =90°. ∴ ∠ BAE + ∠ ABF = ∠ DAB + ∠ ABC =90 ° . 例 4 如图,在 △ ABC 中, AB = AC , AD ⊥ BC ,垂足为 D , AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线, CE ⊥ AN ,垂足为 E ,求证:四边形 ADCE 为矩形. 证明:在 △ ABC 中, AB = AC , AD ⊥ BC , ∴∠ BAD = ∠ DAC ,即 ∠ DAC = ∠ BAC . 又 ∵ AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线, ∴∠ MAE = ∠ CAE = ∠ CAM , ∴∠ DAE = ∠ DAC + ∠ CAE = (∠ BAC + ∠ CAM ) = 90°. 又 ∵ AD ⊥ BC , CE ⊥ AN , ∴∠ ADC = ∠ CEA = 90°, ∴ 四边形 ADCE 为矩形. 练一练 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上,一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案,其中正确的是 ( ) A.测量对角线是否相等 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三个角是否都为直角 D 当堂练习 1. 下列各句判定矩形的说法是否正确? ( 1 )对角线相等的四边形是矩形; ( 2 )对角线互相平分且相等的四边形是矩形; ( 3 )有一个角是直角的四边形是矩形; ( 5 )有三个角是直角的四边形是矩形; ( 6 )四个角都相等的四边形是矩形; ( 7 )对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形; ( 4 )有三个角都相等的四边形是矩形 ; × × × × √ √ √ √ ( 8 )一组对角互补的平行四边形是矩形; 2. 如图 , 直线 EF∥MN , PQ 交 EF 、 MN 于 A 、 C 两点 , AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别是 ∠ EAC 、 ∠ MCA 、 ∠ ACN 、 ∠ CAF 的平分线 , 则四边形 ABCD 是 ( ) A. 梯 形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 D E F M N Q P A B C C 3. 如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥ CD ,∠ BAD =90°, AB =5, BC =12, AC =13.求证:四边形 ABCD 是矩形. 证明:四边形 ABCD 中, AB ∥ CD ,∠ BAD =90°, ∴∠ ADC =90° . 又∵△ ABC 中, AB =5, BC =12, AC =13, 满足13 2 =5 2 +12 2 ,即 ∴△ ABC 是直角三角形,且∠ B =90°, ∴四边形 ABCD 是矩形. A B C D 4. 如图,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 、 BD 相交于点 O ,延长 OA 到 N ,使 ON = OB ,再延长 OC 至 M ,使 CM = AN . 求证:四边形 NDMB 为矩形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AO = OC , OD = OB . ∵ AN = CM , ON = OB , ∴ ON = OM = OD = OB , ∴ 四边形 NDMB 为平行四边形, MN = BD , ∴ 平行四边形 NDMB 为矩形. 5. 如图, △ ABC 中, AB = AC , AD 是 BC 边上的高, AE 是 △ BAC 的外角平分线, DE ∥ AB 交 AE 于点 E ,求证:四边形 ADCE 是矩形. 证明: ∵ AB = AC , AD ⊥ BC , ∴∠ B = ∠ ACB , BD = DC . ∵ AE 是 ∠ BAC 的外角平分线, ∴∠ FAE = ∠ EAC . ∵∠ B + ∠ ACB = ∠ FAE + ∠ EAC , ∴∠ B = ∠ ACB = ∠ FAE = ∠ EAC , ∴ AE ∥ CD . 又 ∵ DE ∥ AB , ∴ 四边形 AEDB 是平行四边形, ∴ AE 平行且相等 BD . 又 ∵ BD = DC , ∴ AE 平行且等于 DC , 故四边形 ADCE 是平行四边形 . 又 ∵∠ ADC = 90° , ∴ 平行四边形 ADCE 是矩形. 6. 如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ∠ B = 90° , AD = 24cm , BC = 26cm ,动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm/s 的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3cm/s 的速度运动.点 P 、 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动. (1)经过多长时间,四边形 PQCD 是平行四边形? 解:设经过 x s ,四边形 PQCD 为平行四边形, 即 PD = CQ , 所以 24 - x = 3 x , 解得 x = 6. 即经过 6s ,四边形 PQCD 是平行四边形; 能力提升: (2)经过多长时间,四边形 PQBA 是矩形? 解:设经过 y s ,四边形 PQBA 为矩形, 即 AP = BQ , ∴ y = 26 - 3 y , 解得 y = 6.5 , 即经过 6.5s ,四边形 PQBA 是矩形. 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形是矩形 . 对角线相等的平行四边形是矩形 . 有三个角是直角的四边形是矩形 . 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 3 课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合 1 .回顾矩形的性质及判定方法. 2 .矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用 . ( 难点 ) 学习目标 问题 1: 矩形有哪些性质? A B C D O ① 是轴对称图形 ; ②四个角都是直角 ; ③ 对角线相等且平分 . 