（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题1

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第1章锐角三角函数1.3解直角三角形（第1课时）一、单选题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由再把已知条件代入即可得到答案．【详解】解：故选：【点睛】本题考查的是锐角三角函数的含义，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．2．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（）． A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．【详解】解：过A点作AC⊥OC于C，∵∠AOC=50°，∴∠OAC=40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°．故选：B．【点睛】考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数．3．如图，有一斜坡的长米，坡角，则斜坡的铅垂高度为（）． A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义，结合题意，即可得到答案．【详解】结合题意，得：∴故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，从而完成求解．4．如图,学校的保管室有一架5m长的梯子斜靠在墙上,此时梯子与地面所成的角为45°如果梯子底端O固定不变,顶端靠到对面墙上,此时梯子与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为()A．(+1)mB．(+3)mC．()mD．(+1)m【答案】A 【分析】根据锐角三角函数分别求出OB和OA，即可求出AB.【详解】解：如下图所示，OD=OC=5m，∠DOB=60°，∠COA=45°，在Rt△OBD中，OB=OD·cos∠DOB=m在Rt△OAC中，OA=OC·cos∠COA=m∴AB=OA+OB=(+1)m故选：A.【点睛】此题考查的是解直角三角形，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.5．某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度，则这个斜坡坡角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】根据坡度可以求得该坡角的正切值，根据正切值即可求得坡角的角度．【详解】 ∵坡度为，∴，∵，且α为锐角，∴．故选：A．【点睛】本题考查了坡度的定义，考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数值在直角三角形中的应用．6．如图，校园内有两栋教学楼求真楼和行知楼已知的高度为米，为测量的高度，小诚先在行知楼顶端处测得求真楼顶端处的仰角为，然后下楼从行知楼底部点出发，先沿坡度为的斜坡行走米到达点再沿水平方向前进米到达求真楼底端点在同平面内，则求真楼的高度约为（　　　）（参考数据：）A．米B．米C．米D．米【答案】B【分析】先利用坡比EG=2.4CG，利用CE的长求出CG、EG，RtΔCGE中，利用正切求出AF，楼高AB=AF+FB=AF+CD-CG计算即可． 【详解】过D作DF⊥AB于F，延长BE交DC于G，由已知得CD=21米，CE=2.6米，BE=47.6米，由CE坡度为，CG：EG=1：2.4，在RtΔCGE中，由勾股定理得CE2=CG2+EG2，即2.62=CG2+(2.4CG)2，解得CG=1米，EG=2.4CG=2.4米，BG=BE+EG=47.6+2.4=50米，DG=DC-CG=21-1=20米，由∠B=90º，∠BGD=90º，∠BFD=90º，四边形FBGD为矩形，∴DF=BG=50米，BF=DG=20米，在RtΔAFD中，AF=tan14º×DF≈0.25×50=12.5米，AB=AF+BF=32.5米．故选择：B．【点睛】本题考查解直角三角形的问题，掌握坡比，仰角概念，会用仰角与坡比构造直角三角形解决问题是关键． 7．数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作、，那么它们的大小关系是()A．B．C．D．不能确定【答案】C【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．【详解】如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，在Rt△ABG中，AG＝ABsinB＝5×sin50°＝5sin50°，在Rt△DHE中，∠DEH＝180°−130°＝50°，DH＝DEsin∠DEH＝5sin50°，∴AG＝DH．∵BC＝4，EF＝4，∵等底等高两三角形面积相等 ∴．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形中的正弦函数的应用以及等底等高两三角形面积相等，求得三角形的高相等是解题的关键．8．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（　　）A．10mB．5mC．2.5mD．9.5m【答案】B【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得到DE＝BD，DF＝DC，两式相加，即可证明DE+DF＝BC．【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，∴DE＝BD，DF＝DC，∴DE+DF＝BD+DC＝（BD+DC）=BC．∴DE+DF＝BC＝×10＝5m． 故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质,熟练掌握相关知识点是解题关键.二、填空题9．一辆汽车沿倾斜角的斜坡前进100米，则它上升的高度是______米．【答案】50【分析】由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图所示：由题意得：∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝100，∴BC＝AB＝50（米）．故答案为：50．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．10．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，且∠ACD＝60°，AB＝2，则矩形ABCD的面积等于_____． 【答案】4【分析】首先根据矩形的性质和一边长求得另一边的长，然后利用矩形的面积计算方法求得即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，∴CD＝AB＝2，∵∠ACD＝60°，∴AD＝CD•tan60°＝2，∴矩形ABCD的面积为AD•CD＝2×2＝4，故答案为：4．【点睛】考查了矩形的性质，解题的关键是三角函数的性质及矩形的性质．11．如图，，点P在OA上，PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm，则OP的长是___________． 【答案】13cm【分析】过点P作PE⊥OB，利用等腰三角形三线合一的性质求得CE的长，从而就得OE，然后解直角三角形求解即可．