第3章 圆的基本性质（知识点汇总·浙教9上）

第3章 圆的基本性质（知识点汇总·浙教9上）

第3章圆的基本性质知识网络图知识精讲一、圆的相关概念与性质1、圆（1）描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．通常用符号表示圆，记作“”，读作“圆 ”．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；（4）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；（5）等圆：半径相等（能够重合）的两个圆叫做等圆．【注意】同圆或等圆的半径相等．同心圆仅指圆心相同2、弦（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．【补充】圆心到弦的距离称为弦心距．【注意】直径是最长的弦，圆中，弦长的取值范围是：．3、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．（2）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（4）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个大写字母表示，如．（5）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个大写字母表示，如．（6）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．【注意】一般表示的是劣弧，优弧的表示要用三个字母表示，再在圆弧上任选一个字母，例如．4、圆心角圆心角：顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．【补充】的弧：将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．【注意】圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．5、圆周角圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．【补充】直径所对的圆周角为90度． 【注意】任意一条弧所对的圆周角有无数多个，只有一种，他们都相等．任意一条弦所对的圆周角也有无数个，但是分为两种，他们互为补角．注意右图不是圆周角6、圆的旋转对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．【注意】圆心角、弧、弦、弦心距之间知一推三的关系可以由圆的旋转对称性得到．7、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．【注意】垂径定理可以由圆的轴对称性得到．二、垂径定理1、定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2、推论：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【补充】圆的两条平行线所夹的弧相等．【注意】注意推论（1）中“非直径”的约束条件，因为圆中任意两条直径都互相平分，但是不一定垂直．三、弧、弦、圆心角的关系1.弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．【注意】因为一条弦对的弧有两条，所以由弦等得出弧等时，这里的弧等指的是弦对的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。【补充】“圆心角、弧、弦和弦的弦心距”四组量中，有一组量对应相等，其他的三组量也对应相等，换言之为“四有一推三”，但当用到“弦心距”时，需要用全等先证明再用。四、圆周角定理1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．【注意】在应用定理时，一定要保证“同弧或等弧”的前提。 1.圆周角定理的推论（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。【注意】不能把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，因为一条弦所对的圆周角有两种情况。一般情况下不相等，如图2（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．【注意】“相等的圆周角所对的弧也相等”这一结论的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这一前提条件，结论不成立。如图3（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．【注意】一般情况下，当条件中有直径时，往往做出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形。五、与弧长有关的计算1、弧长的计算：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式：2、多边形滚动问题解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角度．常见的多边形滚动问题有：（1）正三角形沿水平线翻滚； （2）直角三角形沿水平线翻滚；（3）正方形沿水平线翻滚；（4）各内角相等的正多边形沿水平线翻滚；（5）各内角不相等的多边形沿水平线翻滚．六、与扇形有关的面积计算1、扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．2、扇形的周长：在半径为，圆心角的度数为的扇形中，周长的公式为：3、扇形面积的计算公式：（1）（2）（为扇形的弧长）【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算．七、与弓形面积有关的计算1、弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．2、弓形的面积计算：弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算．根据弧的情况不同，有以下三种情况： （1）当弓形所含的弧是劣弧时，（2）当弓形所含的弧是优弧时，（3）当弓形所含的弧是半圆时，八、圆锥的相关概念1、定义：圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周而形成的图形。这条直线叫做圆锥的轴；垂直于轴的边旋转一周而成的面叫做圆锥的底面，圆锥的底面是一个圆面；斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面．2、高：从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高．3、母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．九、圆锥的面积1、圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥的底面周长，因此圆锥的侧面积公式为：2、圆锥的全面积：圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积．公式为：十、圆锥与扇形的关系将圆锥的侧面，沿它的任意一条母线剪开，得到的图形即为扇形。圆锥的母线即为展开以后的扇形的半径，圆锥的底面周长即为展开以后扇形的弧长．【补充】已知扇形的半径为，圆心角为，扇形围成的圆锥的底面半径为，则可以三者之间的关系为：解题方法技巧 1、连接圆中任意两条半径和弦构成等腰三角形．2、题目中有直径时，通常要构造直径所对的圆周角，从而构造直角三角形．3、与垂径定理有关的解题方法（1）垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用．（2）在同圆中，利用垂径定理的知识，若已知弦长相等，则弦心距也相等，反之也成立．（3）应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．4、有关弧的中点引辅助线的方法（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）连等弧对的圆心角。5、有关弦中点的引辅助线的方法：连过弦中点的半径。6、求弧的度数：构造弧所对的圆心角。7、比较弧的大小，可以转化成比较弦、圆心角的大小。8、有线段的倍分关系时，常利用“折半、加倍”的方法做辅助线。9、圆中证明角相等的方法：（1）同角（或等角）余角相等；（2）圆周角定理；（3）半径相等出等腰三角形；（4）平行线出同位角或内错角相等；（5）全等或相似三角形中的对应角相等；（6）在同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆周角相等（常见于弧的等分点）。10、当已知弧长与半径，可以推得圆心角的计算公式为：．11、在求与扇形有关的不规则图形的面积时，常常需要割补法来求．12、当题目中已知圆锥的母线和底面圆的半径，求展开以后的扇形的圆心角时，可以通过公式推得其三者之间的关系为：． 易错点辨析1、直径是弦，但弦不一定是直径，只有过圆心的弦才是直径，直径是最长的弦．2、在同圆中，同弧所对的圆周角相等，但是同弦所对的弧有两条，所以所对的圆周角有两种，可能相等，也可能互补．3、涉及到平行弦之间的距离问题，共顶点之间的弦夹角问题时，需要分类讨论．4、圆心角、弧、弦三者之间的关系可以直接运用定理推得，但弦心距的关系要通过全等等其它方法来证明。5、应用圆心角、弧、弦之间的关系以及圆心角定理时，不要忽略“同圆或等圆”的前提。6、弦所对的弧有优弧、劣弧两条，解题时要注意分类讨论。7、在应用定理时，一定要保证在“同弧或等弧”前提。8、三点确定一个圆，必须是不在同一直线上的三点．9、已知点到圆上距离最大最小值，求半径时，要注意分类讨论。【例题】一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为________．【答案】当点在圆外时，；当点在圆内时，．10、圆锥面积计算公式中的与扇形面积计算公式中的表示的含义是不一样的，应用时不要用混淆．11、求圆锥的面积时，如果题目没有说明求侧面积，则都要求圆锥的全面积．12、在遇到求最短路径问题时，一定要将圆锥展开，再利用两点之间线段最短的原理即可．13、在解决多边形滚动问题时，要注意点在滚动的过程中会取得最大值的情况．