导入新课 ① 定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ② 有一组邻边相等的矩形 ③ 有一个角是直角的菱形 问题 2: 矩形有判定方法有哪些? A B C D O E 例 1 : 如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O , DE∥AC , CE ∥BD . 求证:四边形 OCED 是菱形 . 证明: ∵ DE∥AC , CE∥BD , ∴ 四边形 OCED 是平行四边形 . ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ OC = OD , ∴ 四边形 OCED 是菱形. 矩形的性质与判定综合运用 讲授新课 H G F E D C B A 证明:连接 AC 、 BD . ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AC = BD . ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点, ∴ EF = FG = GH = HE , ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 例 2 如图,顺次连接矩形 ABCD 各边中点,得到四边形 EFGH ,求证:四边形 EFGH 是菱形 . C A B D E F G H 【变式题】 如图,顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边中点,得到四边形 E F G H 是什么四边形? 解:四边形 EFGH 是菱形 . 又∵ AC = BD , ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点, ∴ EF = FG = GH = HE , ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,得到四边形是菱形 . 归纳 理由如下:连接 AC 、 BD A B C D E F G H 拓展 1 如图,顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点,得到四边形 EFGH 是什么四边形? 解:连接 AC 、 BD . ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点, ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . 拓展 2 如图,若四边形 ABCD 是菱形,顺次连接 菱形 ABCD 各边中点,得到四边形 EFGH 是什么四边形? 四边形 EFGH 是矩 形 . 同学们自己去解答吧 例 3 : 如图,在矩形 ABCD 中, AD =6,对角线AC与BD相交于点 O , AE ⊥ BD ,垂足为 E , ED =3 BE ,求 AE 的长 . 分析: 由在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,BE:ED=1:3,易证得△OAB是等边三角形,继而求得∠BAE的度数,由△OAB是等边三角形,求出∠ADE的度数,又由AD=6,即可求得AE的长 . 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴OB=OD,OA=OC,AC=BD, ∴OA=OB, ∵BE:ED=1:3, ∴BE:OB=1:2, ∵AE⊥BD, ∴AB=OA,∴OA=AB=OB, 即△OAB是等边三角形, ∴∠ABD=60°,∴∠ADE=90°-∠ABD=30°, ∴ AE = AD= 3. 例 4 : 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E. (1)求证:四边形ADCE为矩形; (2)连接DE,交AC于点F,请判断 四边形ABDE的形状,并证明; (3)线段DF与AB有怎样的关系?请直接写出你的结论 . 证明:∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线, ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, ∴∠ADC=90°, ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线, ∴∠MAN=∠CAN, ∴∠DAE=90°, ∵CE⊥AN, ∴∠AEC=90°, ∴四边形ADCE为矩形; (1)求证:四边形ADCE为矩形; 解:四边形ABDE是平行四边形,理由如下: 由(1)知,四边形ADCE为矩形, 则AE=CD,AC=DE. 又∵AB=AC,BD=CD, ∴AB=DE,AE=BD, ∴四边形ABDE是平行四边形; (2)连接DE,交AC于点F,请判断四边形ABDE的形状,并证明; 解:DF∥AB,DF= AB.理由如下: ∵四边形ADCE为矩形, ∴AF=CF, ∵BD=CD, ∴DF是△ABC的中位线, ∴DF∥AB,DF= AB ( 3 ) 线段DF与AB有怎样的关系?请直接写出你的结论 . 【点评】 此题 考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用 . 例 5 : 如图所示,在 △ ABC 中, D 为 BC 边上的一点, E 是 AD 的中点,过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F ,且 AF = BD . 连接 BF . (1) BD 与 DC 有什么数量关系?请说明理由; (2) 当 △ ABC 满足什么条件时,四边形 AFBD 是矩形?并说明理由. 解: (1) BD = CD . 理由如下: ∵ AF ∥ BC , ∴∠ AFE = ∠ DCE . ∵ E 是 AD 的中点, ∴ AE = DE . 在 △ AEF 和 △ DEC 中, ∴△ AEF ≌ △ DEC (AAS) , ∴ AF = DC . ∵ AF = BD , ∴ BD = DC ; (2) 当 △ ABC 满足 AB = AC 时,四边形 AFBD 是矩形.理由如下: ∵ AF ∥ BD , AF = BD , ∴ 四边形 AFBD 是平行四边形. ∴ AB = AC , BD = DC , ∴∠ ADB = 90°. ∴ 四边形 AFBD 是矩形. 【方法总结】 本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法,明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键. 