北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 教学课件

北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 教学课件

2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 1 课时 一元二次方程 学习目标 1. 理解一元二次方程的概念 . （难点） 2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数 . 3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题 .( 重点） 导入新课 复习引入 没有未知数 1. 下列式子哪些是 方程？ 2+6=8 2 x +3 5 x +6=22 x +3 y =8 x -5 ＜ 18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 2. 什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程 . 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及 分式方程， 其中前两种方程是 整式方程 . 3. 什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的 整式方程 叫做一元一次方程 . 想一想：什么叫一元二次方程呢？ 一元二次方程的相关概念 一 问题 1 ： 幼儿园某教室矩形地面的长为 8m , 宽为 5m , 现准备在地面正中间铺设一块面积为 18m 2 的地毯 , 四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同 , 你能求出这个宽度吗？ 解： 如果设所求的宽为 x m , 那么地毯中央长方形图案的长为 m , 宽为 　　　 m , 根据题意 , 可得方程： (8 - 2 x ) (5 - 2 x ) x x (8 – 2 x ) x x (5 – 2 x ) ( 8 - 2 x ) （ 5 - 2 x ） = 18 . 化简： 2 x 2 - 13 x + 11 = 0 . ① 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 讲授新课 问题 2 ： 观察下面等式： 10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解： 如果设五个连续整数中的第一个数为 x ，那么后面四个数依次可表示为： , , , . 　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x +1 x +2 x +3 x +4 x 2 + ( x + 1) 2 + ( x + 2) 2 = ( x + 3) 2 + ( x + 4) 2 . 化简得 ， x 2 - 8 x - 20 ＝ 0. ② 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 解： 由勾股定理可知 , 滑动前梯子底端距墙 　　　　 m. 如果设梯子底端滑动 x m , 那么滑动后梯子底端距墙 　　 m , 根据题意，可得方程： 问题 3 ： 如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上 , 梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m . 如果梯子的顶端下滑 1m , 那么梯子的底端滑动多少米？ 6 x +6 7 2 + ( x + 6) 2 = 10 2 . 化简得 ， x 2 + 12 x - 15 = 0 . ③ 10m 8m 1m xm 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ ① 2 x 2 - 13 x + 11 = 0 ； ② x 2 - 8 x - 20 ＝ 0 ； ③ x 2 + 12 x - 15 = 0. 1. 只含有一个未知数 ; 2. 未知数的最高次数是 2;3. 整式方程． 观察与思考 方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程 . 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点 : 只含有 一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax 2 + bx + c =0( a , b , c 为常数 , a ≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程 . ax 2 + bx + c = 0 ( a , b , c 为常数 , a ≠0) ax 2 称为二次项 , a 称为二次项系数 . bx 称为一次项 , b 称为一次项系数 . c 称为常数项 . 知识要点 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 想一想 为什么一般形式中 ax 2 + bx + c =0 要限制 a ≠0 ， b 、 c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx ＋ c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0 时 ， ax 2 ＋ c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0 时 ， ax 2 ＋ b x = 0 当 a ≠ 0 ， b = c =0 时 ， ax 2 = 0 总结：只要满足 a ≠ 0 ， b ， c 可以为 任意实数 . 典例精析 例 1 下列选项中，关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x 2 -3 x +2=0 少了限制条件 a ≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断 . 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x 3 + x 2 =36 (3) x +3 y =36 (5) x +1=0         (1) x 2 + x =36 例 2: a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) ax 2 － x =2 x 2 (2) ( a － 1) x | a | +1 － 2 x － 7=0. 解： (1) 将方程式转化为一般形式，得 ( a -2) x 2 - x =0 , 所以当 a -2≠0 ，即 a ≠2 时，原方程是一元二次方程； (2) 由 ∣ a ∣ +1 =2 ，且 a -1 ≠0 知，当 a =-1 时，原方程是一元二次方程 . 方法点拨： 用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于 2 ，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 0 的字母的值． 变式： 方程 ( 2 a - 4 ) x 2 － 2 bx + a =0, （ 1 ）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （ 2 ）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解（ 1 ）当 2 a － 4≠ 0 ，即 a ≠2 时是一元二次方程 （ 2 ）当 a =2 且 b ≠0 时是一元一次方程 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax = b ( a ≠0 ） ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0 ） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2 例 3 ： 将 方程 3 x ( x -1)=5( x +2) 化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数 . 解： 去括号，得 3 x 2 -3 x =5 x +10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3 x 2 -8 x -10=0. 其中二次项是 3 x 2 , 系数是 3 ；一次项是 -8 x , 系数是 -8 ；常数项是 -10. 系数和项均包含前面的符号 . 注意 视频：一元二次方程一般式 当堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3 x +2=5 x -2 x 2 =0 ( x +3)(2 x -4)= x 2 3 y 2 =(3 y +1)( y -2) x 2 = x 3 + x 2 -1 3 x 2 =5 x -1 2. 填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 3. 关于 x 的方程 ( k 2 － 1) x 2 ＋ 2 ( k － 1) x ＋ 2 k ＋ 2 ＝ 0 , 当 k 　　　 时，是一元二次方程． 当 k 　　　 时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－ 1 4. ( 1 ) 如图，已知一矩形的长为 2 00cm , 宽 1 50cm. 现 在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三 . 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中π取 3 ） . 解：设由于圆的半径为 x cm ， 则它的面积为 3 x 2 cm 2 . 整理，得 根据题意有， 2 00cm 1 50cm (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆 . 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 . 解：该市 两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x 整理，得 根据题意有， 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 . 一般形式 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) 其中 ( a ≠0) 是一元二次方程的必要条件； 2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 一元二次方程的解及其估算 1. 理解方程的解的概念 . 2. 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义 .( 重点 ) 3. 会估算一元二次方程的解 . （难点） 学习目标 问 1 ： 一元二次方程有哪些特点 ？ ① 只含有一个未知数 ; ② 未知数的最高次项系数是 2; ③ 整式方程 导入新课 问 2 ： 一元二次方程的一般形式是什么？ ax 2 + bx + c = 0 ( a , b , c 为常数 , a ≠0) 复习引入 一元二次方程的根 一 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的 解 （又叫做 根 ） . 练一练： 下面哪些数是方程 x 2 – x – 6 = 0 的解 ? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3 和 -2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根 . 讲授新课 例 1 ：已知 a 是方程 x 2 + 2 x － 2 = 0 的一个实数根 , 求 2 a 2 + 4 a + 2018 的值 . 解：由题意得 方法点拨： 求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 2 .已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +ax+a =0的一个根是3，求 a 的值. 解：由题意把 x =3代入方程 x 2 +ax+a =0，得 3 2 +3 a + a =0 9+4 a =0 4 a = - 9 1. 已知方程 5x²+mx-6=0 的一个根为 4 ，则ｍ的值为 _______ ． 练一练 一元二次方程解的估算 二 问题 1 ： 在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度 x 满足方程 (8 - 2 x )(5 - 2 x )= 18 ， 你能求出这个宽度吗？ (1) x 可能小于 0 吗 ? 说说你的理由． (2) x 可能大于 4 吗 ? 可能大于 2.5 吗 ? 说说你的理由 . （ 3 ）完成下表： x 0 0.5 1 1.5 2 (8 - 2 x )(5 - 2 x ) （ 4 ）你知道地毯花边的宽 x ( m ) 是多少吗 ? 还有其他求解方法吗 ? 与同伴进行交流． 4 10 18 28 40 问题 2 ： 在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 x 2 +12 x - 15 = 0. 10m 8m 1m x m 你能猜出滑动距离 x 的大致范围吗？ (1) 小明认为底端也滑动了 1 m , 他的 说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？ 可能是 3 m 吗？ 为什么？ 下面是小亮的求解过程： x 0 0.5 1 1.5 2 … x 2 +12 x - 15 - 15 - 8.75 - 2 5.25 13 … 可知 x 取值的大致范围是 : 1< x <1.5 . 