九年级数学上册第一章特殊平行四边形阶段复习习题课件新版北师大版

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阶段复习课 第 一 章 主题 1 菱形的性质与判定 【 主题训练 1】 (2013 · 宜昌中考 ) 如图 , 点 E,F 分别是锐角∠ A 两边上的点 ,AE=AF, 分别以点 E,F 为圆心 , 以 AE 的长为半径画弧 , 两弧相交于点 D, 连接 DE,DF. (1) 请你判断所画四边形的形状 , 并说明 理由 . (2) 连接 EF, 若 AE=8cm,∠A=60°, 求线段 EF 的长 . 【 自主解答 】 (1) 菱形 . 理由 : 根据题意 , 得 AE=AF=ED=DF,∴ 四边形 AEDF 是菱形 . (2) ∵AE=AF,∠A=60°,∴△EAF 是等边三角形 , ∴EF=AE=8cm. 【 主题升华 】 菱形的性质与判定 边 角 对角线 性质 对边平行 , 四边相等 对角相等 , 邻角互补 互相垂直平分 判定 四边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 1.(2013 · 怀化中考 ) 如图 , 在菱形 ABCD 中 ,AB=3,∠ABC=60°, 则对角线 AC=( 　　 ) A.12 B.9 C.6 D.3 【 解析 】 选 D.∵ 四边形 ABCD 是菱形 ,∴AB=BC, ∵∠ABC=60°,∴△ABC 为等边三角形 ,∴AC=AB=3. 2.(2013 · 曲靖中考 ) 如图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 过点 O 作 EF⊥AC 交 BC 于点 E, 交 AD 于点 F, 连接 AE,CF. 则四边形 AECF 是　 ( 　　 ) A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【 解题指南 】 本题涉及的三个知识点 1. 平行四边形的性质与判定 . 2. 全等三角形的判定与性质 . 3. 菱形的判定 . 【 解析 】 选 C.∵ 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O, ∴AO=CO,∠AFO=∠CEO, ∴ 在△ AFO 和△ CEO 中 , ∵∠AFO=∠CEO,∠FOA=∠EOC,AO=CO, ∴△AFO≌△CEO(AAS),∴FO=EO, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 , ∵EF⊥AC,∴ 平行四边形 AECF 是菱形 . 3.(2013 · 盐城中考 ) 如图 , 在平行四边形 ABCD 中 ,E 为 BC 边上的一点 , 连接 AE,BD, 且 AE=AB. (1) 求证 :∠ABE=∠EAD. (2) 若∠ AEB=2∠ADB, 求证 : 四边形 ABCD 是菱形 . 【 证明 】 (1)∵ 在平行四边形 ABCD 中 ,AD∥BC, ∴∠AEB=∠EAD, ∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,∴∠ABE=∠EAD. (2)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBE,∵∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB,∴∠ABE=2∠ADB, ∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB, ∴AB=AD, 又∵四边形 ABCD 是平行四边形 ,∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 主题 2 矩形的性质与判定 【 主题训练 2】 (2013 · 铁岭中考 ) 如图 ,△ABC 中 ,AB=AC,AD 是△ ABC 的角平分线 , 点 O 为 AB 的中点 , 连接 DO 并延长到点 E, 使 OE=OD, 连接 AE,BE. (1) 求证 : 四边形 AEBD 是矩形 . (2) 当△ ABC 满足什么条件时 , 矩形 AEBD 是正方形 , 并说明理由 . 