当堂练习 1. 如图,四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形,点 B 在 EF 边上,若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别是 S 1 , S 2 ,则 S 1 , S 2 的大小关系是 ( ) A . S 1 > S 2 B . S 1 = S 2 C . S 1 < S 2 D . 3 S 1 = 2 S 2 B 2 .如图,在 △ ABC 中,点 D , E , F 分别是 AB , AC , BC 的中点, AH ⊥ BC 于点 H ,连接 EH ,若 DF = 10 cm ,则 EH 等于 ( ) A . 8 cm B . 10 cm C . 16 cm D . 24 cm B 3. 如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O , AE 平分 ∠ BAD 交 BC 于点 E ,若 ∠ CAE = 15° ,则 ∠ BOE = ____ 度. 75 4 .如图,在矩形 ABCD 中, AB = 2 , BC = 4 ,点 A , B 分别在 y 轴, x 轴的正半轴上,点 C 在第一象限,如果 ∠ OAB = 30° ,那么点 C 的坐标为 . 5. 如图, O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点, CD = 5cm , OD = 3cm ;过点 C 作 CE ∥ DB ,过点 B 作 BE ∥ AC , CE 与 BE 相交于点 E . (1) 求 OC 的长; (2) 求四边形 OBEC 的面积. 解: (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥ BD . 在 Rt△ OCD 中,由勾股定理得 OC = 4cm ; (2)∵ CE ∥ DB , BE ∥ AC , ∴ 四边形 OBEC 为平行四边形 . 又 ∵ AC ⊥ BD ,即 ∠ COB = 90° , ∴ 平行四边形 OBEC 为矩形 . ∵ OB = OD = 3cm , ∴ S 矩形 OBEC = OB · OC = 4×3 = 12(cm 2 ) . 6. 如图,点 D 是 △ ABC 的边 AB 上一点, CN ∥ AB , DN 交 AC 于点 M , MA = MC . (1) 求证: CD = AN ; (2) 若 ∠ AMD = 2∠ MCD , 求证:四边形 ADCN 是矩形. 证明: (1) 证 △AMD ≌ △CMN 得 AD = CN , 又 ∵AD∥CN , ∴ 四边形 ADCN 是平行四边形, ∴CD = AN. (2) 若 ∠ AMD = 2∠ MCD , 求证:四边形 ADCN 是矩形. 证明: ∵∠AMD = 2∠MCD , ∠AMD = ∠MCD + ∠MDC , ∴∠MCD = ∠MDC , ∴MD = MC , 由 (1) 知四边形 ADCN 是平行四边形, ∴MD = MN = MA = MC , ∴AC = DN , ∴ ▱ ADCN 是矩形 . 与全等三角形的结合 矩形的性质与判定 课堂小结 与平面直角坐标系的结合 折叠问题 1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 正方形的性质 学习目标 1.理解正方形的概念 . 2. 探索并证明正方形的性质,并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别 .( 重点、难点 ) 3 .会应用正方形 的性质解决相关 证明及计算 问题 . (难点) 导入新课 观察下面图形 , 正 方形是我们熟悉的几何图形, 在 生活中无处不在 . 情景引入 你还能举出其他的例子吗? 讲授新课 矩 形 〃 〃 问题 1 : 矩形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么 发现? 问题引入 正方形的性质 正方形 问题 2 菱形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么 发现? 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义: 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形 . 归纳总结 已知:如图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 求证:正方形 ABCD 四边相等 , 四个角都是直角 . A B C D 证明:∵四边形 ABCD 是正方形 . ∴∠ A =90° , AB = AC (正方形的定义) . 又∵正方形是平行四边形 . ∴ 正方形是矩形(矩形的定义) , 正方形是菱形 ( 菱形的定义 ). ∴∠ A =∠ B =∠ C =∠ D = 90° , AB= BC = CD = AD . 证一证 已知:如图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 对角线 AC 、 BD 相交于点 O . 求证 : AO = BO = CO = DO , AC ⊥ BD . A B C D O 证明:∵正方形 ABCD 是矩形 , ∴ AO = BO = CO = DO . ∵ 正方形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片 , 折一折 , 观察并思考 . 正方 形是不是轴对称图形 ? 如果是,那么对称轴有几条 ? 对称性: . 对称轴: . 轴对称图形 4 条 A B C D 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形 , 也是特殊的矩形 , 也是特殊的菱形 . 所以矩形、菱形有的性质 , 正方形都有 . 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系: 性质: 1. 正方形的四个角都是直角 , 四条边相等 . 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 . 归纳总结 例 1 求证 : 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 . A D C B O 已知 : 如图 , 四边形 ABCD 是正方形 , 对角线 AC 、 BD 相 交于点 O . 