进一步计算： 所以 1.1 ＜ x ＜ 1.2 , 因此 x 整数部分是 1 , 十分位部分是 1 ． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x 2 +12 x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76 用“ 两边 夹”思想解一元二次方程的步骤： ①在未知数 x 的取值范围内排除一部分取值 ; ②根据题意所列的具体情况再次进行排除 ; ③ 对 列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选 ; ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据 . 规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想 归纳总结 例 2 ：一名跳水运动员进行 10m 跳台跳水训练 , 在正常情况下 , 运动员必需在距水面 5m 以前完成规定的翻腾动作 , 并且调整好入水姿势 , 否则就容易出现失误 . 假设运动员起跳后的运动时间 t (s) 和运动员距水面的高度 h (m) 满足关系 : h ＝ 10+2.5 t － 5 t 2 . 那么他最多有多长时间完成规定动作？ 5 ＝ 10+2.5 t － 5 t 2 . 2 t 2 － t － 2 ＝ 0. 即 解：根据题意得 完成下表 ( 在 00 ) 的方程 . （重点） 2. 理解配方法的基本思路 . （难点） 3. 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 . （重点） 学习目标 1. 如果 x 2 = a , 则 x 叫做 a 的 . 导入新课 复习引入 平方根 2 . 如果 x 2 = a ( a ≥0) , 则 x = . 3 . 如果 x 2 =64 , 则 x = . ±8 4 . 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数 . 讲授新课 直接开平方法 一 问题： 一桶油漆可刷的面积为 1500dm 2 ，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解： 设正方体的棱长为 x dm ，则一个正方体的表面积为 6 x 2 dm 2 ，可 列出方程 10×6 x 2 =1500 ， 由此可得 x 2 =25 开平方得 即 x 1 =5 ， x 2 = － 5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为 5 dm ． x =±5 ， 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流 . (1) x 2 =4 (2) x 2 =0 (3) x 2 +1=0 解 : 根据平方根的意义，得 x 1 =2, x 2 =-2. 解 : 根据平方根的意义，得 x 1 = x 2 =0. 解 : 根据平方根的意义，得 x 2 =-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解 . (2) 当 p =0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 = 0 ； (3) 当 p <0 时 , 因为任何实数 x ，都有 x 2 ≥0 ，所以方程 (I) 无实数根 . 探究归纳 一般的，对于可化为方程 x 2 = p , (I) ( 1 ) 当 p >0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不等 的实数根 ， ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫 直接开平方法 . 归纳 例 1 利用直接开平方法解下列方程 : (1) x 2 =6 ； (2) x 2 － 900=0. 解： （ 1 ） x 2 =6 ， 直接开平方，得 （ 2 ） 移项，得 x 2 =900. 直接开平方，得 x = ± 30 ， ∴ x 1 =30, x 2 = － 30. 典例精析 在解方程 (I) 时，由方程 x 2 =25 得 x =±5 . 由此想到 : （ x +3) 2 =5 ， ② 得 对照上面方法，你认为怎样解方程 （ x +3 ） 2 =5 探究交流 于是，方程 （ x +3 ） 2 =5 的两个根为 上面的解法中 ，由方程 ② 得到 ③ ，实质上是 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 ，这样就把方程 ② 转化为我们会解的方程了 . 解题归纳 例 2 解下列方程： ⑴ （ x ＋ 1 ） 2 = 2 ； 解 析： 第 1 小题中只要将 （ x ＋1） 看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解 . 即 x 1 =-1+ ， x 2 =-1- 解： （ 1 ） ∵ x +1 是 2 的平方根， ∴ x +1= 解析： 第 2 小题先将 － 4 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解 . 例 2 解下列方程： （ 2 ） （ x － 1 ） 2 － 4 = 0； 即 x 1 =3 ， x 2 =-1 . 解： （ 2 ） 移项，得（ x -1 ） 2 =4 . ∵ x -1 是 4 的平方根， ∴ x -1=±2 . ∴ x 1 = ， x 2 = (3) 12 （ 3 － 2 x ） 2 － 3 = 0 . 解析： 第 3 小题先将 －3 移到方程的右边，再两边都除以 12 ，再同第 1 小题一样地去解，然后两边都除以 -2 即可 . 解 ： (3) 移项，得 12 （ 3-2 x ） 2 =3， 两边都除以 12 ， 得 （ 3-2 x ） 2 =0.25 . ∵3-2 x 是 0.25 的平方根， ∴3-2 x =±0.5 . 即 3-2 x =0.5,3-2 x =-0.5 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x 2 = p 或 （ x ＋ n ） 2 = p （ p ≥0 ） 的形式，那么就可以用直接开平方法求解 . 2 . 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明 . 探讨交流 配方的方法 二 问题 1. 你还记得吗？填一填下列完全平方公式 . (1) a 2 +2 ab + b 2 =( ) 2 ； (2) a 2 -2 ab + b 2 =( ) 2 . a+b a-b 探究交流 问题 2. 填上适当的数或式 , 使下列各等式成立 . （ 1 ） x 2 +4 x + = ( x + ) 2 （ 2 ） x 2 -6 x + = ( x - ) 2 （ 3 ） x 2 +8 x + = ( x + ) 2 （ 4 ） x 2 - x + = ( x - ) 2 你发现了什么规律？ 2 2 2 3 2 3 4 2 4 二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方 . 归纳总结 想一想： x 2 + px +( ) 2 =( x + ) 2 配方的方法 用配方法解 二次项系数为 1 的一元二次方程 三 合作探究 怎样解方程 : x 2 +6 x +4=0 (1) 问题 1 方程 (1) 怎样变成 （ x + n ) 2 = p 的 形式呢？ 解： x 2 +6 x +4=0 x 2 +6 x =-4 移项 x 2 +6 x +9=-4+9 两边都加上 9 二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方 . 方法归纳 在方程两边都加上 一次项系数一半 的 平方 . 注意是在 二次项系数为 1 的前提下进行的 . 问题 2 为什么在方程 x 2 +6 x =-4 的两边加上 9 ？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方 x 2 +2 bx + b 2 的形式 . 方程配方的方法： 要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做 配方法 . 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把方程化为 （ x + n ) 2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 例 3 ： 解方程 x 2 + 8 x - 9 = 0 解：可以把常数项移到方程的右边 , 得 x 2 + 8 x = 9 , 两边都加 4 2 （一次项系数 8 的一半的平方） , 得 x 2 + 8 x + 4 2 = 9 + 4 2 , 即 （ x +4 ） 2 = 25 . 两边开平方 , 得 x + 4 = ± 5 , 即 x + 4 =5 或 x + 4 = - 5 . 所以 x 1 = 1 , x 2 = - 9 . 试一试： 解决梯子底部滑动问题： x 2 + 12 x - 15=0 . 解：可以把常数项移到方程的右边 , 得 x 2 + 12 x = 15 , 两边都加 6 2 （一次项系数 6 的一半的平方） , 得 x 2 + 12 x + 6 2 = 15 + 6 2 , 即 （ x +6 ） 2 = 51 . 两边开平方 , 得 x + 6 = , 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x 1 = , x 2 = . 当堂练习 (C) 4( x -1) 2 =9, 解方程，得 4( x -1)= ±3, x 1 = ; x 2 = (D) (2 x +3) 2 =25, 解方程，得 2 x +3=±5, x 1 = 1; x 2 =-4 1 . 下列解方程的过程中，正确的是（ ） (A) x 2 =-2, 解方程，得 x =± (B) ( x -2) 2 =4, 解方程，得 x -2=2, x =4 D (1) 方程 x 2 =0.25 的根是 . (2) 方程 2 x 2 =18 的根是 . (3) 方程 (2 x -1) 2 =9 的根是 . 3. 解下列方程： (1) x 2 -81 ＝ 0 ； (2)2 x 2 ＝ 50 ； (3)( x ＋ 1) 2 =4 . x 1 =0.5, x 2 =-0.5 x 1 ＝ 3, x 2 ＝ -3 x 1 ＝ 2, x 2 ＝－ 1 2. 填空 : 解： x 1 ＝ 9, x 2 ＝－ 9 ； 解： x 1 ＝ 5, x 2 ＝－ 5 ； 解： x 1 ＝ 1, x 2 ＝－ 3. 4. （请你当小老师） 下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗 ? 如果有错，指出具体位置并帮他改正 . ① ② ③ ④ 解： 解：不对，从开始错，应改为 解： 方程的两根为 5. 解下列方程： 解：（ 1 ）移项，得 x 2 － 8 x = － 1, 配方，得 x 2 － 8 x +4 2 = － 1+4 2 , ( x － 4) 2 =15 由此可得 即 解方程 : 挑战自我 解： 方程的两根为 用配方法解 一元二次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为 1 的一元二次方程步骤 形如 （ x + m ） 2 = n ( n ≥0 ) 将方程转化为 （ x + m ） 2 = n ( n ≥0 ) 的形式，在用直接开平方法， 直接求根 . 1. 移项 3. 直接开平方求解 2. 配方 课堂小结 2.2 用配方法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 配方法 (2) 1. 会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 ;. （重点） 2. 能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程 . （难点） 学习目标 导入新课 复习引入 (1) 9 x 2 =1 ； (2) ( x -2) 2 =2. 2 . 下列方程能用直接开平方法来解吗 ? 1 . 用直接开平方法解下列方程 : (1) x 2 +6 x +9 = 5 ； (2) x 2 +6 x +4=0. 把两题转化成 ( x + n ) 2 = p ( p ≥0) 的 形式，再利用开平方 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 一 问题 1 ： 观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： ① x 2 + 6 x + 8 = 0 ; ② 3 x 2 +8 x － 3 = 0 . 问题 2 ： 用配方法来解 x 2 + 6 x + 8 = 0 . 解： 移项，得 x 2 + 6 x = - 8 , 配方，得 （ x + 3 ） 2 = 1 . 开平方 , 得 x + 3 = ± 1 . 解得 x 1 = - 2 , x 2 = - 4 . 想一想怎么来解 3 x 2 +8 x － 3 = 0 . 讲授新课 试一试： 解方程： 3 x 2 + 8 x - 3 = 0 . 解： 两边同除以 3, 得 x 2 + x - 1=0 . 配方 , 得 x 2 + x + ( ) 2 - ( ) 2 - 1 = 0 , （ x + ） 2 - =0 . 移项 , 得 x + = ± , 即 x + = 或 x + = . 所以 x 1 = , x 2 = -3 . 配方，得 由此可得 二次项系数化为 1 ，得 解：移项，得 2 x 2 － 3 x = － 1, 即 移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换一下呢 ? 例 1 解下列方程： 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为 1 ，得 为什么方程两边都加 1 2 ？ 即 思考 1 ： 用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 思考 2 ： 用配方法解一元二次方程的一般步骤 . 