【 自主解答 】 (1)∵ 点 O 为 AB 的中点 ,OE=OD, ∴ 四边形 AEBD 是平行四边形 , ∵AB=AC,AD 是△ ABC 的角平分线 ,∴AD⊥BC, ∴∠ADB=90°,∴ 平行四边形 AEBD 是矩形 . (2) 当∠ BAC=90° 时 , 矩形 AEBD 是正方形 , 理由 :∵∠BAC=90°,AB=AC,AD 是△ ABC 的角平分线 , ∴AD=BD=CD, ∵ 由 (1) 得四边形 AEBD 是矩形 ,∴ 矩形 AEBD 是正方形 . 【 备选例题 】 (2012 · 鞍山中考 ) 如图 , 在△ ABC 中 ,∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=a, 作斜边 AB 边中线 CD, 得到第一个三角形△ ACD; DE⊥BC 于点 E, 作 Rt△BDE 斜边 DB 上中线 EF, 得到第二个三角形△ DEF; 依此作下去 … 则第 n 个三角形的面积等于 　　　　　 . 【 自主解答 】 ∵∠ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的中线 , ∴CD=AD, ∵∠A=60°,∴△ACD 是等边三角形 , 同理可得 , 被分成的第二个、第三个 … 第 n 个三角形都是等边三角形 , ∵CD 是 AB 边的中线 ,EF 是 DB 边的中线 , … , ∴ 第一个等边三角形的边长 CD=DB= AB=AC=a, 第二个等边三角形的边长 EF= DB= a, … 第 n 个等边三角形的边长为 所以 , 第 n 个三角形的面积 答案 : 【 主题升华 】 矩形的性质与判定 边 角 对角线 性质 对边平行 , 邻边垂直 四个角都是直角 互相平分且相等 判定 邻边垂直的平行四边形是矩形 1. 一个角是直角的平行四边形是矩形 2. 三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 1.(2013 · 湘西中考 ) 下列说法中 , 正确的是　 ( 　　 ) A. 同位角相等 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 矩形的对角线一定互相垂直 【 解析 】 选 C. 没有两直线平行这一条件 , 同位角不一定相等 , 故选项 A 错误 ; 由对角线判定平行四边形、矩形、菱形、正方形 , 对角线互相平分是必不可少的条件 , 故选项 B 错误 ; 四条边相等的四边形是菱形 , 选项 C 正确 ; 矩形的对角线相等 , 而不一定互相垂直 , 故选项 D 错误 . 2.(2013 · 凉山州中考 ) 如图 , 在平面直角坐标系中 , 矩形 OABC 的顶点 A,C 的坐标分别为 (10,0),(0,4), 点 D 是 OA 的中点 , 点 P 在 BC 上运动 , 当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时 , 点 P 的坐标为 　　　　　 . 【 解析 】 由题意 , 当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时 , 有三种情况 :(1) 如答图①所示 ,PD=OD=5. 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E, 则 PE=4. 在 Rt△PDE 中 , 由勾股定理得 : ∴OE=OD-DE=5-3=2, ∴ 此时点 P 坐标为 (2,4). (2) 如答图②所示 ,OP=OD=5. 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E, 则 PE=4. 在 Rt△POE 中 , 由勾股定理得 : ∴ 此时点 P 坐标为 (3,4). (3) 如答图③所示 ,PD=OD=5. 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E, 则 PE=4. 在 Rt△PDE 中 , 由勾股定理得 : ∴OE=OD+DE=5+3=8, ∴ 此时点 P 坐标为 (8,4). 综上所述 , 点 P 的坐标为 :(2,4) 或 (3,4) 或 (8,4). 答案 : (2,4) 或 (3,4) 或 (8,4) 3.(2013 · 遵义中考 ) 如图 , 将一张矩形纸片 ABCD 沿直线 MN 折叠 , 使点 C 落在点 A 处 , 点 D 落在点 E 处 , 直线 MN 交 BC 于点 M, 交 AD 于点 N. (1) 求证 :CM=CN. (2) 若△ CMN 的面积与△ CDN 的面积比 为 3∶1, 求的 值 . 