求证 : △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 是全等的 等腰直角三角形 . 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴ AC = BD , AC ⊥ BD , AO = BO = CO = DO . ∴ △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 都 是等腰直角三角形 , 并且 △ ABO ≌ △ BCO ≌ △ CDO ≌ △ DAO . 典例精析 例 2 : 如图在正方形 ABCD 中 , E 为 CD 上一点, F 为 BC 边延长线上一点 , 且 CE = CF . BE 与 DF 之间有怎样的关系?请说明理由 . 解: BE = DF , 且 BE ⊥ DF .理由如下: (1)∵四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC , ∠ BCE =90° . (正方形的四条边都相等 , 四个角都是直角) ∴∠ DCF =180° - ∠ BCE =180° - 90°=90°. A B D C F E ∴∠ BCE =∠ DCF . 又∵ CE = CF . ∴△ BCE ≌ △ DCF . ∴ BE = DF . A B D F E (2) 延长 BE 交 DE 于点 M , ∵ △ BCE ≌ △ DCF , ∴∠ CBE = ∠ CDF . ∵∠ DCF =90° , ∴∠ CDF + ∠ F =90°. ∴∠ CBE + ∠ F =90° , ∴∠ BMF =90°. ∴ BE ⊥ DF . C M 例 3 如图,在正方形 ABCD 中, Δ BEC 是等边三角形, 求证: ∠ EAD =∠ EDA = 15° . 证明:∵ Δ BEC 是等边三角形, ∴ BE = CE = BC ,∠ EBC =∠ ECB =60 °, ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB = BC = CD ,∠ ABC =∠ DCB =90 °, ∴ AB = BE = CE = CD , ∠ ABE = ∠ DCE =30 °, ∴△ ABE ,△ DCE 是等腰三角形, ∴∠ BAE = ∠ BEA = ∠ CDE = ∠ CED =75 °, ∴∠ EAD = ∠ EDA =90 ° -75 ° =15 ° . 【变式题 1 】 四边形 ABCD 是正方形,以正方形 ABCD 的一边作等边 △ ADE ,求 ∠ BEC 的大小. 解:当等边 △ ADE 在正方形 ABCD 外部时,如图 ① , AB = AE , ∠ BAE = 90° + 60° = 150°. ∴∠ AEB = 15°. 同理可得 ∠ DEC = 15°. ∴∠ BEC = 60° - 15° - 15° = 30° ; 当等边 △ ADE 在正方形 ABCD 内部时,如图 ② , AB = AE , ∠ BAE = 90° - 60° = 30° , ∴∠ AEB = 75°. 同理可得 ∠ DEC = 75°. ∴∠ BEC = 360° - 75° - 75° - 60° = 150°. 综上所述, ∠ BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒:因为等边△ ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边,所以边相等.本题分两种情况:等边△ ADE 在正方形的外部或在正方形的内部. 【变式题 2 】 如图,在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB , PB = PC ,连接 AC 、 PD . (1)求证:△ APB ≌ △ DPC ; 解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠ ABC =∠ DCB =90°. ∵ PB = PC , ∴∠ PBC =∠ PCB . ∴∠ ABC -∠ PBC =∠ DCB -∠ PCB , 即∠ ABP =∠ DCP . 又∵ AB = DC , PB = PC , ∴△ APB ≌ △ DPC . 证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠ BAC =∠ DAC =45°. ∵△ APB ≌ △ DPC , ∴ AP = DP . 又∵ AP = AB = AD , ∴ DP = AP = AD . ∴△ APD 是等边三角形. ∴∠ DAP =60°. ∴∠ PAC =∠ DAP -∠ DAC =15°. ∴∠ BAP =∠ BAC -∠ PAC =30°. ∴∠ BAP =2∠ PAC . (2) 求证: ∠ BAP =2∠ PAC . 例 4 如图,在正方形 ABCD 中, P 为 BD 上一点, PE⊥BC 于 E , PF ⊥ DC 于 F . 试说明: AP = EF . A B C D P E F 解 : 连接 PC , AC . 又 ∵ PE ⊥ BC , PF ⊥ DC , ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴∠ FCE =90°, AC 垂直平分 BD , ∴ 四边形 PECF 是矩形 , ∴ PC = EF . ∴ AP = PC . ∴ AP = EF . 在正方形的条件下证明两条线段相等:通常连接对角线构造垂直平分的模型,利用垂直平分线性质,角平分线性质,等腰三角形等来说明 . 归纳 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角互补 D. 对角线相等 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质( ) A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 B D 练一练 2. 如图,四边形 ABCD 是正方形,对角线 AC 与 BD 相交于点 O , AO = 2 ,求正方形的周长与面积. 解: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC ⊥ BD , OA = OD = 2. 在 Rt△ AOD 中,由勾股定理,得 ∴ 正方形的周长为 4 AD = , 面积为 AD 2 = 8. 2. 一个正方形的对角线长为2cm,则它的面积是 ( ) A . 2cm 2 B . 4cm 2 C . 6cm 2 D . 