移项时需注意改变符号 . ①移项，二次项系数化为 1 ； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程 . 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 ( x + n ) 2 = p . ①当 p >0 时 , 则 , 方程的两个根为 ②当 p =0 时 , 则 ( x + n ) 2 =0, x + n =0, 开平方得方程的两个根为 x 1 = x 2 =- n . ③当 p <0 时 , 则方程 ( x + n ) 2 = p 无实数根 . 规律总结 引例： 一个小球从地面上以 15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系： h= 15 t - 5 t 2 . 小球何时能达到 10m 高？ 解： 将 h = 10 代入方程式中 . 15 t - 5 t 2 = 10 . 两边同时除以 -5, 得 t 2 - 3 t = - 2 , 配方 , 得 t 2 - 3 t + ( ) 2 = ( ) 2 - 2 , （ t - ） 2 = 配方法的应用 二 移项 , 得 （ t - ） 2 = 即 t - = , 或 t - = . 所以 t 1 = 2 , t 2 = 1 . 即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10m 高 . 例 2 . 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k 2 － 4 k ＋ 5 的值必定大于零 . 解： k 2 － 4 k ＋ 5= k 2 － 4 k ＋ 4 ＋ 1 = （ k － 2 ） 2 ＋ 1 因为（ k － 2 ） 2 ≥0 ，所以（ k － 2 ） 2 ＋ 1≥1. 所以 k 2 － 4 k ＋ 5 的值必定大于零 . 例 3 . 若 a,b,c 为△ ABC 的三边长，且 试判断 △ ABC 的形状 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ ABC 为直角三角形 . 1. 方程 2 x 2 - 3 m - x + m 2 +2=0 有一根为 x = 0 ，则 m 的值为（ ） A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 - 2 2. 应用配方法求最值 . (1) 2 x 2 - 4 x +5 的最小值； (2) -3 x 2 + 5 x +1 的最大值 . 练一练 C 解：原式 = 2( x - 1) 2 +3 当 x =1 时有最小值 3 解： 原式 = - 3( x - 2) 2 - 4 当 x =2 时有最大值 -4 归纳总结 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负） 对于一个关于 x 的二次多项式通过配方成 a ( x+m ) 2 ＋ n 的形式后， ( x+m ) 2 ≥0 ， n 为常数， 当 a ＞ 0 时，可知其 最小值； 当 a ＜ 0 时，可知其 最大值 . 2 .完全平方式中的配方 如：已知 x 2 － 2 mx ＋ 16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于 16 ，即 m 2 =16 ， m= ± 4 . 3 .利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是 配方成多个完全平方式得其和为 0 ，再根据非负数的和为 0 ，各项均为 0 ，从而求解 . 如： a 2 ＋ b 2 － 4 b ＋ 4=0, 则 a 2 ＋ ( b － 2) 2 =0, 即 a =0 ， b =2. 例 4 . 读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄 . ） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年 督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为 x ，十位数字为 ( x- 3) x 1 =6, x 2 =5 x 2 -11 x =-30 x 2 -11 x +5.5 2 =-30+5.5 2 ( x -5.5) 2 =0.25 x -5.5=0.5, 或 x -5.5=-0.5 x 2 =10( x -3)+ x ∴ 这个两位数为 36 或 25 ， ∴ 周瑜去世的年龄为 36 岁 . ∵ 周瑜 30 岁还攻打过东吴， 1. 解下列方程： （ 1 ） x 2 +4 x -9=2 x -11 ；（ 2 ） x ( x +4)=8 x +12 ； （ 3 ） 4 x 2 -6 x -3=0 ； （ 4 ） 3 x 2 +6 x -9=0. 解： x 2 +2 x +2=0 ， ( x +1) 2 =-1. 此方程无解； 解： x 2 -4 x -12=0 ， ( x -2) 2 =16. x 1 =6, x 2 =-2 ； 解： x 2 +2 x -3=0 ， ( x +1) 2 =4. x 1 =-3, x 2 =1. 当堂练习 2. 利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 － x 2 － x － 1 的值总是负数，并求出它的最大值 . 解： － x 2 － x － 1 = － ( x 2 + x+ )+ － 1 所以 － x 2 － x － 1 的值必定小于零 . 当 时， － x 2 － x － 1 有最大值 3. 若 ，求 ( xy ) z 的值 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 4. 如图，在一块长 35m 、 宽 26m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850m 2 ， 道路的宽应为多少？  解：设道路的宽为 x m , 根据题意得 （ 35- x )(26- x )=850 ， 整理得 x 2 -61 x +60=0. 解得 x 1 =60 （不合题意，舍去） , x 2 =1. 答：道路的宽为 1m. 5. 已知 a,b,c 为△ ABC 的三边长，且 试判断 △ ABC 的形状 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ ABC 为等边三角形 . 课堂小结 配方法 方法 步骤 一移常数项； 二配方 [ 配上 ] ； 三写成 （ x + n ) 2 = p ( p ≥0); 四直接开平方法解方程 . 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为 x 2 + px + q =0 的形式 . 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 2.3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 1 课时 用公式法求解一元二次方程 学习目标 1. 经历求根公式的推导过程 . （难点） 2. 会用公式法解简单系数的一元二次方程 .( 重点） 3. 理解 并会计算 一元二次方程根的判别式 . 4. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况 . 导入新课 复习引入 1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2. 如何用配方法解方程 2 x 2 +4 x +1=0? 导入新课 问题： 老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？ 讲授新课 求根公式的推导 一 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax 2 + bx + c =0 能否也用配方法得出它的解呢？ 合作探究 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0). 方程两边都除以 a 解 : 移项，得 配方，得 即 问题： 接下来 能用直接开平方解吗？ 即 一元二次方程的求根公式 特别提醒 ∵ a ≠0,4 a 2 >0 ， 当 b 2 -4 ac ≥0 时， ∵ a ≠0,4 a 2 >0 ， 当 b 2 -4 ac ＜ 0 时， 而 x 取任何实数都不能使上式成立 . 因此，方程无实数根 . 由上可知，一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) 的根由方程的系数 a ， b ， c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) ，当 b 2 -4 ac ≥0 时 ， 将 a ， b ， c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的 求根公式 ，利用它解一元二次方程的方法叫做 公式法 ，由求根公式可知，一元二次方程 最多 有两个实数根 . 用 公式法 解一元二次方程的 前提 是: 1. 必需是一般形式的一元二次方程: ax 2 + bx + c =0( a ≠0); 2. b 2 -4 ac ≥0. 注意 公式法解方程 二 例 1 用公式法解方 程 5 x 2 -4 x -12=0 解： ∵ a =5, b =-4, c =-12 ， b 2 -4 ac =(-4) 2 -4×5×(-12)=256>0. 典例精析 例 2 解方程： 化简为一般式： 解： 即 ： 这里的 a 、 b 、 c 的值是什么？ 例 3 解方程： （精确到 0.001 ）. 解： 用计算器求得： 例 4 解方程： 4 x 2 -3 x +2=0 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根 . 解： 要点归纳 公式法解方程的步骤 1. 变形 : 化已知方程为一般形式 ; 2. 确定系数 : 用 a , b , c 写出各项系数 ; 3. 计算 : b 2 -4 ac 的值 ; 4. 判断： 若 b 2 -4 ac ≥0 ，则利用求根公式求出 ; 若 b 2 -4 ac <0 ，则方程没有实数根 . 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b 2 -4 ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 根的判别式 ，通常用符号“ ”表示，即 = b 2 -4 ac . > 0 = 0 < 0 ≥ 0 一元二次方程根的判别式 三 按要求完成下列表格： 练一练 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 3. 判别根的情况，得出结论 . 1. 化为一般式，确定 a , b , c 的值 . 要点归纳 根的判别式使用方法 2. 计算 的值，确定 的符号 . 例 5: 已知一元二次方程 x 2 + x =1 ，下列判断正确的是 ( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为 x 2 + x -1=0 .∵ b 2 -4 ac =1-4×1× （ -1 ） =5 ＞ 0 ，∴该方程有两个不相等的实数根，故选 B . B 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax 2 + bx + c= 0( a ≠0) . b 2 - 4 ac > 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 . b 2 - 4 ac = 0 时 , 方程有两个相等的实数根 . b 2 - 4 ac < 0 时 , 方程无实数根 . 例 6 : 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 -2 x -1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k >-1 B. k >-1 且 k ≠0 C. k <1 D. k <1 且 k ≠0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则 b 2 -4 ac >0 ，同时要求二次项系数不为 0 ， 即 ， k ≠0. 解得 k > -1 且 k ≠0 ，故选 B . B 例 7: 不解方程，判断下列方程的根的情况． （ 1 ） 3 x 2 +4 x － 3=0 ；（ 2 ） 4 x 2 =12 x － 9; (3) 7 y =5( y 2 +1). 解：（ 1 ） 3 x 2 +4 x － 3=0 ， a =3, b =4, c = － 3 , ∴ b 2 － 4 ac =3 2 － 4×3×( － 3)=52 ＞ 0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）方程化为： 4 x 2 － 12 x +9=0 , ∴ b 2 － 4 ac =( － 12) 2 － 4×4×9=0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 例 7 : 不解方程，判断下列方程的根的情况． (3) 7 y =5( y 2 +1 ). 解：（ 3 ）方程化为： 5 y 2 － 7 y +5=0 , ∴ b 2 － 4 ac =( － 7) 2 － 4×5×5= － 51 ＜ 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 1. 解方程： x 2 +7 x – 18 = 0. 解：这里 a =1, b = 7, c = -18. ∵ b 2 - 4 ac =7 2 – 4 × 1× ( - 18 ) =121 > 0, 即 x 1 = -9, x 2 = 2 . 当堂练习 2. 解方程 （ x - 2) (1 - 3 x ) = 6 . 