【详解】解：过点P作PE⊥OB∵CO=5cm，OD=8cm，∴CD=OD-CO=3又∵PC=PD，PE⊥OB∴CE=∴OE=OC+CE=∴在Rt△POE中，故答案为：13cm． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．12．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝______．【答案】【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．【详解】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6， ∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．13．如图，在坡度为1︰2（垂直距离与水平距离的比值）的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________．【答案】米．【分析】先画出符合题意的几何图形，利用坡度为1︰2，建立方程求解垂直高度，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，由题意得： 即斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．故答案为：米．【点睛】本题考查的解直角三角形的应用，掌握坡度的定义是解题的关键．14．如图，从甲楼底部处测得乙楼顶部处的仰角是，从甲楼顶部处测得乙楼底部处的俯角是，已知乙楼的高是，则甲楼的高是___________.（结果保留根号）【答案】【分析】在Rt△ACD中，由∠CAD=30°，CD=50，可求出AD，再在Rt△ABD中，由∠BDA=45°，得AB=AD即可．【详解】解：在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，CD=50，∴，在Rt△ABD中，∵∠BDA=45°，∴（m），故答案为．【点睛】 本题主要考查了直角三角形的应用，理解和掌握三角函数的意义以及仰角、俯角的意义是解题的关键．三、解答题15．已知中，，，，解这个直角三角形.【答案】∠A=30°,BC=3,AC=.【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，利用30°角的直角三角形的性质求出BC，再利用勾股定理求出AC即可.【详解】解：在中，，，，，，.故答案为∠A=30°，BC=3，AC=.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形的相关知识.16．如图，我市常璩广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，在C点上方E处加固另一条钢缆ED，钢缆ED与地面夹角为60°，现在要在EC处放置一个广告牌，请问广告牌EC的高度为多少？（sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8） 【答案】4.66m【分析】根据锐角三角函数的定义可求出BC与BE的长度．【详解】解：在Rt△CDB中，tan∠BDC＝，∴BC＝BDtan40°≈4，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，∴BE＝BDtan∠BDE＝5，∴CE＝BE﹣BC≈4.66（m），答：广告牌EC的高度约为4.66m．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．17．襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：，，） 【答案】点E与点D间的距离是358.4米．【分析】由，根据三角形外角的性质可得，故为直角三角形，根据的余弦值即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，即，解得（米），答：点E与点D间的距离是358.4米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到为直角三角形．18．如图，我市某景区内有一条自西向东的笔直林荫路经过景点A、B，现市政决定开发景点C，经考察人员测量，景点A位于景点C的在南偏西60°方向，景点B位于景点C的西南方向，A、B两景点之间相距380米，现准备由景点C向该林萌路修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长？（结果精确到0.1，参考数据：≈1.732） 【答案】这条公路的长约为519.1米．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意可得，∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，AB＝380，然后根据三角函数即可求出CD的长，进而可得距离最短的公路的长．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知：∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，AB＝380，∴在Rt△BCD中，CD＝BD，在Rt△ACD中，tan∠DCA＝，∴tan60°＝＝，∴CD＝190+190≈519.1（米）．答：这条公路的长约为519.1米．【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，掌握知识点是解题关键．19．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝（1）求BD的长；（2）求tanC的值．【答案】（1）12；（2）【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可；（2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可．【详解】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝∴即解得：BD＝12；（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，∴AD＝5，∴DC＝8，∴tan∠C＝【点睛】 此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值．20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，AB是以网络线的交点（格点）为端点的线段；（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD；（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，连接DF，使，点E，F也为格点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用平移的性质得出C，D点位置，进而得出答案；（2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案．【详解】（1）如图所示：线段CD即为所求；（2）如图所示：菱形CDEF即为所求． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及平移变换，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．