8cm 2 A 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 A 当堂练习 3 .在正方形 ABC 中 , ∠ ADB = , ∠ DAC = , ∠ BOC = . 4. 在正方形 ABCD 中, E 是对角线 AC 上一点,且 AE=AB ,则∠ EBC 的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第 3 题图 第 4 题图 45° 5. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1cm , AC 为对角线, AE 平分 ∠ BAC , EF ⊥ AC ,求 BE 的长. 解: ∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴∠ B = 90° , ∠ ACB = 45° , AB = BC = 1cm. ∵ EF ⊥ AC , ∴∠ EFA = ∠ EFC = 90°. 又 ∵∠ ECF = 45° , ∴△ EFC 是等腰直角三角形, ∴ EF = FC . ∵∠ BAE = ∠ FAE , ∠ B = ∠ EFA = 90° , AE = AE , ∴△ ABE ≌ △ AFE , ∴ AB = AF = 1cm , BE = EF . ∴ FC = BE . 在 Rt△ ABC 中, ∴ FC = AC - AF = ( - 1)cm , ∴ BE = ( - 1)cm . 课堂小结 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 . 1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 正方形的判定 学习目标 1 . 探索并证明正方形的判定,并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别; ( 重点、难点 ) 2 . 会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . ( 难点 ) 问题 1 什么是正方形?正方形有哪些性质? A B C D 正方形:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形 . 正方形性质: ① 四个角都是直角 ; ②四条边都相等 ; ③ 对角线相等且互相垂直平分 . O 导入新课 复习引入 问题 2 你是 如何判断是矩形、菱形? 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢? 讲授新课 正方形的判定 活动 1 准备一张矩形的纸片,按照下图折叠 , 然后展开,折叠部分得到一个正方形,可量一量验证验证 . 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形? 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 已知:如图 , 在矩形 ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC ⊥ DB . 求证:四边形 ABCD 是正方形 . 证明:∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AO = CO = BO = DO , ∠ ADC =90 ° . ∵ AC ⊥ DB , ∴ AD = AB = BC = CD , ∴四边形 ABCD 是正方形 . 证一证 A B C D O 对角线互相垂直的矩形是正方形 . 活动 2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角,观察这时菱形框架的形状 . 量量看是不是正方形 . 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形? 正方形 一个角是直角 对角线相等 已知:如图 , 在菱形 ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC = DB . 求证:四边形 ABCD 是正方形 . 证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AB = BC = CD = AD , AC ⊥ DB . ∵ AC = DB , ∴ AO = BO = CO = DO , ∴△ AOD , △ AOB , △ COD , △ BOC 是等腰直角三角形, ∴∠ DAB =∠ ABC =∠ BCD =∠ A D C =90 ° , ∴四边形 ABCD 是正方形 . 证一证 A B C D O 对角线相等的菱形是正方形 . 正方形判定的几条途径: 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 ( 二选一 ) 菱形条件 ( 二选一 ) 一个直角, 一组邻边相等, 总结归纳 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 在四边形 ABCD 中, O 是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是( ) A . AC = BD , AB∥CD , AB = CD B . AD∥BC ,∠ A =∠ C C . AO = BO = CO = DO , AC ⊥ BD D . AO = CO , BO = DO , AB = BC 练一练 C A B C D O 例 1 在正方形 ABCD 中,点 E 、 F 、 M 、 N 分别在各边上,且 AE = BF = CM = DN .四边形 EFMN 是正方形吗 ? 为什么 ? 证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB = BC = CD = DA , ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D =90 ° . ∵ AE = BF = CM = DN , ∴ AN = BE = CF = DM . 分析:由已知可证 △ AEN ≌ △ BFE ≌ △ CMF ≌ △ DNM ,得四边形 EFMN 是菱形,再证有一个角是直角即可 . 典例精析 在△ AEN 、△ BFE 、△ CMF 、△ DNM 中, AE = BF = CM = DN , ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D , AN = BE = CF = DM , ∴△ AEN ≌ △ BFE ≌ △ CMF ≌ △ DNM , ∴ EN = FE = MF = NM , ∠ ANE =∠ BEF , ∴ 四边形 EFMN 是菱形 , ∠ NEF =180° - (∠ AEN +∠ BEF ) =180° - (∠ AEN +∠ ANE ) =180° - 90°=90°. ∴ 四边形 EFMN 是正方形 . 