解：去括号 ，得 x – 2 - 3 x 2 + 6 x = 6, 化简为一般式 3 x 2 - 7 x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = - 7 , c = 8. ∵ b 2 - 4 ac =( - 7 ) 2 – 4 × 3 × 8 = 49 – 96 = - 47 < 0, ∴ 原方程没有实数根 . 3. 解方程： 2 x 2 - x + 3 = 0 解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 . ∵ b 2 - 4 ac = 27 - 4×2× 3 = 3 > 0 , ∴ 即 x 1 = x 2 = 4. 关于 x 的一元二次方程 有 两个实根，则 m 的取值 范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况 . 解： ∴ 5. 不解方程，判断下列方程的根的情况． （ 1 ） 2 x 2 +3 x -4=0 ；（ 2 ） x 2 - x + =0; (3) x 2 - x +1=0. 解：（ 1 ） 2 x 2 +3 x -4=0 ， a =2, b =3, c =-4 , ∴ b 2 -4 ac =3 2 -4×2×(-4)=41 ＞ 0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （ 2 ） x 2 - x + =0, a =1, b =-1, c = . ∴ b 2 -4 ac =(-1) 2 -4×1× =0. ∴ 方程有两个相等的实数根． （ 3 ） x 2 - x +1=0 ， a =1, b =-1, c =1. ∴ b 2 -4 ac =(-1) 2 -4×1×1=-3<0. ∴ 方程无实数根． (3) x 2 - x +1=0. 6. 不解方程，判别关于 x 的方程 的根的情况 . 解： 所以方程有两个实数根． 能力提升： 在等腰 △ ABC 中，三边分别为 a , b , c ，其中 a =5 ，若关于 x 的方程 x 2 +( b +2) x +6- b =0 有两个相等的实数根，求 △ ABC 的周长 . 解： 关于 x 的方程 x 2 +( b +2) x +6- b =0 有两个相等的实 数根， 所以Δ = b 2 － 4 ac =( b -2) 2 -4(6- b )= b 2 +8 b -20=0. 所以 b =-10 或 b =2. 将 b =-10 代入原方程得 x 2 -8 x +16=0 ， x 1 = x 2 =4 ； 将 b =2 代入原方程得 x 2 +4 x +4=0 ， x 1 = x 2 =-2 （ 舍去 ）； 所以 △ ABC 的三边长为 4 ， 4 ， 5 ， 其周长为 4+4+5 = 13 . 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算） . 根的判别式 b 2 -4 ac 务必将方程化为一般形式 2.3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 利用一元二次方程解决面积问题 学习目标 1. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型 . （难点） 2. 能 运用 一元二次方程解决与面积有关的 实际问题 . （重点） 导入新课 问题 某小区规划在一个长 30 m 、宽 20 m 的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m 2 ，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m ，则由题意列的方程为 _____________________. C B D A (30 - 2 x )(20 - x ) =6×78 问题引入 利用一元二次方程解决面积问题 一 问题： 在一块长 16m , 宽 12m 的矩形荒地上 , 要建造上个 花园 , 并使花园所占面积为荒地面积的一半 . 16m 12m 想一想，你会怎么设计这片荒地？ 看一看： 下面几位同学的设计方法是否合理？ 讲授新课 解：设小路的宽为 x m , 根据题意得： 即 x 2 - 14 x + 24 = 0 . 解方程得 x 1 = 2 , x 2 = 12 . 将 x =12 代入方程中不符合题意舍去 . 答：小路的宽为 2m . 小明设计： 如右 图所示 . 其中花园四周小路的宽都相等 . 通过解方程 , 得到小路的宽为 2m 或 12m . 16m 12m 问题： 他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？ x x 解：设扇形半径为 x m , 根据题意得： 即 πx 2 = 96 . 解方程得 x 1 = , x 2 = ( 舍去 ) , 答：扇形半径约为 5.5m . 小亮设计： 如右图所示 . 其中花园每个角上的扇形都相同 . 问题： 你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？ 16m 12m 小颖设计： 如右图所示 . 其中花园是两条互相垂直的小路 , 且它的宽都相等 . 问题： 你能帮小颖计算一下图中 x 吗？ 16m 12m x m x m 解：设小路的宽为 x m , 根据题意得： 即 x 2 - 28 x + 96 = 0 . 解方程得 x 1 = 4 , x 2 = 24 , 将 x =24 代入方程中不符合题意舍去 答：小路的宽为 4m . 例 1 ： 要设计一本书的封面 , 封面长 27㎝ , 宽 21cm 正中央 是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 , 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一 , 上、下边衬等宽 , 左、右边衬等宽 , 应如何 设计四周边衬的宽度 ？ ( 精确到 0.1cm ) 27cm 21cm 典例精析 分析 : 这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： . 9 7 9 7 27cm 21cm 解：设中央长方形的长和宽分别为 9 a 和 7 a 由此得到上下边衬宽度之比为： 9 7 27cm 21cm 解 : 设上下边衬的 9 x cm ，左右边衬宽为 7 x cm 依题意得 解方程得 故上下边衬的宽度为 : 故左右边衬的宽度为 : 方程的哪个根合乎实际意义 ? 为什么 ? 试一试： 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解 : 设正中央的矩形两边别为 9 x cm ， 7 x cm. 依题意得 27cm 21cm 解得 故上下边衬的宽度为 : 故左右边衬的宽度为 : 例 2 ： 如图所示，在 △ ABC 中， ∠ C= 90° ， AC= 6cm ， BC= 8cm . 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动 . 问点 P ， Q 出发几秒后可使 △ PCQ 的面积为 9 cm² ？ 根据题意得 AP= x cm ,PC = (6 -x )cm ,CQ= 2 x cm 解：若设出发 x s 后可使△ PCQ 的面积为 9cm² 整理，得 解得 x 1 = x 2 =3 答：点 P ， Q 出发 3s 后可使 △ PCQ 的面积为 9cm² . 主要集中在几何图形的 面积 问题 , 这类问题的 面积公式 是等量关系 . 如果图形不规则应 割 或 补 成规则图形 , 找出各部分面积之间的关系 , 再运用规则图形的面积公式列出方程 ; 方法点拨 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米 例 3 ： 如图， 在一块宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540㎡, 求道路的宽为多少？ 典例精析 还有其他解法吗？ 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米 20 -x 32- x (32- x )(20- x )=540 整理，得 x 2 -52 x +100=0 解得 x 1 =2, x 2 =50 当 x =50 时， 32- x =-18, 不合题意，舍去 . ∴ 取 x =2 答：道路的宽为 2 米 . 方法二： 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540㎡, 求 这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32- x )(20- x )=540 可列方程为 变式一 20 32 x x x 20- x 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540m 2 , 求这种种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-2 x )(20- x )=540 可列方程为 变式二 32-2 x 20 32 x x x x 20 32 2 x 2x 32-2 x 20-2 x 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540 m 2 , 求这种种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-2 x )(20-2 x )=540 可列方程为 变式三 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑四条道路 , 余下的部分种上草坪， 如果横、纵小路的宽度比为 3 ： 2 ， 且使小路所占面积是矩形面积的四分之一 , 求道路的宽为多少？ 变式四 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解 : 设横、竖小路的宽度分别为 3 x 、 2 x ， 于是可列方程 (30-4 x )(20-6 x )= —×20×30 20 ㎝ 30 ㎝ 3 x 2 x 30-4 x 20-6 x 4 3 3 x 2 x 6 x 4 x 30-4 x 20-6 x 我们利用“ 图形经过移动，它的面积大小不会改变 ”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路） . 方法点拨 视频：平移求面积动态展示 解：设 AB 长是 x m . (100-4 x ) x =400 x 2 -25 x +100=0 x 1 =5 ， x 2 =20 x =20,100-4 x =20<25 x =5,100-4 x =80>25 x =5( 舍去 ) 答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长个是 20m,20m . 例 4 ： 如图：要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长个是多少米？ D C B A 25 米 变式： 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 平方米？ 住房墙 1m 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m ， 由题意得 x (25-2 x +1)=80 化简，得 x 2 -13 x +40=0 解得 x 1 =5 , x 2 =8 当 x =5 时， 26-2 x =16>12 ( 舍去） 当 x =8 时， 26-2 x =10<12 故所围矩形猪舍的长为 10m , 宽为 8m . 则平行于住房墙的一边长 (25-2 x +1) m. 1 . 在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm 2 ，设金色纸边的宽为 x cm ，那么 x 满足的方程是（ ） A． x 2 +130 x -1400=0 B． x 2 +65 x -350=0 C． x 2 -130 x -1400=0 D． x 2 -65 x -350=0 80cm x x x x 50cm B 当堂练习 2. 一块长方形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5cm 的小正方形，  然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm 3 ，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为 x cm , 则有长为 2 x cm 5(2 x -10)( x -10)=3000 x 2 -15 x -250=0 解得 x 1 =25 x 2 =-10( 舍去） 所以 2 x =50 答：铁板的长 50cm, 宽为 25cm. 3. 如图，要设计一个宽 20cm, 长为 30cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 解：设横向彩条的宽度 2 x cm , 竖彩条的宽度 3 x cm (20-6 x )(30-4 x )=400 6 x 2 -65 x +50=0 课堂小结 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 . 类 型 课本封面问题 彩条 / 小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 2.4 用因式分解法求解 一元二次方程 第二章 一元二次方程 学习目标 1. 理解 用因式分解法解方程的依据 . 2. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程 . （重点） 3. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程 . （难点） 导入新课 情境引入 我们知道 ab =0 ， 那么 a =0 或 b =0 ，类似的解方程 ( x +1)( x － 1)=0 时，可转化为两个一元一次方程 x +1=0 或 x -1=0 来解，你能求 ( x +3)( x － 5)=0 的解吗？ 