【 解析 】 (1) 由折叠的性质可得 :∠ANM=∠CNM, ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ,∴AD∥BC, ∴∠ANM=∠CMN,∴∠CMN=∠CNM,∴CM=CN. (2) 过点 N 作 NH⊥BC 于点 H, 则四边形 NHCD 是矩形 ,∴HC=DN,NH=DC, ∵△CMN 的面积与△ CDN 的面积比为 3∶1, ∴MC=3ND=3HC,∴MH=2HC, 设 DN=x, 则 HC=x,MH=2x, ∴CM=3x=CN, 在 Rt△CDN 中 , ∴HN=2x, 在 Rt△MNH 中 , 主题 3 正方形的性质与判定 【 主题训练 3】 (2013 · 济宁中考 ) 如图 1, 在正方形 ABCD 中 ,E,F 分别是边 AD,DC 上的点 , 且 AF⊥BE. (1) 求证 :AF=BE. (2) 如图 2, 在正方形 ABCD 中 ,M,N, P,Q 分别是边 AB,BC,CD,DA 上的 点 , 且 MP⊥NQ.MP 与 NQ 是否相等 ? 并说明理由 . 【 自主解答 】 (1) 在正方形 ABCD 中 ,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,∴∠DAF+∠BAF=90°, ∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°, ∴∠ABE=∠DAF, ∵ 在△ ABE 和△ DAF 中 ,∠ABE=∠DAF,AB=AD, ∠BAE=∠D,∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE. (2)MP 与 NQ 相等 . 理由如下 : 如图 , 过点 A 作 AF∥MP 交 CD 于 F, 过点 B 作 BE∥NQ 交 AD 于 E, 则与 (1) 的情况完全相同 . 【 主题升华 】 平行四边形、矩形、菱形、正方形性质的区别与联系 1. 边 : 它们都具有对边平行且相等的性质 , 而菱形和正方形还具有四条边都相等的性质 . 2. 角 : 它们都具有对角相等且邻角互补的性质 , 而矩形和正方形还具有四个角都是 90° 的性质 . 3. 对角线 : 它们都具有对角线互相平分的性质 , 而矩形和正方形的对角线还具有相等的性质 , 菱形和正方形的对角线还具有互相垂直的性质 . 1.(2013 · 菏泽中考 ) 如图 , 边长为 6 的大正方形中有两个小正方形 , 若两个小正方形的面积分别为 S 1 ,S 2 , 则 S 1 +S 2 的值为 ( 　　 ) A.16 B.17 C.18 D.19 【 解析 】 选 B. 如图 , ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ,∴∠MBN=45°.∵ 四边形 MNQP 是正方形 ,∴MN=NQ,∠MNQ=90°, ∴△MBN 是等腰直角三角形 ,∴MN=BN. 同理 ,PQ=DQ, ∴BN=NQ=DQ. 在 Rt△ABD 中 ,∵AB=AD=6, ∴S 2 =NQ 2 =8. 由图形知 EF 为△ BCD 的中位线 , ∵CD=6,∴EF=3,∴S 1 =EF 2 =9.∴S 1 +S 2 =9+8=17. 【 一题多解 】 选 B.∵ 正方形边长为 6, 所以大 正方形面积为 36, 所以大正方形的对角线将 其分割成面积为 18 的两个大等腰直角三角形 , 如图所示 : 其中 , 左上角的等腰直角三角形又被分成 9 等份 , 小正方形 S 2 占 其中的 ,∴S 2 = ×18=8; 同理 , 右下角的等腰直角三角形又 被分成 4 等份 , 小正方形 S 1 占其中的 ,∴S 1 = ×18=9, ∴S 1 +S 2 =9+8=17. 2.(2013 · 鄂州中考 ) 如图 , 正方形 ABCD 的边长为 4,E,F 分别为 DC,BC 中点 . (1) 求证 :△ADE≌△ABF. (2) 求△ AEF 的面积 . 【解析】 (1)∵ 四边形 ABCD 为正方形 , ∴AB=AD,∠B=∠D=90°,DC=CB. ∵E,F 分别为 DC,BC 中点 , ∴DE= DC,BF= BC,∴DE=BF,∴△ADE≌△ABF. (2) 由题知△ ABF,△ADE,△CEF 均为直角三角形 , 且 AB=AD=4,DE=BF= ×4=2,CE=CF= ×4=2. ∴S △AEF =S 正方形 ABCD -S △ADE -S △ABF -S △CEF =4×4- ×4×2- ×4×2- ×2×2=6.