例 2 : 如图 , 在矩形 ABCD 中 , BE 平分 ∠ ABC , CE 平分 ∠ DCB , BF ∥ CE , CF ∥ BE . 求证:四边形 BECF 是正方形 . F A B E C D 解析: 先由两组平行线得出四边形 BECF 平行四边形;再由一个直角,得出是矩形;最后由一组邻边相等可得正方形; 45° 45° F A B E C D 证明 : ∵ BF ∥ CE , CF ∥ BE , ∴四边形 BECF 是平行四边形 . ∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ ∠ ABC = 90° , ∠ DCB = 90° , ∵ BE 平分∠ ABC , CE 平分∠ DCB , ∴∠ EBC = 45° , ∠ ECB = 45° , ∴ ∠ EBC = ∠ ECB . ∴ EB = EC , ∴ □ BECF 是菱形 . 在 △ EBC 中 ∵ ∠ EBC = 45 ° , ∠ ECB = 45° , ∴∠ BEC = 90° , ∴菱形 BECF 是正方形 . 证明: ∵ DE ⊥ AC , DF ⊥ AB , ∴∠ DEC = ∠ DFC =90° . 又∵ ∠ C =90 ° , ∴ 四边形 ADFC 是矩形 . 过点 D 作 DG ⊥ AB ,垂足为 G . ∵ AD 是∠ CAB 的平分线 DE ⊥ AC , DG ⊥ AB , ∴ DE = DG . 同理得 DG = DF , ∴ ED = DF , ∴四边形 ADFC 是正方形 . 例 3 如图,在直角三角形中,∠ C =90° ,∠ A 、∠ B 的平分线交于点 D . DE ⊥ AC , DF ⊥ AB . 求证 : 四边形 CEDF 为正方形 . A B C D E F G 例 4 如图, EG , FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O , 且 EG ⊥ FH . 求证:四边形 EFGH 是正方形 . 证明:∵四边形 ABCD 为正方形 , ∴ OB = OC , ∠ ABO= ∠ BCO =45° , ∠ BOC =90°=∠ COH +∠ BOH . ∵ EG ⊥ FH , ∴∠ BOE +∠ BOH =90° , ∴∠ COH= ∠ BOE , ∴ △ CHO ≌ △ BEO , ∴ OE = OH . 同理可证: OE = OF = OG , B A C D O E H G F ∴ OE=OF=OG=OH . 又∵ EG ⊥ FH , ∴四边形 EFGH 为菱形 . ∵ EO + GO = FO + HO , 即 EG = HF , ∴四边形 EFGH 为正方形 . B A C B O E H G F 例 5 如图,正方形 ABCD ,动点 E 在 AC 上, AF ⊥ AC ,垂足为 A , AF = AE . (1)求证: BF = DE ; (2)当点 E 运动到 AC 中点时 ( 其他条件都保持不变 ) , 问四边形 AFBE 是什么特殊四边形?说明理由. (1)证明:∵正方形 ABCD , ∴ AB = AD ,∠ BAD =90°, ∵ AF ⊥ AC ,∴∠ EAF =90°, ∴∠ BAF =∠ EAD , 在△ ADE 和△ ABF 中, AD = AB ,∠ DAE =∠ BAF , AE = AF , ∴△ ADE ≌ △ ABF (SAS),∴ BF = DE ; (2)解:当点E运动到 AC 的中点时四边形 AFBE 是正方形, 理由:∵点 E 运动到 AC 的中点, AB = BC , ∴ BE ⊥ AC , BE = AE = AC , ∵ AF = AE , ∴ BE = AF = AE . 又∵ BE ⊥ AC ,∠ FAE =∠ BEC =90°, ∴ BE ∥ AF , ∵ BE = AF , ∴得平行四边形 AFBE , ∵∠ FAE =90°, AF = AE , ∴四边形 AFBE 是正方形. 思考 前面学菱形时我们探究了 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 . 顺次连接矩形各边中点能得到菱形,那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形? A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 当堂练习 1. 下列命题正确的是( ) A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D 2. 如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是( ) A.当 AB = BC 时,四边形 ABCD 是菱形 B.当 AC ⊥ BD 时,四边形 ABCD 是菱形 C.当∠ ABC =90°时,四边形 ABCD 是矩形 D.当 AC = BD 时,四边形 ABCD 是正方形 D 3. 如图,四边形 ABCD 中,∠ ABC =∠ BCD =∠ CDA =90°,请添加一个条件 ____________________ ,可得出该四边形是正方形. AB = BC ( 答案不唯一 ) A B C D O 4. 已知四边形 ABCD 是平行四边形,再从① AB = BC ,②∠ ABC =90°,③ AC = BD ,④ AC ⊥ BD 四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形 ABCD 是正方形,其中错误的是 _________________ (只填写序号). ②③或①④ 5. 如图,在四边形 ABCD 中 , AB = BC , 对角线 BD 平分 ABC , P 是 BD 上一点 , 过点 P 作 PM AD , PN CD , 垂足分别为 M 、 N . (1) 求证: ADB = CDB ; (2) 若 ADC =90 , 求证:四边形 MPND 是正方形 . C A B D P M N 证明:( 1 )∵ AB = BC , BD 平分∠ ABC . ∴∠1=∠2. ∴△ ABD ≌ △ CBD (SAS). ∴∠ ADB= ∠ CDB . 