讲授新课 因式分解法解一元二次方程 一 引例： 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度 ( 单位： m ) 为 10-4.9 x 2 . 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 ( 精确到 0.01s )? 分析 ： 设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 ，即 10 x -4.9 x 2 =0 ① 解： 解： ∵ a= 4.9 ,b= -10 ,c= 0 . ∴ b 2 － 4 ac = ( － 10) 2 － 4×4.9×0 =100 . 公式法解方程 10 x -4.9 x 2 =0. 配方法解方程 10 x -4.9 x 2 =0. 10 x -4.9 x 2 =0. 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0 . 两个因式乘积为 0 ，说明什么？ 或 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10 x -4.9 x 2 =0 ① x (10-4.9 x ) =0 ② x =0 10-4.9 x =0 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做 因式分解法. 要点归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移 ----- 方程的右边 =0 ; 二分 ----- 方程的左边因式分解 ; 三化 ----- 方程化为两个一元一次方程 ; 四解 ----- 写出方程两个解 ; 简记歌诀 ： 右化零 左分解 两因式 各求解 试一试： 下列各方程的根分别是多少？ (1) x ( x -2)=0 ； (1) x 1 =0, x 2 =2 ； (2) ( y +2)( y -3)=0 ； (2) y 1 =-2, y 2 =3 ； (3) (3 x +6)(2 x -4)=0 ； (3) x 1 =-2, x 2 =2 ； (4) x 2 = x . (4) x 1 =0, x 2 =1. 例 1 解下列方程： 解： ( 1 ) 因式分解，得 于是得 x － 2 ＝ 0 或 x ＋ 1=0, x 1 =2 ， x 2 = － 1. (2) 移项、合并同类项，得 因式分解， 得 ( 2 x ＋ 1)( 2 x － 1 )=0. 于是得 2 x ＋ 1=0 或 2 x － 1=0, ( x － 2)( x ＋ 1)=0. 典例精析 灵活选用方法解方程 二 例 2 用适当的方法解方程： ( 1 ) 3 x （ x + 5 ） = 5 （ x + 5 ） ； ( 2 ) （ 5 x + 1 ） 2 = 1 ； 分析： 该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快 . 解： 化简 ( 3 x - 5 ) ( x + 5 ) = 0 . 即 3 x - 5 = 0 或 x + 5 = 0 . 分析： 方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法 . 解： 开平方 , 得 5 x + 1 = ±1 . 解得 , x 1 = 0 , x 2 = （ 3 ） x 2 - 12 x = 4 ; （ 4 ） 3 x 2 = 4 x + 1 ； 分析： 二次项的系数为 1 ，可用配方法来解题较快 . 解： 配方 , 得 x 2 - 12 x + 6 2 = 4 + 6 2 , 即 ( x - 6) 2 = 40 . 开平方 , 得 解得 x 1 = , x 2 = 分析： 二次项的系数不为 1 ，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法 . 解： 化为一般形式 3 x 2 - 4 x + 1 = 0 . ∵Δ = b 2 - 4 ac = 28 > 0 , 填一填： 各种一元二次方程的解法及适用类型 . 拓展提升 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x 2 + px + q = 0 （ p 2 - 4 q ≥0 ） ( x + m ) 2 ＝ n （ n ≥ 0 ） ax 2 + bx + c = 0( a ≠0 , b 2 - 4 ac ≥0) ( x + m ) （ x + n ）＝ 0 1. 一般地，当一元二次方程一次项系数为 0 时（ ax 2 + c =0 ），应选用 直接开平方法 ； 2. 若常数项为 0 （ ax 2 + bx =0 ）， 应选用 因式分解法； 3. 若一次项系数和常数项都不为 0 ( ax 2 + bx + c =0 ）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用 因式分解法 ，不然选用 公式法 ； 4. 不过当二次项系数是 1 ，且一次项系数是偶数时，用 配方法 也较简单. 要点归纳 解法选择基本思路 ① x 2 -3 x +1=0 ； ② 3 x 2 -1=0 ； ③ -3 t 2 + t =0 ； ④ x 2 -4 x =2 ； ⑤ 2 x 2 - x =0； ⑥ 5( m +2) 2 =8； ⑦ 3 y 2 - y -1=0； ⑧ 2 x 2 +4 x -1=0； ⑨ ( x -2) 2 =2( x -2) . 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 当堂练习 1. 填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 2. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来 . 解方程 ( x -5)( x +2)=18. 解 : 原方程化为： ( x -5)( x +2)=18 . ① 由 x -5=3, 得 x =8 ; ② 由 x +2=6, 得 x =4 ; ③ 所以原方程的解为 x 1 =8 或 x 2 =4. 解 : 原方程化为： x 2 － 3 x － 28 = 0 ， ( x － 7)( x +4)=0 ， x 1 = 7 ， x 2 = － 4. 3. 解方程 x ( x +1)=2 时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为 x 1 = , x 2 = . x 2 + x － 2=0 － 2 1 解 ：化为一般式为 因式分解，得 x 2 － 2 x +1 = 0. ( x － 1 )( x － 1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0 ， x 1 = x 2 =1. 解 ：因式分解，得 ( 2 x + 11 )( 2 x － 11 ) = 0. 有 2 x + 11 = 0 或 2 x － 11= 0 ， 4. 解方程： 5. 把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为 r ， 根据题意 ( r + 5 ) 2 × π =2 r 2 π . 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 课堂小结 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀 ： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果 a · b =0 ，那么 a =0 或 b =0. 原理 将方程左边因式分解，右边 =0. 因式分解的方法有 ma + mb + mc = m ( a + b + c ); a 2 ±2 ab + b 2 =( a ± b ) 2 ； a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ). *2.5 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 学习目标 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系 . （难点） 2. 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 . （重点） 导入新课 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想： 方程的两根 x 1 和 x 2 与系数 a,b,c 还有其它关系吗？ 2. 如何用判别式 b 2 - 4 ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) b 2 - 4 ac > 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 . b 2 - 4 ac = 0 时 , 方程有两个相等的实数根 . b 2 - 4 ac < 0 时 , 方程无实数根 . 讲授新课 探索一元二次方程的根与系数的关系 一 算一算 解下列方程并完成填空： （ 1 ） x 2 +3 x -4=0; (2) x 2 -5 x +6=0; (3)2 x 2 +3 x +1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x 1 x 2 x 2 +3 x -4=0 x 2 -5 x +6=0 2x 2 +3x+1=0 -4 1 2 3 -1 x 1 + x 2 =-3 x 1 · x 2 =-4 x 1 + x 2 =5 x 1 · x 2 =6 猜一猜 （ 1 ） 若一元二次方程的两根为 x 1 , x 2 , 则有 x - x 1 =0 , 且 x - x 2 =0 , 那么方程 （ x - x 1 )( x - x 2 )=0( x 1 , x 2 为已知数）的两根是什么？将方程化为 x 2 + px + q =0 的形式，你能看出 x 1 , x 2 与 p , q 之间的关系吗？ 重要发现 如果方程 x 2 + px + q =0 的两根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = -p , x 1 · x 2 = q . ( x - x 1 )( x - x 2 )=0. x 2 -( x 1 + x 2 ) x + x 1 · x 2 =0 ， x 2 + px + q =0 ， x 1 + x 2 = - p , x 1 · x 2 = q . 猜一猜 （ 2 ）通过上表猜想， 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？ 证一证： 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根为 x 1 、 x 2 ，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b 2 -4 ac ≥0. 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用 二 例 1 ： 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 . （ 1 ） x 2 + 7 x + 6 = 0 ; 解： 这里 a = 1 , b = 7 , c = 6 . Δ = b 2 - 4 ac = 7 2 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0 . ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = -7 , x 1 x 2 = 6 . （ 2 ） 2 x 2 - 3 x - 2 = 0 . 解： 这里 a = 2 , b = - 3 , c = - 2 . Δ = b 2 - 4 ac = （ - 3 ） 2 – 4 × 2 × ( - 2) = 25 > 0 , ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = , x 1 x 2 = - 1 . 例 2 已知方程 5 x 2 + kx -6=0 的一个根是 2 ，求它的另一个根及 k 的值 . 解：设方 程 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，其中 x 1 =2 . 所以： x 1 · x 2 =2 x 2 = 即： x 2 = 由于 x 1 + x 2 = 2+ = 得： k = － 7. 答：方程的另一个根是 ， k = － 7. 变式： 已知方程 3 x 2 -18 x + m =0 的一个根是 1 ，求它的另一个根及 m 的值 . 解：设方程的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，其中 x 1 =1 . 所以： x 1 + x 2 =1+ x 2 =6 ， 即： x 2 =5 . 由于 x 1 · x 2 =1×5= 得： m =15. 答：方程的另一个根是 5 ， m =15. 例 3 不解方程，求方程 2 x 2 +3 x -1=0 的两根的平方和、倒数和 . 解：根据根与系数的关系可知： 设 x 1 , x 2 为方程 x 2 -4 x +1=0 的两个根，则 : （ 1 ） x 1 + x 2 = , (2) x 1 · x 2 = , (3) , (4) . 4 1 14 12 练一练 例 4 ： 设 x 1 ， x 2 是方程 x 2 -2( k - 1) x + k 2 =0 的 两个 实数根，且 x 1 2 + x 2 2 =4 ，求 k 的值 . 解： 由方程有两个实数根 ，得 Δ = 4 （ k - 1 ） 2 - 4 k 2 ≥ 0 即 - 8 k + 4 ≥ 0 . 由根与系数的关系得 x 1 + x 2 = 2( k - 1) , x 1 x 2 = k 2 . ∴ x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 x 2 = 4( k - 1) 2 - 2 k 2 = 2 k 2 - 8 k + 4 . 