1 2 C A B D P M N ( 2 )∵∠ ADC =90°; 又∵ PM ⊥ AD , PN ⊥ CD ; ∴∠ PMD =∠ PND =90°. ∴四边形 NPMD 是矩形 . ∵∠ ADB =∠ CDB ; ∴∠ ADB =∠ CDB =45°. ∴∠ MPD =∠ NPD =45°. ∴ DM = PM,DN = PN . ∴ 四边形 NPMD 是正方形 . 6. 如图,△ ABC 中, D 是 BC 上任意一点, DE ∥ AC , DF ∥ AB . ①试说明四边形 AEDF 的形状,并说明理由. ②连接 AD ,当 AD 满足什么条件时,四边形 AEDF 为菱形,为什么? 解:①∵ DE ∥ AC , DF ∥ AB , ∴四边形 AEDF 为平行四边形 . ②∵四边形 AEDF 为菱形, ∴ AD 平分∠ BAC , 则 AD 平分∠ BAC 时,四边形 AEDF 为菱形 . ③在②的条件下,当△ ABC 满足什么条件时,四边形 AEDF 为正方形,不说明理由. 解:由四边形 AEDF 为正方形 ∴∠ BAC =90°, ∴△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形即可. 课堂小结 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 小结与复习 第一章 特殊平行四边形 项目 四边形 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分,每一条对角线平分一组对角 一、菱形、 矩形、 正方形的性质 要点梳理 四边形 条件 ① 定义:有一外角是直角的平行四边形 ② 三个角是直角的四边形 ③ 对角线相等的平行四边形 ① 定义:一组邻边相等的平行四边形 ② 四条边都相等的四边形 ③ 对角线互相垂直的平行四边形 ① 定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ② 有一组邻边相等的矩形 ③ 有一个角是直角的菱形 二、菱形、 矩形、 正方形的判定方法 例 1 : 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O , ∠ BAD =60° , BD = 6 , 求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长 . 解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥ BD (菱形的对角线互相垂直) OB = OD = BD = ×6=3 (菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABC 中, ∵∠ BAD =60°, ∴△ ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. A B C O D 考点一 菱形的性质和判定 考点讲练 证明:在 △ AOB 中 . ∵ AB = , OA =2, OB =1 . ∴ AB 2 = AO 2 + OB 2 . ∴ △ AOB 是直角三角形 , ∠ AOB 是直角 . ∴ AC ⊥ BD . ∴ □ ABCD 是菱形 ( 对角线垂直的平行四边形是菱形 ) . 1. 已知:如右图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , AB = , OA =2, OB =1. 求证: □ ABCD 是菱形 . A B C O D 针对训练 2. 如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状?说说你的理由 . A B C D E F 解:四边形 ABCD 是菱形 . 过点 C 作 AB 边的垂线交点 E , 作 AD 边上的垂线交点 F . S 四边形 ABCD = AD · CF = AB · CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ AD = AB . ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 例 2 : 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 两条对角线相交于点 O , ∠ AOD = 120° , AB = 2.5 , 求矩形对角线的长 . 解:∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD ( 矩形的对角线相等 ) . OA = OC = AC , OB = OD = BD , ( 矩形对角线相互平分 ) ∴ OA = OD . A B C D O 考点二 矩形的性质和判定 A B C D O ∵ ∠ AOD =120° , ∴ ∠ ODA = ∠ OAD = (180° - 120°)=30°. 又∵ ∠ DAB =90° , (矩形的四个角都是直角) ∴ BD = 2 AB = 2 × 2.5 = 5. 例 3 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O ,过点 A 作 AE∥BD ,过点D作 ED∥AC ,两线相交于点 E . 求证:四边形 AODE 是菱形; 证明:∵ AE∥BD , ED∥AC , ∴四边形 AODE 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴ AC = BD , OA = OC = AC , OB = OD = BD , ∴ OA = OC = OD , ∴四边形 AODE 是菱形. 【变式题】 如图, O 是菱形 ABCD 对角线的交点,作 B E∥AC , CE∥BD , B E 、 CE 交于点 E ,四边形 CEBO 是矩形吗?说出你的理由 . D A B C E O 解:四边形 CEBO 是矩形 . 理由如下:已知四边形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°. ∵ B E∥AC , CE ∥ BD , ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形 . ∴四边形 CEBO 是矩形 . 3. 如图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , △ ABO 是等边三角形 , AB =4 , 求 □ ABCD 的面积 . 解:∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OA = OC , OB = OD . 又∵ △ ABO 是等边三角形 , ∴ OA = OB = AB = 4 , ∠ BAC =60°. ∴ AC = BD = 2 OA = 2×4 = 8. A B C D O 针对训练 ∴ □ABCD 是矩形 ( 对角线相等的平行四边形是矩形 ) . ∴∠ ABC =90° (矩形的四个角都是直角) . 在 Rt △ ABC 中 , 由勾股定理 , 得 AB 2 + BC 2 = AC 2 , ∴ BC = . ∴ S □ABCD = AB · BC = 4× = A B C D O 4. 如图, O 是菱形 ABCD 对角线的交点,作 B E ∥ AC , CE ∥ BD , B E 、 CE 交于点 E ,四边形 CEBO 是矩形吗?说出你的理由 . D A B C E O 解:四边形 CEBO 是矩形 . 理由如下:已知四边形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°. ∵ DE∥AC , CE ∥ BD , ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形 . ∴四边形 CEBO 是矩形 (有一个角是直角 的平行四边形是矩形 ) . 例 4 如图,已知在四边形 ABFC 中, ∠ ACB = 90° , BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D ,交 AB 于点 E ,且 CF = AE ; (1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形?并说明理由; (2) 当 ∠ A 的大小满足什么条件时,四边形 BECF 是正方形?请回答并证明你的结论. 解: (1) 四边形 BECF 是菱形. 理由如下: ∵ EF 垂直平分 BC , ∴ BF = FC , BE = EC , ∴∠3 = ∠1. ∵∠ ACB = 90° , ∴∠3 + ∠4 = 90° , ∠1 + ∠2 = 90°,∴∠2 = ∠4 , 考点三 正方形的性质和判定 ∴ EC = AE , ∴ BE = AE . ∵ CF = AE , ∴ BE = EC = CF = BF , ∴ 四边形 BECF 是菱形; (2) 当 ∠ A = 45° 时,菱形 BECF 是正方形. 证明如下: ∵∠ A = 45° , ∠ ACB = 90° , ∴∠ CBA = 45° , ∴∠ EBF = 2∠ CBA = 90° , ∴ 菱形 BECF 是正方形. 方法总结 正方形的判定方法:①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;②先判定四边形是菱形,再判定这个矩形有一个角为直角;③还可以先判定四边形是平行四边形,再用①或②进行判定. 例 5 如图, △ ABC 中,点 O 是 AC 上的一动点,过点 O 作直线 MN ∥ BC ,设 MN 交 ∠ BCA 的平分线于点 E ,交 ∠ BCA 的外角 ∠ ACG 的平分线于点 F ,连接 AE 、 AF . (1) 求证: ∠ ECF = 90° ; (2)当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 是矩形?请 说明理由; (1) 证明: ∵ CE 平分 ∠ BCO , CF 平分 ∠ GCO , ∴∠ OCE = ∠ BCE , ∠ OCF = ∠ GCF , ∴∠ ECF = ×180° = 90°. (2) 解:当点 O 运动到 AC 的中点时,四边形 AECF 是矩形.理由如下: ∵ MN ∥ BC , ∴∠ OEC = ∠ BCE , ∠ OFC = ∠ GCF . 又 ∵ CE 平分 ∠ BCO , CF 平分 ∠ GCO , ∴∠ OCE = ∠ BCE , ∠ OCF = ∠ GCF , ∴∠ OCE = ∠ OEC , ∠ OCF = ∠ OFC , ∴ EO = CO , FO = CO , ∴ OE = OF . 又 ∵ 当点 O 运动到 AC 的中点时, AO = CO , ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵∠ ECF = 90° , ∴ 四边形 AECF 是矩形 . 解:当点 O 运动到 AC 的中点时, 且满足 ∠ ACB 为直角时,四边形 AECF 是正方形. ∵ 由 (2) 知当点 O 运动到 AC 的中点时,四边形 AECF 是矩形, 已知 MN ∥ BC , 当 ∠ ACB = 90° , 则 ∠ AOF = ∠ COE = ∠ COF = ∠ AOE = 90° , 即 AC ⊥ EF , ∴ 四边形 AECF 是正方形. (3)在(2)的条件下,△ ABC 应该满足 什么 条件时, 四边形 AECF 为正方形. 针对训练 5. 如图,两个含有30°角的完全相同的三角板 ABC 和 DEF 沿直线 FC 滑动,下列说法错误的是( ) A.四边形 ACDF 是平行四边形 B.当点 E 为 BC 中点时,四边形 ACDF 是矩形 C.当点 B 与点 E 重合时,四边形 ACDF 是菱形 D.四边形 ACDF 不可能是正方形 B 6. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC =6, BD =10,则菱形 ABCD 的面积为 ______ . 30 A B C O D 7. 如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,点 G 是 BC 延长线上一点,连接 AG ,点 E 、 F 分别在 AG 上,连接 BE 、 DF ,∠ 1 =∠ 2 ,∠ 3 =∠ 4. (1) 证明:△ ABE ≌ △ DAF ; (2) 若∠ AGB = 30° ,求 EF 的长. (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB = AD . 在△ ABE 和△ DAF 中, ∴△ ABE ≌ △ DAF . (2) 解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠1+∠4=90° . ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90°, ∴∠ AFD =90°. 在正方形 ABCD 中, AD ∥ BC , ∴∠1=∠ AGB =30°. 在Rt△ ADF 中,∠ AFD =90°, AD =2, ∴ AF = , DF =1. 由(1)得△ ABE ≌ △ DAF , ∴ AE = DF =1, ∴ EF = AF - AE = -1. 两组对边平行 一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 一个角是直角 一个角是直角且一组邻边相等 课堂小结查看更多