由 x 1 2 + x 2 2 = 4 ， 得 2 k 2 - 8 k + 4 = 4 , 解得 k 1 = 0 , k 2 = 4 . 经检验， k 2 = 4 不合题意，舍去 . 总结 常见的求值 : 求与方程的根有关的代数式的值时 , 一般先将所求的代数式化成含两根之和 , 两根之积的形式 , 再整体代入 . 归纳 当堂练习 1. 如果 -1 是方程 2 x 2 － x + m =0 的一个根，则另一个根是 ___ ， m =____. 2 . 已知一元二次方程 x 2 + px + q =0 的两根分别为 -2 和 1 ，则： p = , q = . 1 -2 -3 3. 已知方程 3 x 2 -19 x + m =0 的一个根是 1 ，求它的另一个根及 m 的值 . 解： 将 x = 1 代入方程中： 3 -19 + m = 0 . 解得 m = 16 , 设另一个根为 x 1 , 则： 1 × x 1 = ∴ x 1 = 4. 已知 x 1 , x 2 是方程 2 x 2 +2 kx + k -1=0 的两个根，且 （ x 1 +1)( x 2 +1)=4 ； （ 1 ） 求 k 的值； （ 2 ） 求 ( x 1 - x 2 ) 2 的值 . 解 ： (1) 根据根与系数的关系 所以 ( x 1 +1)( x 2 +1)= x 1 x 2 +( x 1 + x 2 )+1= 解得： k =-7 ； （ 2 ） 因为 k =-7 , 所以 则： 5. 设 x 1 , x 2 是方程 3 x 2 + 4 x – 3 = 0 的两个根 . 利用根系数之间的关系 , 求下列各式的值 . (1) ( x 1 + 1)( x 2 + 1) ; (2) 解 : 根据根与系数的关系得： （ 1 ） ( x 1 + 1)( x 2 + 1) = x 1 x 2 + x 1 + x 2 + 1= （ 2 ） 6. 当 k 为何值时，方程 2x 2 -kx+1=0 的两根差为 1. 解：设方程两根分别为 x 1 ,x 2 (x 1 >x 2 ) ，则 x 1 -x 2 =1 ∵ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =1 拓展提升 由根与系数的关系，得 7. 已知关于 x 的一元二次方程 m x 2 -2mx+ m -2=0 （ 1 ）若方程 有实数根 , 求实数 m 的取值范围 . （ 2 ）若方程两根 x 1 , x 2 满足 ∣x 1 -x 2 ∣= 1 求 m 的值 . 解： (1) 方程有实数根 ∴m的取值范围为m＞0 (2)∵ 方程有实数根 x 1 , x 2 ∵ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =1 解得m=8 . 经检验m=8是原方程的解． 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么 应 用 2.6 应用一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 1 课时 行程问题及几何问题 学习目标 1. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题 , 并能根据具体问题的实际意义 , 检验结果的合理性 . （重点、难点） 2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程 , 并能运用所学的知识解决问题． 导入新课 问题引入 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 80 分，第二次月考增长了 10%， 第三次月考又增长了 10%， 问他第三次数学成绩是多少？ 利用一元二次方程解决行程（动点）问题 一 例1 ： 如图,某海军基地位于 A 处,在其正南方向200 n mile 处有一目标 B , 在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标 C . 小岛 D 位于 AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛 F 位于 BC 的中点 . 一艘军舰沿 A 出发,经 B 到 C 匀速巡航,一艘补给船同时从 D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品 送达军舰. 东 北 A B C D F 导入新课 (1)小岛 D 与小岛 F 相距多少海里? 东 北 A B C D F 解：连接 DF . ∵ AD = CD , BF = CF , ∴ DF 是 △ ABC 的中位线 . ∴ DF ∥ AB ，且 DF = AB ， ∵ AB ⊥ BC , AB = BC =200n mile, ∴ DF ⊥ BC , DF =100n mile. 东 北 A B C D F (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到 0.1 海里)？ E 解 : 设相遇是补给船航行了 x n mile , 那么 DE = x n mile , AE + BE = 2 x n mile, EF = AB + BF - ( AB + BE ) =(300 - 2 x ) n mile. 在 Rt △ DEF 中，根据勾股定理可得方程 x 2 = 100 2 + (300 - 2 x ) 2 . 整理得： 3 x 2 - 1200 x + 100000 = 0 , 解方程得 ( 舍去 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB =6cm , BC =12cm， 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以2 cm/s 的速度移动，如果 P 、 Q 分别从 A 、 B 同时出发，那么几秒后五边形 APQCD 的面积为64 cm 2 ？ A B C D Q P 解 : 设所需时间为 t s , 根据题意 , 得 2 t (6 - t ) ÷ 2 = 6 × 12 - 64 . 整理得 t 2 - 6 t + 8 = 0 . 解方程 , 得 t 1 = 2 , t 2 = 4 . 答 : 在第 2 秒和第 4 秒是五边形面积是 64cm 2 . (6 - t ) 2 t 针对练习 填空： 假设某种糖的成本为每斤 2 元，售价为 3 元时，可卖 100 斤 . (1) 此时的利润 w= _____; (2) 若售价涨了 1 元，每斤利润为 _____ 元，同时少买了 10 斤，销售量为 _____ 斤，利润 w=_____ (3) 若售价涨了 2 元，每斤利润为 _____ 元，同时少买了 20 斤，销售量为 ____ 斤，利润 w=_____ 100 元 2 90 180 元 3 80 240 元 平均变化率问题与一元二次方程 二 合作探究 (4) 若售价涨了 3 元，每斤利润为 ____ 元， 同时少买了 30 斤，销售量为 ____ 斤， 利润 w=______ (5) 若售价涨了 4 元，每斤利润为 ____ 元， 同时少买了 40 斤，销售量为 ____ 斤， 利润 w=_______ (6) 若售价涨了 x 元，每斤利润为 ____ 元， 同时少买了 ____ 斤，销售量为 _______ 斤， 利润 w=__________________ 4 5 1+ x 70 60 100-10 x 10 x 280 元 300 元 (1+ x )×(100-10 x ) 元 涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润 3+x 3-2+x 10x 100-10x w=(3-2+x)× (100-10x) 试一试： 假设某种糖的成本每斤为 2 元，售价为 3 元时，可卖 100 斤 . 每涨 1 元，少卖 10 斤 . 设利润为 x 元，则总利润 w 为多少元 （ 用含有 x 的式子表示出来 ） ？ 0 1 2 3 4 x 2 2 2 2 2 2 3 3+1 3+2 3+3 3+4 0 3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 10×4 10×3 10×2 10×1 100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4 w=(3-2) ×100 w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4) w=(3-2+2)× (100-10×2） 每 涨 一 元 少 卖 十 斤 涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润 3+x 3-2+x 10x 100-10x w=(3-2+x)× (100-10x) 0 1 2 3 4 x 2 2 2 2 2 2 3 3+1 3+2 3+3 3+4 0 3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 10×4 10×3 10×2 10×1 100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4 w=(3-2) ×100 w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4) w=(3-2+2)× (100-10×2） 每 涨 一 元 少 卖 十 斤 总利润 （ 售价 - 进价 ）× 销售量 = 总利润 单件利润 × 销售量 = 填空： 1. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4650 元，则下降率是 . 如果保持这个下降率，则现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元 . 探究归纳 7% 4324.5 下降率 = 下降前的量 - 下降后的量 下降前的量 2. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x , 则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元 . 下降率 x 第一次降低前的量 5000(1- x ) 第一次降低后的量 5000 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1-x)(1-x) 5000(1- x ) 2 5000(1- x ) 5000(1- x ) 2 例 2 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为 x . 根据题意，列方程，得 5 000 ( 1 － x ) 2 = 3000 ， 解方程，得 x 1 ≈0.225 ， x 2 ≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5 ％ . 注意 下降率不可为负，且不大于 1 . 练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元 . 随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为 y . 根据题意，列方程，得 6 000 ( 1 － y ) 2 = 3 600. 解方程，得 y 1 ≈0.225 ， y 2 ≈ － 1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5 ％ . 解后反思 答：不能 . 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为 （ 5000-3000 ）÷ 2=1000 元，乙种药品成本的年平均下降额为 （ 6000-3000 ）÷ 2=1200 元 ，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题 1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 答：不能 . 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等 . 因此我们发现 虽然绝对量相差很多，但其相对量 （年平均下降率） 也可能相等． 问题 2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢 ? 也就说 能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢 ? 问题 3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式 . 若平均增长(或降低)百分率为 x ,增长(或降低)前的是 a ,增长(或降低) n 次后的量是 b ,则它们的数量关系可表示为 a (1± x ) n = b (其中增长取“ + ”,降低取“ － ”) . 变式1： 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x . 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为 29.3%. 变式 2: 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到 0.1% ） 解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 x ， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 ( 不合题意，舍去 ) 答：每次升价的百分率为 9.5%. 例 3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解 ：设这个增长率为 x . 根据 题意，得 答：这个增长率为 50% . 200+ 200(1+ x ) + 200(1+ x ) 2 =950 整理方程，得 4 x 2 +12 x -7=0 ， 解这个方程得 x 1 =-3.5 （舍去）， x 2 =0.5. 注意 增长率不可为负，但可以超过 1 . 当堂练习 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨 , 三月份的总产量为 720 吨 , 平均每月增长率是 x , 列方程 ( ) A.500(1+2 x )=720 B.500(1+ x ) 2 =720 C.500(1+ x 2 )=720 D.720(1+ x ) 2 =500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元 , 预计今明两年的投资总额为 8 万元 , 若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x , 则可列方程为 . B 2 （ 1+ x )+2(1+ x ) 2 =8 3. 青山村种的水稻去年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率 . 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为 x , 根据题意，得 系数化为 1 得， 直接开平方得， 则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10% . 7200 （ 1+ x ) 2 =8712 （ 1+ x ) 2 =1.21 1+ x =1.1, 1+ x =-1.1 x 1 =0.1, x 2 =-1.1, 能力提升 : 菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售 . 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售 . ( 1) 求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为 x ， 由题意，得 5(1 － x ) 2 =3.2 ， 解得 x 1 =20% ， x 2 =1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为 20%; (2) 小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元 . 试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由 . 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为： 3.2×0.9×5000=14400 ( 元 ) ； 方案二所需费用为： 3.2×5000 － 200×5=15000 ( 元 ) ， ∵ 14400 ＜ 15000 ， ∴小华选择方案一购买更优惠 . 利用一元二次方程 解决行程问题 列方程步骤： 应用类型 行程问题 平均变化率 问题 面积问题 动点问题 审 设 列 解 检 答 课堂小结 2.6 应用一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 营销问题及平均变化率问题 1. 会用一元二次方程的方法解决营销问题及其他类型问题 . （重点、难点） 2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力． 学习目标 导入新课 情境引入 每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？ 利用一元二次方程解决营销问题 一 例 1 ： 新华商场销售某种冰箱 , 每台进价为 2500 元 . 市场调研表明 : 当销售价为 2900 元时 , 平均每天能售出 8 台 ; 而当销价每降低 50 元时 , 平均每天能多售 4 台 . 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元 , 每台冰箱的定价应为多少元 ? 分析：本题的主要等量关系是： 每台的销售利润 × 平均每天销售的数量 = 5000 元 . 讲授新课 解： 设每台冰箱降价 x 元 , 根据题意 , 得 整理 , 得： x 2 - 300 x + 22500 = 0 . 解方程 , 得： x 1 = x 2 = 150 . ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750 . 答：每台冰箱的定价应为 2750 元 . 例 2 ： 百佳超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析： 设商品单价为（ 50+ x ) 元 , 则每个商品得利润 [(50+ x ) － 40] 元，因为每涨价 1 元，其销售会减少 10 ，则每个涨价 x 元，其销售量会减少 10 x 个，故销售量为 (500 － 10 x ) 个，根据每件商品的利润 × 件数 =8000 ，则 (500 － 10 x )· [(50+ x ) － 40]=8000. 解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为 (50+ x ) 元，销售量为 (500 － 10 x ) 个，则 (500 － 10 x )· [(50+ x ) － 40]=8000 ， 整理得 x 2 － 40 x +300=0 ， 解得 x 1 =10 ， x 2 =30 都符合题意 . 当 x =10 时 ,50+ x =60 ， 500 － 10 x =400 ； 当 x =30 时， 50+ x =80 ， 500 － 10 x =200. 答：要想赚 8000 元，售价为 60 元或 80 元；若售价为 60 元，则进贷量应为 400 ；若售价为 80 元，则进贷量应为 200 个 . 某花圃用花盆培育某种花苗 , 经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系 . 每盆植入 3 株时 , 平均单株盈利 3 元 ; 以同样的栽培条件 , 若每盆增加 1 株 , 平均单株盈利就减少 0.5 元 . 要使每盆的盈利达到 10 元 , 每盆应该植多少株 ? 思考 : 这个问题设什么为 x ? 有几种设法 ? 如果直接设每盆植 x 株 , 怎样表示问题中相关的量 ? 如果设每盆花苗增加的株数为 x 株呢？ 针对练习 整理，得 x 2 - 3 x + 2 = 0 . 解这个方程 , 得 x 1 =1, x 2 =2 . 经检验， x 1 =1 , x 2 = 2 都符合题意 . 答 : 要使每盆的盈利达到 10 元 , 每盆应植入 4 株或 5 株 . 解 : 设每盆花苗增加的株数为 x 株 , 则每盆花苗有 ( x +3) 株 , 平均单株盈利为 (3 - 0.5 x ) 元 . 根据题意 , 得 . ( x + 3)(3 - 0.5 x ) = 10 . 总结归纳 利润问题常见关系式 基本关系： (1) 利润＝售价－ ________ ； (3) 总利润＝ ____________× 销量 进价 单个利润 传播问题与一元二次方程 二 引例： 有一人患了流感 , 经过两轮传染后共有 121 人患了流感 , 每轮传染中平均一个人传染了几个人 ? 分析 ： 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人 . 传染源记作小明，其传染示意图如下： 合作探究 第 2 轮 ••• 小明 1 2 x 第 1 轮 第 1 轮传染后人数 x+ 1 小明 第 2 轮传染后人数 x ( x+ 1)+ x +1 注意：不要忽视小明的二次传染 x 1 = , x 2 = . 根据示意图，列表如下： 解方程 , 得 答 : 平均一个人传染了 ________ 个人 . 10 -12 ( 不合题意 , 舍去 ) 10 解 : 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人 . (1+ x ) 2 =121 注意 : 一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验 . 传染源人数 第 1 轮传染后的人数 第 2 轮传染后的人数 1 1+ x =(1+ x ) 1 1+ x + x (1+ x )=(1+ x ) 2 想一想： 如果按照这样的传染速度 , 三轮传染后有多少人患流感 ? 第 2 种做法 以第 2 轮传染后的人数 121 为传染源 , 传染一次后就是 : 121(1+ x )=121(1+10)=1331 人 . 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的 人数 第三轮传染后的 人数 (1+ x ) 1 (1+ x ) 2 分析 第 1 种做法 以 1 人为传染源 , 3 轮传染后的人数是 : (1+ x ) 3 =(1+10) 3 =1331 人 . (1+ x ) 3 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1 ∙ x = x 1+ x 第二轮 1+ x (1+ x ) x 1+ x + (1+ x ) x = 第三轮 第 n 轮 思考： 如果按这样的传染速度， n 轮后传染后有多少人患了流感？ (1+ x ) 2 (1+ x ) n (1+ x ) 3 经过 n 轮传染后共有 (1+ x ) n 人患流感 . (1+ x ) 2 (1+ x ) 2 ∙ x ( 1 +x ) 2 +(1+ x ) 2 ∙ x = 例 3 ： 某种植物的主干长出若干数目的支干 , 每个支干又长出同样数目的小分支 , 主干 , 支干和小分支的总数是 91, 每个支干长出多少小分支 ? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解 : 设每个支干长出 x 个小分支 , 则 1+ x + x 2 = 91 即 解得 , x 1 =9, x 2 = － 10( 不合题意 , 舍去 ) 答 : 每个支干长出 9 个小分支 . 交流讨论 1. 在分析 引例和例 1 中的数量关系时它们有何区别？ 每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染 . 2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？ （ 1 ）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （ 2 ）可利用表格梳理数量关系； （ 3 ）关注起始值、新增数量，找出变化规律 . 方法归纳 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 例 4 ： 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制， 4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？ 解： 设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1 ＋ x ＋ x (1 ＋ x ) ＝ 100 ，即 (1 ＋ x ) 2 ＝ 100. 解得 x 1 ＝ 9 ， x 2 ＝－ 11 ( 舍去 ) ． ∴ x ＝ 9. 4 轮感染后，被感染的电脑数为 (1 ＋ x ) 4 ＝ 10 4 >7000. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑， 4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台． 1. 电脑 勒索 病毒 的 传播非常快，如果 开始有 6 台电脑被感染，经过两轮感染后 共 有 2400 台电脑被感染 . 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 ？ 练一练 解： 设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑 . 答： 每轮感染中平均一台电脑会感染 8 台电脑； 第 三轮感染 中 ，被感染的电脑台数 不 会超过 700 台 . 解得 x 1 =19 或 x 2 =-21 ( 舍去 ) 依题意 60+60 x +60 x (1+ x ) =2400 60 (1+ x ) 2 =2400 2. 某种细胞细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞 . （ 1 ）经过三轮分裂后细胞的个数是 . （ 2 ） n 轮分裂后，细胞的个数共是 . 8 2 n 起始值 新增细胞 本轮结束细胞总数 第一轮 第二轮 第三轮 第 n 轮 1 2 2 2 4 4 4 8 8 =2 2 =2 3 =2 1 2 n 1. 元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡 1980 张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有 x 名学生，那么所列方程为（ ） A. x 2 =1980 B. x ( x +1)=1980 C. x ( x -1)=1980 D. x ( x -1)=1980 2. 有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是 73 ，设每个枝干长出 x 个小分支，根据题意可列方程为（ ） A.1+ x + x (1+ x )=73 B.1+ x + x 2 =73 C.1+ x 2 =73 D.(1+ x ) 2 =73 当堂练习 D B 3. 早期，甲肝流行，传染性很强，曾有 2 人同时患上甲肝 . 在一天内，一人平均能传染 x 人，经过两天传染后 128 人患上甲肝，则 x 的值为（ ）？ A.10 B.9 C.8 D.7 D 4. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 n 个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有 111 个人参与了传播活动，则 n =______. 10 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得： （ 40- x )(20+2 x )=1200 整理得， x 2 -30 x +200=0 解方程得， x 1 =10, x 2 =20 因为要尽快减少库存，所以 x =10 舍去 . 答：每件衬衫应降价 20 元 . 5. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 6. 某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了 6 场，求初三有几个班？ 解：初三有 x 个班，根据题意列方程，得 化简，得 x 2 - x -12=0 解方程，得 x 1 =4， x 2 =-3（舍去） 答：初三有 4 个班 . 传染源 本轮分裂成有益菌数目 本轮结束有益菌总数 第一轮 第二轮 第三轮 分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌 60 60 x 60(1+ x ) 60(1+ x ) 60(1+ x ) x 7. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌 . (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 解：设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌 60+60 x +60(1+ x ) x =24000 x 1 =19 ， x 2 =-21 （舍去） ∴ 每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌 . 8. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌 . (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 三轮后有益菌总数为 24000 × (1+19)=480000. 9. 甲型流感病毒的传染性极强，某地因 1 人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过 两天 的传染后共有 9 人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度， 再 经过 5 天 的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 解：设每天平均一个人传染了 x 人， 解得 x 1 =-4 ( 舍去）， x 2 =2. 答：每天平均一个人传染了 2 人，这个地区一共将会有 2187 人患甲型流感 . 1+ x + x (1+ x )=9 ， 即 （ 1+ x ） 2 =9. 9(1+ x ) 5 =9(1+2) 5 =2187 ， (1+ x ) 7 = (1+2) 7 =2187. 课堂小结 列一元二次方程解应题 传播问题 数量关系： 第一轮传播后的量 = 传播前的量 × （ 1 + 传播速度） 第二轮传播后的量 = 第一轮传播后的量 × （ 1 + 传播速度） = 传播前的量 × （ 1 + 传播速度） 2 数字问题 握手问题 送照片问题 关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数 . 甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以 2. 甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以 2. 营销 其他类型 小结与复习 第二十一章 一元二次方程 一、一元二次方程的基本概念 1. 定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2. 一般形式： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 要点梳理 3. 项数和系数： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 一次项： ax 2 一次项系数： a 二次项： bx 二次项系数： b 常数项： c 4. 注意事项： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2 ； (3) 二次项系数不为 0 ； (4) 整式方程． 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x 2 + px + q = 0 （ p 2 - 4 q ≥0 ） ( x + m ) 2 ＝ n （ n ≥ 0 ） ax 2 + bx + c = 0( a ≠0 , b 2 - 4 ac ≥0) ( x + m ) （ x + n ）＝ 0 各种一元二次方程的解法及使用类型 三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （ 1 ）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （ 2 ）设元：就是设未知数 , 分直接设与间接设 , 应根据实际需要恰当选取设元法． （ 3 ）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （ 4 ）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （ 5 ）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 考点一 一元二次方程的定义 例 1 若关于 x 的方程 ( m -1) x 2 + mx -1=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A. m ≠1 B. m =1 C. m ≥1 D. m ≠0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为 0 ），因此它的系数 m -1≠0, 即 m ≠1 , 故选 A. A 1. 方程 5 x 2 - x -3= x 2 -3+ x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 考点讲练 针对训练 考点二 一元二次方程的根的应用 解析 根据一元二次方程根的定义可知将 x =0 代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把 x =0 代入就可以得到以 m 为未知数的方程 m 2 -1=0 ，解得 m =±1 的值 . 这里应填 -1 . 这种题的解题方法我们称之为“有根必代” . 例 2 若关于 x 的一元二次方程 （ m -1) x 2 + x + m 2 -1=0 有一个根为 0, 则 m = . 【易错提示】 求出 m 值有两个 1 和 -1 , 由于原方程是一元二次方程，所以 1 不符合，应引起注意 . -1 针对训练 2. 一元二次方程 x 2 + px -2=0 的一个根为 2 ，则 p 的值为 . -1 【 易错提示 】 (1) 配方法的前提是二次项系数是 1 ； （ a - b ) 2 与 （ a + b) 2 要准确区分； （ 2 ） 求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯 解析 (1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； （ 2 ） 先求出方程 x 2 ﹣13 x +36=0 的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． 考点三 一元二次方程的解法 例 3 (1) 用配方法解方程 x 2 -2 x -5=0 时，原方程应变为（ ） A. ( x -1) 2 =6 B.( x +2) 2 =9 C. ( x +1) 2 =6 D.( x -2) 2 =9 (2) ( 易错题） 三角形两边长分别为 3 和 6 ，第三边的长是方程 x 2 ﹣ 13 x +36=0 的根，则该三角形的周长为（　） 　 A ． 13 B ． 15 C ． 18 D ． 13 或 18 A A 3. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6 ，边 AB 的长是方程 x 2 -7 x +12=0 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 16 或 12 D. 24 A 针对训练 4. 用公式法和配方法分别解方程： x 2 -4 x -1=0 （要求写出必要解题步骤） . 4. 用公式法和配方法分别解方程： x 2 -4 x -1=0 （要求写出必要解题步骤） . 考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 例 4 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 -3 m =4 x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. B. m <2 C. m ≥0 D. m <0 A 【易错提示】 应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定 a , b , c 的值 . 解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0 , 即 4 2 -4×1× （ -3 m )=16+12 m >0, 解得 , 故选 A . Δ 5. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x 2 + x =0 B. 5 x 2 -4 x -1=0 C.3 x 2 -4 x +1=0 D. 4 x 2 -5 x +2=0 6. （开放题） 若关于 x 的一元二次方程 x 2 - x + m =0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是 　　 （写出一个即可）． D 0 针对训练 考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例 5 已知一元二次方程 x 2 － 4 x － 3 ＝ 0 的两根为 m ， n ， 则 m 2 － mn ＋ n 2 ＝ ． 25 解析 根据根与系数的关系可知， m + n =4, mn =-3. m 2 － mn ＋ n 2 ＝ m 2 + n 2 - mn =( m + n ) 2 -3 mn =4 2 -3 ×(-3)=25. 故填 25. 【 重要变形 】 针对训练 7. 已知方程 2 x 2 +4 x -3=0 的两根分别为 x 1 和 x 2 , 则 x 1 2 + x 2 2 的值等于（ ） A. 7 B. -2 C. D. A 考点六 一元二次方程的应用 例 6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元，平均每天能售出 32 件，而当销售价每上涨 2 元，平均每天就少售出 4 件 . (1) 若公司每天的销售价为 x 元，则每天的销售量为多少？ （ 2 ） 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？ 市场销售问题 解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设 公司每天的销售价为 x 元 . 单件利润 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 4 32 x -20 32-2( x -24) 150 其等量关系是：总利润 = 单件利润 × 销售量 . 解： （ 1 ） 32-( x -24) ×2=80-2 x ; （ 2 ） 由题意可得 ( x -20)(80-2 x )=150. 解得 x 1 =25, x 2 =35. 由题意 x ≤28, ∴ x =25, 即售价应当为 25 元 . 【 易错提示 】 销售量在正常销售的基础上进行减少 . 要注意验根 . 128 例 7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售 . 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销 . 小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售 . 求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是 x ，根据题意得 5 （ 1- x ) 2 =3.2 解得 x 1 =1.8 ( 舍去） , x 2 =0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是 20%. 平均变化率问题 例 8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为 30m, 宽为 20m 的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为 532m 2 , ，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形） 解：设小道进出口的宽为 x cm （ 30-2 x )(20- x )=532 x 2 -35 x +34=0 x 1 =1 x 2 =34 （舍去） 答：小道进出口的宽度应为 1 米 . 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解 . （注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等） 平移转化 方法总结 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念： ①整式方程； ②一元； ③二次 . 一般形式： ax 2 +bx+c=0 ( a ≠0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式 ： Δ = b 2 - 4 ac 根与系数的关系 一元二次方程的应用 营销问题、平均变化率问题 几何问题、数字问题 课堂小结